{% include index.html %}
<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ showProcessingMessages: false, tex2jax: { inlineMath: [['$','$'],['\\(','\\)']] } }); </script> <script type="text/javascript" src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_HTMLorMML"></script>Esta página contém definições, propriedades e procedimentos para as construções geométricas usadas na disciplina de Desenho Geométrico.
A apostila está disponível no link: apostila de Desenho Geométrico
Uso dos materiais básicos de Desenho
Veja o passo a passo das construções básicas mostradas no vídeo:
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.
- Com a ponta seca em A, desenhe um arco com raio maior do que a metade de AB.
- Com a ponta seca em B, desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior.
- Os pontos de interseção dos arcos são P e Q.
- Desenhe a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos.
- Pronto! A mediatriz do segmento AB está construída. Note que a figura PAQB é um losango e, portanto, suas diagonais são perpendiculares e se encontram no ponto médio das mesmas.
📏 📐 Resolução com esquadros
Podemos utilizar a régua e um dos esquadros ou a régua e o compasso para resolver este exercício. Primeiro, veja como é a construção com a régua e o esquadro de 45°.
- Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
- Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
- Deslize o esquadro até chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
- Desenhe a reta que passa pelo ponto P com o cateto do esquadro.
- Pronto! A reta paralela s // r está construída.
📏 📐 Resolução com esquadros
Vamos utilizar a régua e um dos esquadros para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.
- Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
- Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
- Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
- Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
- Pronto! A reta perpendicular p está construída.
- Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
- Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
- Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
- Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
- Pronto! A reta perpendicular p está construída.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.
- Com a ponta seca no vértice O do ângulo desenhe um arco obtendo os pontos P e Q, cada um em um lado do ângulo.
- Com a ponta seca no ponto P desenhe um arco.
- Com a ponta seca em Q desenhe um arco com o mesmo raio do passo anterior, obtendo o ponto R.
- Desenhe a reta OR que é a bissetriz do ângulo dado.
- Note que construímos dois triângulos: um verde e outro laranja.
- Esses triângulos são congruentes (iguais) e por isso os ângulos α e β são também congruentes.
1.1. Circunferência e Mediatriz
Material da página 1 até a página 11.
📏 📐 Construção
Utilizaremos o compasso para construir a primeira circunferência. Lembre-se sempre de deixá-lo com o grafite apontado para desenhar com maior precisão.
- Considerando um ponto O e a medida r, vamos construir a circunferência de centro em O e raio r.
- Usando o compasso, colocamos a ponta seca em uma extremidade e o grafite na outra extremidade de r. Desta forma, "pegamos" a medida r e...
- ... com a ponta seca em O, construímos a circunferência com raio r.
- Qualquer ponto P pertencente à Circunf(O,r) tem a distância fixa r até o ponto fixo O.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para fazer esta construção. O compasso será usado como instrumento auxiliar.
- Como a distância de P até X é igual a d, vamos construir a circunferência de centro em P e raio d. Logo, podemos usar o compasso com a ponta seca em uma extremidade de d e o grafite na outra extremidade para "pegarmos" a medida d.
- Com a ponta seca em P, construímos a Circunf(P,d), que é o lugar geométrico de todos os pontos com distância d até o ponto P.
- Como o ponto X está na reta t, teremos duas soluções para este problema, encontradas na interseção da Circunf(P,d) com a reta t. Se a Circunf(P,d) não intercectar a reta t, não temos solução. No caso em que a Circunf(P,d) for tangente à reta t, teremos apenas 1 solução.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para resolver este problema. O compasso será usado como instrumento auxiliar.
- Como a distância de X até A é igual a m, vamos construir a circunferência de centro em A e raio m. Logo, podemos usar o compasso com a ponta seca em uma extremidade de m e o grafite na outra extremidade para "pegarmos" a medida m.
- Com a ponta seca em A, construímos a Circunf(A,m), que é o lugar geométrico de todos os pontos com distância m até o ponto A.
- Usando o mesmo raciocínio, "pegamos" a distância n com o compasso...
- ... e construímos a Circunf(B,n), que é o lugar geométrico dos pontos com distância n até o ponto B.
- Temos duas soluções, encontradas nas interseções das circunferências construídas. Se as circunferências ficarem tangentes, teremos apenas 1 solução. E no caso em que as circunferências não se cortam, não teremos solução neste problema.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para fazer a construção deste triângulo. Usaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares.
- Vamos imaginar o triângulo ABC construído.
- Por convenção, vamos nomear os lados opostos aos vértices com as mesmas letras, porém, minúsculas. Por exemplo, o lado BC, oposto ao vértice A, terá o nome a.
- Vamos começar construindo uma reta qualquer r, e escolhendo um ponto B sobre esta reta.
- Usando o compasso, vamos "pegar" a medida de um dos lados com extreminade B: neste caso, o lado c.
- Com centro em B, desenhamos um pequeno arco que serve apenas para transferir a medida c para a reta r. Logo, encontramos o vértice A do triângulo.
- Agora podemos "pegar" as outras medidas dos lados com o compasso. Primeiro, vamos "pegar" o lado a...
- ... e construir a Circunf(B,a), pois a medida a está no lado oposto do vértice A.
- Por último, "pegamos" com o compasso a medida do lado que falta: b.
- Assim, podemos construir a Circunf(A,b).
- Nas interseções das circunferências construídas, podemos escolher o vértice C e "passar a limpo" o triângulo ABC unindo as extremidades A com C e B com C. O triângulo ABC' pode ser desenhado com linha tracejada.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para fazer esta construção. O compasso será usado como instrumento auxiliar.
- Como a circunferência procurada passa pelos pontos A e B, as distâncias entre o centro O e os pontos A e B têm medida igual ao raio r. Logo, podemos "pegar" a medida r com o compasso...
- ... e construir a Circunf(A,r), que é o primeiro lugar geométrico do centro O.
- Com a mesma medida de raio, construímos a Circunf(B,r), que é o segundo lugar geométrico de O. Teremos duas soluções: O e O'. Se as circunferências ficarem tangentes, temos apenas 1 solução; e no caso em que as circunferências não se intercectam, não temos solução.
- Com a ponta seca em O, construímos a Circunf(O,r), que passa por A e B.
- E com a ponta seca em O', desenhamos a Circunf(O',r), que passa por A e B.
- Escolhemos uma solução para ficar com linha contínua e a outra com linha tracejada.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para fazer esta construção. A régua e o compasso serão usados como instrumentos auxiliares.
- Lembrando da propriedade: se duas circunferências são tangentes em um ponto T, elas admitem a reta tangente t comum; como a reta tangente forma 90° com o raio em T, os raios OT e AT formam 180°, ou seja, O, T e A serão colineares.
- Usando a régua ou um dos esquadros, podemos prolongar o segmento OT e usar o compasso para "pegar" a medida r.
