[PE] Add missing examples and properties; general cleanup

content/pe/0001-nocoes-basicas.md

@@ -18,7 +18,7 @@ type: content
 
 ```
 
-Começamos por introduzir umas definições essenciais para formalizar o trabalho com probabilidade.
+Começamos por introduzir algumas definições essenciais para formalizar o trabalho com probabilidade.
 Primeiro, é essencial definir exatamente em que consiste uma [**experiência aleatória**](color:red):
 
 :::tip[Experiência Aleatória (EA)]
@@ -35,8 +35,8 @@ Damos o nome de [**espaço de resultados**](color:green) ao conjunto de todos os
 Costumamos designar o espaço de resultados pela letra grega $\Omega$ (Omega).  
 Dizemos que o espaço de resultados é:
 
-- **discreto** se $\Omega$ for contável;
-- **contínuo** se $\Omega$ não for contável.
+- **discreto**, se $\Omega$ for contável;
+- **contínuo**, se $\Omega$ não for contável.
 
 :::
 

content/pe/0002-variaveis-aleatorias.md

@@ -88,8 +88,8 @@ Em todos os exemplos, podíamos ter definido qualquer outra VA que nos apetecess
 Nos primeiros dois exemplos, não fazia sentido definir qualquer VA que não as que foram definidas - estas são as que nos fazem mais sentido.
 De facto, nesses casos, as variáveis aleatórias são tão pouco "originais" que é fácil confundir o input (o evento) com o output (um valor numérico).  
 No entanto, no terceiro exemplo já é mais notável qual o objetivo da VA.
-Na verdade, a VA não passa exatamente de um formalismo que transforma eventos em valores numéricos.
-Desta forma, podemos definir qualquer VA desde que consigamos trabalhar com ela.
+Na verdade, a VA não passa exatamente de um [**formalismo que transforma eventos em valores numéricos**](color:orange).
+Desta forma, podemos definir qualquer VA, desde que consigamos trabalhar com ela.
 
 :::
 
@@ -147,7 +147,7 @@ As VA's discretas satisfazem as seguintes propriedades:
 
 - $F_X$ é monótona crescente, contínua à direita e tem $\#\R_X$ pontos de descontinuidade. Consequentemente, o gráfico da fd de uma VA discreta é algo parecido a:
 
-![Gráfico da fd de um VA discreta](./imgs/0002/discrete_fd_graph.png#dark=3)
+![Gráfico da fd de uma VA discreta](./assets/0002-discrete-fd-graph.svg#dark=3)
 
 - $F_X(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$;
 - $F_X(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$;
@@ -175,13 +175,13 @@ Dizemos, então, que uma VA $X$ é contínua se e só se:
   $$
   F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt
   $$
-  A esta função dá-se o nome de [**função de densidade de probabilidade (fdp)**](color:pink).
+  A esta função, $f$, dá-se o nome de [**função de densidade de probabilidade (fdp)**](color:pink).
 
 As VA's contínuas têm as seguintes propriedades:
 
 - Um gráfico vagamente semelhante ao representado abaixo, devido à continuidade e monotonia lata:
 
-![Gráfico da fd de um VA contínua](./imgs/0002/continuous_fd_graph.png#dark=3)
+![Gráfico da fd de um VA contínua](./assets/0002-continuous-fd-graph.svg#dark=3)
 
 - $f_X(x) = \frac{\delta F_X(x)}{\delta x}$
 - $F_X(-\infty) = 0$, $F_X(+\infty) = 1$ e, consequentemente, $0 \leq F_X(x) \leq 1$ para qualquer $x \in \R$;
@@ -200,7 +200,7 @@ As funções mais que relevantes que nos dão informações sobre VA's são:
 
   $$
   \begin{matrix}
-  \text{Para VA's discretas} & & \text{Para VA's contínuas} \\
+  \smartcolor{pink}{\text{Para VA's discretas}} & & \smartcolor{green}{\text{Para VA's contínuas}} \\
   E(X) = \sum_{x \in \R_X} x P(X = x) & & E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \, dx \\
   \text{se esta série convergir} & & \text{se este integral convergir}
   \end{matrix}
@@ -211,7 +211,7 @@ As funções mais que relevantes que nos dão informações sobre VA's são:
   $$
   \begin{matrix}
   E(h(X)) = \sum_{x \in \R_X} h(x) P(X = x) & & E(h(X)) = \int_{-\infty}^\infty h(x) P(X = x) \\
-  \text{para } X \text{ discreta} & &  \text{Para } X \text{ contínua}
+  \smartcolor{pink}{\text{para } X \text{ discreta}} & &  \smartcolor{green}{\text{Para } X \text{ contínua}}
   \end{matrix}
   $$
 
@@ -221,6 +221,12 @@ As funções mais que relevantes que nos dão informações sobre VA's são:
   E(aX+b) = aE(X) + b
   $$
 
+  Verifica-se ainda que
+
+  $$
+  E(X + Y) = E(X) + E(Y)
+  $$
+
   Esta função é a medida de centralidade principal de uma VA.
 
 - [**Variância**](color:orange): [**$Var(X)$**](color:orange), [**$V(X)$**](color:orange), [**$\sigma^2$**](color:orange) ou [**$\sigma^2_x$**](color:orange)  
@@ -234,7 +240,8 @@ As funções mais que relevantes que nos dão informações sobre VA's são:
 
   - $V(X) \geq 0$;
   - $V(X) = 0 \Leftrightarrow X$ constante;
-  - $V(aX+b) = a^2V(x)$, para $a,b \in \R$.
+  - $V(aX+b) = a^2V(x)$, para $a,b \in \R$;
+  - $V(X^2) = E([X^2]^2) - [E^2(X)]^2 = E(X^4) - E(X)^4$.
 
   Esta função dá-nos uma medida de divergência em relação ao valor esperado (ao centro).
 

content/pe/0003-va-discretas.md

@@ -13,6 +13,23 @@ type: content
 
