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Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas.lean
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Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas.lean
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-- Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas.lean
-- Las funciones de extracción no están acotadas
-- José A. Alonso Jiménez
-- Sevilla, 30 de agosto de 2021
-- ---------------------------------------------------------------------
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que
-- conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión
-- uₒ, u₂, u₄, u₆, ...
-- se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.
--
-- En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por
-- def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
-- ∀ n m, n < m → φ n < φ m
--
-- Demostrar que las funciones de extracción no está acotadas; es decir,
-- que si φ es una función de extracción, entonces
-- ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N
-- ---------------------------------------------------------------------
import tactic
open nat
variable {φ : ℕ → ℕ}
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
∀ n m, n < m → φ n < φ m
lemma aux
(h : extraccion φ)
: ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
intro n,
induction n with m HI,
{ exact nat.zero_le (φ 0), },
{ apply nat.succ_le_of_lt,
calc m ≤ φ m : HI
... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
-- 1ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
begin
intros N N',
let n := max N N',
use n,
split,
{ exact le_max_right N N', },
{ calc N ≤ n : le_max_left N N'
... ≤ φ n : aux h n, },
end
-- 2ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
begin
intros N N',
let n := max N N',
use n,
split,
{ exact le_max_right N N', },
{ exact le_trans (le_max_left N N')
(aux h n), },
end
-- 3ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
begin
intros N N',
use max N N',
split,
{ exact le_max_right N N', },
{ exact le_trans (le_max_left N N')
(aux h (max N N')), },
end
-- 4ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
begin
intros N N',
use max N N',
exact ⟨le_max_right N N',
le_trans (le_max_left N N')
(aux h (max N N'))⟩,
end
-- 5ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N',
⟨max N N', ⟨le_max_right N N',
le_trans (le_max_left N N')
(aux h (max N N'))⟩⟩
-- 6ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
let n := max N N' in
have h1 : n ≥ N',
from le_max_right N N',
show ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from
exists.intro n
(exists.intro h1
(show φ n ≥ N, from
calc N ≤ n : le_max_left N N'
... ≤ φ n : aux h n))
-- 7ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
let n := max N N' in
have h1 : n ≥ N',
from le_max_right N N',
show ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from
⟨n, h1, calc N ≤ n : le_max_left N N'
... ≤ φ n : aux h n⟩
-- 8ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
let n := max N N' in
have h1 : n ≥ N',
from le_max_right N N',
show ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from
⟨n, h1, le_trans (le_max_left N N')
(aux h (max N N'))⟩
-- 9ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
let n := max N N' in
have h1 : n ≥ N',
from le_max_right N N',
⟨n, h1, le_trans (le_max_left N N')
(aux h n)⟩
-- 10ª demostración
example
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
assume N N',
⟨max N N', le_max_right N N',
le_trans (le_max_left N N')
(aux h (max N N'))⟩
-- 11ª demostración
lemma extraccion_mye
(h : extraccion φ)
: ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N',
⟨max N N', le_max_right N N',
le_trans (le_max_left N N')
(aux h (max N N'))⟩