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%Este trabalho está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. Para ver uma cópia desta licença, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ ou envie uma carta para Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA.
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%\begin{document}
\chapter{Representação de números e aritmética de máquina}\index{representação de números}\index{aritmética!de máquina}
Neste capítulo, discutiremos sobre formas de representação de números em computadores. Iniciamos com uma discussão sobre representação posicional e mudança de base. Então, discutimos sobre representação com número de dígitos finitos e, mais especificamente, as representações de números inteiros, ponto fixo e ponto flutuante em computadores.
A representação de números e a aritmética em computadores levam aos chamados erros de arredondamento e de truncamento. Ao final deste capítulo, discutiremos sobre os efeitos do erro de arredondamento na computação científica.
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% python
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\ifispython
Ao longo do capítulo, faremos alguns comentários usando códigos em \verb+Python 2.7+. Nestes, estaremos assumindo que os seguintes módulos estão carregados:
\begin{verbatim}
>>> from __future__ import division
>>> import numpy as np
\end{verbatim}
A primeira instrução garante que divisões de números inteiros sejam computadas em ponto flutuante (\verb+double+) e a segunda carrega a biblioteca de computação científica \href{http://www.numpy.org/}{numpy}.
\fi
\section{Sistema de numeração e mudança de base}\index{mudança de base}\index{sistema de numeração}
Usualmente, utilizamos o sistema de numeração decimal para representar números. Esse é um sistema de numeração posicional onde a posição do dígito indica a potência de $10$ que o dígito está representando.
\begin{ex}
O número $293$ é decomposto como
\begin{equation*}
\begin{split}
293 &= 2\ \text{centenas}+9\ \text{dezenas}+3\ \text{unidades}\\
&= 2\times 10^2+9\times 10^1+3\times 10^0.
\end{split}
\end{equation*}
\end{ex}
O sistema de numeração posicional também pode ser usado com outras bases. Vejamos a seguinte definição.
\begin{defn}[Sistema de numeração de base $b$]\label{def:sistema_de_numeracao}
Dado um número natural $b>1$ e o conjunto de símbolos $\{\pmb{,}, \pmb{-}, \pmb{0}, \pmb{1}, \pmb{2},\dotsc, \pmb{b-1}\}$\footnote{Para $b>10$, veja a observação \ref{obs:sistema_de_numeracao}}, a sequência de símbolos
\begin{equation*}
\left(d_nd_{n-1} \cdots d_1d_0,d_{-1}d_{-2} \cdots \right)_b
\end{equation*}
representa o número positivo
\begin{equation*}
d_n\cdot b^n + d_{n-1}\cdot b^{n-1} + \cdots + d_0\cdot b^0 + d_{-1}\cdot b^{-1}+d_{-2}\cdot b^{-2} + \cdots
\end{equation*}
Para representar números negativos usamos o símbolo $-$ a esquerda do numeral.
\end{defn}
\begin{obs}[$b\geq 10$]\label{obs:sistema_de_numeracao}
Para sistemas de numeração com base $b \geq 10$ é usual utilizar as seguintes notações:
\begin{itemize}
\item No sistema de numeração decimal ($b=10$), costumamos representar o número sem os parênteses e o subíndice, ou seja,
\begin{equation*}
\pm d_nd_{n-1}\ldots d_1d_0,d_{-1}d_{-2}\ldots := \pm (d_nd_{n-1}\ldots d_1d_0,d_{-1}d_{-2}\ldots)_{10}
\end{equation*}
\item Se $b>10$, usamos as letras $A, B, C, \cdots$ para completar os símbolos: $A=10$, $B=11$, $C=12$, $D=13$, $E=14$, $F=15$.
\end{itemize}
\end{obs}
\begin{ex}[Sistema binário] O sistema de numeração em base dois é chamado de binário e os algarismos binários são conhecidos como \textit{bits}, do inglês \textit{\bf{b}inary dig\bf{its}}. Um \textit{bit} pode assumir dois valores distintos: $0$ ou $1$. Por exemplo:
\begin{equation*}
\begin{split}
x &= (1001,101)_{2} \\
&= 1\cdot 2^3 +0\cdot 2^2 +0\cdot 2^1 +1\cdot 2^0 +1\cdot 2^{-1} +0\cdot 2^{-2} +1\cdot 2^{-3} \\
&= 8+0+0+1+ 0,5+0+0,125 = 9,625
\end{split}
\end{equation*}
Ou seja, $(1001,101)_{2}$ é igual a $9,625$ no sistema decimal.
