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_posts/control-theory/2023-03-09-determination-of-performance-of-system.markdown

@@ -297,7 +297,7 @@ $$
 此时我们画出简化的框图，注意到因为$e(t) = 0$，所以$R$的输出直接变成$-\epsilon$，代替$u_r$。
 
 ![](/assets/system/block-diagram-robustness.svg)
-{: .aligned-center}
+{: .align-center}
 
 我们依然要让$\epsilon(\infty) = 0$，所以需要求出这个系统的传递函数。
 使用反馈环的传递函数公式，可知：
@@ -334,7 +334,7 @@ $$
 | 0 | $\frac{A e\_0}{1 + K\_{BO}}$ | $\infty$ | $\infty$ |
 | 1 | $0$ | $\frac{Aa}{K\_{BO}}$ | $\infty$ |
 | 2 | $0$ | $0$ | $\frac{A\gamma}{K\_{BO}}$ |
-{: .aligned-center}
+{: .align-center}
 
 同样地，我们也可以为扰动计算表格：
 

_drafts/statistical-tests.markdown → _posts/mathematics/2023-11-21-statistical-tests.markdown

@@ -188,4 +188,132 @@ $$\frac{F - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0) / n}} \sim N(0,1)$$
 
 ## 分布检验
 
+分布检验就是检查样本的分布是否符合假设的检验。
+对离散的分布，我们主要介绍卡方检验；对连续的分布，我们介绍柯尔莫哥洛夫检验。
+
+### 卡方检验
+
+对于离散的分布检验，我们使用如下的零假设和备择假设
+$$
+\begin{aligned}
+H_0:\quad &\forall 1 \le i \le k,\ P(X = x_i) = p_i \\
+H_1:\quad &\exists 1 \le i \le k,\ P(X = x_i) \neq p_i
+\end{aligned}
+$$
+
+我们使用的统计量为
+$$D^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(n_i - n p_i)^2}{n p_i} \sim \chi^2(k-r-1)$$
+其中$n$是总样本数，$n\_i$是取值等于$x\_i$的样本数量，$r$是欲检验的分布的自由度，通常是待确定的参数的个数。
+以正态分布为例，若需要检验的分布的均值和方差都是估计出来的，则$r = 2$。
+
+通常卡方检验按以下步骤进行
+1. 根据样本确定待验证的分布，计算假设概率；
+2. 将样本分为若干组，保证每一组满足$n p\_i \ge 5$；
+3. 寻找$\chi^2$分布表，根据显著性水平确定拒绝域；
+3. 计算$D^2$，得出结论。
+
+### 柯尔莫哥洛夫检验
+
+对于连续的分布检验，我们使用如下统计量
+$$D_0 = \sup_{x \in (x_1, \dots, x_n)} | F_n^*(x) - F(x) |$$
+其中$x$是样本的值，$F$是待检验分布的累积分布函数，$F\_n^*$是任意一个在分布最小值取值为零，最大值处取值为一的递增函数，通常选择
+$$F_n^*(x) = \frac{\text{小于等于}x\text{的样本个数}}{\text{总样本个数}}$$
+若样本取值两两不同，则等价的定义为
+$$
+F_n^* (x) = \begin{cases} 
+0, & x < x_1 \\
+\frac{k}{n}, & x_k \le x < x_{k+1} \\
+1, & x_{n} \le x
+\end{cases}
+$$
+其中$x\_1, \dots, x\_n$是一系列任意选择的递增实数。
+
+通常柯氏检验按以下步骤进行
+1. 根据样本确定待验证的分布，计算累积分布函数；
+2. 将样本按从小到大排序，计算$F\_n^*$；
+3. 计算$D\_0$，查表求出拒绝域，给出结论。
+
 ## 比较检验
+
+比较检验是验证两组或多组样本分布是否一致的检验，其零假设和备择假设通常写为
+$$
+\begin{aligned}
+H_0:\quad & F_1(x) = F_2(x) \\
+H_1:\quad & F_1(x) \neq F_2(x)
+\end{aligned}
+$$
+若拒绝零假设而接受了备择假设，则称两个分布之间存在显著性差异。
+
+按样本组数可分为多样本比较和双样本比较。
+
+### 卡方检验
+
+卡方检验可以用来判定几组分布是否相同。
+卡方检验借助列联表（Contingency table）完成，假设样本分为$E\_1, \dots, E\_k$组，且可分为$M\_1, \dots, M\_n$类，则列联表为。