 ```
 
+Vamos, inicialmente, olhar para duas noções que nos vão ser muito importantes aquando do estudo de probabilidades.
+
+:::tip[Prova de Bernoulli]
+
+Damos o nome de **prova de Bernoulli** a qualquer experiência aleatória cujo espaço de resultados tem apenas dois eventos elementares: um evento a que damos o nome de **sucesso**, com probabilidade $p$, e um a que damos nome de **insucesso**, com probabilidade $1-p$.
+
+:::
+
+:::warning[Sucesso pode ser mau!]
+
+Enquanto que estamos habituados a associar sucesso a coisas boas e insucesso a coisas más, neste caso, o sucesso deve ser entendido apenas como **aquilo que queremos modelar**.  
+Sendo assim, por exemplo, se considerarmos a Experiência $A$ que verifica se o ecrã de um telemóvel se parte no primeiro ano de uso, o sucesso será "o ecrã partiu-se".  
+Claro que dada uma Prova de Bernoulli $A$, podemos sempre considerar a experiência aleatória contrária $B$, e, nesse caso, o sucesso de $B$ será o insucesso de $A$ e vice-versa.
+Podemos aproveitar-nos disto à vontade, desde que tenhamos em atenção que o sucesso da prova de Bernoulli e o que queremos medir com a VA sejam coerentes.
+
+:::
+
 ## Distribuição Uniforme Discreta
 
 :::danger[]
@@ -21,9 +38,9 @@ Esta distribuição não é lecionada no programa de 2021/22, mas pode ser impor
 
 :::
 
-:::tip[]
+:::tip[Motivação]
 
-Esta distribuição é normalmente usada em situações em que todos os eventos são equiprováveis.
+Esta distribuição é normalmente usada em situações em que [**todos os eventos são equiprováveis**](color:green).
 
 :::
 
@@ -84,9 +101,9 @@ $$
 
 ## Distribuição Binomial
 
-:::tip[]
+:::tip[Motivação]
 
-Esta distribuição é usada para, dada uma prova de Bernoulli que é executada $n$ vezes (independentemente), medir a probabilidade de haver exatamente $x$ sucessos.
+Esta distribuição é usada para, dada uma [**prova de Bernoulli**](color:green) que é [**executada $n$ vezes**](color:green) (independentemente), [**medir a probabilidade de haver exatamente $x$ sucessos**](color:green).
 