\end{ex}
\begin{ex}[Sistema quaternário]
No sistema quaternário a base $b$ é igual a $4$. Por exemplo:
\begin{equation*}
(301,2)_{4}=3\cdot 4^2+0\cdot 4^1+1\cdot 4^0+2\cdot 4^{-1}=49,5
\end{equation*}
\end{ex}
\begin{ex}[Sistema octal]
No sistema octal a base é $b=8$ e utilizamos os símbolos em $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Por exemplo:
\begin{equation*}
\begin{split}
(1357,24)_{8}&= 1\cdot 8^3+3\cdot 8^2+5\cdot 8^1+7\cdot 8^{0}+2\cdot 8^{-1}+4\cdot 8^{-2}\\
&= 512+192+40+7+0,25+0,0625=751,3125
\end{split}
\end{equation*}
\end{ex}
\begin{ex}[Sistema hexadecimal] O sistema de numeração cuja a base é $b=16$ é chamado de sistema hexadecimal. O conjunto de símbolos necessários é $S=\{``,", -, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F\}$. Convertendo o número $(E2AC)_{16}$ para a base $10$ temos
\begin{equation*}
\begin{split}
(E2AC)_{16} &= 14\cdot 16^3+2\cdot 16^2+10\cdot 16^1+12\cdot 16^{0}\\
&=57344+512+160+12=58028
\end{split}
\end{equation*}
\end{ex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% scilab
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\ifisscilab
\begin{obs}
O \verb+Scilab+ oferece algumas funções para a conversão de números inteiros em dada base para a base decimal. Por exemplo, temos:
\begin{verbatim}
-->bin2dec('1001')
ans =
9.
-->hex2dec('451')
ans =
1105.
-->oct2dec('157')
ans =
111.
-->base2dec('BEBA',16)
ans =
48826.
\end{verbatim}
\end{obs}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% octave
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisoctave
\begin{obs}
O \verb+GNU Octave+ oferece algumas funções para a conversão de números inteiros em dada base para a base decimal. Por exemplo, temos:
\begin{verbatim}
>> bin2dec('1001')
ans = 9
>> hex2dec('451')
ans = 1105
>> base2dec('157',8) #oct -> dec
ans = 111
>> base2dec('BEBA',16)
ans = 48826
\end{verbatim}
\end{obs}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% python
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifispython
\begin{obs}
\verb+Python+ tem algumas sintaxes para representar números em algumas bases. Por exemplo, temos:
\begin{verbatim}
>>> print(0b1001) #bin -> dec
9
>>> print(0157) #oct -> dec
111
>>> print(0xbeba) #hex -> dec
48826
\end{verbatim}
\end{obs}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
A partir da definição \ref{def:sistema_de_numeracao}, acabamos de mostrar vários exemplos de conversão de números de uma sistema de numeração de base $b$ para o sistema decimal. Agora, vamos estudar como fazer o processo inverso. Isto é, dado um número decimal $(X)_{10}$ queremos escrevê-lo em uma outra base $b$, isto é, queremos obter a seguinte representação:
\begin{equation*}
\begin{split}
(X)_{10} &= (d_nd_{n-1}\cdots d_0,d_{-1}\cdots)_{b} \\
&= d_n\cdot b^{n}+d_{n-1}\cdot b^{n-1}+\cdots + d_0\cdot b^0+d_{-1}\cdot b^{-1}+d_{-2}\cdot b^{-2}+\cdots
\end{split}
\end{equation*}
Separando as partes inteira e fracionária de $X$, isto é, $X = X^{\mbox{i}} + X^{\mbox{f}}$, temos:
\begin{equation*}
X^{\mbox{i}} = d_n\cdot b^{n}+ \cdots+d_{n-1}b^{n-1} \cdot +d_1\cdot b^1 +d_0\cdot b^0
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
X^{\mbox{f}} = \frac{d_{-1}}{b^1} + \frac{d_{-2}}{b^{2}} + \cdots
\end{equation*}
Nosso objetivo é determinar os algarismos $\{d_n, d_{n-1}, ...\}$.
Primeiramente, vejamos como tratar a parte inteira $X^{\mbox{i}}$. Calculando sua divisão por $b$, temos:
\begin{equation*}
\frac{X^{\mbox{i}}}{b}= \frac{d_0}{b}+d_1+d_2 b^1\cdots+d_{n-1}\cdot b^{n-2} +d_n\cdot b^{n-1}.
\end{equation*}
Observe que $d_0$ é o resto da divisão de $X^{\mbox{i}}$ por $b$, pois $d_1+d_2 b^1\cdots+d_{n-1}\cdot b^{n-2} +d_n\cdot b^{n-1}$ é inteiro e $\frac{d_0}{b}$ é uma fração (lembramos que $d_0<b$). Da mesma forma, o resto da divisão de $d_1+d_2 b^1\cdots+d_{n-1}\cdot b^{n-2} +d_n\cdot b^{n-1}$ por $b$ é $d_1$. Repetimos o processo até encontrar os símbolos $d_0, d_1, d_2, \ldots$.
\begin{ex}[Conversão da parte inteira] Vamos escrever o número $125$ na base $6$. Para tanto, fazemos sucessivas divisões por $6$ como segue:
\begin{equation*}
\begin{split}
125 &= 20\cdot 6 + 5\quad(\mbox{$125$ dividido por $6$ é igual a $20$ e resta $5$})\\
&= (3\cdot 6 + 2)\cdot 6 + 5 = 3\cdot 6^2 + 2\cdot 6 + 5,
\end{split}
\end{equation*}
logo $125 = (325)_6$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% scilab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisscilab
Estes cálculos podem ser feitos no \verb+Scilab+ com o auxílio das funções \verb'modulo' e \verb'int'. A primeira calcula o resto da divisão entre dois números, enquanto que a segunda retorna a parte inteira de um número dado. No nosso exemplo, temos:
\begin{verbatim}
-->q = 125, d0 = modulo(q,6)
-->q = int(q/6), d1 = modulo(q,6)
-->q = int(q/6), d2 = modulo(q,6)
\end{verbatim}
Verifique!
