Ogni numero intero positivo può essere scritto in diversi modi usando somme e
prodotti (eventualmente parentesizzati) di numeri interi positivi. Ad esempio il
numero 5678 può essere scritto come
2 * 17 * 167
5678
23 * 59 + 29 * 149
(1 + 4 * 4) * (1 + 3 * 3 * (1 + 3 * 3 * 4))
2 * (1 + 2 * (1 + 2 * (1 + 2 * 2 * (1 + 2 * 2 * 2 * 2 * (1 + 2 * (1 + 2 * 2))))))
se chiamiamo peso di una espressione aritmetica del genere la somma dei numeri che vi compaiono, le precedenti espressioni hanno, rispettivamente, peso pari a
2 + 17 + 167 = 186
5678
23 + 59 + 29 + 149 = 260
1 + 4 + 4 + 1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 + 4 = 27
2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 = 30
Chiamiamo complessità di un numero intero positivo N il minor peso tra
quello delle espressioni aritmetiche (del tipo di cui sopra) che hanno valore
N.
Si può mostrare che, ad esempio, la complessità di 5678 è 27 (grazie alla
quarta espressione qui sopra); la complessità degli interi positivi da 1 a
20 è
1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 7 8 8 8 8 9 8 9 9
Scrivete un programma che, dato un intero positivo come parametro sulla linea di comando, ne stampi la complessità nel flusso di ingresso.
Tutti i numeri coinvolti nel programma possono essere rappresentati con
variabili di tipo int. Il numero in ingresso è compreso tra 1 e 10000.
Eseguendo soluzione 6 il programma emette 5 nel flusso d'uscita; eseguendo
soluzione 30 il programma emette 10.
Dato un intero positivo N enumerare tutte le espressioni aritmetiche che
abbiano valore N è molto oneroso (e complesso). A ben guardare, però, per
calcolare la complessità di un numero non è necessario farlo: basta osservare
che la complessità di N è pari alla minima somma delle complessità di due
numeri A e B tali per cui A + B = N o A * B = N. Detto altrimenti, se
compl() fosse la funzione che calcola la complessità, si avrebbe
compl(N) = min(compl(A) + compl(B))
dove il min è calcolato al variare di tutti gli A e B tali per cui A + B = N o A * B = N.