 :::
 
@@ -143,7 +160,7 @@ $$
 
 **Propriedades da [distribuição binomial](color:yellow)**:
 
-- A distribuição binomial **não tem uma função de distribuição** que possa ser escrita em forma fechada (isto é, sem um somatório);
+- A distribuição binomial [**não tem uma função de distribuição**](color:red) que possa ser escrita em forma fechada (isto é, sem um somatório);
 - Se $X~\sim~\op{binomial}(n,p)$ e $Y$ for a VA que mede o número de insucessos associados a $X$, isto é
   $$
   Y = n-X~\sim~\op{binomial}(n, 1-p)
@@ -155,9 +172,9 @@ $$
 
 ## Distribuição Geométrica
 
-:::tip[]
+:::tip[Motivação]
 
-Esta distribuição é usada para, dada uma prova de Bernoulli, medir a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer ao fim de exatamente $x$ tentativas.
+Esta distribuição é usada para, dada uma prova de Bernoulli, medir a probabilidade de o [**primeiro sucesso ocorrer ao fim de exatamente $x$ tentativas**](color:green).
 
 :::
 
@@ -213,25 +230,43 @@ $$
 **Propriedades da [distribuição geométrica](color:orange)**:
 
 - A distribuição geométrica tem função de distribuição dada por
+
   $$
   F_X(x) =
   \begin{cases}
   0, &x<1 \\
   1-(1-p)^{\lfloor x \rfloor}, &x>1
   \end{cases}
   $$
+
+  Isto, claro, dado que
+
+  $$
+  \begin{aligned}
+    &\sum_{n=1}^{x}{p(1 - p)^{n - 1}}\\
+    &= p \cdot \frac{1 - (1 - p)^x}{1 - (1 - p)}\\
+    &= p \cdot \frac{1 - (1 - p)^x}{p}\\
+    &= 1 - (1 - p)^x
+  \end{aligned}
+  $$
+
 - **Propriedade da Falta de Memória**: Dada uma VA com distribuição geométrica $X$, temos que, $\forall_{k, x \in \Z^+}$:
+
   $$
   P(X > k+x | X > k) = P(X > x)
   $$
+
   Por outras palavras, a VA $Y = X-k | X>k$ é tal que
+
   $$
   Y \sim \op{geométrica}(p)
   $$
 
+  A falta de memória é uma propriedade extremamente útil de algumas distribuições, que nos permite encurtar bastante alguns cálculos.
+
 ## Distribuição de Poisson
 
-:::tip[]
+:::tip[Motivação]
 
 A [distribuição de Poisson](color:purple) mede o número de ocorrências de uma EA num dado intervalo.  
 Para que isto seja possível, é necessário assumirmos que:
@@ -305,27 +340,12 @@ $$
 
 ## Distribuição de Bernoulli
 
-:::tip[]
+:::tip[Motivação]
 
 Este tipo de distribuição é usado para modular situações em que apenas há dois resultados possíveis.
 
 :::
 
-:::tip[Prova de Bernoulli]
-
-Damos o nome de **prova de Bernoulli** a qualquer experiência aleatória cujo espaço de resultados tem apenas dois eventos elementares: um evento a que damos o nome de **sucesso**, com probabilidade $p$, e um a que damos nome de **insucesso**, com probabilidade $1-p$.
-
-:::
-
-:::warning[Sucesso pode ser mau!]
-
-Enquanto que estamos habituados a associar sucesso a coisas boas e insucesso a coisas más, neste caso, o sucesso deve ser entendido apenas como **aquilo que queremos modelar**.  
-Sendo assim, por exemplo, se considerarmos a EA que verifica se o ecrã de um telemóvel se parte no primeiro ano de uso, o sucesso será "o ecrã partiu-se".  
-Claro que dada uma Prova de Bernoulli $A$, podemos sempre considerar a experiência aleatória contrária $B$, e, nesse caso, o sucesso de $B$ será o insucesso de $A$ e vice-versa.
-Podemos aproveitar-nos disto à vontade, desde que tenhamos em atenção que o sucesso da prova de Bernoulli e o que queremos medir com a VA sejam coerentes.
-
-:::
-
 Dizemos que uma VA discreta $X$ tem uma [**distribuição de Bernoulli**](color:blue) e representamos $X~\sim~\op{Bernoulli}(p)$ se, dados os **parâmetros**:
 