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% python
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifispython
Estes cálculos podem ser feitos em \verb+Python+ com o auxílio do comando \verb+%+ e da função \verb'int'. Com o primeiro calculamos o resto da divisão entre dois números, enquanto que a segunda retorna a parte inteira de um número dado. No nosso exemplo, temos:
\begin{verbatim}
>>> q = 125; d0 = (q % 6); print(q,d0)
>>> q = int(q/6); d1 = (q % 6); print(q,d1)
>>> q = int(q/6); d2 = (q % 6); print(q,d2)
\end{verbatim}
Verifique!
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{ex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% scilab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisscilab
\begin{obs}
O \verb+Scilab+ oferece algumas funções para a conversão de números inteiros em base decimal para uma dada base. Por exemplo, temos:
\begin{verbatim}
-->dec2base(9,2)
ans =
1001
-->dec2base(111,8)
ans =
157
-->dec2base(48826,16)
ans =
BEBA
\end{verbatim}
\end{obs}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% octave
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisoctave
\begin{obs}
O \verb+GNU Octave+ oferece algumas funções para a conversão de números inteiros em base decimal para uma base dada. Por exemplo, temos:
\begin{verbatim}
>> dec2base(9,2)
ans = 1001
>> dec2base(111,8)
ans = 157
>> dec2base(48826,16)
ans = BEBA
\end{verbatim}
\end{obs}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% python
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifispython
\begin{obs}
\verb+Python+ oferece algumas funções para a conversão de números inteiros em base decimal para uma base dada. Por exemplo, temos:
\begin{verbatim}
>>> print(bin(9))
0b1001
>>> print(oct(111))
0157
>>> print(hex(48826))
0xbeba
\end{verbatim}
\end{obs}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Vamos converter a parte fracionária de um número decimal em uma dada base $b$. Usando a notação $X = X^{\mbox{i}} + X^{\mbox{f}}$ para as partes inteira e fracionária, respectivamente, temos:
\begin{equation*}
bX^{\mbox{f}}=d_{-1}+\frac{d_{-2}}{b}+\frac{d_{-3}}{b^2}+\cdots
\end{equation*}
Observe que a parte inteira desse produto é $d_{-1}$ e $\frac{d_{-2}}{b}+\frac{d_{-3}}{b^2}+\cdots$ é a parte fracionária. Quando multiplicamos $\frac{d_{-2}}{b}+\frac{d_{-3}}{b^2}+\cdots$ por $b$ novamente, encontramos $d_{-2}$. Repetimos o processo até encontrar todos os símbolos.
\begin{ex}[Conversão da parte fracionária] Escrever o número $125,58\overline{3}$ na base $6$. Do exemplo anterior temos que $125=(325)_6$. Assim, nos resta converter a parte fracionária. Para tanto, fazemos sucessivas multiplicações por $6$ como segue:
\begin{equation*}
\begin{split}
0,58\overline{3} &= 3,5\cdot 6^{-1}\quad(\mbox{$0,58\overline{3}$ multiplicado por $6$ é igual a $3,5$})\\
&= 3\cdot 6^{-1} + 0,5\cdot 6^{-1}\\
&= 3\cdot 6^{-1} + (3\cdot 6^{-1})\cdot 6^{-1}\\
&= 3\cdot 6^{-1} + 3\cdot 6^{-2},
\end{split}
\end{equation*}
logo $0,58\overline{3} = (0,33)_6$.
\ifisscilab
As contas feitas aqui, também podem ser computadas no \verb+Scilab+. Você sabe como?
\fi
\ifispython
As contas feitas aqui, também podem ser computadas em \verb+Python+. Você sabe como?
\fi
\end{ex}
Uma maneira de converter um número dado em uma base $b_1$ para uma base $b_2$ é fazer em duas partes: primeiro converter o número dado na base $b_2$ para base decimal e depois converter para a base $b_1$.
