Merge pull request #23 from anestv/master

Fixed typos

sae1.tex

@@ -4439,7 +4439,7 @@ \subsubsection{Ασκήσεις}
 παράδειγμα, για το \textbf{(γ)}:
 \[
 \text{(γ)} =
-\frac{10\cancel{(s+1)2\left(\frac{s}{2}+1\right)}}{0.5\left(\frac{s}{0.5}+1\right)
+\frac{10\cancel{(s+1)}2\left(\frac{s}{2}+1\right)}{0.5\left(\frac{s}{0.5}+1\right)
 	5\cancel{(s+1)}10\left(\frac{s}{10}+1\right)}
 \]
 Στην παραπάνω συνάρτηση παρατηρούμε ότι απλοποιούνται ο πόλος και το μηδενικό για \( s=-1 \),

stochastic.tex

@@ -541,7 +541,7 @@
 
 	Ομοίως ορίζεται η ανεξαρτησία για περισσότερα ενδεχόμενα, ανν:
 	\[
-	P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_m)
+	P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)
 	\]
 
 	\subsection{Πιθανοτικό Μοντέλο}
@@ -1097,7 +1097,7 @@
 			&= P\left\lbrace X\leq x_1, Y \leq y \right\rbrace
 			+ P\left\lbrace x_1<X\leq x_2,Y \leq y \right\rbrace\\
 			\Aboxed{P\left\lbrace x_1<X\leq x_2,Y\leq y \right\rbrace
-			&= F(x_2,y)  - F(x_1,y) \leq 0 \implies F(x_2,y)\geq
+			&= F(x_2,y)  - F(x_1,y) \geq 0 \implies F(x_2,y)\geq
 			F(x_1,y)}
 		\end{align*}
 
@@ -1176,7 +1176,7 @@
 	\[
 	\mathlarger{
 		P \left\lbrace x_1<X\leq x_2,\ y_1<Y\leq y_2 \right\rbrace
-		= F(x_2,y_2) - F(x_1,y_1) - F(x_2,y_1) + F(x_1,y_1)
+		= F(x_2,y_2) - F(x_1,y_2) - F(x_2,y_1) + F(x_1,y_1)
 	}
 	\]
 	Δηλαδή μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα να "πέσουμε" μέσα στο
@@ -1277,7 +1277,7 @@
 		=\frac{P\left\lbrace x_1 < X\leq x_2,\ B \right\rbrace}{P(B)}
 		=F(x_2/B) - F(x_1/B) \)
 		\item \( \displaystyle f_X(x/B) = \frac{\dif F_X(x/B)}{\dif x} \)
-		\item \( f_X(x/B) \leq 0 \ \forall x \)
+		\item \( f_X(x/B) \geq 0 \ \forall x \)
 		\item \( \displaystyle
 		\int_{-\infty}^{\infty} f_x(x/B) \dif x = F_X(\infty/B)
 		- F_X(-\infty/B) = 1 \)
@@ -1293,7 +1293,7 @@
 		1 &\quad x\geq x_2
 		\end{cases} \\
 		f_X(x/B) &= \begin{cases}
-		\frac{f_X(x)}{\int_{-\infty}^{x^2} f_X(x) \dif x}
+		\frac{f_X(x)}{\int_{-\infty}^{x_2} f_X(x) \dif x}
 		&\quad x<x_2 \\ 0 &\quad x \geq x_2
 		\end{cases}
 	\end{align*}
@@ -1302,7 +1302,7 @@
 	\draw[->] (-1,0) -- (2.5,0);
 	\draw[->] (0,-1) -- (0,2.5);
 
-	\draw[very thick,blue!50!black] plot[smooth] coordinates {(-0.7,0.3) (-0.2,0.2) (1,1.5) (2,1.8)} node[below right] {$F_X(x)$};
+	\draw[very thick,blue!50!black] plot[smooth] coordinates {(-0.7,0.3) (-0.2,0.4) (1,1.5) (2,1.8)} node[below right] {$F_X(x)$};
 	\draw[very thick,green!50!black] plot[smooth] coordinates {(-0.7,0.4) (-0.2,0.6) (0.7,1.6) (1,1.8)} -- (2.5,1.8) node[above] {$F_X(x/B)$};
 
 	\draw[dashed] (1,0) node[below] {$x_2$} -- (1,1.5) -- (0,1.5) node[left] {$F_X(x_2)$};
@@ -1694,11 +1694,11 @@ \subsection{Χαρακτηριστική συνάρτηση}
 \paragraph{Ιδιότητες}
 \begin{enumpar}
 	\item \( \displaystyle \Phi(0)
-	= \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\dif x = 1 \)
+	= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\dif x = 1 \)
 	\item \( \displaystyle \left| \Phi(\omega ) \right| = \left|
-	\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega x}\dif x
+	\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) e^{-j\omega x}\dif x
 	\right|
-	\leq \left|\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\dif x\right| = 1
+	\leq \left|\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\dif x\right| = 1
 	\implies \boxed{\left|\Phi(\omega )\right|\leq1}
 	\)
 
@@ -1730,11 +1730,11 @@ \subsection{Χαρακτηριστική συνάρτηση}
 	\frac{(j\omega x)^k}{k!} \\
 	\Phi(\omega ) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)
 	\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(j\omega x)^k}{k!}\dif x
-	= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(j\omega x)^k}{k!}
-	f_X(x)\dif x
+	= \sum_{k=0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}
+	\frac{(j\omega x)^k}{k!} f_X(x)\dif x
 	\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(j\omega )^k}{k!}
 	\left[
-	\int_{-\infty}^{k} x^k f_X(x)\dif x
+	\int_{-\infty}^{\infty} x^k f_X(x)\dif x
 	\right]
 \end{align*}
 
@@ -1744,7 +1744,7 @@ \subsubsection{Ορισμός}
 	Ονομάζουμε \( \mathbf{k} \)\textbf{-οστή ροπή} τον αριθμό:
 	\[
 	\mathlarger{m_k
-	= \int_{-\infty}^{\infty} x^K f_X(x)\dif x
+	= \int_{-\infty}^{\infty} x^k f_X(x)\dif x
 	}
 	\]
 \end{defn}
@@ -1784,7 +1784,7 @@ \subsubsection{Σε μία μεταβλητή}
 \paragraph{Διακριτή \( f_X \)}
 Έστω ότι η \( f_X \) είναι διακριτή, δηλαδή προκύπτει από ώσεις.
 \[
-m_1 = \int_{-\infty}^{\infty} xf-X(x)\dif x
+m_1 = \int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x)\dif x
 \]
 
 Την πρώτη ροπή ονομάζουμε μέσο όρο: