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Imagen_inversa_de_la_imagen.lean
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Imagen_inversa_de_la_imagen.lean
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-- Imagen_inversa_de_la_imagen.lean
-- Imagen inversa de la imagen
-- José A. Alonso Jiménez
-- Sevilla, 7 de junio de 2021
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-- Demostrar que si s es un subconjunto del dominio de la función f,
-- entonces s está contenido en la [imagen inversa](https://bit.ly/3ckseBL)
-- de la [imagen de s por f](https://bit.ly/3x2Jxij); es decir,
-- s ⊆ f⁻¹[f[s]]
-- ----------------------------------------------------------------------
import data.set.basic
open set
variables {α : Type*} {β : Type*}
variable f : α → β
variable s : set α
-- 1ª demostración
-- ===============
example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) :=
begin
intros x xs,
apply mem_preimage.mpr,
apply mem_image_of_mem,
exact xs,
end
-- 2ª demostración
-- ===============
example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) :=
begin
intros x xs,
apply mem_image_of_mem,
exact xs,
end
-- 3ª demostración
-- ===============
example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) :=
λ x, mem_image_of_mem f
-- 4ª demostración
-- ===============
example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) :=
begin
intros x xs,
show f x ∈ f '' s,
use [x, xs],
end
-- 5ª demostración
-- ===============
example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) :=
begin
intros x xs,
use [x, xs],
end
-- 6ª demostración
-- ===============
example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) :=
subset_preimage_image f s