 - $p = P(\op{Sucesso})$, $p \in [0,1]$
@@ -383,13 +403,13 @@ $$
 
 ## Distribuição Hipergeométrica
 
-:::warning[]
+:::danger[]
 
 Esta distribuição não faz parte da matéria lecionada no programa de 2021/22.
 
 :::
 
-:::tip[]
+:::tip[Motivação]
 
 Tal como a distribuição binomial, esta distribuição tem a ver com o número de sucessos em $n$ provas de Bernoulli. No entanto, desta vez, as provas não são independentes entre si e podem ser pensadas como seguindo um processo de extração sem repetição.
 

content/pe/0004-va-continuas.md

@@ -93,7 +93,7 @@ $$
 
 :::tip[]
 
-Esta distribuição é normalmente usada para atribuir uma probabilidade ao tempo que um evento demora a acontecer.
+Esta distribuição é normalmente usada para atribuir uma probabilidade ao [**tempo que um evento demora a acontecer**](color:yellow).
 
 :::
 
@@ -235,7 +235,7 @@ e o seu valor esperado e variância são 1.75m e 0.3m.
 - $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow aX+b \sim \op{normal}(aX + b, a^2 \sigma^2)$  
   Consequentemente, $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \op{normal}(0,1)$.  
   Desta forma, para qualquer VA $X$ com distribuição normal, é sempre possível fazer uma transformação linear de forma a obter uma VA com distribuição normal centrada em $0$ e com variância $1$.
-  À distribuição normal centrada em $0$ com variância $1$ dá-se o nome de **distribuição normal padrão**. A sua função de distribuição representa-se por $\Phi(x)$ e é dada por
+  À distribuição normal centrada em $0$ com variância $1$ dá-se o nome de [**distribuição normal padrão**](color:green). A sua função de distribuição representa-se por $\Phi(x)$ e é dada por
   $$
   \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt
   $$
@@ -257,7 +257,7 @@ Temos que $P(X \leq 23.045) = P (\frac{X - 23}{{0.1}} \equiv \frac{X-\mu}{\sigma
 
 Indo ver à tabela, concluímos que $\Phi(0.45) = 0.6736$, pelo que $P(X \leq 23.045) = 0.6736$.
 
-![table](./imgs/0004/table.png#dark=1)
+![table](./assets/0004-table.png#dark=1)
 
 Observe-se que a tabela não permite consultar a função $\Phi$ em valores negativos.
 Nesse caso, basta aproveitarmo-nos do facto que $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ e depois consultar a tabela.

content/pe/0006-comb-lineares-de-va.md

@@ -48,6 +48,13 @@ V \left( \sum_{i=1}^n c_i X_i \right) =
 \sum_{i=1}^n c_i^2 V(X_i)
 $$
 
+Podemos ainda realçar as duas relações mais simples, e afirmar que
+
+$$
+V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 \cdot cov(X, Y)\\
+V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2 \cdot cov(X, Y)
+$$
+
 :::
 
 Dizemos que duas variáveis $X$ e $Y$ são [**independentes e identicamente distribuídas**](color:green) se $X \indep Y$ e tiverem a mesma distribuição (_com os mesmos parâmetros_).

content/pe/0007-estimacao-pontual.md

@@ -46,7 +46,7 @@ Em relação à amostra, já é possível fazer observações (e a partir destas
 A partir das observações, é agora importante ser capaz de obter informação sobre a população em geral.
 Isto é feito através de uma [inferência estatística](color:pink).
 
