数组双指针内容优化

Contents/01.Array/04.Array-Two-Pointers/01.Array-Two-Pointers.md

@@ -6,13 +6,15 @@
 
 ## 2. 对撞指针
 
-> **对撞指针**：指的是两个指针 `left`、`right` 分别指向序列第一个元素和最后一个元素，然后 `left` 指针不断递增，`right` 不断递减，直到两个指针的值相撞（即 `left == right`），或者满足其他要求的特殊条件为止。
+> **对撞指针**：指的是两个指针 $left$、$right$ 分别指向序列第一个元素和最后一个元素，然后 $left$ 指针不断递增，$right$ 不断递减，直到两个指针的值相撞（即 $left == right$），或者满足其他要求的特殊条件为止。
+
+![对撞指针](https://qcdn.itcharge.cn/images/20230906165407.png)
 
 ### 2.1 对撞指针求解步骤
 
-1. 使用两个指针 `left`，`right`。`left` 指向序列第一个元素，即：`left = 0`，`right` 指向序列最后一个元素，即：`right = len(nums) - 1`。
-2. 在循环体中将左右指针相向移动，当满足一定条件时，将左指针右移，`left += 1`。当满足另外一定条件时，将右指针左移，`right -= 1`。
-3. 直到两指针相撞（即 `left == right`），或者满足其他要求的特殊条件时，跳出循环体。
+1. 使用两个指针 $left$，$right$。$left$ 指向序列第一个元素，即：$left = 0$，$right$ 指向序列最后一个元素，即：$right = len(nums) - 1$。
+2. 在循环体中将左右指针相向移动，当满足一定条件时，将左指针右移，$left += 1$。当满足另外一定条件时，将右指针左移，$right -= 1$。
+3. 直到两指针相撞（即 $left == right$），或者满足其他要求的特殊条件时，跳出循环体。
 
 ### 2.2 对撞指针伪代码模板
 
@@ -47,9 +49,9 @@ return 没找到 或 找到对应值
 
 #### 2.4.2 题目大意
 
-**描述**：给定一个下标从 `1` 开始计数、升序排列的整数数组：`numbers` 和一个目标值 `target`。
+**描述**：给定一个下标从 $1$ 开始计数、升序排列的整数数组：$numbers$ 和一个目标值 $target$。
 
-**要求**：从数组中找出满足相加之和等于 `target` 的两个数，并返回两个数在数组中下的标值。
+**要求**：从数组中找出满足相加之和等于 $target$ 的两个数，并返回两个数在数组中下的标值。
 
 **说明**：
 
@@ -61,20 +63,25 @@ return 没找到 或 找到对应值
 
 **示例**：
 
+- 示例 1：
+
 ```python
 输入：numbers = [2,7,11,15], target = 9
 输出：[1,2]
 解释：2 与 7 之和等于目标数 9 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。
+```
 
+- 示例 2：
 
+```python
 输入：numbers = [2,3,4], target = 6
 输出：[1,3]
 解释：2 与 4 之和等于目标数 6 。因此 index1 = 1, index2 = 3 。返回 [1, 3] 。
 ```
 
