프로젝트 설명 - 수학과 물리에 대한 2D프로젝트에서 공부를 실습하기 위한 프로젝트입니다
기본 공부는 2D프로젝트를 통해 복습할 것이며, MathNPhysics에서 3D프로젝트로 심화 복습을 할 예정입니다
+++ 21.09.부터 패스트 캠퍼스 강의를 토대로 정리
- 수학
- 물리
삼각함수는 주기를 그리는 필수적인 요소이다 게임에서의 원형 등과 같은 패턴을 그려낼때도 자주 사용된다
삼각함수를 계산하는 방법은 다음과 같다
이 때, 빗변의 길이를 1로 계산하면 sinΘ = a,cosΘ = b가 되고
피타고라스의 정리에 의해 a^2 + b^2 = sinΘ^2 + cosΘ^2 = 1^2로도 정리된다
이 c = 1인 상황을 이용해서, (x = cosΘ, y = sinΘ) 좌표로 원을 그릴 수 있다.
삼각함수를 이용해서 패턴을 그려낼 수 도있다.
+++ 삼각함수 패턴 그리기 구현 코드
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Math/TriFunc
+++ 삼각함수 각도에 따른 항등식
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98_%ED%95%AD%EB%93%B1%EC%8B%9D
벡터의 내적은 다음과 같이 계산한다
a · b = a1*b1 + a2*b2 = |a||b| * cosΘ (단, a = (a1, a2), b = (b1, b2))
이때 벡터의 내적을 단위벡터를 통해 계산하면 |a|, |b|는 1이 된다
벡터의 내적은 이렇게 활용할 수 있다
위 그림을 보면 Θ = 90이고 c,d벡터가 같은 평면에 있다고 가정했을 때, d벡터가 c벡터를 기준으로 90도 안에 있는지 확인하는데 활용할 수 있다
Vector3.Dot(c, d)는 단위벡터로 계산하면 cosβ가 된다
이때 cosβ가 cosΘ(= cos90)보다 크다면 d벡터가 c벡터를 기준으로 90도 안에 있게 된다
원리는 cosβ가 cosΘ보다 크다면 Θ보다 β가 작은 각도가 된다 (단 0 <= Θ <= 90, 0 <= β <= 90) + cos그래프 참고
벡터의 내적을 통해 다음과 같이 손전등으로 유령을 찾는 코드를 구현할 수 있다
이렇게 Gost가 있다고 했을 때, Gost는 미리 setActive(false)한다
기본적으로 손전등과 Gost의 거리가 5이하이고, 손전등에서의 60도 사이에 Gost가 있는지 내적을 통해 확인한다
for (int i = 0; i < gosts.Length; i++)
{
Vector3 bVector = gosts[i].transform.position - transform.position;
if (((gosts[i].transform.position - transform.position).magnitude <= 5) &&
Vector3.Dot(transform.up, bVector.normalized) > Mathf.Cos(lightAngle * Mathf.Deg2Rad))
gosts[i].SetActive(true);
else
gosts[i].SetActive(false);
}
다음코드를 통해 벡터 내적의 범위를 아래코드를 통해 그려볼 수도 있다
for (float i = 90 - lightAngle; i < (90 + lightAngle); i++)
Debug.DrawRay(transform.position, new Vector3(Mathf.Cos(i * Mathf.Deg2Rad), Mathf.Sin(i * Mathf.Deg2Rad), 0) * 5, Color.yellow);
2 - 1) 벡터의 내적을 통한 두 벡터사잇각
두 벡터가 이루는 사이각을 구하는 방법은 벡터의 내적을 활용하는 것이다
두 벡터의 성분값을 알면 사잇각을 계산할 수 있다
두 벡터의 내적은 a · b = a1*b1 + a2*b2 = |a||b| * cosΘ 이므로
a = (1, 0), b = (0.5, -0.5) 의 내적을 계산하면 0.5이다
따라서 a, b벡터가 단위벡터이면, |a|, |b|는 1이고 cosΘ = 0.5, Θ = 𝝿 / 4(45°)
이를 C#에서는 다음과 같이 표현할 수 있다.
