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_drafts/turbulent-flows.markdown

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+title: "湍流"
+categories: ["流体力学"]
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+本章中，我们将主要研究湍流问题。
+
+## 湍流的统计学表述
+
+我们很难给湍流下一个严格的定义，尽管湍流有许多重要的特点。
+这些特点中，最重要也是最明显的一点就是其随机性。
+当我们需要从大量的随机性中寻找规律时，统计学就派上了用场，因此，大多数关于湍流的理论都是统计学理论，我们将研究这些理论中的一小部分。
+
+### 统计学概述
+
+我们使用频率学派的朴素概率论来为湍流进行建模，在这种体系下，可给出任意物理量的平均值（或称期望）的定义：
+
+物理量$\varphi$的平均值定义为：
+$$\overline \varphi(\vec x, t) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \varphi_n(\vec x, t)$$
+其中$N$表示试验次数，$\varphi_n$表示第$n$次试验时测量的值。
+{: .definition}
+
+我们将所有物理量表述成中心化随机变量的形式，以速度（矢量场）和压强（标量场）为例：
+$$\vec U(\vec x, t) = \overline{\vec U} (\vec x, t) + \vec u(\vec x,t), \; P(\vec x, t) = \overline{P}(\vec x, t) + p(\vec x, t)$$
+注意此时我们使用大写字母$P$表示压强。
+
+出于方便考虑，我们可以将求均值这一操作定义为一个算子：
+$$\overline{\cdot}: \; x \mapsto \overline{x}$$
+该算子是*线性*的，且与求导运算具有*交换性*：
+$$
+\def\pd#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\overline{\pd{\vec U}{t}} = \pd{\overline{\vec U}}{t}, \quad
+\overline{\nabla \cdot \vec U} = \nabla \cdot \overline{\vec U}
+$$
+

_posts/fluid-dynamics/2023-09-25-flow-regime-wrt-reynolds.markdown

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+title: "雷诺数与流态"
+categories: ["流体力学"]
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+
+上一章中我们介绍了雷诺数，并且将N-S方程改写为雷诺数相关的形式。
+这一章中，我们将进一步研究雷诺数对流体的影响。
+
+## 低雷诺数流态
+
+根据定义，雷诺数表征了对流项（惯性力）与黏性项（黏性力）之比，因此在雷诺数很低时，对流项可忽略，此时我们可以将N-S方程简化。
+
+雷诺数较低时，流体的运动方程为：
+$$
+\def\pd#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\left\{
+    \begin{aligned}
+    &\pd{\vec U}{t} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec U \\
+    &\nabla \cdot \vec U = 0
+    \end{aligned}
+\right.
+$$
+该方程称为**斯托克斯方程**（Stokes equation），对应的流动称为*斯托克斯流*或*蠕流*（creeping flow）。
+{: .proposition}
+
+若边界条件允许，则充分发展（$t \to \infty$）的蠕流总是处于定常态（$\pd{}{t} = 0$），此时该方程可进一步改写为：
+$$\mu \nabla^2 \vec U = \nabla p, \quad \nabla \cdot \vec U = 0$$
+
+蠕流相对于其他雷诺数较高的流态非常简单，然而其条件却非常严格。
+注意到我们要求$Ul \ll \nu$，对水而言，常温下其运动学粘度约为$10^{-6}\ m^2/s$，其速度必须远小于该值。
+这种流态通常只见于微观系统（如毛细血管）和黏度甚大的系统（如岩浆或熔岩的流动）。
+
+## 高雷诺数流态
+
+在高雷诺数下，我们可如法炮制忽略方程中的黏性项：
+
+雷诺数较高且*黏性项可忽略*时，流体的运动方程为：
+$$
+\left\{
+    \begin{aligned}
+    &\pd{\vec U}{t} + (\vec U \cdot \nabla) \vec U = - \frac{1}{\rho} \nabla p \\
+    &\nabla \cdot \vec U = 0
+    \end{aligned}
+\right.
