Simulación de sistemas dinámicos nolineales - con aplicaciones en neurociencias

Materia optativa para las Licenciaturas de la Facultad de Ciencias

3 horas semanales; 6 créditos

Horario: Martes 14:00-15:30 y jueves 13:30-15:00

Profesor: Dr. David P. Sanders

• dpsanders@ciencias.unam.mx
• Cubículo #414, 4o. piso, Departamento de Física

Ayudante: M. en C. Leonardo Castro González

• leonardo_castro@ciencias.unam.mx

Objetivo:

Aprender a simular sistemas dinámicos en tiempo continuo dados por ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) nolineales. Aplicar herramientas numéricas para encontrar características útiles del sistema, por ejemplo, sus puntos fijos, órbitas periódicas, y bifurcaciones.

Las aplicaciones principales a tratar serán a los modelos de neuronales propuestos en neurociencias computacional.

Requisitos:

Ecuaciones Diferenciales I; Álgebra Lineal; experiencia de cómputo en algún lenguaje.

Detalles:

Ocuparemos el lenguaje de programación Julia (www.julialang.org), el cual se aprenderá rápidamente al principio del curso.

El curso tiene una parte teórica, pero la énfasis radica en la parte computacional para visualizar los comportamientos de los sistemas y calcular cantidades relevantes utilizando herramientas numéricas.

Temario:

1. La visión cualitativa

• Espacio fase de EDOs en N dimensiones
• Existencia y unicidad (repaso)
• Tipos de comportamiento asintótico posibles (conjuntos límite)
• Simulación de trayectorias mediante métodos numéricos

2. Puntos fijos

• Método de Newton para encontrar puntos fijos
• Estabilidad lineal: Eigen-valores y -vectores

3. Bifurcaciones locales

• EDOs con parámetros
• Concepto de bifurcación
• Continuación numérica para trazar líneas de bifurcación

4. Ciclos límite

• Bifurcación de Hopf
• Osciladores de relajación

5. Modelos de neuronas

• Hodgkin-Huxley
• Fitzhugh-Nagumo y otros modelos reducidos
• Puntos fijos y ciclos límite

6. Variedades invariantes

• Espacios invariantes para ecuaciones lineales
• Varidades estable e inestable
• Cálculo numérico de variedades uni-dimensionales

7. Bifurcaciones homoclínicas y heteroclínicas

• Bifurcaciones globales
• Aplicaciones en modelos de neuronas

Otros temas de interés de los asistentes.

Bibliografía:

Sistemas dinámicos nolineales

Más apropiados para el curso:

• *Nonlinear Dynamics and Chaos, Strogatz
• *Stability, Instability and Chaos, Glendinning
• *Differential Equations, Dynamical Systems and An Introduction to Chaos, Hirsch, Smale & Devaney

Más avanzados:

• Chaos in Dynamical Systems, Ott
• Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Guckenheimer & Holmes
• Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (2a. edición), Wiggins
• Elements of Applied Bifurcation Theory, Kuznetsov

Más matemáticos:

• Ordinary Differential Equations, Arnold
• A First Course in Dynamics, Hasselblatt & Katok
• Differential Dynamical Systems, Meiss
• Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics and Chaos, Robinson

Modelos en neurociencias

• Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting, Izhikevich
• Computational and Mathematical Modeling of Neural Systems, Dayan & Abbott
• Mathematical Physiology, Keener & Sneyd
• Spikes, Decisions and Actions, Wilson

• = particularmente recomendado