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% Corso di Metodi di Calcolo delle Strutture %
% Analisi statica di telai 2D %
% 13/01/2016 %
% Giuseppe COCCHETTI %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all
clc
close all
db=1000; %[mm]
%Coordinate dei nodi
dXY=[ 0, db;
0, 0;
db, 0;
2*db, db];
nNodi=size(dXY,1); %Numero totale dei nodi
%Aste e connessioni (tabelle delle incidenze)
nIncNodi=[1,2;
2,3;
3,4];
%nIncGdl=[ 1, 2, 3, 4, 5, 6;
% 4, 5, 6, 7, 8, 9;
% 13, 8, 9,10,11,12];
nIncGdl=[nIncNodi(:,1)*3-2, nIncNodi(:,1)*3-1, nIncNodi(:,1)*3, nIncNodi(:,2)*3-2, nIncNodi(:,2)*3-1, nIncNodi(:,2)*3];
nIncGdl(3,1)=13;
nAste=size(nIncNodi,1);
nGdlTot=max(max(nIncGdl)); %Numero totale dei gradi di liberta' (gdl)
%Parametri meccanici (rigidezza assiale EA e rigidezza flessionale EI)
% [ E * A , E * I]
dEAI=[206000*(10*30), 206000*(10*30^3/12);
206000*(10*30), 206000*(10*30^3/12);
206000*(10*30), 206000*(10*30^3/12)];
%Gdl da vincolare
nUv=[1,4,10,11];
%Gdl da non vincolare
%nUl=[2,3,5,6,7,8,9,12,13];
nUl=[2,3,5,6,7,8,9,12,13];
% nUl(nUv)=[];
%Vettore termini noti
dF=zeros([nGdlTot,1]);
dF(13,1)=dF(13,1)-5*10;
%Carichi distribuiti (sistema di riferimento locale) [p, q, m]
dq=-500/db;
dpqm=[0, 2*dq,0;
0, 0,0;
0, 0,0];
%Cedimenti vincolari assegnati
dUv=[0,0,0,0]';
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Termine assegnazione dati %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Elaborazione %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Costruzione della matrice di rigidezza globale (K)
dK=zeros([nGdlTot,nGdlTot]);
for ne=1:nAste
nA=nIncNodi(ne,1); %nA=numero del primo nodo dell'asta
nB=nIncNodi(ne,2); %nB=numero del secondo nodo dell'asta
dXYA=dXY(nA,:); %dXYA=coordinate del primo nodo dell'asta
dXYB=dXY(nB,:); %dXYB=coordinate del secondo nodo dell'asta
dL=norm(dXYB-dXYA); %dL=lunghezza dell'asta
dEAn=dEAI(ne,1); %Rigidezza assiale dell'asta analizzata (numero "ne")
dEIn=dEAI(ne,2); %Rigidezza flessionale dell'asta analizzata (numero "ne")
%Matrice di rigidezza della trave analizzata
dk=[ dEAn/dL, 0, 0, -dEAn/dL, 0, 0;
0, 12*dEIn/dL^3, 6*dEIn/dL^2, 0, -12*dEIn/dL^3, 6*dEIn/dL^2;
0, 6*dEIn/dL^2, 4*dEIn/dL, 0, -6*dEIn/dL^2, 2*dEIn/dL;
-dEAn/dL, 0, 0, dEAn/dL, 0, 0;
0, -12*dEIn/dL^3, -6*dEIn/dL^2, 0, 12*dEIn/dL^3, -6*dEIn/dL^2;
0, 6*dEIn/dL^2, 2*dEIn/dL, 0, -6*dEIn/dL^2, 4*dEIn/dL];
df=zeros([6,1]);
dp=dpqm(ne,1);
dq=dpqm(ne,2);
dm=dpqm(ne,3);
df=[dp*dL/2, dq*dL/2-dm, dq*dL^2/12, dp*dL/2, dq*dL/2+dm, -dq*dL^2/12]';
%Matrice di rotazione per l'elemento finito di trave
de=(dXYB-dXYA)/dL; %Versore assiale
dCosAlpha=de(1);
dSinAlpha=de(2);
dRt=[ dCosAlpha, dSinAlpha, 0;
-dSinAlpha, dCosAlpha, 0;
0, 0, 1];
dQ=[ dRt, zeros([3,3]);
zeros([3,3]), dRt];
dk=dQ'*dk*dQ;
df=dQ'*df;
%Assemblaggio della matrice dk e del vettore df