- Com o centro em T, construímos um arco para marcar o centro A na reta OT.
- Teremos uma solução interna à circunferência λ; logo, podemos marcar também o ponto A' sobre o raio OT.
- Com centro em A, construímos a Circunf(A,r), que é a primeira solução.
- E com centro em A', construímos a Circunf(A',r), que é a segunda solução.
- Estas são as duas soluções do problema proposto.
📑 Propriedades
Neste segundo lugar geométrico, usamos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares para sua construção.
- Para encontrar a mediatriz de AB, construímos os arcos de circunferência de centros A e B, com raios de mesma medida. Esta medida precisa ser maior do que a metade de AB. As interseções destes arcos definem a reta XX' que é a mediatriz de AB. Usamos a notação medAB.
- Como os raios são iguais a uma medida d, temos o △AXB isósceles de base AB.
- Obtemos assim o ponto médio M de AB, e os △AMX e △BMX congruentes.
- Logo, temos que ∢AMX = 90°. Portanto, a mediatriz passa pelo ponto médio e forma 90° com este segmento.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares para sua construção da mediatriz.
- Vamos construir um arco de circunferência com centro em A e a medida do raio maior do que a metade de AB.
- Com a mesma medida do raio do arco anterior, construímos o arco com centro em B.
- Usando a régua ou um dos esquadros, construímos a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos construídos P e P'. Esta é a mediatriz de AB, denotada por medAB
- Quando o segmento AB estiver próximo da margem da folha, podemos construir um dos arcos, com centro em A e raio maior do que a metade de AB.
- Com a mesma medida do raio usado em A, construímos o arco com centro em B. O ponto de interseção Q pertence à mediatriz procurada. Porém, precisamos de mais um ponto para determinar a mediatriz.
- Logo, podemos construir dois outros arcos, usando uma outra medida.
- Usando a mesma medida, construímos o arco com centro em B.
- A mediatriz pode ser construída com a régua ou um esquadro, unindo os pontos de interseção do arcos Q e Q'.
- A mediatriz de AB está construída com o segmento próximo da margem da folha.
📏 📐 Resolução
Usaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares nesta construção.
- Como o triângulo é isósceles de base BC, o vértice A é equidistante dos vértices B e C: logo, A pertence à mediatriz de BC. Com uma medida maior do que a metade de BC, construímos um arco com centro em C...
- ... e outro raio de mesma medida e centro em B. As interseções definem os pontos P e P'.
- Usando a régua ou um dos esquadros, construa a mediatriz de BC unindo os pontos P e P'.
- Como o vértice A pertence à circunferência λ, as interseções de λ com a medBC definem os vértices do triângulo isósceles. Teremos 2 soluções para este problema, pois a mediatriz intercecta a circunferência em 2 pontos.
- Escolha uma solução para construir o triângulo com linha contínua e o outro com linha tracejada.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a régua e o compasso como instrumentos auxiliares para resolver este problema.
- Temos os três pontos pertencentes à circunferência de centro O.
- As distâncias entre os pontos dados e o centro é a mesma: o raio r da circunferência. Logo, podemos construir duas mediatrizes para encontrar o centro.
- Com o centro em A, construímos um arco com medida maior do que AC para encontrar a medAC.
- Com o centro em C, construímos um arco com raio de mesma medida do primeiro, encontrando as interseções P e P'.
- Usando a régua ou um dos esquadros, construímos a mediatriz de AC, que é o primeiro lugar geométrico do centro O.
- Usando a construção similar, construímos a medAB, que é o segundo lugar geométrico de O.
- Na interseção das duas mediatrizes, temos o centro da circunferência que passa pelos 3 pontos. Não precisamos construir a mediatriz do terceiro segmento, BC, pois basta a interseção de duas retas para determinar o ponto O. Com centro em O, podemos abrir o compasso até qualquer um dos três pontos...
- ... e construir a circunferência que passa pelos 3 pontos.
- Esta é a única solução deste problema.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a régua, o compasso e os esquadros como instrumentos auxiliares para resolver este problema. Vamos começar usando a régua e o compasso.
- Vamos usar o fato do que a mediatriz de um segmento é perpendicular ao segmento. Construa então um arco de circunferência de centro P e raio de medida qualquer, determinando o ponto A sobre a reta r, no lado direito.
- Com a mesma medida do raio do arco usado para encontrar A, encontre do lado esquerdo do ponto P o ponto B.
- É como se P fosse o ponto médio de AB. Então vamos encontrar a medAB: com centro em A, construa um arco com raio de medida maior do que AP e...
- ... com centro em B, construa um arco com raio de mesma medida. A interseção destes arcos é o ponto C, que pertence à medAB.
- Logo, podemos construir com a régua ou um dos esquadros a reta PC.
- Esta reta é perpendicular à reta r, pois é a medAB. Agora determine um ponto P' sobre a reta r para construirmos a perpendicular a esta reta que passa por P' com os esquadros.
- Neste exemplo, vamos usar o esquadro de 45 alinhando um cateto com a reta. Coloque na hipotenusa deste esquadro o outro esquadro ou a régua como apoio.
- Deixando fixo o esquadro de 60, deslize o esquadro de 45 até chegar em P'. Use o outro cateto do esquadro de 45 para construir a reta perpendicular.
- Esta é a solução do problema com o uso de esquadros. Você pode usar o esquadro de 60 alinhado e o outro fixo. O importante é lembrar de apoiar sempre a hipotenusa deste esquadro que irá deslizar com o outro esquadro.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a régua, o compasso e os esquadros como instrumentos auxiliares para resolver este problema. Vamos começar usando a régua e o compasso.
- Neste item, vamos novamente usar o fato do que a mediatriz de um segmento é perpendicular ao segmento. Construa então um arco de circunferência com raio de medida qualquer, que intercecte a reta r nos pontos A e B.
- É como se P fosse um ponto qualquer da medAB. Então vamos encontrar a medAB: com centro em B, construa um arco com raio de medida maior do que a metade de AB e...
- ... com centro em A, construa um arco com raio de mesma medida. A interseção destes arcos é o ponto C, que pertence à medAB.
- Logo, podemos construir com a régua ou um dos esquadros a reta PC.
- Esta reta é perpendicular à reta r, pois é a medAB. Agora determine um ponto P' não pertencente à reta r para construirmos a perpendicular a esta reta que passa por P' com os esquadros.
- Neste exemplo, vamos usar o esquadro de 60 alinhando o cateto maior com a reta. Coloque na hipotenusa deste esquadro o outro esquadro ou a régua como apoio.
- Deixando fixo o esquadro de 45, deslize o esquadro de 60 até chegar em P'. Use o outro cateto do esquadro de 60 para construir a reta perpendicular.