+$$
+\begin{array}{c|cccc|c}
+    & M_1 & M_2 & \cdots & M_r & \\ \hline
+E_1 & n_{11} & n_{12} & \cdots & n_{1r} & n_{1\cdot} \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+E_k & n_{k1} & n_{k2} & \cdots & n_{kr} & n_{k\cdot} \\ \hline
+& n_{\cdot 1} & n_{\cdot 2} & \cdots & n_{\cdot r} & N
+\end{array}
+$$
+其中标有$\cdot$下标的表示对该行或该列求和。
+$N$是所有组的总样本数。
+
+则需计算的统计变量是
+$$
+D_0^2 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r \frac{(n_{ij} - n_{i \cdot} p_j)^2}{n_{i\cdot} p_j}
+$$
+其中$p\_j$是取得该分类的概率，通常由以下式子估计
+$$p_j = \frac{n_{\cdot j}}{N}$$
+从而该估计量可被化简为
+$$
+\begin{aligned}
+D_0^2 &= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r \frac{(n_{ij} - n_{i \cdot} p_j)^2}{n_{i\cdot} p_j} \\
+&= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r \frac{(n_{ij} - \frac{n_{i \cdot} n_{\cdot j}}{N})^2}{\frac{n_{i\cdot} n_{\cdot j}}{N}} \\
+&= N \left( \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r \frac{n_{ij}^2}{n_{i\cdot} n_{\cdot j}} - 1\right)
+\end{aligned}
+$$
+
+在计算该分布时，我们估计了$r$个变量，但这$r$个变量具有一个约束（其总和为一），因此总的自由度为$r-1$，从而该统计量满足分布
+$$D_0^2 \sim \chi^2(k(r-1) - (r-1)) = \chi^2 ((k-1)(r-1))$$
+
+对于只有两组样本且只能分为两类的情况，我们记列联表为
+$$
+\begin{array}{c|cc|c}
+    & M_1 & M_2 & \\ \hline
+E_1 & a & b & a+b \\
+E_2 & c & d & c+d \\ \hline
+& a+c & b+d & N
+\end{array}
+$$
+统计量简化为
+$$D_0^2 = \frac{N(ad - bc)^2}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)} \sim \chi^2(1)$$
+
+特别地，若对于两组样本各分类的分布相同，则该分布是关于样本的选择独立的。
+这就是高中学习过的独立性检验的原理。
+
+### 正态分布比较
+
+我们主要关注正态分布的两个比较：方差和均值的比较。
+
+在比较方差时，我们使用统计量和拒绝域
+$$D = \frac{S_1^2}{S_2^2} > k_0$$
+注意到
+$$\frac{n S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \implies \frac{\frac{n_1 S_1^2}{n_1-1}}{\frac{n_2 S_2^2}{n_2-1}} \sim F(n_1-1, n_2-1)$$
+从而$k\_0$的值可以通过费舍尔分布的表求出。
+
+若在未知方差的情况下比较均值，我们使用估计量
+$$D = \frac{(\overline{x_1} - \overline{x_2}) - (m_1 - m_2)}{\sqrt{(n_1 S_1^2 + n_2 S_2^2)(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}} \sqrt{n_1 + n_2 - 2} \sim t(n_1 + n_2 - 2)$$
+这个随机变量服从学生t-分布。
+
+### 比例比较
+
+对于二项分布的比例，我们可以先利用中心极限定理将其转化为正态分布，从而其样本频率满足分布
+$$F_1 \sim N(p, \frac{p(1-p)}{n_1}), F_2 \sim N(p, \frac{p(1-p)}{n_2})$$
+
+我们使用统计变量
+$$D = \frac{|f_1 - f_2|}{\sqrt{p(1-p) \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}} \sim N(0,1)$$
+进行判定。

