Kleinigkeiten

SS10/Ana2Bachelor.tex

@@ -253,7 +253,7 @@ \chapter{Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit}
 \end{definition*}
 
 \begin{beispiele}
-\item $f(x,y)=(x+y,xy,xe^y); \displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)}f(x,y)=(2,1,e)$, denn: ist $((x_k, y_n))$ eine Folge mit $(x_k,y_k)\to(1,1)\folgtnach{2.1}x_k\to 1, y_k\to 1 \folgt x_k+y_k\to 2, x_ky_k\to 1, x_ke^{y_k}\to e\folgtnach{2.1}(x_k,y_k)\to(2,1,e)$.
+\item $f(x,y)=(x+y,xy,xe^y); \displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)}f(x,y)=(2,1,e)$, denn: ist $((x_k, y_k))$ eine Folge mit $(x_k,y_k)\to(1,1)\folgtnach{2.1}x_k\to 1, y_k\to 1 \folgt x_k+y_k\to 2, x_ky_k\to 1, x_ke^{y_k}\to e\folgtnach{2.1}(x_k,y_k)\to(2,1,e)$.
 \item $f(x,y)=\begin{cases}
 \frac{xy}{x^2+y^2}&\text{, falls }(x,y)\ne(0,0)\\
 0&\text{, falls }(x,y)=(0,0)
@@ -1137,7 +1137,6 @@ \chapter{Der Umkehrsatz}
 $$f'(x_1)^{-1}\varrho(x) = f'(x_1)^{-1}(y-y_1) - (f^{-1}(y) - f^{-1}(y_1)) = -\|y-y_1\| L(y)$$
 $$\folgt L(y) = -f'(x_1)^{-1} \frac{\varrho(x)}{\|y-y_1\|} = - f'(x_1)^{-1} \underbrace{\frac{\varrho(x)}{\|x-x_1\|}}_{\to 0\ (x\to x_1)} \cdot \underbrace{\frac{\|x-x_1\|}{\|f(x)-f(x_1)}}_{\le 2, \text{ nach (3)}}$$
 Für $y\to y_1$, gilt (wegen (4)) $x\to x_1 \folgt L(y) \to 0$.
-
 \end{beweis}
 
 \begin{beispiel}
@@ -1161,7 +1160,7 @@ \chapter{Implizit definierte Funktionen}
 
 \textbf{Sprechweisen}: \glqq $g$ ist implizit durch die Gleichung $f(x,y)=0$ definiert\grqq\ oder\ \glqq die Gleichung $f(x,y)=0$ kann in der Form $y=g(x)$ aufgel"ost werden\grqq
 
-\item $f(x,y,z)=y+z+\log(x+z)$. Wir werden sehen: $\exists$ Umgebung $U\subseteq \MdR^2$ von $(0,1)$ und genau eine Funktion $g:U\to\MdR$ mit $g(0,-1)=1$ und $f(x,y,g(x,y))=0\ \forall\ (x,y)\in U$.
+\item $f(x,y,z)=y+z+\log(x+z)$. Wir werden sehen: $\exists$ Umgebung $U\subseteq \MdR^2$ von $(0,-1)$ und genau eine Funktion $g:U\to\MdR$ mit $g(0,-1)=1$ und $f(x,y,g(x,y))=0\ \forall\ (x,y)\in U$.
 \end{beispiele}
 