- Esta é a solução do problema com o uso de esquadros. Você pode usar o esquadro de 45 alinhado e o outro fixo. O importante é lembrar de apoiar sempre a hipotenusa deste esquadro que irá deslizar com o outro esquadro.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a régua e o compasso como instrumentos auxiliares para resolver este problema.
- Podemos definir dois pontos sobre a circunferência. Se construirmos a mediatriz deste segmento, o centro estará contido nesta reta. Logo, defina o arco com centro em A e um raio com medida maior do que a metade de AB.
- Com centro em B, construa o arco com mesma medida do raio usado em A. As interseções definem a medAB, que contém o centro da circunferência.
- Podemos escolher outro ponto da circunferência: C.
- Construindo a medBC, temos que a interseção da medAB com a medBC será o ponto equidistante de A, B e C. Logo, este ponto é o centro da circunferência.
1.2. Retas paralelas e bissetriz
Material da página 12 até a página 20.
📑 Propriedades
Agora vamos estudar o terceiro lugar geométrico: retas paralelas. Vamos ver algumas propriedades.
- Fixando a reta r, as retas paralelas s1 e s2 formam o conjunto de pontos com distância d até a reta r.
- Para medir a distância de um ponto P qualquer, pertencente a s1, até a reta r basta construir a reta perpendicular a r que passa por P.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua e o compasso para resolver os dois primeiros casos nesta construção.
- Vamos usar a ideia de mediatriz para a primeira construção. Primeiro, vamos construir a reta perpendicular a t que passa por P. Com centro em P, construa o arco que intercecta t nos pontos A e B.
- Com centro em B, construa um arco com medida do raio maior do que a metade de AB.
- Com centro em A, construa o arco com mesmo raio usado em B. A interseção é o ponto C que define a reta PC ⊥ r.
- Agora vamos construir a reta perpendicular à reta PC que passa por P. Com centro em P, defina um arco qualquer que intercecte PC em D.
- Encontre o ponto E, tal que PE = PD.
- Agora vamos construir a mediatriz de ED. Com centro em D, construa um arco com raio maior do que PD...
- ... e use o raio com mesma medida para construir o arco com centro em E. Desta forma, encontramos o ponto F.
- A reta PF ⊥ PD é paralela à reta t, pois os ângulos alternos internos são iguais a 90°.
- Agora vamos construir a reta paralela a t que passa por P usando outro raciocínio. Construa um arco de circunferência de raio qualquer PQ, onde Q ∈ t.
- Com a mesma medida do raio, encontre o ponto R ∈ t, ou seja, QR = PQ.
- Com centro em R, determine o arco com mesmo raio que usamos para achar Q e R.
- Na interseção do terceiro arco que construímos com o arco de centro P, encontramos o ponto S, tal que PS // t.
- De fato, PS // t pois construímos um losango PQRS, e os lados opostos de um losango são paralelos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua e o compasso para resolver o terceiro caso desta construção, e o par de esquadros no quarto caso.
- Vamos usar outro raciocínio para construir a reta paralela a t que passa por P. Determine um ponto A sobre a reta, de tal forma que A não esteja na direção da reta perpendicular a t que passa por P.
- Com centro em A, construa um arco com medida do raio igual a AP.
- Este arco deve formar uma semi-circunferência, intercectando t em B e C.
- Com o compasso, "pegue" a medida BP e...
- ... construa o arco com raio BP e centro em C, determinando D na semi-circunferência.
- A reta PD será paralela a t.
- De fato, esta construção dá certo pois construímos um trapézio iscósceles; as retas PD e t formam as bases do trapézio, que são paralelas.
- Agora, com o uso dos esquadros, podemos alinhar com a reta t a hipotenusa de um dos esquadros: neste exemplo, alinhamos a hipotenusa do esquadro de 45. Coloque o outro esquadro ou a régua como apoio em um dos catetos do esquadro de 45.
- Deixando fixo o esquadro de 60, deslize o esquadro de 45 até chegar no ponto P.
- Desta forma temos a reta p // t construída com esquadros.
📏 📐 Resolução
Podemos utilizar a régua e o compasso ou o par de esquadros para resolver este exercício. Vamos usar os esquadros para construção e a régua para marcamos a medida de 2cm.
- Defina um ponto A ∈ t. Para definir o LG de todos os pontos com distância 2cm até a reta t, vamos construir uma reta perpendicular a t passando por A. Alinhando um cateto do esquadro de 45 e apoiando a hipotenusa com o outro esquadro...
- ... deixamos fixo o esquadro de 60 e deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A. Desta forma, temos a reta a ⊥ t.
- Podemos usar a régua para medir a distância de 2cm nos dois semi-planos definidos pela reta t, definindo os pontos B e C pertencentes à reta a.
- Agora podemos construir as retas paralelas à reta t que passam por B e C. Alinhando a hipotenusa de um dos esquadros com a reta t, e deixando o outro esquadro como apoio...
- ... deslizamos o esquadro de 60 até chegam em C, deixando fixo o esquadro de 45.
- Aproveitando o alinhamento, podemos deslizar o esquadro de 60 até chegar em B. Logo, construímos as retas p1...
- ... e p2, que definem o lugar geométrico dos pontos com distância 2cm à reta t.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos os esquadros e o compasso para resolver este exercício. Lembrando que para construir uma circunferência tangente a uma reta, o raio deve ser perpendicular à reta no ponto de tangência.
- Primeiro vamos construir a reta paralela ao segmento AB, com distância r. Podemos construir a reta perpendicular a AB que passa pelo ponto A com os esquadros. Alinhando um cateto do esquadro de 45, e apoiando a hipotenusa no outro esquadro...
- ... deslizamos o esquadro de 45 até chegar no ponto A, deixando fixo o outro esquadro.
- Usando o compasso, "pegamos" a medida do raio r...
- ... e marcamos a partir do ponto A na reta perpendicular que construímos: logo, temos que AD ⊥ AB.
- Podemos alinhar a hipotenusa do esquadro de 45 com AB, deixando o outro esquadro apoiado em um cateto do esquadro de 45.
- Deslizando o esquadro de 45 até chegar em D, deixando fixo o outro esquadro, construímos a reta s // AB com distância r.
- Agora podemos construir a reta perpendicular ao segmento BC que passa pelo ponto C. Podemos alinhar um cateto do esquadro de 60 com BC, deixando o outro esquadro apoiado na hipotenusa do esquadro de 60.
- Deixando fixo o esquadro de 45, deslizamos o esquadro de 60 até chegar em C.
- Com o compasso, "pegamos" a distância r...
- ... e marcamos esta distância a partir de C, encontrando CE ⊥ BC.
- Agora podemos alinhar a hipotenusa do esquadro de 45 com BC, deixando um cateto apoiado com o outro esquadro...