Vector3 a = new Vector3(1, 0, 0);
Vector3 b = new Vector3(0.5f, 0, -0.5f);
float betweenAngle = Mathf.Acos(Vector3.Dot(a, b)) * Mathf.RadToDeg;사잇각(betweenAngle)은 내적결과를 Acos함수를 통해 각도를 얻을 수 있다
이때 반드시 Acos값에 Mathf.RadToDeg값을 곱해줘야지 라디안 각도를 얻을 수 있다
다음은 Acos에 대한 C# Docs이다
+++ 벡터의 내적 구현 코드
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Math/VectorDotProduct
+++ 벡터의 내적 구현 난항
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Math/VectorDotProduct
벡터의 외적은 다음과 같이 계산한다
벡터의 외적을 통해서 두 벡터에 수직인 벡터를 구할 수 있다
이때 수직인 벡터는 a x b 일때, 오른손으로 a벡터에서 b벡터쪽으로 감쌀때 엄지손가락이 향하는 방향이라고 한다
2d에서 벡터의 외적을 통해 z값을 통해 두 오브젝트간의 위치관계를 알 수 있다
반대로 Player가 위에 있게된다면 z 값이 음수값이 되는 것이다
+++ 벡터의 외적 구현 코드
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Math/VectorCrossProduct
행렬은 유니티에서의 Transform 정보를 행렬로 나타낼 수 있고 해당 하는 행렬의 이동, 회전, 크기에 대해서 쉽게 계산할 수 있다
행렬의 변환은 다음 사진을 참고해서 설명한다
이동할때에는 T행렬을 기존 동차좌표계에 곱해주고, 신축할때에는 S행렬을 기존 동차좌표계에 곱해준다
마지막으로 회전을 할때에는 각각의 축에 맞게 Θ값을 대입해서 곱해주면 된다
다음은 3차원 좌표에 점 a(1, 0, 0)가 있을때 이 점을 z축을 기준으로 90도 회전한다면 해당 점의 위치가 어떻게 바뀌는지에 대한 예시이다
행렬 변환을 하기위해 행렬을 곱하는 순서가 있다TR(y -> x -> z)S순서이다
따라서 RST순으로 곱하게 된다면 잘못된 값이 나오니 주의하자
그렇다면 유니티에서도 실제로 동일한 값이 나올지 연산을 통해 transform정보를 추출해보고, 직접 이동/회전/신축을 통한 object의 transform 정보도 보도록하자
다음의 tranform 정보를 가지고 있는 Object를
x축으로 2, y축으로 1만큼 이동하고
x축을 기준으로 45도, z축을 기준으로 45도 회전하고
x,y,z에 대해서 3배 신축해주려고 한다
Matrix4x4 directConversionMatrix = transform.localToWorldMatrix;
directConversionMatrix = Matrix4x4.Translate(tran) * Matrix4x4.Rotate(rota) * Matrix4x4.Scale(scale);
// 또는 다음과 같이 연산해줄 수 있다
directConversionMatrix = Matrix4x4.TRS(tran, rota, scale);Conversion을 연산한 결과와 에디터에서 직접 이동/회전/신축한 object의 행렬값은 다음과 같았다
+++ 행렬 구현 코드
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Math/Matrix
+++ 계산된 행렬을 추출하여 scale, rotation, posion으로 assing 하는 방법(★★★★★)
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Math/Matrix#readme
AddForce 함수가 있다 addForce함수는 다음과 같다
Rigidbody2D.AddForce(힘 작용 방향, ForceMode2D.Impulse / ForceMode2D.Force);
forceMode란 힘을 가하는 방식에 대해 이야기 하려고한다
ForceMode.Force는 짧은 시간에 발생하는 운동량 변화의 크기를 나타내며
주로 바람이나 자기력처럼 연속적으로 주어지는 힘을 나타내는 데 이용 된다.
ForceMode.Impulse는 충격량을 리지드바디에 주는 모드로 힘의 크기와 주는 시간을 곱한 수치다.