 #### 2.4.3 解题思路
 
-这道题如果暴力遍历数组，从中找到相加之和等于 `target` 的两个数，时间复杂度为 $O(n^2)$，可以尝试一下。
+这道题如果暴力遍历数组，从中找到相加之和等于 $target$ 的两个数，时间复杂度为 $O(n^2)$，可以尝试一下。
 
 ```python
 class Solution:
@@ -93,13 +100,13 @@ class Solution:
 
 可以考虑使用对撞指针来减少时间复杂度。具体做法如下：
 
-1. 使用两个指针 `left`，`right`。`left` 指向数组第一个值最小的元素位置，`right` 指向数组值最大元素位置。
+1. 使用两个指针 $left$，$right$。$left$ 指向数组第一个值最小的元素位置，$right$ 指向数组值最大元素位置。
 2. 判断两个位置上的元素的和与目标值的关系。
    1. 如果元素和等于目标值，则返回两个元素位置。
-   2. 如果元素和大于目标值，则让 `right` 左移，继续检测。
-   3. 如果元素和小于目标值，则让 `left` 右移，继续检测。
-3. 直到 `left` 和 `right` 移动到相同位置停止检测。
-4. 如果最终仍没找到，则返回 `[-1, -1]`。
+   2. 如果元素和大于目标值，则让 $right$ 左移，继续检测。
+   3. 如果元素和小于目标值，则让 $left$ 右移，继续检测。
+3. 直到 $left$ 和 $right$ 移动到相同位置停止检测。
+4. 如果最终仍没找到，则返回 $[-1, -1]$。
 
 ##### 思路 1：代码
 
@@ -132,15 +139,15 @@ class Solution:
 
 #### 2.5.2 题目大意
 
-**描述**：给定一个字符串 `s`。
+**描述**：给定一个字符串 $s$。
 
 **要求**：判断是否为回文串（只考虑字符串中的字母和数字字符，并且忽略字母的大小写）。
 
 **说明**：
 
 - 回文串：正着读和反着读都一样的字符串。
 - $1 \le s.length \le 2 * 10^5$。
-- `s` 仅由可打印的 ASCII 字符组成。
+- $s$ 仅由可打印的 ASCII 字符组成。
 
 **示例**：
 
@@ -159,12 +166,12 @@ class Solution:
 
 ##### 思路 1：对撞指针
 
-1. 使用两个指针 `left`，`right`。`left` 指向字符串开始位置，`right` 指向字符串结束位置。
-2. 判断两个指针对应字符是否是字母或数字。 通过 `left` 右移、`right` 左移的方式过滤掉字母和数字以外的字符。
-3. 然后判断 `s[start]` 是否和 `s[end]` 相等（注意大小写）。
-   1. 如果相等，则将 `left` 右移、`right` 左移，继续进行下一次过滤和判断。
-   2. 如果不相等，则说明不是回文串，直接返回 `False`。
-4. 如果遇到 `left == right`，跳出循环，则说明该字符串是回文串，返回 `True`。
+1. 使用两个指针 $left$，$right$。$left$ 指向字符串开始位置，$right$ 指向字符串结束位置。
+2. 判断两个指针对应字符是否是字母或数字。 通过 $left$ 右移、$right$ 左移的方式过滤掉字母和数字以外的字符。
+3. 然后判断 $s[start]$ 是否和 $s[end]$ 相等（注意大小写）。
+   1. 如果相等，则将 $left$ 右移、$right$ 左移，继续进行下一次过滤和判断。
+   2. 如果不相等，则说明不是回文串，直接返回 $False$。
+4. 如果遇到 $left == right$，跳出循环，则说明该字符串是回文串，返回 $True$。
 
 ##### 思路 1：代码
 
@@ -227,16 +234,16 @@ class Solution:
 
 ##### 思路 1：对撞指针
 
-从示例中可以看出，如果确定好左右两端的直线，容纳的水量是由 `左右两端直线中较低直线的高度 * 两端直线之间的距离 ` 所决定的。所以我们应该使得 **较低直线的高度尽可能的高**，这样才能使盛水面积尽可能的大。
+从示例中可以看出，如果确定好左右两端的直线，容纳的水量是由「左右两端直线中较低直线的高度 * 两端直线之间的距离」所决定的。所以我们应该使得「」，这样才能使盛水面积尽可能的大。
 
 可以使用对撞指针求解。移动较低直线所在的指针位置，从而得到不同的高度和面积，最终获取其中最大的面积。具体做法如下：
 
-1. 使用两个指针 `left`，`right`。`left` 指向数组开始位置，`right` 指向数组结束位置。
-2. 计算 `left` 和 `right` 所构成的面积值，同时维护更新最大面积值。
-3. 判断 `left` 和 `right` 的高度值大小。
-   1. 如果 `left` 指向的直线高度比较低，则将 `left` 指针右移。
-   2. 如果 `right` 指向的直线高度比较低，则将 `right` 指针左移。
-4. 如果遇到 `left == right`，跳出循环，最后返回最大的面积。
+1. 使用两个指针 $left$，$right$。$left$ 指向数组开始位置，$right$ 指向数组结束位置。
+2. 计算 $left$ 和 $right$ 所构成的面积值，同时维护更新最大面积值。
+3. 判断 $left$ 和 $right$ 的高度值大小。
+   1. 如果 $left$ 指向的直线高度比较低，则将 $left$ 指针右移。
+   2. 如果 $right$ 指向的直线高度比较低，则将 $right$ 指针左移。
+4. 如果遇到 $left == right$，跳出循环，最后返回最大的面积。
 
 ##### 思路 1：代码
 
@@ -265,11 +272,13 @@ class Solution:
 
 > **快慢指针**：指的是两个指针从同一侧开始遍历序列，且移动的步长一个快一个慢。移动快的指针被称为 「快指针（fast）」，移动慢的指针被称为「慢指针（slow）」。两个指针以不同速度、不同策略移动，直到快指针移动到数组尾端，或者两指针相交，或者满足其他特殊条件时为止。
 
+![快慢指针](https://qcdn.itcharge.cn/images/20230906173808.png)
+
 ### 3.1 快慢指针求解步骤
 
-1. 使用两个指针 `slow`、`fast`。`slow` 一般指向序列第一个元素，即：`slow = 0`，`fast` 一般指向序列第二个元素，即：`fast = 1`。
-2. 在循环体中将左右指针向右移动。当满足一定条件时，将慢指针右移，即 `slow += 1`。当满足另外一定条件时（也可能不需要满足条件），将快指针右移，即 `fast += 1`。
-3. 到快指针移动到数组尾端（即 `fast == len(nums) - 1`），或者两指针相交，或者满足其他特殊条件时跳出循环体。
+1. 使用两个指针 $slow$、$fast$。$slow$ 一般指向序列第一个元素，即：$slow = 0$，$fast$ 一般指向序列第二个元素，即：$fast = 1$。
+2. 在循环体中将左右指针向右移动。当满足一定条件时，将慢指针右移，即 $slow += 1$。当满足另外一定条件时（也可能不需要满足条件），将快指针右移，即 $fast += 1$。
+3. 到快指针移动到数组尾端（即 $fast == len(nums) - 1$），或者两指针相交，或者满足其他特殊条件时跳出循环体。
 
 ### 3.2 快慢指针伪代码模板
 
@@ -297,22 +306,27 @@ return 合适的值
 
 #### 3.4.2 题目大意
 
-**描述**：给定一个有序数组 `nums`。
+**描述**：给定一个有序数组 $nums$。
 
-**要求**：删除数组 `nums` 中的重复元素，使每个元素只出现一次。并输出去除重复元素之后数组的长度。
+**要求**：删除数组 $nums$ 中的重复元素，使每个元素只出现一次。并输出去除重复元素之后数组的长度。
 
 **说明**：
 
 - 不能使用额外的数组空间，在原地修改数组，并在使用 $O(1)$ 额外空间的条件下完成。
 
 **示例**：
 
+- 示例 1：
+
 ```python
 输入：nums = [1,1,2]
 输出：2, nums = [1,2,_]
 解释：函数应该返回新的长度 2 ，并且原数组 nums 的前两个元素被修改为 1, 2 。不需要考虑数组中超出新长度后面的元素。
+```
 
+- 示例 2：
 
+```python
 输入：nums = [0,0,1,1,1,2,2,3,3,4]
 输出：5, nums = [0,1,2,3,4]
 解释：函数应该返回新的长度 5 ， 并且原数组 nums 的前五个元素被修改为 0, 1, 2, 3, 4 。不需要考虑数组中超出新长度后面的元素。
@@ -326,13 +340,13 @@ return 合适的值
 
 删除重复元素，实际上就是将不重复的元素移到数组左侧。考虑使用双指针。具体算法如下：
 
-1. 定义两个快慢指针 `slow`，`fast`。其中 `slow` 指向去除重复元素后的数组的末尾位置。`fast` 指向当前元素。
-2. 令 `slow` 在后， `fast` 在前。令 `slow = 0`，`fast = 1`。
-3. 比较 `slow` 位置上元素值和 `fast` 位置上元素值是否相等。
-   - 如果不相等，则将 `slow` 右移一位，将 `fast` 指向位置的元素复制到 `slow` 位置上。
-4. 将 `fast` 右移 `1` 位。
-5. 重复上述 3 ~ 4 步，直到 `fast` 等于数组长度。
-6. 返回 `slow + 1` 即为新数组长度。
+1. 定义两个快慢指针 $slow$，$fast$。其中 $slow$ 指向去除重复元素后的数组的末尾位置。$fast$ 指向当前元素。
+2. 令 $slow$ 在后， $fast$ 在前。令 $slow = 0$，$fast = 1$。
+3. 比较 $slow$ 位置上元素值和 $fast$ 位置上元素值是否相等。
+   - 如果不相等，则将 $slow$ 右移一位，将 $fast$ 指向位置的元素复制到 $slow$ 位置上。
+4. 将 $fast$ 右移 $1$ 位。
+5. 重复上述 $3 \sim 4$ 步，直到 $fast$ 等于数组长度。
+6. 返回 $slow + 1$ 即为新数组长度。
 
 ##### 思路 1：代码
 
@@ -360,15 +374,17 @@ class Solution:
 
