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_posts/fluid-dynamics/2023-09-13-intro-2-tensor-analysis.markdown

@@ -85,7 +85,8 @@ $$(U \otimes V)_{i_1 i_2 \cdots i_{n+m}} = U_{i_1 \cdots i_n} \times V_{i_{n+1}
 
 一个$p$阶的张量和一个$q$阶的张量的缩并（点乘、内积）是一个$p+q-2$阶的张量：
 $$P \cdot Q = u_{i_1 i_2 \cdots k \cdots i_p} v_{j_1 j_2 \cdots k \cdots j_q}$$
-其中$k$是按语境确定的一个常数，通常是第一个张量的最后一个指标和第二个张量的第一个指标。
+其中$k$是按语境确定的一个求和指标，通常是第一个张量的最后一个指标和第二个张量的第一个指标，这种情况下可以写成：
+$$P \cdot Q = u_{i_1 i_2 \cdots i_{p-1} k} v_{k j_2 \cdots j_q}$$
 {: .definition}
 
 使用两个指标进行的缩并称为双点乘，常出现在二阶张量中，定义为：
@@ -141,7 +142,8 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-特别地，在力学中常常见到$(\vec U \cdot \nabla)\vec V$的形式，此时该算子$(\vec U \cdot \nabla)$应被理解成$U\_i \partial\_i$的形式：
+利用爱因斯坦求和约定，我们可以非常方便地表示各种拉普拉斯算符，只需要将$\nabla$替换为$\partial\_i$即可。
+例如，在力学中常常见到$(\vec U \cdot \nabla)\vec V$的形式，此时根据内积的定义，该算子$(\vec U \cdot \nabla)$应被理解成$U\_i \partial\_i$的形式：
 $$
 (\vec U \cdot \nabla) \vec V = U_j \partial_j V_i = 
 \begin{pmatrix}
@@ -150,7 +152,7 @@ U_x \frac{\partial V_y}{\partial x} + U_y \frac{\partial V_y}{\partial y} + U_z
 U_x \frac{\partial V_z}{\partial x} + U_y \frac{\partial V_z}{\partial y} + U_z \frac{\partial V_z}{\partial z} \\
 \end{pmatrix}
 $$
-也可以理解成$\vec U$乘$\vec V$的梯度张量的形式：
+如果不使用求和约定，则可以理解成$\vec U$乘$\vec V$的梯度张量的形式：
 $$
 (\vec U \cdot \nabla) \vec V = 
 \begin{pmatrix}
@@ -165,7 +167,10 @@ U_x & U_y & U_z
 $$
 甚至理解成$\vec V$的雅可比矩阵乘$\vec U$的形式。
 
-同理，我们也可以使用类似的符号来将散度定理简化并一般化：
+再例如，对张量的二阶拉普拉斯算子：
+$$\Delta U = \nabla \cdot \nabla U = \partial_i \partial_i U_j$$
+
+我们可以使用类似的符号来将散度定理简化并一般化：
 $$
 \begin{aligned}
 \iiint_V \nabla \cdot \vec u \mathrm d v &= \iint_S \vec u \cdot \mathrm d \vec S \\

_posts/fluid-dynamics/2023-09-18-kinematic-and-fundamental-laws.markdown

@@ -81,18 +81,20 @@ $$\frac{\mathrm d \varPhi(t)}{\mathrm d t} = \iiint_{D(t)} \frac{\partial \varph
 若控制体随流体一起运动，则$\vec W = \vec U$；
 若控制体不动，则$\vec W = 0$。
 
+雷诺定理可视为变限积分求导的莱布尼茨法则在三维上的推广。
+
 ### 不可压缩性
 
 现在欲计算随流体运动的控制体的体积随时间的导数，令$\varphi = 1$，则$\varPhi = V$，代入雷诺定理，可得：
-$$\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t} = \iint_S \vec U \cdot \vec n \mathrm d S = \iiint_{D} \nabla \vec U \mathrm d \nu$$
+$$\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t} = \iint_S \vec U \cdot \vec n \mathrm d S = \iiint_{D} \nabla \cdot \vec U \mathrm d \nu$$
 
