Transformacións de Moebius

Unha Transformación de Moebius é unha función de variable complexa da forma $f(z)= \frac{az+b}{cz+d}$ onde $ a,b,c,d \in \mathbb{C}$ e $ ad-bc \neq 0 $
A súa definición pode extenderse ao $\infty$ $(\mathbb{C} ^*=\mathbb{C} \cup {\infty}$ = Esfera de Riemann ) coas seguintes consideracións:

• $f(\infty)=\frac{a}{c}$
• $f(-\frac{d}{c})=\infty$

Propiedades

• Son funcións holomorfas (infinitamente diferenciables en todo $ \mathbb{C}^*$).
• Teñen dous puntos fixos (contados coa súa multiplicidade).
• Son aplicacións conformes (en $\mathbb{C}$) que levan circunferencias en circunferencias, onde unha recta é considerada tamén unha circunferencia "pechándose" ao pasar polo punto do $\infty$.
• A composición de transformacións de Moebius é tamén unha transformación de Moebius (de feito forman un grupo de Lie)
• O grupo das transformacións de Moebius forman un grupo que ten como subgrupo o subconxunto formado polas transformacións que verifican que $ad-bc=1$
• Os elementos deste subgrupo transforman o semiplano superior H en si mesmo constituindo un modelo de estructura xeométrica hiperbólica de Poincaré
• As transformacións da forma $ f(z)=e^{i\phi}\frac{z+b}{\bar bz+1}$ con $\phi \in \mathbb{R}$ e $b \in \mathbb{C}, |b|<1$ son aplicacións conformes e bixectivas sobre o disco de raio 1 que constitúen outro modelo de xeometría hiperbólica
• O elemento dese subgrupo $ f(z)=\frac{z+i}{\bar iz+1}$ é unha bixección conforme entre o semiplano superior e o interior do disco de raio 1.

Visualización das transformacións

Distinguiremos 9 casos:

1.Transformación Aleatoria xerando aleatoriamente a,b,c,d no rectángulo [-1,1]x[-1,1]
2.Inversión $f(z)=\frac{1}{z}$
3.Transformacións que deixan invariante o disco unidade $ f(z)=e^{i\phi}\frac{z+b}{\bar bz+1}$ con $\phi \in \mathbb{R}$ e $b \in \mathbb{C}, |b|<1$
4.Isomorfismo entre o o disco e o semiplano superior $ f(z)=\frac{z+i}{ iz+1}$
5.Transformacións Parabólicas do tipo $ f(z)=\frac{z+\lambda}{ 0z+1}$ Son translacións do plano complexo que deixan invariante o punto do infinito
6.Transformacións Circular, do tipo $a=i$ , $b=0$ , $c=-i$ , $d=0$
7.Transformacións Elípticas, do tipo $a=cos\alpha$ , $b=-sen\alpha$ , $c=sen\alpha$ , $d=cos\alpha$
ou equivalentemente $a=e^{i\theta/2}$ , $b=0$ , $c=e^{-i\theta/2}$ , $d=0$
8.Transformacións Hiperbólicas, do tipo $a=e^{\theta/2}$ , $b=0$ , $c=e^{-\theta/2}$ , $d=0$
9.Transformacións Loxodrómicas, do tipo $a=\lambda$ , $b=0$ , $c=\lambda^{-1}$ , $d=0$ con $\lambda + \lambda^{-1} \in \mathbb{C} - [0,4]$