nv=nIncGdl(ne,:); %Vettore dei gdl relativi ai nodi dell'asta analizzata
dK(nv,nv)=dK(nv,nv)+dk;
dF(nv,1)=dF(nv,1)+df;
end
%%%%%%%%%%%%%%% Risoluzione del sistema lineare %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Partizione matrici e vettori con riferimento ai gdl liberi e a quelli da vinvolare
dKll=dK(nUl,nUl);
dKlv=dK(nUl,nUv);
dKvl=dK(nUv,nUl);
dKvv=dK(nUv,nUv);
dFl=dF(nUl,1);
dFv=dF(nUv,1);
dUl=dKll\(dFl-dKlv*dUv);
dSv=dKvl*dUl+dKvv*dUv-dFv;
% Riposizionamento di U e S
dU=zeros([nGdlTot,1]);
dU(nUl,1)=dUl;
dU(nUv,1)=dUv;
dU
dS=zeros([nGdlTot,1]);
dS(nUv,1)=dSv;
dS
%%%%%%%%%%%%%%% Determinazione delle Azioni interne %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
dNTM=zeros([6,nAste]);
for ne=1:nAste
nA=nIncNodi(ne,1); %nA=numero del primo nodo dell'asta
nB=nIncNodi(ne,2); %nB=numero del secondo nodo dell'asta
dXYA=dXY(nA,:); %dXYA=coordinate del primo nodo dell'asta
dXYB=dXY(nB,:); %dXYB=coordinate del secondo nodo dell'asta
dL=norm(dXYB-dXYA); %dL=lunghezza dell'asta
dEAn=dEAI(ne,1); %Rigidezza assiale dell'asta analizzata (numero "ne")
dEIn=dEAI(ne,2); %Rigidezza flessionale dell'asta analizzata (numero "ne")
%Matrice di rigidezza della trave analizzata
dk=[ dEAn/dL, 0, 0, -dEAn/dL, 0, 0;
0, 12*dEIn/dL^3, 6*dEIn/dL^2, 0, -12*dEIn/dL^3, 6*dEIn/dL^2;
0, 6*dEIn/dL^2, 4*dEIn/dL, 0, -6*dEIn/dL^2, 2*dEIn/dL;
-dEAn/dL, 0, 0, dEAn/dL, 0, 0;
0, -12*dEIn/dL^3, -6*dEIn/dL^2, 0, 12*dEIn/dL^3, -6*dEIn/dL^2;
0, 6*dEIn/dL^2, 2*dEIn/dL, 0, -6*dEIn/dL^2, 4*dEIn/dL];
df=zeros([6,1]);
dp=dpqm(ne,1);
dq=dpqm(ne,2);
dm=dpqm(ne,3);
df=[dp*dL/2, dq*dL/2-dm, dq*dL^2/12, dp*dL/2, dq*dL/2+dm, -dq*dL^2/12]';
%Matrice di rotazione per l'elemento finito di trave
de=(dXYB-dXYA)/dL; %Versore assiale
dCosAlpha=de(1);
dSinAlpha=de(2);
dRt=[ dCosAlpha, dSinAlpha, 0;
-dSinAlpha, dCosAlpha, 0;
0, 0, 1];
dQ=[ dRt, zeros([3,3]);
zeros([3,3]), dRt];
nv=nIncGdl(ne,:); %Vettore dei gdl relativi ai nodi dell'asta analizzata
dUab=dU(nv,1); %Spostamenti relativi ai nodi dell'asta analizzata (sistema globale)
dUab=dQ*dUab; %Spostamenti relativi ai nodi dell'asta analizzata (sistema locale)
dNTM(:,ne)=dk*dUab-df; %Azioni di estremita' nell'asta analizzata
dNTM([1,3,5],ne)=-dNTM([1,3,5],ne);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FINE ELABORAZIONE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% RAPPRESENTAZIONE GRAFICA %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Definizione della finestra
figure(1)
clf
hold on
dXmin=min(dXY(:,1));
dXmax=max(dXY(:,1));
dYmin=min(dXY(:,2));
dYmax=max(dXY(:,2));
maxdeltaX=dXmax-dXmin;
maxdeltaY=dYmax-dYmin;
if (maxdeltaY==0)
maxdeltaY=maxdeltaX;
elseif (maxdeltaX==0)
maxdeltaX=maxdeltaY;
end
dmax=max([maxdeltaX, maxdeltaY]); % dimensione massima (X o Y) della struttura
axis([dXmin-maxdeltaX/5, dXmax+maxdeltaX/5, dYmin-maxdeltaY/5, dYmax+maxdeltaY/5]);
