Permalink
Browse files

Fix typos on DSP

Thanks @Ezerous!
  • Loading branch information...
kongr45gpen committed Dec 12, 2018
1 parent ccba1e9 commit c73d1d7df83cb5afbf296ff0b0aa8cfc90e53503
Showing with 3 additions and 6 deletions.
  1. +3 −6 dsp.tex
@@ -1764,7 +1764,7 @@ \subsubsection{Ολοκληρωτικά υπόλοιπα}
+ \frac{1}{(-n-1)!}\left. \od[-n-1]{}{z} \left( \frac{2z-a-b}{(z-a)(z-b)} \right)\right|_{z=0}
\end{align*}

Για να υπολογίσουμε τη "δύσκολη" παραπάνω παράγωγο, εφαρμόζουμε ένα τρικ. Θέτουμε \( z = \sfrac{1}{ρ} \), οπότε \( \dif z = -\frac{1}{ρz}\dif ρ \), και η περιοχή σύγκλισης γίνεται
Για να υπολογίσουμε τη "δύσκολη" παραπάνω παράγωγο, εφαρμόζουμε ένα τρικ. Θέτουμε \( z = \sfrac{1}{ρ} \), οπότε \( \dif z = -\frac{1}{ρ^2}\dif ρ \), και η περιοχή σύγκλισης γίνεται
\( |a|^{-1} > |ρ|> |b|^{-1} \). Και τότε:
\begin{align*}
I(z)\dif z &= -\frac{ρ^{-n}(2ρ^{-1}-a-b)}{\left( ρ^{-1}-a \right)\left( ρ^{-1}-b \right)}\frac{1}{ρ^2} \dif\rho
@@ -1790,13 +1790,10 @@ \subsubsection{Ολοκληρωτικά υπόλοιπα}
\right]
\dif ρ
\\ &= \res\left[
-\frac{ρ^{-n}(2ρ^{-1}-a-b)}{(1-aρ)(1-bρ)} \ @ \ \rho = \frac{1}{b}
\frac{ρ^{-n}(2ρ^{-1}-a-b)}{(1-aρ)(1-bρ)} \ @ \ \rho = \frac{1}{b}
\right]
\\ &= \frac{1}{ab}\left[
\frac{ρ^{-n-1}\left[ 2-(a+b)ρ \right]}{\left( ρ-\frac{1}{a} \right)\left(ρ-\frac{1}{b}\right)}
\right]\ @ \ \rho = \frac{1}{b}
\\ &= \left.\frac{1}{ab}\left[
\frac{ρ^{-n-1}\left( 2-(a+b)ρ \right)}{\left( ρ-\frac{1}{a} \right)}
\frac{ρ^{-n-1}\left[ 2-(a+b)ρ \right] }{\left( ρ-\frac{1}{a} \right)}
\right]\right|_{\rho = \sfrac{1}{b} }
\\ &= \cdots = -b^n
\end{align*}

0 comments on commit c73d1d7

Please sign in to comment.