matlab 101

Zurücksetzen der Umgebung, Löschen aller Variablen

clear

Tipp: Im Skript sollte clear als Erstes aufgerufen werden, damit der Programmcache zurückgesetzt und ein Überschreiben von symbolisch-definierten Variablen umgangen wird.

Definieren einer Funktion

1. Prinzipiell muss zwischen der Definition über Symbole

syms x
f(x) = x^2

2. ... und der Definition als function_handle unterschieden werden.

f = @(x) x^2

Zum Beispiel lassen sich nur 1)-Funktionen direkt mit solve(f) lösen, nicht jedoch 2).

f(x) = x^2 und f = x^2 sind nicht äquivalent!

Koordinatensysteme

Formel zum Umrechnen von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten

syms x y
[t, r] = cart2pol(x, y)

Formel zum Umrechnen von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten

syms t r
[x, y] = pol2cart(t, r)

Formel zum Umrechnen von kartesischen Koordinaten in sphärische Koordinaten

syms x y z
[r, t, p] = cart2sph(x, y, z)

Formel zum Umrechnen von sphärischen Koordinaten in kartesische Koordinaten

syms r t p
[x, y, z] = sph2cart(r, t, p)

Die Funktionen cart2pol, pol2cart, cart2sph und sph2cart können mit numerischen Werten und Symbolen umgehen.

Analysis

Nullstellen einer Funktion

syms x
f(x) = x^2 - 2
solve(f)

Minimum einer Funktion (x0 ist Startpunkt der Suche)

minX = fminsearch(f, x0)
minY = f(minX)

Die Funktion fminsearch kann auf die Hochpunkte erweitert werden indem der Funktionsterm mit -1 invertiert wird.

Minimum einer Funktion mit mehreren Variablen

x0 = [0, 0]
[xmin, fval] = fminsearch(@(x) f(x(1), x(2)), x0)

Ableiten einer Funktion

f1 = diff(f, x, 1) % Erste Ableitung
f2 = diff(f, x, 2) % Zweite Ableitung

Partielle Ableitung

g = x^2 + y^2
diff(g, x) % dg/dx
diff(g, y) % dg/dy

Integrieren einer Funktion (a untere Grenze, b obere Grenze)

s = integral(f, a, b)

Taylorentwicklung einer Funktion (x0 ist Entwicklungspunkt)

T = taylor(f, x, 'ExpansionPoint', x0)

Die Ordnung der Entwicklung kann über den Parameter Order angegeben werden: taylor(f, x, 'Order', 10, ...)

Tangente an einer Stelle x0, Formel:

df = subs(diff(f, x), x, x0);
fplot(df*(x-x0) + f(x0))    

Ableitungsoperatoren mit mehreren Veränderlichen

grad = gradient(f, [x, y, z]) % Gradient
jaco = jacobian(f, [x, y, z]) % Jacobi-Matrix
hess = hessian(f, [x, y, z])  % Hesse-Matrix

Tangentialebene an einer Stelle (x0, y0)

gf = gradient(f, [x, y])
te = f(x0, y0) + [x - x0, y - y0] * gf(x0, y0)

Lineare Algebra

Definieren einer Matrix (, trennt Spalten, ; trennt Zeilen)

A = [1, 2; 3, 4]

Definieren eines Vektors

b = [1, 2] % Zeilenvektor (inkompatibel mit A)
b = [1; 2] % Spaltenvektor

Lösen eines LGS

x = linsolve(A, b)
x = A\b

... oder mittels Gleichungen

syms x y z l1 l2 l3
eqn1 = 2*x + y + z == 2;
eqn2 = -x + y - z == 3;
eqn3 = x + 2*y + 3*z == -10;
[l1, l2, l3] = solve([eqn1, eqn2, eqn3], [x, y, z])

Berechnen der Determinante. Ist ein LGS lösbar <=> Determinante != 0

det(A)

Plotten

Eine Funktion, die Symbole enthält, muss wie folgt gezeichnet werden

fplot(f)

Mehrere Plots auf einer Anzeige zeichnen

hold on
fplot(f)
fplot(g)
hold off

Integral mit Fläche zeichnen

f = @(x) -1*x.^3+4*x.^2+-5*x+2
x = linspace(0, 5);
inty = cumtrapz(x,f(x));
plot(x, inty, '-k', 'LineWidth',1)
hold on
patch([x fliplr(x)], [zeros(size(x)) fliplr(inty)], 'g')
hold off

Fläche unter der Funktion einfärben

f = @(x) -1*x.^3+4*x.^2+-5*x+2
area(f(linspace(-10,10)))

Plotten einer Funktion mit zwei Variablen

• Als Mesh

syms x y;
f = sin(x) + cos(y)
fmesh(f)

• Als Fläche

syms x y;
f = sin(x) + cos(y)
fsurf(f)

3D-Vektorfunktionen plotten

[x,y] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);
Z = [(5*exp(2*x)-4*y)/y, sin(x)*exp(y)];
[U,V,W] = surfnorm(Z);
quiver3(Z,U,V,W)

Plot in Polarkoordinaten

t = 0:0.1:2*pi
r = sin(t).*cos(t)
polarplot(t,r)

FAQ

• Was bedeutet properly vectorize your function?

% Funktioniert nur mit Skalaren
f = @(x) x^2
% Funktioniert mit Vektoren
f = @(x) x.^2

• Was bedeutet Matrix is singular to working precision.?

Die verwendete Matrix hat eine Determinante von null und ist deshalb nicht invertierbar. Dieser Fehler kann vorkommen wenn durch eine Matrix dividiert werden soll, die Funktion jedoch nicht properly vectorized ist:

fx = (5*exp(2.*x)-4.*y)/y    % fehler
fx = (5*exp(2.*x)-4.*y)./y   % korrekt