axis equal
% Configurazione iniziale
for n=1:nAste
nA=nIncNodi(n,1);
nB=nIncNodi(n,2);
dXYA=dXY(nA,:);
dXYB=dXY(nB,:);
dLn=norm(dXYB-dXYA);
plot([dXYA(1),dXYB(1)],[dXYA(2),dXYB(2)],'b-')
text((dXYA(1)+dXYB(1))/2,(dXYA(2)+dXYB(2))/2-(dLn/20),sprintf('%d',n),'color',[0,0,1]);
end
for nn=1:nNodi
dXYnn=dXY(nn,:);
plot([dXYnn(1)-dmax/100,dXYnn(1)+dmax/100],[dXYnn(2),dXYnn(2)],'k-')
plot([dXYnn(1),dXYnn(1)],[dXYnn(2)-dmax/100,dXYnn(2)+dmax/100],'k-')
text(dXYnn(1)+dmax/30,dXYnn(2)+dmax/30,sprintf('%d',nn))
end
% Configurazione deformata
dUmax=0;
ds=[0:.01:1];
for n=1:nAste
nA=nIncNodi(n,1);
nB=nIncNodi(n,2);
dXYA=dXY(nA,:);
dXYB=dXY(nB,:);
dLn=norm(dXYB-dXYA);
dcosAlpha=(dXYB(1)-dXYA(1))/dLn;
dsinAlpha=(dXYB(2)-dXYA(2))/dLn;
dRt=[ dcosAlpha, dsinAlpha;
-dsinAlpha, dcosAlpha];
dEAn=dEAI(n,1);
dEIn=dEAI(n,2);
dUnXY=dU(nIncGdl(n,:),1);
dUn=dUnXY;
dUn([1,2],1)=dRt*dUnXY([1,2],1);
dUn([4,5],1)=dRt*dUnXY([4,5],1);
dq=dpqm(n,2);
dUmax=max([dUmax,abs([(1-3*ds.^2+2*ds.^3)*dUn(2,1)+dLn*(ds-2*ds.^2+ds.^3)*dUn(3,1)+(3*ds.^2-2*ds.^3)*dUn(5,1)+dLn*(-ds.^2+ds.^3)*dUn(6,1)]+dq/dEIn/24*dLn^4*((1-ds).^2).*(ds.^2))]);
end
dUmax
if (dUmax>0)
dAmplificazione=(dmax/10)/dUmax; % Lo spostamento massimo verra' rappresentato come dmax/10
else
dAmplificazione=1;
end
ds=[0:.01:1];
for n=1:nAste
nA=nIncNodi(n,1);
nB=nIncNodi(n,2);
dXYA=dXY(nA,:);
dXYB=dXY(nB,:);
dLn=norm(dXYB-dXYA);
dcosAlpha=(dXYB(1)-dXYA(1))/dLn;
dsinAlpha=(dXYB(2)-dXYA(2))/dLn;
dRt=[ dcosAlpha, dsinAlpha;
-dsinAlpha, dcosAlpha];
dEAn=dEAI(n,1);
dEIn=dEAI(n,2);
dUnXY=dU(nIncGdl(n,:),1);
dUn=dUnXY;
dUn([1,2],1)=dRt*dUnXY([1,2],1);
dUn([4,5],1)=dRt*dUnXY([4,5],1);
dXYd=[(1-ds)*dXYA(1)+ds*dXYB(1);
(1-ds)*dXYA(2)+ds*dXYB(2)];
dq=dpqm(n,2);
dXYd=dXYd+dAmplificazione*dRt'*[(1-ds)*dUn(1,1)+ds*dUn(4,1)+(dp/dEAn/2*dLn^2)*ds.*(1-ds);
[(1-3*ds.^2+2*ds.^3)*dUn(2,1)+dLn*(ds-2*ds.^2+ds.^3)*dUn(3,1)+(3*ds.^2-2*ds.^3)*dUn(5,1)+dLn*(-ds.^2+ds.^3)*dUn(6,1)]+dq/dEIn/24*dLn^4*((1-ds).^2).*(ds.^2)];
plot(dXYd(1,:),dXYd(2,:),'r-')
end
% Rappresentazione azioni interne (azioni assiali) sulla configurazione iniziale
% Definizione della finestra
figure(2)
clf
hold on
axis([dXmin-maxdeltaX/5, dXmax+maxdeltaX/5, dYmin-maxdeltaY/5, dYmax+maxdeltaY/5]);
axis equal
dNmax=max(abs([dNTM(1,:),dNTM(4,:)]));
if (dNmax>0)
dNAmplificazione=(dmax/10)/dNmax; % Il diagramma verra' rappresentato con ordinate massime pari a dmax/10
else
dNAmplificazione=1;
end
title('Azione assiale')
for n=1:nAste
nA=nIncNodi(n,1);
nB=nIncNodi(n,2);
dXYA=dXY(nA,:);
dXYB=dXY(nB,:);
dLn=norm(dXYB-dXYA);
dcosAlpha=(dXYB(1)-dXYA(1))/dLn;
dsinAlpha=(dXYB(2)-dXYA(2))/dLn;
plot([dXYA(1),dXYB(1)],[dXYA(2),dXYB(2)],'k-')
fill([dXYB(1), dXYA(1), dXYA(1)+dNAmplificazione*dNTM(1,n)*dsinAlpha, dXYB(1)+dNAmplificazione*dNTM(4,n)*dsinAlpha, dXYB(1)],...
