数列求和与级数

等差数列

等差数列是指相邻二项之差为固定值(公差d)的数列，也就是

$\mathrm{a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

也可以写作

$\mathrm{a_{n}=b+nd}$

性质

对于等差数列，其首项(第一项)的值为

$\mathrm{a_{1}=b+d}$

第n项满足

$\mathrm{a_{n}=\frac{a_{n-m}+a_{n+m}}{2}}$

求和

$\mathrm{\Sigma n=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

$\mathrm{\Sigma n=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d=nb+\frac{n(n+1)d}{2}}$

等差数列积

一个等差数列的首n项之积，称为等差数列积（product of arithmetic sequence）。

比如阶乘n!；双阶乘n!!。

阶乘 | 全排列 n!

n!=1·2·3· etc ·(n−1)n

0!=1

双阶乘 n!!

0!!=1

n是奇数时，

n!!=1·3·5·7·9· etc ·n

n是偶数时，

n!!=1·2·4·6·8·etc·n

等比数列

等比数列是指相邻二项之比为固定值(公比r)的数列，也就是

$\mathrm{a_{n}=a_{1}r^{n-1}}$

也可以写作

$\mathrm{a_{n}=kr^{n}}$

求和

r=1时， $\mathrm{\Sigma_{n}=na_{1}}$

r≠1时，

$\mathrm{r\Sigma n-\Sigma n=a_{1}r^{n}-a_{1}=a_{1}(r^{n}-1)}$

$\mathrm{\Sigma n=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}}$

级数

$\mathrm{\Sigma_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-r}}$

于是有反比例函数的幂级数

$\mathrm{\frac{1}{1−x}=1+\sum x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+etc}$

$\mathrm{\frac{1}{1+x}=1+\sum (−x)^{n}=1−x+x^{2}−x^{3}+x^{4}−x^{5}+etc}$

也就是

$\mathrm{\frac{1}{1-x}=1+\sum x^n}$

$\mathrm{\frac{1}{1+x}=1+\sum (-1)^{n}x^n}$

通过微积分可以进一步得到对数函数的幂级数

$\mathrm{\ln(1+x)=\sum (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}}$

可以进一步得到对数函数製表公式

例

在没有任何说明的情况下，∑是指从n=1加起，加到∞。

$\ln(2)=2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{3})^{2n-1}]$

=2[1÷1÷3+1÷3÷3³+1÷5÷3⁵+1÷7÷3⁷+1÷9÷3⁹+etc]

对于3⁻ⁿ，十二进制中有更简便的计算！

$\ln(9)=3\ln(2)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{17})^{2n-1}]$

$\ln(3)=\frac{1}{2}\ln(9)$

$\ln(6)=\ln(2)+\ln(3)$

$\ln(12)=2\ln(2)+\ln(3)$

$\ln(5)=2\ln(2)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{9})^{2n-1}]$

$\ln(7)=3\ln(2)-2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{15})^{2n-1}]$

$\ln(11)=2\ln(2)+\ln(3)-2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{23})^{2n-1}]$

$\ln(13)=2\ln(2)+\ln(3)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{25})^{2n-1}]$

$\ln(17)=4\ln(2)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{33})^{2n-1}]$

$\ln(19)=\ln(2)+2\ln(3)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{37})^{2n-1}]$

$\ln(23)=\ln(2)+\ln(11)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{45})^{2n-1}]$

$\ln(29)=2\ln(2)+\ln(7)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{57})^{2n-1}]$

$\ln(31)=\ln(5)+\ln(6)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{61})^{2n-1}]$

$\ln(37)=\ln(36)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{73})^{2n-1}]$