_posts/structure-mechanics/2023-11-03-stress-tensor.markdown

@@ -38,7 +38,7 @@ $$\mathbf T(P, \vec n) = - \mathbf T (P, - \vec n)$$
 接下来我们希望给出任何一个面上内力的数学表述。
 我们考虑构造一个如下图所示的四面体，同时考虑体积力和面积力，假设处于平衡状态($\mathbf a = 0$)，应用牛顿定律：
 
-![](/assets/structmech/Cauchy_tetrahedron.svg "From https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cauchy_tetrahedron.svg licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported")
+![](/assets/structmech/Cauchy_tetrahedron.svg "From https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cauchy_tetrahedron.svg licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported"){: .align-center}
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -131,7 +131,7 @@ $$
 $$\sum_{i=1}^3 (\mathbf T(x_i + \d x_i, \vec e_i) - \mathbf T(x_i, \vec e_i)) \d S_i + \rho (\mathbf f - \mathbf a) \d V = 0$$
 两边同时除以$\d V$，从而得到：
 $$\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \mathbf T(P, \vec e_i)}{\partial x_i} + \rho (\mathbf f - \mathbf a) = 0$$
-注意到第一个积分正是散度，从而得到局部平衡方程。
+注意到第一个偏微分正是散度，从而得到局部平衡方程。
 
 对任何介质中的应力张量，其和体积力的关系为：
 $$\nabla \cdot \sigma + \rho (\mathbf f - \mathbf a) = 0$$
@@ -202,7 +202,9 @@ $$
 $$
 
 如果以$\sigma$为横轴、$\tau$为纵轴，则这三个不等式给出了三个圆形区域，如下图所示：
-![](/assets/structmech/Mohr_Circle.svg)
+
+![](/assets/structmech/Mohr_Circle.svg){: .align-center}
+
 这个图形称为莫尔圆（Mohr's circle）。
 如果知道主应力，则可利用莫尔圆判定应力和剪力的取值范围。
 

_posts/structure-mechanics/2023-11-06-constitutive-equations.markdown

@@ -12,19 +12,21 @@ tags: ["连续介质力学", "固体力学"]
 为了寻找不同材质的特点，人们设计了拉伸试验（Tensile testing）。
 
 通过在均匀的材料上施加拉力并测量其形变，我们可以取得以下几个物理量之间的关系：
-- 应力：$$\sigma = \frac{|\vec F|}{S}$$
-- 应变：$$\varepsilon_L = \frac{\Delta L}{L}, \quad \varepsilon_T = \frac{\Delta D}{D}$$
+- 应力：
+$$\sigma = \frac{|\vec F|}{S}$$
+- 应变：
+$$\varepsilon_L = \frac{\Delta L}{L}, \quad \varepsilon_T = \frac{\Delta D}{D}$$
 其中$L$表示长度，$D$表示直径，两个应变分别称为纵向应变（Longitudinal strain）和横向应变（Transversal strain）。
 
 ### 延性材料
 
 若某种材料在受到拉伸应力时，先发生弹性应变，再发生塑性应变，则称该材料为延性材料（Ductile material）。
 
 延性材料的应力与纵向应变的曲线如下所示。
-![](/assets/structmech/Metal_yield.svg)
+![](/assets/structmech/Metal_yield.svg){: .align-center}
 
 在1、2点之间的线性区称为弹性区，此外的区域称为塑性区，该区域中直线的斜率称为*杨氏模量*（Young's modulus），记为$E$。
-该区域中横向与纵向应变的比值称为泊松系数（Poisson's ratio），记为$\nu$。
+该区域中横向与纵向应变的比值称为*泊松系数*（Poisson's ratio），记为$\nu$。
 $$\sigma = E \cdot \varepsilon_L, \quad \varepsilon_T = - \nu \varepsilon_L$$
 