[dXYB(2), dXYA(2), dXYA(2)-dNAmplificazione*dNTM(1,n)*dcosAlpha, dXYB(2)-dNAmplificazione*dNTM(4,n)*dcosAlpha, dXYB(2)],'r-')
end
for n=1:nAste
nA=nIncNodi(n,1);
nB=nIncNodi(n,2);
dXYA=dXY(nA,:);
dXYB=dXY(nB,:);
dLn=norm(dXYB-dXYA);
dcosAlpha=(dXYB(1)-dXYA(1))/dLn;
dsinAlpha=(dXYB(2)-dXYA(2))/dLn;
if (dNTM(1,n)>=0)
text(dXYA(1)+(dXYB(1)-dXYA(1))*.1-(dLn/20)*dsinAlpha,dXYA(2)+(dXYB(2)-dXYA(2))*.1+(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(1,n)))
else
text(dXYA(1)+(dXYB(1)-dXYA(1))*.1+(dLn/20)*dsinAlpha,dXYA(2)+(dXYB(2)-dXYA(2))*.1-(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(1,n)))
end
if (dNTM(4,n)>=0)
text(dXYB(1)-(dXYB(1)-dXYA(1))*.1-(dLn/20)*dsinAlpha,dXYB(2)-(dXYB(2)-dXYA(2))*.1+(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(4,n)))
else
text(dXYB(1)-(dXYB(1)-dXYA(1))*.1+(dLn/20)*dsinAlpha,dXYB(2)-(dXYB(2)-dXYA(2))*.1-(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(4,n)))
end
end
figure(3)
clf
hold on
axis([dXmin-maxdeltaX/5, dXmax+maxdeltaX/5, dYmin-maxdeltaY/5, dYmax+maxdeltaY/5]);
axis equal
dTmax=max(abs([dNTM(2,:),dNTM(5,:)]));
if (dTmax>0)
dTAmplificazione=(dmax/10)/dTmax; % Il diagramma verra' rappresentato con ordinate massime pari a dmax/10
else
dTAmplificazione=1;
end
title('Azione di taglio')
for n=1:nAste
nA=nIncNodi(n,1);
nB=nIncNodi(n,2);
dXYA=dXY(nA,:);
dXYB=dXY(nB,:);
dLn=norm(dXYB-dXYA);
dcosAlpha=(dXYB(1)-dXYA(1))/dLn;
dsinAlpha=(dXYB(2)-dXYA(2))/dLn;
plot([dXYA(1),dXYB(1)],[dXYA(2),dXYB(2)],'k-')
fill([dXYB(1), dXYA(1), dXYA(1)+dTAmplificazione*dNTM(2,n)*dsinAlpha, dXYB(1)+dTAmplificazione*dNTM(5,n)*dsinAlpha, dXYB(1)],...