\subsection*{Exercícios}
\indent
\begin{exer} Converta para base decimal cada um dos seguintes números:
\begin{multicols}{4}
\begin{itemize}
\item[a)] $(100)_2$
\item[b)] $(100)_3$
\item[c)] $(100)_b$
\item[d)] $(12)_5$
\item[e)] $(AA)_{16}$
\item[f)] $(7,1)_8$
\item[g)] $(3,12)_5$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{exer}
\begin{resp}
a)~$4$; b)~$9$; c)~$b^2$; d)~$7$; e)~$170$; f)~$7,125$; g)~$3,28$
\end{resp}
\begin{exer}Escreva os números abaixo na base decimal.
\begin{itemize}
\item[a)] $(25,13)_8$
\item[b)] $(101,1)_2$
\item[c)] $(12F,4)_{16}$
\item[d)] $(11,2)_{3}$
\end{itemize}
\end{exer}
\begin{exer} Escreva cada número decimal na base $b$.
\begin{itemize}
\item[a)] $7,\overline{6}$ na base $b=5$
\item[b)] $29,1\overline{6}$ na base $b=6$
\end{itemize}
\end{exer}
\begin{exer} Escreva cada número dado para a base $b$.
\begin{itemize}
\item[a)] $(45,1)_8$ para a base $b=2$
\item[b)] $(21,2)_8$ para a base $b=16$
\item[c)] $(1001,101)_2$ para a base $b=8$
\item[d)] $(1001,101)_2$ para a base $b=16$
\end{itemize}
\end{exer}
\begin{exer} Escreva o número $x=5,5$ em base binária.
\end{exer}
\begin{resp}
$(101,1)_2$
\end{resp}
\begin{exer} Escreva o número $x=17,109375$ em base hexadecimal (16).
\end{exer}
\begin{resp}
$(11,1C)_{16}$
\end{resp}
\begin{exer} Quantos algarismos são necessários para representar o número $937163832173947$ em base binária? E em base 7? Dica: Qual é o menor e o maior inteiro que pode ser escrito em dada base com $N$ algarismos?
\end{exer}
\begin{resp}
$50$; $18$
\end{resp}
\begin{exer} Escreva $x=(12.4)_8$ em base decimal e binária.
\end{exer}
\begin{resp}
$10,5$; $(1010,1)_2$
\end{resp}
\section{Notação científica e notação normalizada}\index{sistema numérico!notação normalizada}
Como vimos, no sistema posicional usual um número $x$ na base $b$ é representado por
\begin{equation*}
x = \pm (d_{n}d_{n-1}\cdots d_{0},d_{-1}d_{-2}d_{-3}\cdots)_b,
\end{equation*}
onde $d_{n}\neq 0$ e $d_i\in\{0, 1, \dotsc, b-1\}$ é o dígito da $i$-ésima posição. Alternativamente, é costumeiro usarmos a chamada notação científica. Nesta, o número $x$ é representado como
\begin{equation*}
x = \pm (M)_b\times b^e,
\end{equation*}
onde $(M)_b = (d_{m}d_{m-1}\cdots d_{0},d_{-1}d_{-2}d_{-3}\cdots)_b$ é chamada de mantissa e $e\in\mathbb{Z}$ é chamado de expoente de $x$.
\begin{ex}
\begin{itemize}
\item[a)] O número $602,2141$ em notação científica pode ser escrito como
\begin{equation*}
602,2141\times 10^0 = 60,22141\times 10^{1} = 0,6022141\times 10^{3}.
\end{equation*}
\item[b)] O número $(1010,10)_2$ pode ser escrito em notação científica como $(10,1010)_2\times 2^2$.
\end{itemize}
\end{ex}
Observamos que um número pode ser representado de várias formas equivalentes em notação científica. Para termos uma representação única introduzimos o conceito de notação normalizada.
\begin{defn}
Um número $x$ na base $b$ é dito estar representado em notação (científica) normalizada quando está escrito na forma
\begin{equation*}
x=(-1)^{s}(M)_b \times b^{E},
\end{equation*}
onde $(M)_b = (d_1,d_{-1}d_{-2}d_{-3}\cdot)_b$, com $d_{1}\neq 0$\footnote{Em algumas referências é usado $M_b = (0,d_{-1}d_{-2}d_{-3}\cdot)_b$.}\footnote{No caso de $x=0$, $M_b = (0,00\cdots)_b$.}, $s$ é $0$ para positivo e $1$ para negativo, $E$ é o expoente.
\end{defn}
\begin{ex} Vejamos os seguintes casos:
\begin{itemize}
\item[a)] O número $602,2141$ em notação (científica) normalizada é representado por $6,022141\times 10^{2}$.
\item[b)] O número $(1010,10)_2$ escrito em notação normalizada é $(1,01010)_2\times 2^3$.
\end{itemize}
\end{ex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% scilab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisscilab
\begin{obs}
No \verb+Scilab+, A representação em ponto flutuante decimal com $8$ dígitos é a padrão, por exemplo:
\begin{verbatim}
-->-%pi
ans =
- 3.14159D+00
\end{verbatim}
Podemos controlar a impressão de números com o comando \verb+format+. Por exemplo:
\begin{verbatim}
-->format('v',12); -%pi
ans =
- 3.141592654
-->format('e',12); -%pi
ans =
- 3.14159D+00
\end{verbatim}
Observamos que, no primeiro caso, obtemos a representação em ponto flutuante decimal com $10$ dígitos ($2$ posições são reservadas para o sinal e o ponto), enquanto que na segunda obtemos a representação em notação científica normalizada com $6$ dígitos ($6$ posições são reservadas para o sinal, ponto, símbolo $D := 10$ e expoente). Alternativamente, podemos usar o comando \verb+printf+, por exemplo:
\begin{verbatim}
-->printf('%1.5f',-%pi)
-3.14159
-->printf('%1.5e',-%pi)
-3.14159e+00
\end{verbatim}
\end{obs}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% octave
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisoctave
\begin{obs}
No $\verb+GNU Octave+$, podemos controlar a impressão de números usando o comando \verb+printf+. Por exemplo:
\begin{verbatim}
>> printf('%1.5f\n',-pi)
-3.14159
>> printf('%1.5e\n',-pi)
-3.14159e+00
\end{verbatim}
No primeiro caso, obtemos a representação em ponto flutuante decimal com $6$ dígitos do número $-\pi$. No segundo caso, obtemos a representação em notação científica normalizada com $6$ dígitos.