 
@@ -112,30 +114,32 @@ $$
 \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}
 $$
 
-### 形变能
+### 应变能
 
-形变能的体积密度可由应力和应变的向量形式表示：
+应变能（Strain energy，亦称变形能）的体积密度可由应力和应变的向量形式表示：
 $$w = \frac{1}{2} \tilde \sigma^\top \tilde \varepsilon$$
 或者写成张量的形式：
 $$w = \frac{1}{2} \sigma : \varepsilon$$
 {: .definition}
 
-形变能在之后的数值方法中会得到大量的使用。
+应变能在之后的数值方法中会得到大量的使用。
 
 ## 弹性限度
 
 若需要确定某种弹性区的限度，那么这个限度必须是与坐标系的选择无关的，尽管应力和应变张量的表示方法都与坐标系有关。
 
 ### 冯·米塞斯判据
 
-对延性材料，冯·米塞斯（Von Mises）给出了如下判据。
+对延性材料，冯·米塞斯（Von Mises）[^vm]给出了如下判据。
 
-延性材料处于弹性区域中，当：
+[^vm]: 理查德·冯·米塞斯（Richard von Mises，1883年4月19日—1953年7月14日）是知名经济学家路德维希·冯·米塞斯（Ludwig Heinrich Edler von Mises, 1881年9月29日—1973年10月10日）的弟弟。
+
+若延性材料的偏应力张量$s$满足
 $$s : s \le \frac{2}{3} \sigma_e^2$$
-其中$s$是偏应力张量，$\sigma_e$是弹性限度。
+则可认为其仍处于弹性区中。
 {: .proposition}
 
-定义冯·米塞斯等效应力为：
+定义冯·米塞斯等效应力（也称范式等效应力）为：
 $$\sigma_\text{VM} = \sqrt{\frac{3}{2} s : s}$$
 
 则该判据也可写为
@@ -148,6 +152,13 @@ $$\sigma_\text{VM} \le \sigma_e$$
 
 对脆性材料，朗肯（Rankine）给出了如下判据。
 
-脆性材料处于弹性区域中，当其第一主应力小于弹性限度：
+当脆性材料的第一主应力不大于弹性限度时，即
 $$\sigma_1 \le \sigma_r$$
+时，可认为该材料仍然处于弹性区中。
 {: .proposition}
+
+该判据也称最大拉应力理论，适用于脆性材料的脆断。
+
+注意到两种判据的弹性限度的下标不同。
+下标$e$取自`elastic`，而下标$r$取自`rupture`。
+这是因为脱离弹性区后延性材料仍能发生塑性形变，而不会立刻断裂。

_posts/structure-mechanics/2023-11-07-energy-methods.markdown

@@ -91,8 +91,8 @@ $$\varepsilon = \frac{1+\nu}{E} \sigma - \frac{\nu}{E} \Tr(\sigma) \mathbf I$$
 
 首先介绍联系运动学许可的位移场和静力学许可的应力场之间的能量的一条引理。
 
-设$\tilde \bu$为一运动学许可的位移场，$\hat \sigma$为一静力学许可的应力场，则其满足：
-$$\int_V \hat \sigma : \tilde \bu = \int_V \rho \mathbf f \cdot \tilde \bu + \int_{S_F} \bT^D \cdot \tilde \bu + \int_{S_U} (\hat \sigma \vec n) \cdot \tilde\bu^D$$
+设$\tilde \bu$为一运动学许可的位移场，$\tilde \varepsilon$是其对应的变形场，$\hat \sigma$为一静力学许可的应力场，则其满足：
+$$\int_V \hat \sigma : \tilde \varepsilon = \int_V \rho \mathbf f \cdot \tilde \bu + \int_{S_F} \bT^D \cdot \tilde \bu + \int_{S_U} (\hat \sigma \vec n) \cdot \tilde\bu^D$$
 {: .proposition}
 
