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{-# OPTIONS --rewriting --prop #-}
open import common
{- PathOver -}
-- Proof-irrelevant PathOver, over a proof-irrelevant equalities
data PathOver {l l'} {A : Set l} (B : A → Set l') {a : A} : {a' : A} (p : a ≡ a') → B a → B a' → Prop (l ⊔ l') where
reflo : {u : B a} → PathOver B refl u u
uncurrify : ∀ {l} {l'} {l''} {A : Set l} {B : A → Prop l''} (C : (x : A) → B x → Set l') → ΣS A B → Set l'
uncurrify C (a , b) = C a b
{- Equivalence relations -}
record EquivRel (A : Set) : Set₁ where
field
_≃_ : A → A → Prop
ref : (a : A) → a ≃ a
sym : {a b : A} → a ≃ b → b ≃ a
tra : {a b c : A} → a ≃ b → b ≃ c → a ≃ c
open EquivRel {{…}} public
{- Quotients -}
postulate
_//_ : (A : Set) (R : EquivRel A) → Set
module _ {A : Set} {R : EquivRel A} where
instance
_ = R
postulate
{- Introduction rules -}
proj : A → A // R
eq : {a b : A} (r : a ≃ b) → proj a ≡ proj b
{- Dependent elimination rule -}
//-elim' : ∀ {l} {B : A // R → Set l} (proj* : (a : A) → B (proj a)) (eq* : {a b : A} (r : a ≃ b) → PathOver B (eq r) (proj* a) (proj* b))
→ (x : A // R) → B x
{- Reduction rule -}
//-beta : ∀ {l} {B : A // R → Set l} {proj* : (a : A) → B (proj a)} {eq* : {a b : A} (r : a ≃ b) → PathOver B (eq r) (proj* a) (proj* b)} {a : A}
→ //-elim' proj* eq* (proj a) ↦ proj* a
{-# REWRITE //-beta #-}
//-elim : ∀ {l} {B : A // R → Set l} (proj* : (a : A) → B (proj a)) (eq* : {a b : A} (r : a ≃ b) → PathOver B (eq r) (proj* a) (proj* b))
→ (x : A // R) → B x
//-elim proj* eq* = //-elim' proj* eq*
{- Lemmas about PathOver -}
abstract
PathOver-refl-to : ∀ {l l'} {A : Set l} {B : A → Set l'} {a : A} {u u' : B a}
→ u ≡ u'
→ PathOver B refl u u'
PathOver-refl-to refl = reflo
PathOver-refl-from : ∀ {l l'} {A : Set l} {B : A → Set l'} {a : A} {u u' : B a}
→ PathOver B refl u u'
→ u ≡ u'
PathOver-refl-from reflo = refl
PathOver-Box : ∀ {l l'} {A : Set l} (B : A → Prop l') {a a' : A} (p : a ≡ a') (u : Box (B a)) (u' : Box (B a')) → PathOver (λ x → Box (B x)) p u u'
PathOver-Box B refl u u' = reflo
PathOver-Cst : ∀ {l l'} {A : Set l} {B : Set l'} {a a' : A} {p : a ≡ a'} {u v : B}
→ u ≡ v → PathOver (λ _ → B) p u v
PathOver-Cst {p = refl} refl = reflo
PathOver-Prop→ : ∀ {l l' l''} {A : Set l} {B : A → Prop l'} {C : A → Set l''}
{a a' : A} {p : a ≡ a'} {u : B a → C a} {u' : B a' → C a'}
→ ((y : B a) (y' : B a') → PathOver C p (u y) (u' y'))
→ PathOver (λ x → (B x → C x)) p u u'
PathOver-Prop→ {p = refl} f = PathOver-refl-to (funextP λ x → PathOver-refl-from (f x x))
PathOver-Prop→Cst : ∀ {l l' l''} {A : Set l} {B : A → Prop l'} {C : Set l''}
{a a' : A} {p : a ≡ a'} {u : B a → C} {u' : B a' → C}
→ ((y : B a) (y' : B a') → u y ≡ u' y')
→ PathOver (λ x → (B x → C)) p u u'
PathOver-Prop→Cst {p = refl} f = PathOver-refl-to (funextP λ x → f x x)
PathOver-CstPi : ∀ {l l' l''} {A : Set l} {B : Set l'} {C : A → B → Set l''}
{a a' : A} {p : a ≡ a'} {u : (b : B) → C a b} {u' : (b : B) → C a' b}
→ ((y : B) → PathOver (λ x → C x y) p (u y) (u' y))
→ PathOver (λ x → ((y : B) → C x y)) p u u'
PathOver-CstPi {p = refl} f = PathOver-refl-to (funext (λ y → PathOver-refl-from (f y)))
PathOver-CstPropPi : ∀ {l l' l''} {A : Set l} {B : Prop l'} {C : A → B → Set l''}
{a a' : A} {p : a ≡ a'} {u : (b : B) → C a b} {u' : (b : B) → C a' b}
→ ((y : B) → PathOver (λ x → C x y) p (u y) (u' y))
→ PathOver (λ x → ((y : B) → C x y)) p u u'
PathOver-CstPropPi {p = refl} f = PathOver-refl-to (funextP (λ y → PathOver-refl-from (f y)))
PathOver-PropPi : ∀ {l l' l''} {A : Set l} {B : A → Prop l'} {C : (a : A) → B a → Set l''}
{a a' : A} {p : a ≡ a'} {u : (b : B a) → C a b} {u' : (b' : B a') → C a' b'}
→ ((y : B a) (y' : B a') → PathOver (uncurrify C) (Σ= {b = y} {b' = y'} p) (u y) (u' y'))