+$$
+该方程称为**欧拉方程**。
+{: .proposition}
+
+相较于斯托克斯方程，欧拉方程引入了一个非线性项，使得系统的行为变得非常复杂。
+
+值得注意的是，雷诺数高是忽略黏性项的*必要不充分*条件，这是因为黏性项和流速的梯度高度相关。
+如果流动中存在速度梯度非常大的区域，那么该区域的黏性项就不可忽略。
+
+这又导致了一个新的问题，即黏性项被忽略时的边界条件问题。
+我们只是假设黏性项可被忽略，而并非完全假设流体是无黏性的。
+因此，在流体的边界处，其依然必须遵守无滑移条件，即边界点处的速度必须和界面相同。
+然而，若使用欧拉方程对流体进行建模，则该流体不遵守无滑移条件。
+因此，在界面附近，流体的速度梯度会非常巨大，这会导致黏性项不能被忽略。
+为此，我们引入边界层的概念来解决这一问题。
+
+### 边界层
+
+**边界层**（boundary layer，又称附面层）是在雷诺数较高的流态下，流体中紧贴界面的部分。
+即使雷诺数趋于无穷，该层中流体的黏性仍不可忽略。
+{: .definition}
+
+在附面层以外的区域，我们可以直接使用无黏性的模型。
+
+边界层的厚度$\delta$通常极小，以飞机机翼为例，其厚度常在厘米至毫米的数量级上。
+且当雷诺数趋于无穷大时，边界层厚度趋于无穷小。
+雷诺数适中时，边界层中的流动是层流；而当雷诺数高达$10^6$时，边界层中也会出现湍流。
+
+边界层是为了求解模型简单而人工定义的数学模型，因此其边界可以任意选择，习惯上选择距离界面尽量近而不致于影响模型准确性的位置，以降低黏性的影响。
+一般情况下，附面层的边界与流线重合，这是为了避免流体粒子穿过边界而相互影响。
+选择流线作为附面层的边界会导致附面层最终脱离流体中的界面，并向无穷远处延伸。
+
+如果流体中的物体不按流线型设计，则附面层会在离开物体前从物体表面上脱离。
+这种提前脱离的边界边界将流体分为三个部分：
+附面层外的无黏性区，界面附近的附面层，以及边界延长线包围的区域，称为*尾流*。
+
+### 流态变化
+
+随着雷诺数的上升，流体的“稳定性”逐渐下降。
+
+以流体中的圆柱体为例
+雷诺数在$1$左右时，流体仍能形成较稳定的层流；
+雷诺数在$10$左右时，尾流中出现*尾涡*；
+雷诺数在$50$左右时，尾涡的稳定性丧失并脱落，在$150$左右时形成*卡门涡街*；
+雷诺数在$10^3$至$10^4$左右时，尾流发生转捩，从而出现湍流；
+雷诺数在$10^6$左右时，附面层发生转捩，从而出现湍流。
+
+### 射流
+
+## 二维附面层的定量表述
+
+我们接下来研究如何对附面层进行定量的描述。
+
+### 普朗特方程
+
+我们考虑二维空间中的一个长度为$l$的表面附近的附面层，厚度为$\delta$。
+设该表面沿$x$轴放置，流速与其同向，大小为$U$，$y$轴与其正交，指向平面之外。
+设流体为定常流动。
+
+可估计几个重要物理量和算子的数量级：
+$$U_x = U, \; \pd{}{x} \sim l^{-1}, \; \pd{}{y} \sim \delta^{-1}$$
+
+代入流体不可压缩的等式，可得：
+$$ \pd{U_x}{x} + \pd{U_y}{y} = 0 \implies U_y \sim \frac{\delta}{l} U$$
+
+然后考虑动量方程，先考虑在$x$轴上的投影：
+$$U_x \pd{U_x}{x} + U_y \pd{U_x}{y} = - \frac{1}{\rho} \pd{p}{x} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}$$
+注意到黏性项第一项的数量级为：
+$$\nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} \sim \nu \frac{U}{l^2}$$
+显著低于其他项，因此可忽略此项，得到：
+$$U_x \pd{U_x}{x} + U_y \pd{U_x}{y} = - \frac{1}{\rho} \pd{p}{x} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}$$
+左侧两项的数量级为$\frac{U^2}{l}$，而右侧黏性项的数量级为$\frac{\nu U}{\delta^2}$，等式两侧的数量级相等，因此我们可得：
+$$\frac{U^2}{l} \sim \frac{\nu U}{\delta^2} \implies \frac{\delta}{l} \sim \sqrt{\frac{\nu}{Ul}} = \sqrt{\mathrm{Re}^{-1}}$$