 利用局部平衡方程，我们有：
@@ -114,14 +114,14 @@ $$\hat \sigma : \nabla \tilde \bu = \frac{1}{2} (\hat \sigma : \mathbf H + \hat
 {: .proof}
 
 这个引理的方程由三个部分组成：
-$$\textcolor{red}{\int_V \hat \sigma : \tilde \bu} = \underbrace{\textcolor{blue}{\int_V \rho \mathbf f \cdot \tilde \bu + \int_{S_F} \bT^D \cdot \tilde \bu}}_{W^D_f (\bu)} + \underbrace{\textcolor{green}{\int_{S_U} (\hat \sigma \vec n) \cdot \tilde\bu^D}}_{W^D_u(\sigma)}$$
-红色的部分是形变能的两倍，在边界条件给定的情况下，蓝色的部分只与位移场有关，而绿色的部分只与应力场有关。
+$$\textcolor{red}{\int_V \hat \sigma : \tilde \varepsilon} = \underbrace{\textcolor{blue}{\int_V \rho \mathbf f \cdot \tilde \bu + \int_{S_F} \bT^D \cdot \tilde \bu}}_{W^D_f (\bu)} + \underbrace{\textcolor{green}{\int_{S_U} (\hat \sigma \vec n) \cdot \tilde\bu^D}}_{W^D_u(\sigma)}$$
+红色的部分是应变能的两倍，在边界条件给定的情况下，蓝色的部分只与位移场有关，而绿色的部分只与应力场有关。
 
 ### 最小势能原理
 
 若能够将系统的可行位移场以解析的形式表示出来，则可使用最小势能原理进行求解。
 
-正规问题中一个运动学可行的位移场$\tilde \bu$对应的总势能为形变能与外力做功之差：
+正规问题中一个运动学可行的位移场$\tilde \bu$对应的总势能为应变能与外力做功之差：
 $$
 \begin{aligned}
 \mathcal U(\tilde \bu) 
@@ -143,7 +143,7 @@ $$\tilde \bu = \bu + \delta \bu$$
 $$\delta \bu = 0, \quad \forall P \in S_U$$
 然后对$\sigma$和$\delta \bu$应用能量基本引理，化简可得：
 $$\mathcal U(\tilde \bu) = \mathcal U(\bu) + \frac{1}{2} \int_V \delta \sigma : \delta \bu$$
-注意到最后一项是形变能，因此必然大于等于零，从而证明该命题。
+注意到最后一项是应变能，因此必然大于等于零，从而证明该命题。
 {: .proof}
 
 如果我们可以将可行的位移场以解析的形式近似（通常是以多项式函数的形式近似），那么就可以直接使用微分的方法求解最小值，从而得出和解析解最接近的估计，这就是有限元分析的原理。
@@ -152,7 +152,7 @@ $$\mathcal U(\tilde \bu) = \mathcal U(\bu) + \frac{1}{2} \int_V \delta \sigma :
 
 若能够将系统的应力表示出来，则可使用最大余能原理。
 
-正规问题中一个静力学可行的应力场$\hat \sigma$对应的总余能为外力做功与形变能之差：
+正规问题中一个静力学可行的应力场$\hat \sigma$对应的总余能为外力做功与应变能之差：
 $$
 \begin{aligned}
 \mathcal H(\hat \sigma) &= W_u^D(\hat \sigma) - W(\hat \sigma) \\
@@ -173,7 +173,7 @@ $$\mathcal U(\bu) - \mathcal H(\sigma) = 0 \iff \mathcal U(\bu) = \mathcal H(\si
 
 从而我们有以下几个命题。
 
-对正规问题的解，其形变能一定满足：
+对正规问题的解，其应变能一定满足：
 $$W = \frac{1}{2} \left(W_u^D (\sigma) + W_F^D(\bu) \right)$$
 {: .proposition}
 