- ... e deixamos fixo o esquadro de 60 para deslizar o esquadro de 45 até chegar em E. Logo, temos a reta t // BC com distância r.
- A interseção entre s e t é o centro da circunferência tangente aos segmentos AB e BC com raio r.
📏 📐 Resolução
No exercício anterior, construímos as retas perpendiculares e paralelas com os esquadros. Neste exercício, vamos utilizar a régua e o compasso.
- Como vamos construir uma circunferência tangente à reta t, dado o raio r, construiremos a reta perpendicular a t por um ponto qualquer B ∈ t. Com centro em B, defina um raio qualquer para marcar o ponto C ∈ t.
- Usando o mesmo raio BC, encontre o ponto D ∈ t.
- Construindo a mediatriz de CD, teremos a reta perpendicular a t que passa por B. Com centro em D, defina um arco com raio maior do que BC...
- ... e com centro em C e raio com mesma medida, encontramos o ponto E tal que BE ⊥ BC.
- Com o compasso, "pegue" a medida r...
- ... e marque esta distância r a partir de B na reta s. Assim, encontramos o ponto F. Neste ponto, podemos construir a reta paralela a t com distância r. Já vimos 3 construções diferentes para usar de retas paralelas. Neste exemplo, vamos fazer esta reta paralela usando a construção do losango.
- Com centro em F, construímos um arco de medida qualquer que intercecte t em G.
- Com a mesma medida FG, encontramos H ∈ t e GH = FG.
- Com a mesma medida, construímos o arco com centro em H, intercectando o primeiro arco que construímos com centro em F no ponto I. A reta FI é paralela à reta t
- Agora podemos "pegar" a medida do raio r para definir a distância do centro da circunferência procurada com o ponto A.
- Este é o segundo lugar geométrico do centro da circunferência tangente: uma circunferência com centro em A e raio r. Esta circunferência intercecta a reta u // t nos pontos O e O'.
- construímos uma solução com linha contínua e outra com linha tracejada.
- Neste exemplo, temos 2 soluções. Caso a Circunf(A,r) não intercecte a reta u // t, não temos solução. E caso a Circunf(A,r) seja tangente à reta u // t, temos apenas 1 solução.
📏 📐 Resolução
Neste exercício, vamos utilizar o par de esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares.
- Vamos construir uma reta perpendicular a um dos segmentos, escolhendo um ponto A pertencente ao primeiro segmento. Com um cateto alinhado com o segmento e o esquadro de 60 apoiado na hipotenusa...
- ... deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A, deixando o esquadro de 60 fixo. Logo, temos a perpendicular ao segmento que passa por A.
- Agora "pegamos" a medida do raio d com o compasso...
- ... e com centro em A, construímos o arco com raio d, definindo o segmento AB.
- Agora podemos construir a reta paralela ao segmento que passa por B. Alinhando a hipotenusa do esquadro de 60 no segmento, e deixando um cateto apoiado com o outro esquadro...
- ... deslizamos o esquadro de 60 até chegar em B com o esquadro de 45 fixo.
- Podemos fazer a mesma construção no outro segmento, com um ponto C em qualquer posição deste segundo segmento.
- Alinhando um cateto do esquadro de 45 e deslizando até chegar em C, temos a reta perpendicular construída.
- Podemos "pegar" a medida do raio d com o compasso...
- ... e marcá-la na perpendicular a partir do ponto C, encontrando o ponto D.
- Alinhamos a hipotenusa do esquadro de 60 com o segmento...
- ... e deslizamos este esquadro até chegar em D, deixando o outro esquadro fixo.
- A interseção das retas paralelas aos segmentos é o centro O da circunferência de raio r.
📏 📐 Resolução
Neste exercício, você pode usar a régua e o compasso para construir as retas perpendiculares e paralelas ou o par de esquadros com o compasso. Vamos ver como fica a construção com os esquadros e o compasso.
- Podemos escolher um ponto qualquer A ∈ b para construir a reta perpendicular à reta b. Alinhando um cateto do esquadro de 45 com a reta b...
- ... deixando o outro esquadro fixo, deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A.
- Podemos usar o compasso para "pegar" a media r...
- ... e marcá-la na reta perpendicular à reta b a partir do ponto A, definindo o segmento AB ⊥ b.
- No prolongamento de AB, marcamos o raio r para encontrar a outra reta paralela à reta b, definindo BC ⊥ b
- Alinhando a hipotenusa do esquadro de 45 com a reta b, deixando o esquadro de 60 como apoio fixo...
- ... deslizamos o esquadro de 45 até chegar em B, definindo a primeira paralela, e...
- ... deslizamos este esquadro até chegar em C, definindo a segunda paralela à reta b.
- Como o centro da solução pertence à reta a, teremos 2 soluções: O ≡ s ∩ a e O' ≡ t ∩ a. Construímos estas circunferências com raios de medida igual a r.
📑 Propriedades
Vamos ver algumas propriedades deste lugar geométrico.
- Considere as bissetrizes b1 e b2 dos ângulos formados entre as retas r e s, com vértice O. Escolha um ponto Q ∈ b2. O ponto P ∈ b1 é equidistante das retas r e s, ou seja, PP' = PP''.
- Se construirmos o segmento QQ'' ⊥ s...
- ... e QQ' ⊥ r, teremos a mesma medida QQ' = QQ''. Esta é uma das propriedades da bissetriz: lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas.
- Temos o caso de congruência LLAr (lado, lado, ângulo reto): △OPP' = △OPP'', pois OP é lado comum, PP' = PP'' e ∢P' = ∢P'' = 90°. Logo, os ângulos ∢POP' e ∢POP'' são iguais. O mesmo vale para a congruência de △OQQ' = △OQQ''.
- Portanto, temos os ângulos α e β que definem outra propriedade da bissetriz: ela divide os ângulos formados entre r e s ao meio.
- O ângulo formado entre as bissetrizes b1 e b2 mede α + β. Como α + α + β + β = 180°, temos que α + β = 90°, ou seja, as bissetrizes dos ângulos suplementares são perpendiculares.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua e o compasso para construir a bissetriz.
- Com centro no vértice A, construímos um arco de circunferência de raio qualquer que intercecte os lados do ângulo nos pontos D e E.
- Com centro em D, construímos um arco com raio de medida qualquer que seja maior do que a metade de DE (é a construção de um ponto da mediatriz de DE).
- Com centro em E, construímos um arco com a medida do raio igual à medida do raio que fizemos no ponto D, encontrando o ponto F.
- Usando a régua ou um dos esquadros, construímos a semi-reta AF.
- Esta semi-reta é a bissetriz do ângulo ∢A.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. A ideia é não usar a interseção das retas para construir a bissetriz.
- Vamos nomear as retas r e s. Neste primeiro exemplo, vamos usar a ideia de definir uma terceira reta t, concorrente com r e s nos pontos A e B.