\end{obs}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% python
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifispython
\begin{obs}
Em $\verb+Python+$, podemos controlar a impressão de números usando o comando \verb+print+. Por exemplo:
\begin{verbatim}
>>> print("%1.5f" % -np.pi)
-3.14159
>>> print("%1.5e" % -np.pi)
-3.14159e+00
\end{verbatim}
No primeiro caso, obtemos a representação em ponto flutuante decimal com $6$ dígitos do número $-\pi$. No segundo caso, obtemos a representação em notação científica normalizada com $6$ dígitos.
\end{obs}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Exercícios}
\begin{exer}\label{exer:notacao_cientifica_normalizada}
Represente os seguintes números em notação científica normalizada:
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
a)~299792,458 & b)~66,2607\times 10^{-35}\\
c)~0,6674\times 10^{-7} & d)~9806,65\times 10^{1}
\end{array}
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}
\end{exer}
\begin{resp}
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
a)~2,99792458\times 10^5 & b)~6,62607\times 10^{-34}\\
c)~6,674\times 10^{-8} & d)~9,80665\times 10^4
\end{array}
\end{equation*}
\end{resp}
\begin{exer}
Use o computador para verificar as respostas do Exercício~\ref{exer:notacao_cientifica_normalizada}.
\end{exer}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% scilab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisscilab
\begin{resp}
No \verb+Scilab+, temos:
\begin{verbatim}
-->printf("%1.7e", 29979.458)
2.9979458e+04
-->printf("%1.5e", 66.2607)
6.62607e+01
-->printf("%1.3e", 0.6674)
6.674e-01
-->printf("%1.5e", 9806.65e1)
9.80665e+04
\end{verbatim}
\end{resp}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% octave
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisoctave
\begin{resp}
No \verb+GNU Octave+, temos:
\begin{verbatim}
>> printf("%1.7e\n", 29979.458)
2.9979458e+04
>> printf("%1.5e\n", 66.2607)
6.62607e+01
>> printf("%1.3e\n", 0.6674)
6.674e-01
>> printf("%1.5e\n", 9806.65e1)
9.80665e+04
\end{verbatim}
\end{resp}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% python
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifispython
\begin{resp}
Em \verb+Python+, temos:
\begin{verbatim}
>>> print("%1.7e" % 29979.458)
2.9979458e+04
>>> print("%1.5e" % 66.2607)
6.62607e+01
>>> print("%1.3e" % 0.6674)
6.674e-01
>>> print("%1.5e" % 9806.65e1)
9.80665e+04
\end{verbatim}
\end{resp}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Representação decimal finita}
Em computadores, é usual representarmos números usando uma quantidade de dígitos finita. A quantidade a ser usada normalmente depende da precisão com que as computações estão sendo feitas. Ocorre, que quando restringimos a representação a um número finito de dígitos, muitos números não podem ser representado de forma exata. Por exemplo, dízimas infinitas e números irracionais não são usualmente representados de forma exata em computadores. Esta questão nos leva aos conceitos de número de dígitos significativos e arredondamento.
\begin{defn}[Número de dígitos significativos] Um número decimal $x = \pm d_1,d_{-1}\cdots d_{-i}d_{-i-1}\cdot d_{-i-n} d_{-i-n-1}\cdot \times 10^E$ é dito ter $n$ dígitos significativos quando $d_{j}=0$ para $j\geq -i$ e $j\leq-i-n-1$.
\end{defn}
\begin{ex} O número $0,0602100\times 10^{-3}$ tem $4$ dígitos significativos.
\end{ex}
\subsection{Arredondamento de números}\index{arredondamento de números}
Quando representamos um número $x$ com uma quantidade de dígitos menor que a de dígitos significativos acabamos com uma aproximação deste. Este procedimento é chamado arredondamento de um número. Mais precisamente, seja dado
\begin{equation*}
x = \pm d_0,d_1d_2\ldots d_{k-1}d_kd_{k+1}\ldots d_n \times 10^e
\end{equation*}
em notação normalizada, i.e. $d_0\neq 0$. Podemos representar $x$ com $k$ dígitos fazendo:
\begin{enumerate}
\item \emph{Arredondamento por truncamento} (ou corte): aproximamos $x$ por
$$
\bar{x} = \pm d_{0},d_{1}d_{2}\ldots d_{k}\times 10^e
$$
simplesmente descartando os dígitos $d_{j}$ com $j > k$.