[dXYB(2), dXYA(2), dXYA(2)-dTAmplificazione*dNTM(2,n)*dcosAlpha, dXYB(2)-dTAmplificazione*dNTM(5,n)*dcosAlpha, dXYB(2)],'r-')
end
for n=1:nAste
nA=nIncNodi(n,1);
nB=nIncNodi(n,2);
dXYA=dXY(nA,:);
dXYB=dXY(nB,:);
dLn=norm(dXYB-dXYA);
dcosAlpha=(dXYB(1)-dXYA(1))/dLn;
dsinAlpha=(dXYB(2)-dXYA(2))/dLn;
if (dNTM(2,n)>=0)
text(dXYA(1)+(dXYB(1)-dXYA(1))*.1-(dLn/20)*dsinAlpha,dXYA(2)+(dXYB(2)-dXYA(2))*.1+(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(2,n)))
else
text(dXYA(1)+(dXYB(1)-dXYA(1))*.1+(dLn/20)*dsinAlpha,dXYA(2)+(dXYB(2)-dXYA(2))*.1-(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(2,n)))
end
if (dNTM(5,n)>=0)
text(dXYB(1)-(dXYB(1)-dXYA(1))*.1-(dLn/20)*dsinAlpha,dXYB(2)-(dXYB(2)-dXYA(2))*.1+(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(5,n)))
else
text(dXYB(1)-(dXYB(1)-dXYA(1))*.1+(dLn/20)*dsinAlpha,dXYB(2)-(dXYB(2)-dXYA(2))*.1-(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(5,n)))
end
end
figure(4)
clf
hold on
axis([dXmin-maxdeltaX/5, dXmax+maxdeltaX/5, dYmin-maxdeltaY/5, dYmax+maxdeltaY/5]);
axis equal
dMmax=0;
for n=1:nAste
if (dNTM(2,n)*dNTM(5,n)<0)
dq=dpqm(n,2);
dMmax=max([dMmax,abs([dNTM(3,n),dNTM(6,n),dNTM(3,n)-dNTM(2,n)^2/2/dq])]);
else
dMmax=max([dMmax,abs([dNTM(3,n),dNTM(6,n)])]);
end
end
if (dMmax>0)
dMAmplificazione=(dmax/10)/dMmax; % Il diagramma verra' rappresentato con ordinate massime pari a dmax/10
else
dMAmplificazione=1;
end
title('Momento flettente')
for n=1:nAste
nA=nIncNodi(n,1);
nB=nIncNodi(n,2);
dXYA=dXY(nA,:);
dXYB=dXY(nB,:);
dLn=norm(dXYB-dXYA);
dcosAlpha=(dXYB(1)-dXYA(1))/dLn;
dsinAlpha=(dXYB(2)-dXYA(2))/dLn;
plot([dXYA(1),dXYB(1)],[dXYA(2),dXYB(2)],'k-')
dq=dpqm(n,2);
fill([dXYB(1), dXYA(1), dXYA(1)+[0:.01:1]*(dXYB(1)-dXYA(1))+dMAmplificazione*[dNTM(3,n)+dNTM(2,n)*[0:.01:1]*dLn+dq/2*([0:.01:1]*dLn).^2]*dsinAlpha, dXYB(1)],...
[dXYB(2), dXYA(2), dXYA(2)+[0:.01:1]*(dXYB(2)-dXYA(2))-dMAmplificazione*[dNTM(3,n)+dNTM(2,n)*[0:.01:1]*dLn+dq/2*([0:.01:1]*dLn).^2]*dcosAlpha, dXYB(2)],'r-')
end
for n=1:nAste
nA=nIncNodi(n,1);
nB=nIncNodi(n,2);
dXYA=dXY(nA,:);
dXYB=dXY(nB,:);
dLn=norm(dXYB-dXYA);
dcosAlpha=(dXYB(1)-dXYA(1))/dLn;
dsinAlpha=(dXYB(2)-dXYA(2))/dLn;
if (dNTM(3,n)>=0)
text(dXYA(1)+(dXYB(1)-dXYA(1))*.1-(dLn/20)*dsinAlpha,dXYA(2)+(dXYB(2)-dXYA(2))*.1+(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(3,n)))
else
text(dXYA(1)+(dXYB(1)-dXYA(1))*.1+(dLn/20)*dsinAlpha,dXYA(2)+(dXYB(2)-dXYA(2))*.1-(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(3,n)))
end
if (dNTM(6,n)>=0)
text(dXYB(1)-(dXYB(1)-dXYA(1))*.1-(dLn/20)*dsinAlpha,dXYB(2)-(dXYB(2)-dXYA(2))*.1+(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(6,n)))
else
text(dXYB(1)-(dXYB(1)-dXYA(1))*.1+(dLn/20)*dsinAlpha,dXYB(2)-(dXYB(2)-dXYA(2))*.1-(dLn/20)*dcosAlpha,sprintf('%g',dNTM(6,n)))
end
end