 \textbf{Der allgemeine Fall}:
@@ -1242,7 +1241,7 @@ \chapter{Implizit definierte Funktionen}
 \end{beweis}
 
 \begin{beispiel}
-$f(x,y,z)=y+z+\log(x+z)$. Zeige: $\exists$ offene Umgebung $U$ von $(0,1)$ und genau eine stetig differenzierbare Funktion $g:U\to\MdR$ mit $g(0,-1)=1$ und $f(x,y,g(x,y))=0\ \forall (x,y)\in U$. Berechne $g'$ an der Stelle $(0,-1)$.\\
+$f(x,y,z)=y+z+\log(x+z)$. Zeige: $\exists$ offene Umgebung $U$ von $(0,-1)$ und genau eine stetig differenzierbare Funktion $g:U\to\MdR$ mit $g(0,-1)=1$ und $f(x,y,g(x,y))=0\ \forall (x,y)\in U$. Berechne $g'$ an der Stelle $(0,-1)$.\\
 $f(0,-1,1)=0$, $f_z=1+\frac{1}{x+z}$; $f_z(0,-1,1)=2\ne 0$. Die Behauptung folgt aus dem Satz "uber impliziert definierte Funktionen. Also: $0=y+g(x,y)+\log(x+g(x,y))\ \forall (x,y)\in U$.\\
 Differentiation nach $x$: $0=g_x(x,y)+\frac{1}{x+g(x,y)}(1+g_x(x,y))\ \forall (x,y)\in U\overset{(x,y)=(0,-1)}{\folgt}0=g_x(0,-1)+\frac{1}{1}(g_x(0,-1)+1)\folgt g_x(0,-1)=-\frac{1}{2}$.\\
 Differentiation nach $y$: $0=1+g_y(x,y)+\frac{1}{x+g(x,y)}g_y(x,y)\ \forall (x,y)\in U \folgtnach{(x,y)=(0,-1)}g_y(0,-1)=-\frac{1}{2}$. Also: $g'(0,-1)=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.
@@ -1765,7 +1764,7 @@ \chapter{Stammfunktionen}
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-\glqq$\folgt$\grqq: 14.1\quad \glqq$\impliedby$\grqq: Sei $x_0\in G$ und $\varphi$ wie in $(*)$. Zu zeigen: $\varphi$ ist auf $G$ differenzierbar und $\varphi'=f$ auf G. Sei $z_0\in G, h\in\MdR^n,h\ne 0$ und $\|h\|$ so klein, dass $z_0+th\in G\ \forall t\in[0,1].\ \gamma(t)\da z_0+th\ (t\in[0,1]), \Gamma_\gamma=s[z_0, z_0+h]\subseteq G$. $\rho(h)\da \frac{1}{\|h\|}(\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)-f(z_0)\cdot h)$. Zu zeigen: $\rho(h)\to 0\ (h\to 0)$. 14.2 $\folgt$ es existieren st"uckweise stetig differenzierbare Wege $\gamma_1, \gamma_2$ mit: $\Gamma_{\gamma_1},\Gamma_{\gamma_2}\subseteq G$. Anfangspunkt von $\gamma_1=x_0=$Anfangspunkt von $\gamma_2$. Endpunkt von $\gamma_1=z_0$, Endpunkt von $\gamma_2=z_0+h$. Sei $\gamma_3\in \text{AH}(\gamma_1,\gamma)$ st"uckweise stetig differenzierbar (13.4!). Dann: 
+\glqq$\Longrightarrow$\grqq: 14.1\quad \glqq$\Longleftarrow$\grqq: Sei $x_0\in G$ und $\varphi$ wie in $(*)$. Zu zeigen: $\varphi$ ist auf $G$ differenzierbar und $\varphi'=f$ auf G. Sei $z_0\in G, h\in\MdR^n,h\ne 0$ und $\|h\|$ so klein, dass $z_0+th\in G\ \forall t\in[0,1].\ \gamma(t)\da z_0+th\ (t\in[0,1]), \Gamma_\gamma=s[z_0, z_0+h]\subseteq G$. $\rho(h)\da \frac{1}{\|h\|}(\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)-f(z_0)\cdot h)$. Zu zeigen: $\rho(h)\to 0\ (h\to 0)$. 14.2 $\folgt$ es existieren st"uckweise stetig differenzierbare Wege $\gamma_1, \gamma_2$ mit: $\Gamma_{\gamma_1},\Gamma_{\gamma_2}\subseteq G$. Anfangspunkt von $\gamma_1=x_0=$Anfangspunkt von $\gamma_2$. Endpunkt von $\gamma_1=z_0$, Endpunkt von $\gamma_2=z_0+h$. Sei $\gamma_3\in \text{AH}(\gamma_1,\gamma)$ st"uckweise stetig differenzierbar (13.4!). Dann: 
 $$\underbrace{\ds\int_{\gamma_3}f(x)\cdot\dd{x}}_{=\varphi(z_0+h)}=\underbrace{\ds\int_{\gamma_1}f(x)\cdot\dd{x}}_{=\varphi(z_0)}+\ds\int_{\gamma}f(x)\cdot\dd{x}$$
 $\ds\int f(x)\cdot\dd{x}$ ist wegunabh"angig in $G\folgt$\\
 $$\ds\int_{\gamma_3}f(x)\cdot\dd{x}=\ds\int_{\gamma_2}f(x)\cdot\dd{x}=\varphi(z_0+h)\folgt\varphi(z_0+h)-\varphi(z_0)=\ds\int_{\gamma}f(x)\cdot\dd{x}$$
@@ -1802,11 +1801,11 @@ \chapter{Stammfunktionen}
 \end{definition*}
 