- No vértice A, podemos construir a bissetriz do ∢DAE: com centro em A e um arco com raio qualquer, encontre os pontos D e E sobre t e r.
- Com centro em D, construa um arco com raio maior do que a metade de DE...
- ... e construa um arco com a mesma medida do raio com centro em E, encontrando o ponto F. A semi-reta AF é a bissetriz do ∢DAE. Podemos construir a bissetriz do suplementar deste ângulo, ou podemos usar a propriedade de que as bissetrizes de ângulos suplementares são perpendiculares.
- Usando a propriedade, podemos alinhar um cateto do esquadro de 45 com a bissetriz, deixando o outro esquadro como apoio fixo...
- ... e deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A. Logo, temos a bissetriz do ângulo suplementar do ∢DAE.
- No vértice B, podemos fazer a mesma construção: bissetriz do ∢GBH e a perpendicular à bissetriz. Todos os pontos das bissetrizes biss(A) são esquidistantes de r e t.
- Todos os pontos das bissetrizes biss(B) são esquidistantes de s e t. Logo, nas interseções de biss(A) e biss(B), temos os pontos equidistantes de r e s, ou seja, J e K definem a biss(r,s). Agora vamos usar outro raciocínio: escolha um ponto A ∈ r.
- Neste ponto A, construa a reta t // s. Use os esquadros ou a régua e compasso para fazer esta construção.
- Agora vamos construir o triângulo isósceles de base BC e vértice A: com centro em A, construa um arco com raio qualquer que intercecte as retas r e t.
- Prolongando-se o segmento BC, encontramos o ponto D. Se imaginarmos que o vértice do encontro de r e s é um ponto V, temos que os triângulos △ABC e △VDB serão semelhantes, pois a reta r é comum e as retas t e s são paralelas.
- Logo, a mediatriz da base BD do △VDB será a bissetriz do ângulo formado entre r e s. Esta mediatriz será paralela à bissetriz do ∢BAC.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a régua e o compasso neste exercício.
- Considere uma reta r e um ponto qualquer A ∈ r.
- Se construirmos o arco com centro em A e um raio qualquer, que intercecte r nos pontos B e C, estamos considerando o ∢BAC = 180°.
- Logo, podemos construir sua bissetriz (do mesmo jeito que fizemos com mediatriz): com centro em B e raio com medida maior do que AB, construímos um arco...
- ... e com centro em C, construímos um arco com raio de mesma medida, determinando o ponto D.
- A semi-reta AD será a bissetriz de 180°.
📏 📐 Resolução
Neste exercício, vamos utilizar a régua e o compasso. Vamos determinar o centro da circunferência inscrita, que fica tangente aos 3 lados do triângulo.
- O incentro do triângulo está no encontro das 3 bissetrizes dos ângulos internos do triângulo. Como precisamos da interseção de 2 retas para determinar o ponto, vamos construir apenas 2 bissetrizes. Com centro em A, determine um arco com raio qualquer que intercecte os lados AC e AB.
- Com centro em D e em E, construímos os arcos com mesma medida de raio, que seja maior do que a metade de DE.
- A semi-reta AF é a bissetriz do ∢A, relativa ao lado a, que podemos nomear como ba.
- Com centro em B, definimos um arco com raio de medida qualquer que intercecte os lados AB e BC do triângulo.
- Com centros em G e em H e raios iguais a uma medida maior do que a metade de GH, definimos os arcos que se cortam em J.
- A semi-reta BJ é a bissetriz do ∢B, relativa ao lado b, que podemos nomear como bb. A interseção das bissetrizes construídas é o incentro I do triângulo. Não é necessária a construção da bissetriz do ∢C.
- Para determinarmos o raio da circunferência inscrita, podemos usar os esquadros, ou o compasso. Se construirmos um arco com centro em I, que intercecte um dos lados do triângulo nos pontos K e L...
- ... construímos a mediatriz de KL com arcos centrados em K e L, com mesmo raio, de medida maior do que a metade de KL.
- Definimos então o segmento IM ⊥ BC. A distância ITa é o raio da circunferência inscrita.
- Esta é a solução do problema. Se você quiser, pode construir a reta perpendicular IM com os esquadros. Note que fizemos esta perpendicular ao lado BC, mas ela pode ser feita em qualquer um dos lados do triângulo.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. As retas perpendiculares podem ser construídas com os esquadros ou com a régua e o compasso.
- O centro de uma circunferência ex-inscrita é determinado pelo encontro de duas bissetrizes dos ângulos externos do triângulo com a bissetriz de um ângulo interno. Vamos começar definindo as bissetrizes dos ângulos externos relativos aos lados AB e BC. Prolongue estes lados.
- Construa a bissetriz do ∢DAE.
- Vamos chamar esta bissetriz de biss1.
- Agora vamos construir a bissetriz do ∢GCH.
- A semi-reta CJ define esta bissetriz.
- Vamos nomear esta semi-reta de biss2. O encontro destas bissetrizes é o primeiro ex-incentro, relativo ao lado AC = b, que nomeamos como Ib. Se construirmos a bissetriz do ∢B, ela passa pelo ex-incentro Ib
- Agora vamos encontrar o raio desta circunferência. No exercício anterior, vimos como encontrar o raio da circunferência inscrita com o compasso. Com os esquadros, temos que alinhar o cateto de um esquadro com um lado (por exemplo, AB), deixando o outro apoiado na hipotenusa e fixo...
- E deslizamos o esquadro alinhado até chegar em Ib.
- O raio da circunferência ex-inscrita mede IbT1.
- Agora vamos prolongar os lados AC e BC para encontrar a outra circunferência ex-inscrita. Uma das bissetrizes não precisa ser construída (biss3), pois os ângulos com vértice em A têm mesma medida: são opostos pelo vértice. Logo, podemos apenas prolongar a biss1.
- Construa a bissetriz do ∢KBL, que define a biss4. Logo, temos que Ic ≡ biss3 ∩ biss4. Defina o raio IcT2 ⊥ AC.
- A última circunferência ex-inscrita é a mais fácil de fazer, pois as bissetrizes biss5 e biss6 são os prolongamentos de biss4 e de biss2. Logo, temos o ex-incentro Ia e podemos construir a terceira circunferência ex-inscrita.
- Construa IaT3 ⊥ AB e construa a circunferência ex-inscrita relativa ao lado a.
📏 📐 Resolução
Você pode usar a régua e o compasso ou os esquadros e o compasso para resolver este exercício.
- Considere os segmentos s e t. Vamos encontrar a bissetriz do ângulo formado entre s e t sem usar o vértice.
- Construa a reta u // s que passa por A.
- Defina o arco com centro em A, que intercecta u e t em C e D.