주로 타격이나 폭팔처럼 순간적으로 힘을 나타내는 데 이용된다.
f = ma 라는 공식을 가지고 있으며 등가속도운동에서 다음과 같은 공식이 성립한다
v = v0 + at,v = v0 * t + at^2 / 2,2as = v^2 - v0^2
at = Δv라는 식을 통해 다음과 같이도 나타낼 수 있다.v = v0 * t + Δv * t
I 는 충격량을 나타내며, Impulse라고 한다
F * Δt = mv - mv0 = Δp = I,F = (mv - mv0) / Δt = Δp / Δt = I / Δt
포물선 운동은 대표적인 등가속도 운동이다
시작점을 A, 최고높이를 B, 다시 땅에 떨어진 지점을 C라고 하면 각 위치에서의 속도와 위치 좌표는 다음과 같다
A.x : Vx = v * cosΘ, Sx = 0
Ay : Vy = v * sinΘ, Sy = 0
이때 곱해주는 v는 v0의 크기와 같다
따라서 rb2D.AddForce(tranform.right * 10, ForceMode.Inpuluse);로 쏘아올릴 경우 단위 백터 * 10 한 크기이므로 v = 10 이된다
B.x : Vx = v * cosΘ, Sx = cosΘ * t
B.y : Vy = v * sinΘ - gt, Sy = v * sinΘ * t - gt^2 / 2
B지점에서 Vx의 속도가 동일한 이유는 x방향으로의 가해지는 힘이 없으므로 속도는 변하지 않는다(v = v0 + at)
B지점에서 Vy, Sy를 구하는데 다음의 공식이 사용된다 v = v0 + at, s = v0 * t + at^2 / 2
C.x : Vx = v * cosΘ, Sx = v * cosΘ * 2t
C.y : Vy = v * sinΘ - 2gt = -v * sinΘ, Sy = v * sinΘ * t - g(t^2) / 2 = 0
C지점에서의 Vy, Sy의 식을 정리하는데는 다음의 정의가 들어간다. B지점에서 Vy = v * sinΘ - gt = 0 이므로 t = v * sinΘ / g을 대입하면 식이 정리된다
이동거리와 최대높이에 대한 식을 t = v * sinΘ / g통해 정리하면 다음과 같다
B.Sy = (v * sinΘ)^2 / 2g
C.Sx = v^2 * sin2Θ / g (배각공식 : 2sinΘcosΘ = sin2Θ)
+++ 힘과 운동에서의 포물선 운동 구현 코드
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Physics/ForceNMotion
마찰력은 경사면에서 물체가 내려갈 때에 영향을 준다 이때 영향을 미치는 힘은 다음과 같다
물체가 움직이려면 내려가는 힘이 정지마찰력보다 커야하므로 mg * sinθ > f = υ*N이 성립해야한다
따라서 다음의 공식이 만들어진다 mg * sinθ > υ * mg * cosθ
유니티에서 mg * sinθ과 υ * mg * cosθ는 다음과 같이 나타낼 수 있다
mass, gravity, angle, friction값이 필요하다
void Start()
{
rb2D = GetComponent<Rigidbody2D>();
boxCollider2D = GetComponent<BoxCollider2D>();
mass = rb2D.mass; //질량(m)
gravity = 9.87f * rb2D.gravityScale; //중력(g) - 기본값 9.87f에 rb2D.gravityScale을 곱해준다
}
private void OnCollisionEnter2D(Collision2D collision)
{
friction = Mathf.Min(collision.collider.GetComponent<BoxCollider2D>().friction, boxCollider2D.friction);
//2D Friction은 두 오브젝트의 최솟값을 이용한다
float tmp = collision.collider.transform.rotation.eulerAngles.z;
if (!(tmp >= 0 && tmp <= 90))
angle = 360 - tmp;
else
angle = tmp;
//angle값은 0 < θ < 90이 아닐경우 debug값이 달라진다
}
playerObject의 PhysicsMaterial2D이나 collider의 PhysicsMaterial2D를 변경하려면 다음과 같이 할 수 있다
...