 \begin{satz}[Kriterium zur Existenz von Stammfunktionen]
-Sei $G$ sternförmig und $f\in C^1(G,\MdR^n)$. Dann: $f$ besitzt auf $G$ eine Stammfunktion $\dequizu f$ erfüllt auf $G$ die Integrabilitätsbedingungen
+Sei $G$ sternförmig und $f\in C^1(G,\MdR^n)$. Dann: $f$ besitzt auf $G$ eine Stammfunktion $\equizu f$ erfüllt auf $G$ die Integrabilitätsbedingungen
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-\glqq$\folgt$\grqq: 14.1\quad \glqq$\impliedby$\grqq: $G$ sternförmig $\folgt\exists x_0\in G:S[x_0,x]\subseteq G\ \forall x\in G$. OBdA: $x_0=0$. 
+\glqq$\Longrightarrow$\grqq: 14.1\quad \glqq$\Longleftarrow$\grqq: $G$ sternförmig $\folgt\exists x_0\in G:S[x_0,x]\subseteq G\ \forall x\in G$. OBdA: $x_0=0$. 
 
 Für $x=(x_1,\ldots,x_n)\in G$ sei $\gamma_x(t)=tx, t\in [0,1]$.
 \begin{eqnarray*}
@@ -1987,7 +1986,7 @@ \chapter{Folgen, Reihen und Potenzreihen in $\MdC$}
 \Im(z_n)\stackrel{n\to\infty}{\to}\Im(z_0)
 \end{align*}
 Außerdem ist $(z_n)$ genau dann eine Cauchyfolge, wenn gilt:
-\[\forall\ep>0\exists n_0\in\MdN\forall n,m\ge n_0: |z_n-z_m|<\ep\]
+\[\forall\ep>0\ \exists n_0\in\MdN\ \forall n,m\ge n_0: |z_n-z_m|<\ep\]
 Also nach Cauchykriterium genau dann, wenn $(z_n)$ konvergent ist.
 \end{beispiel}
 