 取体积微元$V = \nu$，可得：
-$$\frac{\mathrm d \nu}{\mathrm d t} = \nu \nabla \vec U$$
+$$\frac{\mathrm d \nu}{\mathrm d t} = \nu \nabla \cdot \vec U$$
 
 从而我们有以下命题：
 
 一流体不可压缩，即微粒的体积不随时间变化，当且仅当
-$$\nabla \vec U = 0$$
+$$\nabla \cdot \vec U = 0$$
 {: .proposition}
 
 上文已经提出了一个证法，现在利用密度提出另一个证法。
@@ -284,7 +286,7 @@ $$
 
 受表面力和体积力的流体的运动方程为：
 $$\rho \frac{\D \vec U}{\D t} = \nabla \cdot \sigma + \rho \vec f$$
-其中$\sigma$是应力张量，其散度定义为：
+其中$\sigma$是应力张量，其散度定义为[^1]：
 $$(\nabla \cdot \sigma)_i = \partial_j \sigma_{ij}$$
 向量的物质导数定义为：
 $$\left(\frac{\D \vec U}{\D t}\right)_i = \frac{\D U_i}{\D t}$$
@@ -300,4 +302,15 @@ $$
 \right.
 $$
 前者表示质量（密度）的变化，后者表示速度的变化，物质导数可展开为：
-$$\frac{\D}{\D t} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec U \cdot \nabla = \frac{\partial}{\partial t} + U_1 \frac{\partial}{\partial x_1} +  + U_2 \frac{\partial}{\partial x_2} +  + U_3 \frac{\partial}{\partial x_3}$$
+$$\frac{\D}{\D t} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec U \cdot \nabla = \frac{\partial}{\partial t} + U_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + U_2 \frac{\partial}{\partial x_2} + U_3 \frac{\partial}{\partial x_3}$$
+
+对动量方程应用改写的雷诺定理，令控制体固定，设$\chi = \vec U$，可得：
+$$\frac{\d}{\d t} \iiint_D \rho \vec U \d v = \iiint_D \rho \frac{\D \vec U}{\D t} \d v + \iint_S \rho \vec U \cdot \vec U \cdot \mathrm d \vec S$$
+再将物质导数展开，可得动量方程的积分形式。
+
+动量方程的积分形式为：
+$$\frac{\d}{\d t} \iiint_D \rho \vec U \d v = \iiint_D \rho \vec f \d v + \iint_S (\sigma + \rho \vec U \cdot \vec U) \d \vec S$$
+{: .proposition}
+
+[^1]: 值得注意的是，该处定义与张量数乘的定义不同。一致的定义应为：$$(\nabla \cdot \sigma)_i = \partial_j \sigma_{ji}$$
+考虑到$\sigma$是*对称的*，这两种定义对应力张量是等价的。

_posts/fluid-dynamics/2023-09-19-newtonian-viscous-fluid.markdown

@@ -102,7 +102,7 @@ $$(\nabla \cdot \tau)_i = \partial_j \tau_{ij} = \mu \partial_{jj} U_i \iff \nab
 $$
 \left\{
     \begin{aligned}
-    &\pDt{\vec U} = - \frac{1}{\rho} \nabla \rho + \frac{\mu}{\rho} \Delta \vec U + \vec f \\
+    &\pDt{\vec U} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \frac{\mu}{\rho} \Delta \vec U + \vec f \\
     &\nabla \cdot \vec U = 0
     \end{aligned}
 \right.
@@ -147,7 +147,7 @@ $$\sigma = - p \mathbf I$$
 $$
 \left\{
     \begin{aligned}
-    &\pDt{\vec U} = - \frac{1}{\rho} \nabla \rho + \vec f \\
+    &\pDt{\vec U} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec f \\
     &\nabla \cdot \vec U = 0
     \end{aligned}
 \right.