→ PathOver (λ x → ((y : B x) → C x y)) p u u'
PathOver-PropPi {p = refl} f = PathOver-refl-to (funextP (λ x → PathOver-refl-from (f x x)))
PathOver-out : ∀ {l l'} {A : Set l} {B : A → Set l'} {a a' : A} {p : a ≡ a'} {u : B a} {u' : B a'}
→ PathOver B p u u' → PathOver (λ X → X) (ap B p) u u'
PathOver-out reflo = reflo
PathOver-in : ∀ {l l'} {A : Set l} {B : A → Set l'} {a a' : A} {p : a ≡ a'} {u : B a} {u' : B a'}
→ PathOver (λ X → X) (ap B p) u u' → PathOver B p u u'
PathOver-in {p = refl} reflo = reflo
{- Elimination rules that we actually use (most of the time) -}
module _ {A : Set} {R : EquivRel A} where
private
instance
_ = R
-- Non-dependent elimination
//-rec : ∀ {l} {B : Set l} (proj* : A → B) (eq* : {a b : A} (r : a ≃ b) → proj* a ≡ proj* b) → A // R → B
//-rec proj* eq* = //-elim proj* (λ r → PathOver-Cst (eq* r))
-- Dependent elimination into a Prop
//-elimP : ∀ {l} {B : A // R → Prop l} (proj* : (a : A) → B (proj a)) → (x : A // R) → B x
//-elimP {B = B} proj* x = unbox (//-elim {B = λ x → Box (B x)} (λ a → box (proj* a)) (λ r → PathOver-Box (λ z → B z) (eq r) (box (proj* _)) (box (proj* _))) x)
-- Dependent elimination in a dependent type of the form x.((y : B) → C x y) with B a Set
//-elim-PiS : ∀ {l l'} {B : Set l} {C : A // R → B → Set l'} (proj* : (a : A) (b : B) → C (proj a) b) (eq* : {a b : A} (r : a ≃ b) (y : B) → PathOver (λ x → C x y) (eq r) (proj* a y) (proj* b y)) → (x : A // R) → (y : B) → C x y
//-elim-PiS proj* eq* = //-elim proj* (λ r → PathOver-CstPi (eq* r))
-- Dependent elimination in a dependent type of the form x.(B x → C) with B a Prop
//-elim-PiP : ∀ {l l'} {B : A // R → Prop l} {C : Set l'} (proj* : (a : A) (b : B (proj a)) → C) (eq* : {a a' : A} (r : a ≃ a') (y : B (proj a)) (y' : B (proj a')) → proj* a y ≡ proj* a' y') → (x : A // R) → (y : B x) → C
//-elim-PiP proj* eq* = //-elim proj* (λ r → PathOver-Prop→Cst (eq* r))
-- Dependent elimination in a dependent type of the form x.(B x → C x) with B a Prop
//-elim-PiP2 : ∀ {l l'} {B : A // R → Prop l} {C : A // R → Set l'} (proj* : (a : A) (b : B (proj a)) → C (proj a)) (eq* : {a a' : A} (r : a ≃ a') (y : B (proj a)) (y' : B (proj a')) → PathOver C (eq r) (proj* a y) (proj* a' y')) → (x : A // R) → (y : B x) → C x
//-elim-PiP2 proj* eq* = //-elim proj* (λ r → PathOver-Prop→ (eq* r))
//-elimP-PiP : ∀ {l l'} {X : Set l} {B : A // R → X → Prop l} {x₀ x₁ : X} {p : x₀ ≡ x₁} {C : Set l'} {u : (x : A // R) → B x x₀ → C} {v : (x : A // R) → B x x₁ → C}
(proj* : (a : A) (y : B (proj a) x₀) (y' : B (proj a) x₁) → u (proj a) y ≡ v (proj a) y')
→ (x : A // R) → PathOver (λ y → (B x y → C)) p (u x) (v x)
//-elimP-PiP proj* = //-elimP (λ a → PathOver-Prop→Cst (proj* a))
-- Dependent elimination in a dependent type of the form x.((y : B x) → C x y) with B a Prop
//-elim-PiP3 : ∀ {l l'} {B : A // R → Prop l} {C : (x : A // R) → B x → Set l'} (proj* : (a : A) (b : B (proj a)) → C (proj a) b) (eq* : {a a' : A} (r : a ≃ a') (y : B (proj a)) (y' : B (proj a')) → PathOver (uncurrify C) (Σ= (eq r)) (proj* a y) (proj* a' y')) → (x : A // R) → (y : B x) → C x y
//-elim-PiP3 proj* eq* = //-elim proj* (λ r → PathOver-PropPi (eq* r))
{- Effectiveness of quotients, this uses propositional extensionality -}
module _ {A : Set} {R : EquivRel A} where
private
instance
_ = R
-- The "Codes" fibration
_≃'_ : (a : A) (c : A // R) → Prop
_≃'_ a = //-rec (λ b → a ≃ b) (λ r → prop-ext (λ z → tra {A = A} z r) (λ z → tra {A = A} z (sym {A = A} r)))
abstract
reflect' : {a : A} (c : A // R) → proj a ≡ c → a ≃' c
reflect' {a} c refl = ref a
reflect : {a b : A} → proj {R = R} a ≡ proj b → a ≃ b
reflect {b = b} p = reflect' (proj b) p