public PhysicsMaterial2D lowFriction;
boxCollider2D.sharedMaterial = lowFriction;
//여기서 boxCollider2D는 boxCollider2D = GetComponent<BoxCollider2D>();를 의미한다
+++ FrictionalForce 구현 코드
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Physics/FrictionalForce
저항력이란, 물체가 운동할 때 주변 유체의 의해 단면적 등에 비례하여 작용하는 힘이다
따라서 물체가 한 번 정해진 속도로 이동할때, 지속적으로 저항력이 가해진다면 결국 물체는 정지하며
물체가 일정한 속도로 이동한다면, 지속적으로 저항력에 의해 속도가 감소하여 원하는 속도보다 못미치는 속도로 운동할 것이다
유니티에서는 저항력을 단순하게 다음과 같이 나타낸다
ν = ν * (1 - D * Δt)
따라서 유니티에서 기본적으로 지원하는 drag속성값을 사용하지 않더라도
물체의 velocity값에 유니티 유체저항력을 적용시켜주면 Rigidbody2D의 drag속성과 동일하게 작용할 것이다.
위의 case가 rigidbody.drag = 0.5가 적용되었고, 아래의 case에는 rigidbody.drag = 0으로 설정하고 다음과 속도를 변화시켜준다
rb2D.velocity = rb2D.velocity * (1 - 0.5f * Time.deltaTime);
추가적으로 문득 이런 생각이 들었다
drag속성에 의해 속도가 줄어드는 것을 외부의 힘에 의해 addForce(운동방향과 반대방향)로도 표현할 수 있지 않을까?
테스트 조건은 다음과 같다 rigidbody.drag = 0;
e.GetComponent<Rigidbody2D>().AddForce(-e.transform.right * 0.1f, ForceMode2D.Force);
이 때 e는 저항체이다
ray의 범위에 들어오면 곧바로 외부의 힘이 가해지는데 따라서 해당 물체의 속도는 다음과 같이 변화한다
+++ ResistanceForce 구현 코드
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Physics/ResistanceForce
돌림힘이란, 물체를 돌리는데 필요한 힘이며 관성모멘트 값, 질량 값에 따라 변화한다 다만 유니티에서는 해당 부분을 제외한다
해당 힘은 다음과 같은 공식으로 구한다 τ = r * F
유니티에서 해당 물체에 일정한 힘으로 회전운동을 가하는 방법은 다음과 같다
rb2D.AddTorque(movePower, ForceMode2D.Impluse);
게임에서 특정 물체를 돌리려면 일정 이상의 돌림힘일 때, 돌아가도록 구현을 할 수 있을 듯하다.
하여 해당 물체는 돌림힘이 100 이상일 때 돌아갈 수 있도록 코드를 준비했다
if (crossVector.z > 0 && torque > 100) //벡터의 외적을 통해 회전방향을 설정한다 시계/반시계
{
isClock = false; //반시계 방향으로 회전한다
StartCoroutine("RotateDoor", torque / 4);
}
else if (crossVector.z < 0 && torque > 100)
{
isClock = true; //시계방향으로 회전한다
StartCoroutine("RotateDoor", torque / 4);
}
이때 torque는 float torque = 1 * a * r.magnitude;로 계산하며 아래는 r에 따른 돌림힘 debug와 그 결과이다
+++ torqueForce 구현 코드
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Physics/TorqueForce
+++ torqueForce 구현간의 난항
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/blob/main/Assets/Scenes/Physics/TorqueForce/README.md
탄성력이란 고체의 변형에 의하여 생기는 힘으로 처음의 상태로 되돌아가려는 성질 때문이다
충돌 탄성에서는 3가지 경우에 따라 두 물체사이에서의 운동량의 차이가 생긴다
다음은 위에서 부터 완전탄성/비탄성충돌/완전비탄성충돌에 대한 예시이다
운동량은 다음과 같다 p = m * v
따라서 운동량은 m1 * v1 + m2 * v2 = m'1 * v'1 + m'2 * v'2
+++ 탄성력 구현 코드
https://github.com/mw08081/MathNPhysics2D/tree/main/Assets/Scenes/Physics/ElasticForce