 ## 4. 分离双指针
 
-> **分离双指针**：两个指针分别属于不同的数组 / 链表，两个指针分别在两个数组 / 链表中移动。
+> **分离双指针**：两个指针分别属于不同的数组，两个指针分别在两个数组中移动。
+
+![分离双指针](https://qcdn.itcharge.cn/images/20230906180852.png)
 
 ### 4.1 分离双指针求解步骤
 
-1. 使用两个指针 `left_1`、`left_2`。`left_1` 指向第一个数组 / 链表的第一个元素，即：`left_1 = 0`，`left_2` 指向第二个数组 / 链表的第一个元素，即：`left_2 = 0`。
-2. 当满足一定条件时，两个指针同时右移，即 `left_1 += 1`、`left_2 += 1`。
-3. 当满足另外一定条件时，将 `left_1` 指针右移，即 `left_1 += 1`。
-4. 当满足其他一定条件时，将 `left_2` 指针右移，即 `left_2 += 1`。
-5. 当其中一个数组 / 链表遍历完时或者满足其他特殊条件时跳出循环体。
+1. 使用两个指针 $left\underline{}1$、$left\underline{}2$。$left\underline{}1$ 指向第一个数组的第一个元素，即：$left\underline{}1 = 0$，$left\underline{}2$ 指向第二个数组的第一个元素，即：$left\underline{}2 = 0$。
+2. 当满足一定条件时，两个指针同时右移，即 $left\underline{}1 += 1$、$left\underline{}2 += 1$。
+3. 当满足另外一定条件时，将 $left\underline{}1$ 指针右移，即 $left\underline{}1 += 1$。
+4. 当满足其他一定条件时，将 $left\underline{}2$ 指针右移，即 $left\underline{}2 += 1$。
+5. 当其中一个数组遍历完时或者满足其他特殊条件时跳出循环体。
 
 ### 4.2 分离双指针伪代码模板
 
@@ -400,7 +416,7 @@ while left_1 < len(nums1) and left_2 < len(nums2):
 
 #### 4.4.2 题目大意
 
-**描述**：给定两个数组 `nums1` 和 `nums2`。
+**描述**：给定两个数组 $nums1$ 和 $nums2$。
 
 **要求**：返回两个数组的交集。重复元素只计算一次。
 
@@ -411,11 +427,17 @@ while left_1 < len(nums1) and left_2 < len(nums2):
 
 **示例**：
 
+- 示例 1：
+
 ```python
 输入：nums1 = [1,2,2,1], nums2 = [2,2]
 输出：[2]
 示例 2：
+```
+
+- 示例 2：
 
+```python
 输入：nums1 = [4,9,5], nums2 = [9,4,9,8,4]
 输出：[9,4]
 解释：[4,9] 也是可通过的
@@ -425,12 +447,12 @@ while left_1 < len(nums1) and left_2 < len(nums2):
 
 ##### 思路 1：分离双指针
 
-1. 对数组 `nums1`、`nums2` 先排序。
-2. 使用两个指针 `left_1`、`left_2`。`left_1` 指向第一个数组的第一个元素，即：`left_1 = 0`，`left_2` 指向第二个数组的第一个元素，即：`left_2 = 0`。
-3. 如果 `nums1[left_1]` 等于 `nums2[left_2]`，则将其加入答案数组（注意去重），并将 `left_1` 和 `left_2` 右移。
-4. 如果 `nums1[left_1]` 小于 `nums2[left_2]`，则将 `left_1` 右移。
-5. 如果 `nums1[left_1]` 大于 `nums2[left_2]`，则将 `left_2` 右移。
-6. 最后输出答案数组。
+1. 对数组 $nums1$、$nums2$ 先排序。
+2. 使用两个指针 $left\underline{}1$、$left\underline{}2$。$left\underline{}1$ 指向第一个数组的第一个元素，即：$left\underline{}1 = 0$，$left\underline{}2$ 指向第二个数组的第一个元素，即：$left\underline{}2 = 0$。
+3. 如果 $nums1[left\underline{}1] == nums2[left\underline{}2]$，则将其加入答案数组（注意去重），并将 $left\underline{}1$ 和 $left\underline{}2$ 右移。
+4. 如果 $nums1[left\underline{}1] < nums2[left\underline{}2]$，则将 $left\underline{}1$ 右移。
+5. 如果 $nums1[left\underline{}1] > nums2[left\underline{}2]$，则将 $left\underline{}2$ 右移。
+6. 最后返回答案数组。
 
 ##### 思路 1：代码