_posts/structure-mechanics/2023-11-13-model-of-beams.markdown

@@ -35,6 +35,7 @@ M_{f3} &= \int_\Sigma x_2 \sigma_{11} \d P
 \end{aligned}
 $$
 
+我们又知道在受点负载的位置，内力应当等于外力，因此可以得到偏微分方程的边界条件。
 利用圣维南定律进行计算时，需要使用到这些边界条件。
 
 ### 圣维南定律
@@ -46,6 +47,9 @@ $$
 
 此处奇点是指梁的性质不连续的点，如受到集中力（包括约束力）的点或横截面积突变的点。
 
+我们能够利用这条定律来求解应力，只需要先利用外力解出内力，然后再用内力解出应力即可。
+已知外力求解应力的问题称为圣维南问题。
+
 #### 圣维南问题
 
 利用圣维南定律，我们可以解决圣维南问题：
@@ -61,13 +65,13 @@ $$
 $$
 
 梁的法向应力和切向应力（剪力）都可以利用该矩阵表示出来。
-$$\sigma_n = \sigma_{11},\ \vec \tau = \sigma_{12} \vec x_2 + \sigma_{13} \vec x_3$$
+$$\sigma_N = \sigma_{11},\ \vec \tau = \sigma_{12} \vec x_2 + \sigma_{13} \vec x_3$$
 
 圣维南问题的方程可写为：
 $$
 \begin{aligned}
 \partial_j \sigma_{ij} &= 0 & \text{（局部平衡方程）} \\
-\partial_{ll} \sigma_{ij} + \frac{1}{1+\nu} \partial_{kk} \sigma_{ij} &= 0 & \text{（相容性方程）} \\
+\partial_{ll} \sigma_{ij} + \frac{1}{1+\nu} \partial_{ij} \sigma_{kk} &= 0 & \text{（相容性方程）} \\
 \end{aligned}
 $$
 
@@ -90,14 +94,15 @@ $$
 $$
 J_i = \int_\Sigma x_i^2 \d S, \quad I = 2 \int_\Sigma \Phi \d S
 $$
-$\Phi$是一个满足以下条件的标量函数：
+$\partial \Sigma$表示$\Sigma$的边界。
+$\Phi$是一个满足以下条件的标量函数，称为应力函数（Stress function）：
 $$
 \begin{aligned}
 \nabla^2 \Phi(x_2, x_3) + 2 &= 0 & \forall P \in \Sigma \\
 \Phi(x_2, x_3) &= 0 &\forall P \in \partial \Sigma
 \end{aligned}
 $$
-$\partial \Sigma$表示$\Sigma$的边界。
+这个函数通常使用数值方法求出。
 {: .proposition}
 
 不出意料地，尽管圣维南问题的约束条件众多，得出的结论能够很好地应用于许多并不满足该要求的梁上。
@@ -153,11 +158,11 @@ $$|\tau|_\text{max} = \frac{3T_2}{2bH}$$
 
 （冯·米塞斯判据）
 延性材料构成的梁的冯·米塞斯判据为：
-$$\sigma_\text{VM} = \sqrt{\frac{2}{3} s_{ij} s_{ij}} = \sqrt{\sigma_{11}^2 + 3 (\sigma_{12}^2 + \sigma_{13}^2)} < \sigma_e$$
+$$\sigma_\text{VM} = \sqrt{\frac{3}{2} s_{ij} s_{ij}} = \sqrt{\sigma_{11}^2 + 3 (\sigma_{12}^2 + \sigma_{13}^2)} = \sqrt{\sigma_N^2 + 3 \tau^2} \le \sigma_e$$
 {: .proposition}
 
 （朗肯判据）
 脆性材料构成的梁的朗肯判据为：
-$$\sigma_\text{I} = \frac{1}{2}\left( \sigma_{11} + \sqrt{\sigma_{11}^2 + 4 \tau^2} \right) < \sigma_{rt}$$
+$$\sigma_\text{I} = \frac{1}{2}\left( \sigma_{11} + \sqrt{\sigma_{11}^2 + 4 \tau^2} \right) \le \sigma_{r}$$
 {: .proposition}