- Prolongando o segmento CD, encontramos E ∈ s.
- A bissetriz do ângulo formado entre s e t é a mediatriz de DE.
- Com a circunferência de centro em A e raio d, encontramos o ponto B ∈ biss(s,t). Note que usamos apenas uma das interseções: a que está proxima da reta u.
- Agora você pode construir a circunferência com centro em B e raio r.
📏 📐 Resolução
Neste exercício, vamos utilizar a régua e o compasso.
- Para transportar o ângulo α, podemos construir um arco com centro no vértice do ângulo, com raio qualquer e que intercecte os lados nos pontos B e C.
- Com a mesma medida, definimos o arco com centro no vértice onde queremos transportar o ângulo: O.
- Com o compasso, "pegamos" a medida da abertura do ângulo BC...
- ... e construímos o arco com centro em D e raio BC. A semi-reta OE forma ângulo α com OA.
- Note que esta construção funciona, pois construímos dois triângulos congruentes.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. Vamos começar com a régua e o compasso.
- Construa uma reta qualquer e defina um ponto A nesta reta. Relembrando a construção de perpendicular, construímos um arco com centro A e raio AB qualquer...
- ... definindo o ponto C sobre a reta, com raio de mesma medida.
- Agora é só construir a mediatriz de BC, com centro em C e um raio maior do que AB...
- ... e centro em B com raio de mesma medida.
- A semi-reta AD forma 90° com a reta. A construção com os esquadros já foi feita anteriormente, e você pode fazê-la como exercício. Agora vamos escolher um ponto E sobre a reta.
- Com centro em E, defina um arco de circunferência com raio EF qualquer...
- ... e com centro em F, construa o arco com raio FG = EF, encontrando a interseção G. Unindo E com G, temos a semi-reta que forma 60° com a reta.
- Esta construção funciona, pois construímos um triângulo equilátero de lado EF. Agora vamos ver como construir o ângulo de 60° com os esquadros.
- Escolha um ponto H sobre a reta, e alinhe a hipotenusa do esquadro de 60 com a reta, apoiando o cateto do ângulo de 30° com o outro esquadro fixo, ou seja, deixaremos livre o lado do esquadro de 60° para transferí-lo na reta.
- Deslizando o esquadro de 60 até chegar em H, você consegue construir o ângulo de 60° com vértice H. Este ângulo ficou virado para a direita da folha.
- Se você quiser o ângulo de 60° virado para a esquerda, basta mudar o lado de alinhamento do esquadro de 60. O importante é lembrar sempre de deisar o ângulo de 60° livre, sem apoio.
- Deslizando o esquadro do outro lado, você consegue construir o ângulo de 60° do outro lado.
- Assim ficam definidas as duas opções de construção de 60°: com o compasso e com os esquadros.
📏 📐 Resolução: 1ª parte
Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. Vamos começar com a régua e o compasso.
- Começamos construindo o ângulo de 90°, como fizemos no exercício anterior. Podemos prolongar o arco com centro em C para fazer a bissetriz de 90°.
- Com centro em C, construa o arco com raio maior do que a metade de EC...
- ... e use este mesmo raio para construir o arco com centro em E, encontrando o ponto F na interseção dos arcos.
- A semi-reta AF forma 45° com a reta.
- Ao construir a bissetriz dos 45°, temos o ângulo de 22,5° = 22°30'.
- E a bissetriz de 22,5° fornece o ângulo de 11,15°. Para construir o ângulo de 45° com os esquadros, alinhamos a hipotenusa do esquadro de 45 com a reta, e apoiamos um cateto com o outro esquadro que ficará fixo.
- Ao deslizar o esquadro de 45 até chegar no ponto K pertencente à reta, construímos o ângulo de 45 virado à direita da folha.
- Note que encontramos o ângulo de 135°, que é o suplementar de 45°. Se você quiser o ângulo de 45° virado à esquerda, basta mudar o lado do apoio do esquadro de 60...
- ... e deslizar o esquadro de 45 até chegar no ponto K.
- Vamos desenhar outra reta no espaço abaixo para construir os outros ângulos.
📏 📐 Resolução: 2ª parte
Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. Vamos começar com a régua e o compasso.
- Escolha um ponto L da reta, e construa um arco com raio qualquer, intercectando a reta em M.
- Com mesmo raio, construa o arco com centro em M, definindo a semi-reta LN que forma 60° com a reta.
- Construindo a bissetriz dos 60°, temos o ângulo de 30° com o uso da régua e do compasso.
- Com a bissetriz de 30°, temos o ângulo de 15°.
- Quando construímos o ângulo de 60°, definimos o suplementar com medidual igual a 120°.
- Também temos o ângulo de 150°, que é o suplementar de 30°.
- Se construirmos a bissetriz do ângulo de 150°, temos o ângulo de 75° com régua e compasso.
- Agora vamos construir alguns ângulos com os esquadros. Escolha um ponto R sobre a reta e alinhe o cateto de 30° com a reta. Coloque o cateto de 60° com o apoio fixo do esquadro de 45...
- ... e deslize o esquadro de 60 até chegar no ponto R. Assim, temos os ângulos de 30° e 150° construídos com os esquadros. Se você quiser o ângulo de 30° virado para o outro lado, basta inverter as posições dos esquadros, como fizemos anteriormente com os ângulos de 45° e 60°.
- Escolha um ponto S sobre a reta, e apoie os esquadros assim: o de 45 com o cateto alinhado na reta, e o de 60 com o vértice de 30° junto com o vértice de 45°. Somando os ângulos, temos 75°, então deixaremos fixo o esquadro de 45°, deslizando o esquadro de 60...
- ... até chegar em S.
- Desta maneira, temos a construção do ângulo de 75° com os esquadros. Conseguimos também o suplementar de 105° com esta construção. Então, ficam as opções para você construir nos próximos exercícios: com os esquadros ou com régua e compasso.
📏 📐 Resolução
Neste exercício, vamos utilizar a régua e o compasso.
- Como a semi-reta OC é bissetriz do ∢AOB, vamos transportar a medida do ∢AOC para o outro semi-plano definido por OC: construa um arco com raio qualquer, centrado em O.
- Com o compasso, "pegue" a medida da abertura do ângulo DE...
- ... e construa o arco com centro em E e raio BE = DE. Assim, encontramos o ponto B que define o ângulo procurado.
- A semi-reta OB define o ∢AOB, com bissetriz OC.
2.1. Arco capaz
Material da página 21 até a página 29.
📑 Demonstração
Vamos demonstrar a Propriedade 1. Vamos considerar os 3 casos possíveis: quando um lado do ângulo inscrito define um diâmetro; quando o centro está no interior do ângulo inscrito; e quando o centro está na região externa definida pelo ângulo inscrito.
- Vamos considerar o vértice P e os lados PA e PB. No primeiro caso, o lado PB define um diâmetro da circunferência.