@@ -2260,7 +2259,7 @@ \chapter{Normierte Räume, Banachräume, Fixpunktsatz}
 \textbf{konvergiert}, wenn gilt:
 \begin{align*}
 &\|f_n-f\|_\infty \stackrel{n\to\infty}{\to}0\\
-:\iff &\forall\ep>0\exists n_0\in\MdN:\|f_n(x)-f(x)\|<\ep\quad \forall n\ge n_0\forall x\in K
+\dequizu&\forall\ep>0\exists n_0\in\MdN:\|f_n(x)-f(x)\|<\ep\quad \forall n\ge n_0\forall x\in K
 \end{align*}
 \end{enumerate}
 \end{satz}
@@ -2629,7 +2628,7 @@ \chapter{Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen}
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Lösungen]
-Sei $y_0\in J^0$ (also ein innerer Punkt von $J$) \textbf{und} $g(y)\ne 0\ \forall y\in J$.
+Sei $y_0\in J^\circ$ (also ein innerer Punkt von $J$) \textbf{und} $g(y)\ne 0\ \forall y\in J$.
 Dann existiert ein Intervall $I_{x_0}$ mit $x_0\in I_{x_0}\subseteq I$ und:
 \begin{enumerate}
 \item Das AwP (ii) hat eine Lösung $y:I_{x_0}\to\MdR$.
@@ -2654,7 +2653,7 @@ \chapter{Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen}
 ist entweder $G'>0$ auf $J$ oder $G'<0$ auf $J$.\\
 Also existiert die Umkehrabbildung $G^{-1}:G(J)\to J$, $K\da G(J)$ ist ein Intervall und es gilt:
 \begin{align*}
-y_0\in J^0&\implies 0=G(y_0)\in K^0\\
+y_0\in J^\circ&\implies 0=G(y_0)\in K^0\\
 &\implies \exists \ep>0:(-\ep,\ep)\subseteq K
 \end{align*}
 Da $F$ stetig in $x_0$ ist, existiert ein $\delta>0$ mit: 
@@ -2844,7 +2843,7 @@ \chapter{Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung}
 \textbf{Bezeichnung:} EuE = Existenz und Eindeutigkeit.
 \index{Existenz und Eindeutigkeit}
 \begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version I)]
-Sei $I = [a,b], x_o \in I, y_0 \in \MdR^n, D\da  I \times \MdR^n, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer LB bezüglich $y$. Dann ist das AwP
+Sei $I = [a,b], x_0 \in I, y_0 \in \MdR^n, D\da  I \times \MdR^n, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer LB bezüglich $y$. Dann ist das AwP
 \begin{align*}
 \begin{cases}
 y'=f(x,y)\\
@@ -2999,7 +2998,7 @@ \chapter{Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung}
 \begin{satz}[Kriterium für lokale LB]
 Sei $D\subseteq \MdR^{n+1}$ offen, $f=(f_1,\ldots,f_n)\colon D\to\MdR^n$ und
 $\frac{\partial f_j}{\partial y_k}$ seien auf $D$ vorhanden und stetig ($j, k = 1,\ldots,n)$.
-Dann genügt $f$ auf $D$ einer lokalen LB bezüglich y.
+Dann genügt $f$ auf $D$ einer lokalen LB bezüglich $y$.
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
@@ -3340,7 +3339,7 @@ \chapter{Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten}
 
 \textbf{Kochrezept}:
 \begin{enumerate}
-\item Bestimme die \textbf{verschiedenen} Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_r (r \le n)$ 
+\item Bestimme die \textbf{verschiedenen} Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_r\ (r \le n)$ 
 von $A$ und deren Vielfachheiten $k_1, \ldots, k_r$, also: 
 \[p(\lambda) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1)^{k_1} (\lambda - \lambda_2)^{k_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{k_r}\] 
 Ordne diese Eigenwerte wie folgt an: $\lambda_1, \ldots, \lambda_m \in \mdr, \lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_r \in \mdc \setminus \mdr$.\\ 

mathe.sty

@@ -121,7 +121,7 @@
 \newcommand{\gleichwegen}[1]{\ensuremath{\DOTSB\;\stackrel{#1}{=}\;}}
 \newcommand{\da}{\mathrel{\mbox{$\coloneqq$}}}
 \newcommand{\ad}{\mathrel{\mbox{$\eqqcolon$}}}
-\newcommand{\dequizu}{\ensuremath{\mathrel{\vcentcolon\Longleftrightarrow}}}
+\newcommand{\dequizu}{\ \ensuremath{\mathrel{\vcentcolon\Longleftrightarrow}}\ }
 
 % Abkürzungen
 \def\ffa{\text{ f\/fa }}