\item \emph{Arredondamento por proximidade}: se $d_{k+1}<5$ aproximamos $x$ por
$$
\bar{x} = \pm d_0,d_1d_2\ldots d_{k}\times 10^{e}
$$
senão aproximamos $x$ por\footnote{Note que essas duas opções são equivalentes a somar $5$ no dígito a direita do corte e depois arredondar por corte, ou seja, arredondar por corte
$$ \pm(d_0,d_1d_2\ldots d_kd_{k+1}+ 5 \times10^{-(k+1)} )\times 10^{e} $$}
$$
\bar{x} = \pm(d_0,d_1d_2\ldots d_{k} + 10^{-k}) \times 10^{e}
$$
\end{enumerate}
\begin{ex} Represente os números $x_1 = 0,567$, $x_2 = 0,233$, $x_3 = -0,675$ e $x_4 = 0,314159265 \ldots \times 10^1$ com dois dígitos significativos por truncamento e arredondamento.
\end{ex}
\begin{sol} Vejamos cada caso:
\begin{itemize}
\item Por truncamento:
\begin{equation*}
x_1=0,56,\quad x_2=0,23,\quad x_3=-0,67\quad\mbox{e}\quad x_4 = 3,1.
\end{equation*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% scilab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisscilab
No \verb+Scilab+, podemos obter a representação de $x_3 = -0,675$ fazendo:
\begin{verbatim}
-->format('v',5)
-->-int(0.675*1e2)/1e2
ans =
- 0.67
\end{verbatim}
e, em notação normalizada, temos:
\begin{verbatim}
-->format('e',8)
-->-int(0.675*1e2)/1e2
ans =
- 6.7D-01
\end{verbatim}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% octave
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisoctave
No \verb+GNU Octave+, podemos obter a representação de $x_3 = -0,675$ fazendo:
\begin{verbatim}
>> printf("%1.2f\n", ceil(-0.675*1e2)/1e2)
-0.67
\end{verbatim}
e, em notação normalizada, temos:
\begin{verbatim}
>> printf("%1.1e\n", ceil(-0.675*1e2)/1e2)
-6.7e-01
\end{verbatim}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% python
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifispython
Em \verb+Python+, podemos obter a representação de $x_3 = -0,675$ fazendo:
\begin{verbatim}
>>> int(-0.675*1e2)/1e2
\end{verbatim}
e, em notação normalizada, temos:
\begin{verbatim}
>>> print("%1.1e" % (int(-0.675*1e2)/1e2))
-6.7e-01
\end{verbatim}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Por arredondamento:
\begin{equation*}
x_1=0,57;\quad x_2=0,23;\quad x_3=-0,68\quad\mbox{e}\quad x_4 = 3,1.
\end{equation*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% scilab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisscilab
No \verb+Scilab+, a representação de números por arredondamento é o padrão. Assim, para obtermos a representação desejada de $x_3 = 0,675$ fazemos:
\begin{verbatim}
-->format('v',5)
-->-0.675
ans =
- 0.68
\end{verbatim}
e, em notação normalizada, temos:
\begin{verbatim}
-->format('e',8)
-->-0.675
ans =
- 6.8D-01
\end{verbatim}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% octave
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisoctave
Em \verb+GNU Octave+, a representação de números por arredondamento é o padrão. Assim, para obtermos a representação desejada de $x_3 = 0,675$ fazemos:
\begin{verbatim}
>> printf("%1.2f\n", -0.675)
-0.68
\end{verbatim}
e, em notação normalizada, temos:
\begin{verbatim}
>> printf("%1.1e\n", -0.675)
-6.8e-01
\end{verbatim}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% python
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifispython
Em \verb+Python+, a representação de números por arredondamento é o padrão. Assim, para obtermos a representação desejada de $x_3 = 0,675$ fazemos:
\begin{verbatim}
>>> print("%1.2f" % (-0.675))
-0.68
\end{verbatim}
e, em notação normalizada:
\begin{verbatim}
>>> print("%1.1e" % (-0.675))
-6.8e-01
\end{verbatim}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{itemize}
\end{sol}
\begin{obs}
Observe que o arredondamento pode mudar todos os dígitos e o expoente da representação em ponto flutuante de um número dado. Por exemplo, o arredondamento de $0,9999\times 10^{-1}$ com $3$ dígitos significativos é $0,1\times 10^{0}$.