- Temos que OP = OA = r, onde r é o raio da circunferência. Logo, o ∢OAP = α, pois o △AOP é isósceles de base AP.
- O ∢AOB = β é o ângulo central correspondente de α. Temos que β e δ são suplementares, ou seja, β + δ = 180°. Temos também que 2α + δ = 180°, pois são ângulos internos do △AOP.
- Logo, temos que 2α + δ = β + δ, ou seja, 2α = β. Portanto, $\alpha = {\beta \over 2}$.
- No segundo caso, considere o diâmetro PC, que divide o ângulo α em α1 e α2.
- Unindo os pontos A e B com o centro da circunferência, determinamos o ângulo central β = ∢ AOB.
- O ângulo central está dividido nos ângulos centrais correspondentes de α1 e α2, que são β1 e β2.
-
De acordo com o caso anterior, temos que
$\mathsf{\alpha_1 = {\beta_1 \over 2}}$ e$\mathsf{\alpha_2 = {\beta_2 \over 2}}$ . Logo,$\mathsf{\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = {\beta_1 \over 2} + {\beta_2 \over 2} = { {\beta_1 + \beta_2} \over 2} = {\beta \over 2}}$ . - No terceiro caso, considere o diâmetro PC, que define o ângulo α como α1 − α2.
- Unindo os pontos A e B com o centro da circunferência, determinamos o ângulo central β = ∢ AOB.
- O ângulo central tem a seguinte relação com os ângulos centrais correspondentes de α1 e α2: β = β1 − β2.
-
De acordo com o primeiro caso provado, temos que
$\mathsf{\alpha_1 = {\beta_1 \over 2}}$ e$\mathsf{\alpha_2 = {\beta_2 \over 2}}$ . Logo,$\mathsf{\alpha = \alpha_1 - \alpha_2 = {\beta_1 \over 2} - {\beta_2 \over 2} = { {\beta_1 - \beta_2} \over 2} = {\beta \over 2}}$ . Portanto, a propriedade vale em todos os casos, ou seja, o ângulo inscrito sempre vale a metade da medida do ângulo central correspondente.
📑 Demonstração
Vamos demonstrar a Propriedade 2, que relaciona o ângulo de segmento com o ângulo central correspondente.
- Considere a reta tangente à circunferência t no ponto A e o raio com medida r. Logo, temos o △AOB isósceles de base AB.
- Logo, temos os ângulos da base iguais a δ. Temos também que θ + δ = 90°, pois a reta t é tangente e 2δ + β = 180° pois são ângulos internos do △AOB.
-
Da relação de δ e θ, podemos concluir que 2δ + 2θ = 180°. Temos que 2δ + 2θ = 2δ + β, ou seja 2θ = β. Portanto,
$\mathsf{\theta = {\beta \over 2} }$ , que é a mesma relação que provamos entre o ângulo inscrito e o central correspondente.
📏 📐 Resolução
Vamos usar os conceitos dos ângulos de segmento e inscrito para encontrar o centro da circunferência. Utilizaremos os esquadros e o compasso neste exercício.
- Determine os vértices de um △PAB inscrito na circunferência.
- Neste caso, AB será a corda do ângulo inscrito ∢APB. Vamos transportá-lo na extermidade A da corda. Com centro em P e um raio PC qualquer, determine o arco que intercecta PB em D.
- Com centro em A, determine o arco com mesma medida do raio PC, encontrando E ∈ AB.
- Com o compasso, "pegue" a medida CD e...
- ... com centro em E, determine o arco com a medida do raio CD para encontrar F na interseção com o outro arco que construímos centrado em A.
- Desta forma, conseguimos construir o ângulo de segmento com mesma medida do ângulo inscrito correspondente α. Portanto, a reta t ≡ AF é tangente à circunferência no ponto A.
- Vamos construir uma reta perpendicular a t passando por A, pois a reta tangente é perpendicular ao raio da circunferência em A. Alinhando um cateto do esquadro de 45 com t...
- ... deixamos fixo o esquadro de 60 e deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A.
- Desta forma, temos definido o diâmetro AG da circunferência.
- Construindo a mediatriz de AG, temos o centro da circunferência O.
📏 📐 Solução
Utilizando as definições dos ângulos inscrito, central e de segmento, conseguimos deduzir os valores do ângulo x indicados.
No item g, o ângulo x é de segmento, correspondente ao ângulo central indicado de 120°. Logo, x = 60°, metade da medida do ângulo central correspondente. Determine as justificativas das medidas dos outros itens.📑 Propriedades
Vamos ver algumas propriedades deste lugar geométrico.
- Ao determinar um ponto P no arco capaz, unindo este ponto à extremidades da corda AB, temos sempre a mesma medida α do ângulo inscrito (que mede a metade da medida do ângulo central correspondente).
- A mesma propriedade vale se escolhermos um ponto Q do arco simétrico em relação à corda AB.
- Considere o ponto Q' no prolongamento de BQ, fora do arco capaz, que forma ∢ AQ'B = α'. De acordo com o Teorema do Ângulo Externo, temos que α > α', ou seja, Q' não possui a propriedade de "enxergar" o segmento AB segundo ângulo α.
- Agora considere o ponto Q'' ∈ BQ, dentro da região formada pelo arco capaz, formando ∢ AQ''B = α''. De acordo com o Teorema do Ângulo Externo, temos que α'' > α, ou seja, Q'' não possui a propriedade de "enxergar" o segmento AB segundo ângulo α.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos as propriedades dos ângulos inscrito, central e de segmento para construir o arco capaz.
- Vamos transportar o ângulo α no segmento AB, com vértice A.
- Desta forma, temos o ângulo de segmento α, que determina a reta tangente t.
- Construa com régua e compasso ou com os esquadros a reta perpendicular a t que passa por A.
- Construa a mediatriz de AB. A interseção da medAB com a reta perpendicular é o centro O de um dos arcos.
- Com o centro em O e raio OA = OB, construa o arco capaz de α.
- O arco simétrico pode ser construído com centro em A ou B, e raio OA. Temos que O' ∈ medAB.
- Com centro em O' e raio O'A = O'B, construa o arco simétrico.
- Esta é a construção do arco capaz de um ângulo α segundo segmento AB.
📏 📐 Resolução
Neste exercício, vamos construir os arcos capazes dos ângulos conhecendo os valores de suas medidas.
- Vamos começar construindo o ângulo de segmento de 60° com vértice em A. Com centro em A, construa um arco que intercecte AB em C.
- Com a mesma medida de raio, construa o arco com centro em C, encontrando o ponto D no arco que construímos no passo anterior. Assim, temos a reta tangente ao arco: t.
- Com os esquadros ou a régua e o compasso, construa a reta perpendicular a t que passa por A.
