数制基础

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计算机的世界里只有二进制

二进制是一种数制。数制是"数据制度"的简称，是指数据的进位计数规则，表示数据逢几进位，又称"进位计数制"。如我们常用的十进制就是逢十进位，计算机中的二进制则是逢二进位。

在计算机系统中，我们常见的数制有四种：十进制、二进制、八进制和十六进制。当然，还有其它不常见的数制，如三进制、十二进制、二十进制以及六十进制等。不同的数制有不同的基数，在一种数制中所能使用的数码的个数称为该数值的基数。基数一般和数制类型对应，如二进制的基数为"2"，八进制的基数为"8"，十六进制的基数为"16"。每个进制都有一个最大数码和最小数码，前者通常是"基数"减1，后者通常是0。

由于有不同的数制，所以对于计算机程序中出现的任何一个"数"都需要专门的标志来进行区分。

数制区分

十进制(Decimal)

十进制是最常用的进制，基数是10，也就是说十进制有10个数字符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。十进制数的标志为 D，如(1250)D，也可用下标"10"来表示，如(1250)₁₀。

二进制(Binary)

如上文所说，计算机的世界里只有二进制。二进制是计算机运算时所采用的数制，基数是2，只有0和1两个数字符号。二进制的标志位 B，如(1001010)B，或者用下标"2"来表示，如(10011)₂。

八进制(Octal)

八进制的基数是8，其有8个数字符号：0、1、2、3、4、5、6、7。八进制的标志位 O 或者 Q，如(4563)O(大写的字母 O)、(4563)Q，或者用下标"8"来表示，如(4563)₈。在 JavaScript 中，会把前缀为0(数值零)的数值解释为八进制，如123是十进制，0123则是八进制。

十六进制(Hexadecilma)

十六进制的基数是16，其有16个数字符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。可以看到，16个数字符号除了十进制中的10个数外，还有6个英文字符(不区分大小写)，这6个英文字符分别代表十进制中的10至15。十六进制数的标志位 H，如(4563)H，或者用下标"16"来表示，如(4563)₁₆。在 JavaScript 中，会把前缀为0(数值零)和 x 的数值解释为十六进制，如123是十进制，0x123则是十六进制。

不同数制之间常见的对应关系

在一些场景之下，需要进行不同数制之间的转换，如二进制转十进制，或者十进制转二进制。下表列出了各数制的基础数字之间的对应关系：

二进制数	对应的十进制数	对应的八进制数	对应的十六进制数
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	8	10	8
1001	9	11	9
1010	10	12	A
1011	11	13	B
1100	12	14	C
1101	13	15	D
1110	14	16	E
1111	15	17	F

不同数制之间的转换

同一个数，在不同的场景之下，可能需要不同的数制形式来表示。上文列举了常见的数在不同数制下的对应关系，而对于其它的数，则需要了解不同数制之间的转换规则了。

非十进制数转十进制数

非十进制数转十进制数采取的方法是"权值相加法"，权值是指对应数值位的进制幂次方数。如二进制整数中的第0位(最低位，整数最右边的那位)的权值就是2的0次方，第1位的权值是2的1次方；同理，八进制整数中的第0位的权值是8的0次方，第1位的权值是8的1次方，依此类推。

权值相加法就是把非十进制数按位以对应的权值展开，然后相加即得出对应的十进制数。但是，在转换时要区分整数位和小数位。非十进制数的每位的权值会因是整数位还是小数位而不同：

• 整数的第0位(最低位)的权值为对应进制的0次方，最高位(最左边的那位)的权值为对应进制的 n-1 次方
• 小数的第一位(最高位，最靠近小数点的那位)的权值为对应进制的-1次方，最后一位(最低位，最右边的那位)的权值为对应进制的 -n 次方

整数转十进制数

二进制、八进制和十六进制的整数部分的一般表现形式为：b_n-1b_n-2...b₁b₀，按照权值相加法展开后的格式为：

b_n-1 * k^n-1 + b_n-2 * k^n-2...+ b₁ * k¹ + b₀ * k⁰

其中 k 为对应的进制基数。

如二进制数(11010)₂ 的按权展开格式为：

1 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = (26)₁₀

如十六进制数(26345)₁₆ 的按权展开格式为：

2 * 16⁴ + 6 * 16³ + 3 * 16² + 4 * 16¹ + 5 * 16⁰ = (156485)₁₀

小数转十进制数

二进制、八进制和十六进制的小数部分的一般表现形式为：0.b_n-1...b₁b₀，但幂次是反序排列的，和整数部分的幂次序列相反，且为负值，最高位幂次为"-1"。小数按照权值相加法展开后的格式为：

b_n-1 * k^-1 + b_n-2 * k^-2...+ b₁ * k^-(n-1) + b₀ * k^-n

其中 k 为对应的进制基数。

如二进制数(0.1011)₂ 的按权展开格式为：

1 * 2^-1 + 0 * 2^-2 + 1 * 2^-3 + 1 * 2^-4 = (0.6875)₁₀

如八进制数(0.257)₈ 的按权展开格式为：

2 * 8^-1 + 5 * 8^-2 + 7 * 8^-3 = (0.341796875)₁₀

十进制数转非十进制数

对于十进制数的整数和小数转换成非十进制数的规则是不一样的：

• 十进制整数转非十进制数：除k取余法(k 是对应进制的基数)，也就是用基数相除，直到商小于 k，然后反序取余
• 十进制小数转非十进制数：乘k取整法(k 是对应进制的基数)，也就是用基数相乘，取出整数部分，再继续用小数部分乘以基数，直到小数部分为0或者达到指定的位数精度，然后正序取整

如十进制整数(48)₁₀ 转为二进制数(110000)₂：

如十进制整数(65)₁₀ 和(2467)₁₀ 转为八进制数(101)₈和(463)₈：

如十进制小数(0.125)₁₀ 和 (0.825)₁₀ 转为十六进制小数(0.2)₁₆ 和 (0.D33)₁₆(保留三位小数精度)

非十进制数之间的相互转换

在二进制和八进制以及二进制和十六进制之间转换时，有一个规律是：
1位八进制数对应3位二进制数，而1位十六进制对应4位二进制数。 因此，在相互转换时，可遵循如下方法：

1. 八进制数转二进制数：将每1位八进制数直接用相应的3位二进制数表示；
2. 二进制数转八进制数：以小数点为界，整数部分向左，小数部分向右将每3位二进制数分成一组(不足3位则用0补足3位)，将每一组二进制数直接用对应的1位八进制数表示；
3. 十六进制数转二进制数：将每1位十六进制数直接用相应的4位二进制数表示；
4. 二进制数转十六进制数：以小数点为界，整数部分向左，小数部分向右将每4位二进制数分成一组(不足4位则用0补足4位)，将每一组二进制数直接用对应的1位十六进制数表示；
5. 八进制和十六进制互转：先将其中一个转为二进制数，再按照二进制数与对应数制的转换规则进行转换。

如将(3456.2262)₈ 转为二进制数(11100101110.010010101010)₂：

如将(1101011.10111)₂ 转为八进制数(153.56)₈：

<本文完>

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错误出处：

如十进制整数(65)10 和(2467)10 转为八进制数(101)8和(463)8：

勘误：
$(2467)_{10}$转为八进制数$(4643)_8$