\end{obs}
\section{Representação de números em máquina}\index{representação!de números em máquina}
Os computadores, em geral, usam a base binária para representar os números, onde as posições, chamadas de bits, assume as condições ``verdadeiro'' ou ``falso'', ou seja, $0$ ou $1$. Os computadores representam os números com uma quantidade fixa de bits, o que se traduz em um conjunto finito de números representáveis. Os demais números são tomados por proximidade àqueles conhecidos, gerando erros de arredondamento.\index{erros!de arredondamento} Por exemplo, em aritmética de computador, o número $2$ tem representação exata, logo $2^2=4$, mas $\sqrt{3}$ não tem representação finita, logo $(\sqrt{3})^2\neq 3$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% scilab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisscilab
Veja isso no \verb+Scilab+:
\begin{verbatim}
-->2^2 == 4
ans =
T
-->sqrt(3)^2 == 3
ans =
F
\end{verbatim}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% octave
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisoctave
Veja isso no \verb+GNU Octave+:
\begin{verbatim}
>> 2^2 == 4
ans = 1
>> sqrt(3)^2 == 3
ans = 0
\end{verbatim}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% python
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifispython
Veja isso em \verb+Python+:
\begin{verbatim}
>>> 2**2 == 4
True
>>> np.sqrt(3)**2 == 3
False
\end{verbatim}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Números inteiros}\index{representação!números inteiros}
Tipicamente, um número inteiro é armazenado em um computador como uma sequência de dígitos binários de comprimento fixo denominado \emph{registro}.
\subsubsection{Representação sem sinal}\index{representação de números!inteiros!sem sinal}
Um registro com $n$ bits da forma
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
$d_{n-1}$ & $d_{n-2}$ & $\cdots$ & $d_1$ & $d_0$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
representa o número $(d_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0)_2$.
Assim, é possível representar números inteiros entre
\begin{equation*}
\begin{split}
(111...111)_2 & = 2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots+2^1+2^0=2^n-1.\\
&\vdots\\
(000...011)_2 &= 3 \\
(000...010)_2 &= 2 \\
(000...001)_2 &= 1 \\
(000...000)_2 & = 0
\end{split}
\end{equation*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% scilab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisscilab
\begin{ex}
No \verb+Scilab+,
\begin{verbatim}
-->uint8( bin2dec('00000011') )
ans = 3
-->uint8( bin2dec('11111110') )
ans = 254
\end{verbatim}
\end{ex}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Representação com bit de sinal}\index{representação de números!inteiros!bit de sinal}
O bit mais significativo (o primeiro à esquerda) representa o sinal: por convenção, $0$ significa positivo e $1$ significa negativo. Um registro com $n$ bits da forma
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
$s$ & $d_{n-2}$ & $\cdots$ & $d_1$ & $d_0$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
representa o número $(-1)^s(d_{n-2}...d_1d_0)_2$. Assim, é possível representar números inteiros entre $-2^{n-1}$ e $2^{n-1}$, com duas representações para o zero: $(1000...000)_2$ e $(00000...000)_2$.
\begin{ex}
Em um registro com $8$ bits, teremos os números
\begin{equation*}
\begin{split}
(11111111)_2 &= -(2^{6}+\cdots+2+1)=-127\\
&\vdots \\
(10000001)_2 &= -1 \\
(10000000)_2 &= -0 \\
(01111111)_2 &= 2^6+\cdots+2+1=127 \\
&\vdots \\
(00000010)_2 &= 2 \\
(00000001)_2 &= 1 \\
(00000000)_2 &= 0
\end{split}
\end{equation*}
\end{ex}
\subsubsection{Representação complemento de dois}\index{representação de números!inteiros!complemento de dois}
O bit mais significativo (o primeiro à esquerda) representa o coeficiente de $-2^{n-1}$. Um registro com $n$ bits da forma:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
$d_{n-1}$ & $d_{n-2}$ & $\cdots$ & $d_1$ & $d_0$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
representa o número $-d_{n-1}2^{n-1}+(d_{n-2}...d_1d_0)_2$.
Note que todo registro começando com $1$ será um número negativo.
\begin{ex}
O registro com $8$ bits $[01000011]$ representa o número:
\begin{equation*}
-0(2^7)+(1000011)_2=64+2+1=67.
\end{equation*}
O registro com $8$ bits $[10111101]$ representa o número:
\begin{equation*}
-1(2^7)+(0111101)_2=-128+ 32+16+8+4+1=-67.
\end{equation*}
Note que podemos obter a representação de $-67$ invertendo os dígitos de $67$ em binário e somando 1.
\end{ex}
\begin{ex}
Em um registro com $8$ bits, teremos os números
\begin{equation*}
\begin{split}
(11111111)_2 &= -2^7+2^{6}+\cdots+2+1=-1\\
&\vdots \\
(10000001)_2 &= -2^7+1 = -127 \\
(10000000)_2 &= -2^7 = -128 \\
(01111111)_2 &= 2^6+\cdots+2+1=127 \\
&\vdots \\
(00000010)_2 &= 2 \\
(00000001)_2 &= 1 \\
(00000000)_2 &= 0
\end{split}
\end{equation*}
\end{ex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ifisscilab
\begin{ex}
No \verb+Scilab+,
\begin{verbatim}
-->int8( bin2dec('00000011') )
ans = 3
-->int8( bin2dec('11111110') )
ans = -2
\end{verbatim}
\end{ex}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Sistema de ponto fixo}\index{sistema numérico!de ponto fixo}
O sistema de ponto fixo representa as partes inteira e fracionária do número com uma quantidade fixas de dígitos.