-![Amostragem e Inferência Estatística](./imgs/0007/populacao-amostra.svg#dark=2)
+![Amostragem e Inferência Estatística](./assets/0007-populacao-amostra.svg#dark=2)
 
 :::details[Exemplo]
 
@@ -286,7 +286,7 @@ i.e $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 0.5$ ou também ser dito
 "_observaram-se 10 eventos em 20 intervalos de tempo unitários_."  
 Para este tipo de exercícios variam os valores amostrais e as funções de
 probabilidade/densidade de probabilidade, logo, convém estar familiarizado com
-propriedades de produtórios e logaritmos e saber interpertar as $v.a$ dadas
+propriedades de produtórios e logaritmos e saber interpretar as $v.a$ dadas
 (caso sejam de Poisson, Binomiais, etc).
 
 :::
@@ -300,6 +300,74 @@ Os estimadores de MV satisfazem as seguintes propriedades:
 - **Suficiência** - As estimativas de MV condensam toda a informação relevante, contida na amostra, sobre o parâmetro;
 - **Consistência** - À medida que o tamanho da AA aumenta, o $EMV(\theta)$ dispersa-se cada vez menos do verdadeiro valor de $\theta$.
 
+:::details[Exemplo]
+
+(Exemplo retirado do [Teste 2C de 2016/2017 de PE](https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/homepage/ist13114/2o-semestre-2016-17))
+
+Admita que a proporção de zinco no corpo de um jogador da NBA é representada pela
+variável aleatória $X$ com função de densidade de probabilidade
+
+$$
+f_X(x) = \begin{cases}
+  \theta x^{\theta - 1}, & 0 < x < 1 \\
+  0, & \text{caso contrário}
+\end{cases}
+$$
+
+onde $\theta$ é um parâmetro positivo desconhecido.
+
+Caso queiramos chegar ao estimador de máxima verosimilhança de $\theta$, tendo em conta uma amostra qualquer
+amostra aleatória $(X_1, ..., X_n)$ proveniente da população $X$, devemos:
+
+1. [**Chegar ao valor da função de verosimilhança**](color:green).
+
+$$
+\begin{aligned}
+  L(\theta | \underline{x}) &= f_{\underline{x}}(\underline{x})\\
+  &= \prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i) \\
+  &= \prod_{i=1}^n f_{X}(x_i) \\
+  &= \prod_{i=1}^n \biggl[ \theta x_i^{\theta - 1} \biggr] \\
+  &= \theta^n \biggl[\prod_{i=1}^n x_i \biggr]^{\theta - 1}
+\end{aligned}
+$$
+
+2. [**Chegar ao valor da função de log-verosimilhança**](color:red).
+
+$$
+\ln L(\theta | \underline{x})= n \ln(\theta) + (\theta - 1) \sum_{i=1}^n \ln x_i
+$$
+
+(Note-se que é muito mais simpático derivar esta função)
+
+3. [**Maximização**](color:orange).
+
+A estimativa de MV de $\theta$, $\hat{\theta}$, será tal que:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\hat{\theta}: &\begin{cases}
+  \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta | \underline{x}) &= 0 \qquad \text{(ponto de estacioneridade)} \\
+  \frac{d^2}{d\theta^2} \ln L(\theta | \underline{x}) &< 0 \qquad \text{(ponto de máximo)} \\
+\end{cases} \\
+&\begin{cases}
+  \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln(x_i) = 0 \\
+  -\frac{n}{\theta^2} < 0 \\
+\end{cases} \\
+&\begin{cases}
+  \hat{\theta} = - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(x_i)} \\
+  - \frac{[\sum_{i=1}^n \ln(x_i)]^2}{n} < 0 \qquad \text{(sempre verdade)}\\
+\end{cases}
+\end{aligned}
+$$
+
+Temos, por fim, que:
+
+$$
+EMV(\theta) = \hat{\theta} = - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(x_i)}
+$$
+
+:::
+
 ## Distribuições Amostrais
 
 :::tip[Distribuição Amostral]