+这可说明$\delta \ll l$。
+另一方面，我们可求出压强的数量级：
+$$\frac{p}{\rho l} \sim \frac{U^2}{l} \implies p \sim \rho U^2$$
+
+考虑其在$y$轴上的投影：
+$$U_x \pd{U_y}{x} + U_y \pd{U_y}{y} = - \frac{1}{\rho} \pd{p}{y} + \nu \frac{\partial^2 U_y}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}$$
+左侧两项的数量级为$\frac{\delta U^2}{l^2}$，黏性项的数量级分别为$\frac{\nu\delta U}{l^3}$和$\frac{\nu U}{\delta l}$，压强项为$\frac{U^2}{\delta}$。
+数量级分析说明其他四项显著小于压强项，从而方程可写为：
+$$\frac{1}{\rho} \pd{p}{y} = 0$$
+
+这就给出了附面层的方程：
+
+附面层的流动可由以下方程表述：
+$$
+\left\{
+    \begin{aligned}
+    &U_x \pd{U_x}{x} + U_y \pd{U_x}{y} = - \frac{1}{\rho} \pd{p}{x} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} \\
+    & \pd{p}{y} = 0\\
+    &\nabla \cdot \vec U = 0
+    \end{aligned}
+\right.
+$$
+该方程称为**普朗特方程**（Prandtl equation）。
+{: .proposition}
+
+利用曲线自然坐标系，我们也可以将该结果用于任何非平面的表面上。
+
+我们在之前的分析中写道$U_y \sim \frac{\delta}{l} U$，而之后又有$\delta \ll l$，从而我们不难发现流体的切向速度远小于流向速度。
+
+### 普朗特方程的边界条件
+
+普朗特方程有三个重要的边界条件：表面条件、一致条件和初始条件。
+
+#### 表面条件
+
+普朗特方程描述的是附面层中的有黏性流动，因此必须遵守无滑移条件：
+$$U_x(x, 0) = 0,\quad U_y(x, 0) = 0$$
+
+#### 一致条件
+
+根据黏性流动的要求，附面层与无黏性区域的交界上，流体粒子的流速必须相同：
+$$U_x(x, \delta) = U_e(x), \quad p(x, \delta) = p_e(x)$$
+方程中不含有$y$轴流速，因此使用压强表示。
+下标$e$表示外界，即无黏性区。
+
+如果只考虑附面层的流动，则$y$轴坐标可视为在正实数中取值，而非仅能在$[0, \delta]$中取值，此时边界条件可写为：
+$$U_x(x, \infty) \to U_e(x), \quad p(x, \infty) \to p_e(x)$$
+
+习惯上选择实际流体速度为无黏性流体速度的$99\%$处作为附面层的起始点。
+
+#### 初始条件
+
+和任何外流一样，我们也有初始条件：
+$$U_x(x_0, y) = U_0(y)$$
+
+### 消去压力项
+
+注意到流体中压力关于$y$坐标的偏导为零，因此附面层中的压力始终和外界施加的压力相等。
+
+再对外流应用伯努利定理，可得：
+$$
+\def\d{\mathrm{d}}
+p_e + \frac{1}{2} \rho U_e^2 = C \implies \pd{p}{x} = \frac{\d p_e}{\d x} = - \rho U_e \frac{\d U_e}{\d x}$$
+从而我们可以得到不含压力项的普朗特方程。
+
+普朗特方程及其边界条件可写为：
+$$
+\left\{
+    \begin{aligned}
+    &U_x \pd{U_x}{x} + U_y \pd{U_x}{y} = U_e \frac{\d U_e}{\d x} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} \\
+    &\nabla \cdot \vec U = 0 \\
+    & U_x(x, 0) = 0, \quad U_y(x, 0) = 0 \\
+    & U_x(x, \infty) \to U_e(x) \\
+    & U_x(x_0, y) = U_0(y)
+    \end{aligned}
+\right.
+$$
+{: .proposition}