\begin{ex}
Em um computador de 32 bits que usa o sistema de ponto fixo, o registro
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
$d_{31}$ & $d_{30}$ & $d_{29}$ & $\cdots$ & $d_1$ & $d_0$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
pode representar o número
\begin{itemize}
\item $(-1)^{d_{31}}(d_{30}d_{29}\cdots d_{17}d_{16}, d_{15}d_{14}\cdots d_1d_0)_2$
se o sinal for representado por um dígito. Observe que nesse caso o zero possui duas representações possíveis:
\begin{equation*}
10000000000000000000000000000000
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
00000000000000000000000000000000
\end{equation*}
\item $(d_{30}d_{29}\cdots d_{17}d_{16})_2-d_{31}(2^{15}-2^{-16})+(0,d_{15}d_{14}\cdots d_1d_0)_2$
se o sinal do número estiver representado por uma implementação em complemento de um. Observe que o zero também possui duas representações possíveis:
\begin{equation*}
11111111111111111111111111111111
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
00000000000000000000000000000000
\end{equation*}
\item $(d_{30}d_{29}\cdots d_{17}d_{16})_2-d_{31}2^{15}+(0,d_{15}d_{14}\cdots d_1d_0)_2$
se o sinal do número estiver representado por uma implementação em complemento de dois. Nesse caso o zero é unicamente representado por
\begin{equation*}
00000000000000000000000000000000
\end{equation*}
\end{itemize}
Observe que $16$ dígitos são usados para representar a parte fracionária, $15$ são para representar a parte inteira e um dígito, o $d_{31}$, está relacionado ao sinal do número.
\end{ex}
\subsection{Sistema de ponto flutuante}\index{sistema numérico!de ponto flutuante}
O sistema de ponto flutuante não possui quantidade fixa de dígitos para as partes inteira e fracionária do número.
Podemos definir uma máquina $F$ em ponto flutuante de dois modos:
$$ F(\beta,|M|,|E|,BIAS) \text{ ou } F(\beta,|M|,E_{MIN},E_{MAX})$$
onde
\begin{itemize}
\item $\beta$ é a base (em geral $2$ ou $10$),
\item $|M|$ é o número de dígitos da mantissa,
\item $|E|$ é o número de dígitos do expoente,
\item $BIAS$ é um valor de deslocamento do expoente (veja a seguir),
\item $E_{MIN}$ é o menor expoente,
\item $E_{MAX}$ é o maior expoente.
\end{itemize}
Considere uma máquina com um registro de $64$ bits e base $\beta=2$. Pelo padrão IEEE754, $1$ bit é usado para o sinal, $11$ bits para o expoente e $52$ bits são usados para o significando tal que
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$s$ & $c_{10}$ & $c_{9}$ & $\cdots$ & $c_{0}$ & $m_1$ & $m_2$ & $\cdots$ & $m_{51}$ & $m_{52}$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
represente o número (o $BIAS=1023$ por definição)
$$ x=(-1)^{s}M \times 2^{c-BIAS},$$
onde a \emph{característica} é representada por
$$c=(c_{10}c_9\cdots c_1c_0)_2=c_{10}2^{10}+\cdots+c_12^1+c_02^0 $$
e o significando por
$$M=(1.m_1m_2\cdots m_{51}m_{52})_2.$$
Em base $2$ não é necessário armazenar o primeiro dígito (por quê?).
Por exemplo, o registro
$$
[0|\RED{100~0000~0000} |\BLU{101}0~0000~0000...0000~0000]
$$
representa o número
$$
(-1)^0(1+\BLU{2^{-1}+2^{-3}})\times 2^{\RED{1024}-1023}=(1+0.5+0.125)2=3.25.
$$
\subsubsection{O expoente deslocado}
Uma maneira de representar os expoentes inteiros é deslocar todos eles uma mesma quantidade. Desta forma permitimos a representação de números negativos e a ordem deles continua crescente. O expoente é representado por um inteiro sem sinal do qual é deslocado o \emph{BIAS}.
Tendo $|E|$ dígitos para representar o expoente, geralmente o $BIAS$ é predefinido de tal forma a dividir a tabela ao meio de tal forma que o expoente \textit{um} seja representado pelo sequência $[100...000]$.
\begin{ex}
Com $64$ bits, pelo padrão $IEEE754$, temos que $|E|:=11$. Assim, $(100~0000~0000)_2=2^{10}=1024$. Como queremos que esta sequência represente o $1$, definimos $BIAS:=1023$, pois
$$ 1024-BIAS=1.$$
Com $32$ bits, temos $|E|:=8$ e $BIAS:=127$. E com $128$ bits, temos $|E|:=15$ e $BIAS:=16383$.
\end{ex}
Com $11$ bits temos
\begin{equation*}
\begin{split}
[111~1111~1111] &= reservado\\
[111~1111~1110] &= 2046-BIAS = 1023_{10}= E_{MAX}\\
\vdots &= \\
[100~0000~0001] &= 2^{10}+1 -BIAS = 2_{10} \\