- O centro do arco capaz de 60° está na interseção da reta perpendicular a t com a mediatriz de AB.
- Com centro em O e raio OA = OB, construa o arco capaz de 60°.
- Com centro em A ou B, construa o arco com raio de medida OA. A interseção deste arco com a medAB é o centro do arco simétrico.
- Pronto! Temos os 2 arcos que definem o arco capaz de 60° segundo o segmento AB.
- Para construir o arco capaz de 120°, podemos construir o suplementar de 60° no prolongamento de AB.
- Logo, temos que o ∢FAB = 120°. Podemos construir a reta perpendicular a t que passa por A.
- O encontro da mediatriz de AB com a reta perpendicular que construímos é o centro do arco capaz.
- Com o centro em O e raio de medida OA = OB, construa o primeiro arco.
- Construindo o arco com centro em A e raio de medida OA = OB, econtramos o centro O' do segundo arco. Note que O' pertence ao arco capaz que acabamos de construir.
- Com centro em O', construímos o arco simétrico do primeiro. Os centros pertencem aos arcos simétricos, pois ∢AOB = ∢AO'B = 120°, que é a medida do ângulo inscrito que define este arco capaz.
📏 📐 Resolução
De forma genérica, vamos encontrar a relação existente entre os ângulos opostos α e β que formam um quadrilátro inscrito em uma circunferência.
-
Considerando o ângulo inscrito α, o central correspondente será o ângulo δ. Sabemos que
$\mathsf{\alpha = {\delta \over 2} }$ . -
O ângulo central correspondente de β é o ângulo θ. Temos a relação
$\mathsf{\beta = {\theta \over 2} }$ . Como δ + θ = 360°, temos que$\mathsf{\alpha + \beta = {\delta \over 2} + {\theta \over 2} = { {\delta + \theta} \over 2} = 180^o }$ . Logo, α e β são suplementares.
📏 📐 Solução
Vamos encontrar a medida de um ângulo insrito em uma semi-circunferência. Note que o ângulo central correspondente vale 180°
Como o ângulo central θ mede 180°, o ângulo inscrito correspondente vale a metade, ou seja, γ = 90°. Logo, a construção de um arco capaz de 90° é mais simples: o centro será o ponto médio do segmento.📏 📐 Resolução
Utilizaremos o conceito da construção de um arco capaz de 90° para resolver este exercício.
- Escolha um ponto O ∉ r, que não esteja próximo da região onde construiremos a reta perpendicular à reta r.
- Com centro em O, construa a circunferência com raio de medida OP, encontrando o ponto Q ≡ r ∩ Circunf(O,OP).
- Construa o diâmetro QR. Como uma semi-circunferência é o arco capaz de 90°...
- ... então a reta PR formará 90° com a reta r.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos o conceito da construção de um arco capaz de 90° para resolver este exercício. O ponto de tangência "enxerga" o segmento OP segundo 90°.
- Vamos construir o arco capaz de 90° segundo segmento OP. Construa a mediatriz de PO, encontrando o ponto M médio deste segmento.
- Com centro em M, construa o par de arcos capazes de 90° com raio de medida MP = MO.
- As interseções destes arcos capazes com a circunferência λ definem os pontos de tangência T e T'.
- As retas t ≡ PT e t' ≡ PT' são as retas tangentes à circunferência λ.
- Se unirmos os pontos de tangência com o centro O, podemos verificar que ∢PTO = ∢PT'O = 90°.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos o conceito entre o ângulo central de 90°, e o inscrito correspondente que mede 45°.
- Como o ponto B "enxerga" o segmento AC segundo 45°, vamos construir o arco capaz para resolver este exercício. Podemos construir o arco capaz de 45° de uma forma mais simples: primeiro construímos o arco capaz de 90°, cujo centro é o ponto médio de AC.
- Com centro em M, construa o arco capaz de 90° com raio MA = MC. Não precisamos construir o arco da esquerda, pois não será usado no desenho da peça.
- A interseção da mediatriz de AC com o arco capaz de 90° é o centro do arco capaz de 45°, pois o ângulo inscrito mede a metade do central correspondente.
- O ponto B pode ser encontrado na interseção da Circunf(A,AB) com o arco capaz de 45°.
- Para finalizar, construímos as retas perpendiculares a AB que passam por A e B.
2.2. Operações com segmentos
Material da página 30 até a página 48.
📑 Propriedades
Vamos ver as propriedades do Teorema de Tales.
- Considere as retas paralelas a, b e c que intercectam a reta r nos pontos A, B e C, respectivamente.
- Considere a reta s, que intercecta o feixe de paralelas a, b e c nos pontos A', B' e C', respectivamente.
-
A razão entre os segmentos AB e BC da reta r e a razão entre os segmentos correspondentes A'B' e B'C' da reta s têm mesmo valor:
$\mathsf{ {AB \over BC} = {A'B' \over B'C'} }$ . -
Utilizando a correspondência de outra maneira, temos a relação entre as razões entre os segmentos AB e AC e seus correspondentes:
$\mathsf{ {AB \over AC} = {A'B' \over A'C'} }$ .
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.
- Podemos construir o segmento AB com a medida de 11cm diretamente com a régua. Na extremidade A, podemos construir uma reta com inclinação qualquer. A reta suporte de AB e a reta qualquer formam o feixe de retas concorrentes.
- Podemos construir um segmento com medida qualquer A1 com o compasso, e repetí-la consecutivamente...
- ... encontrando os segmentos com mesma medida: 12 = 23 = ... = 67 = A1. Outra maneira de encontrar estes pontos é marcando diretamente com a régua uma medida qualquer (por exemplo, 1cm) e repetindo-a até chegar na 7ª unidade.
- Unindo as extremidades B e 7, podemos alinhar um dos esquadros para definir o feixe das 6 retas que dividem AB em 7 partes iguais.
- Deslizamos o esquadro até chegar no ponto 6, paralelamente ao segmento B7; depois podemos fazer a mesma construção até chegar no ponto 5...
- ... e até chegar no ponto 1.
- Logo, temos os segmentos AA1 = A1A2 = ... = A6B.
-
De acordo com o Teorema de Tales, temos que
$\mathsf{ {AA_1 \over A1} = {AB \over A7} }$ . -
Ou seja, temos que
$\mathsf{ {A1 \over A7} = {1 \over 7} = {AA_1 \over AB} }$ .
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.
- Podemos construir o segmento AB com a medida de 12cm diretamente com a régua. Na extremidade A, podemos construir uma reta com inclinação qualquer. A reta suporte de AB e a reta qualquer formam o feixe de retas concorrentes.
- Com o compasso, "pegue" a medida do segmento m...
- ... e marque esta medida a partir do ponto A na reta qualquer, encontrando o ponto M.
- Faça o mesmo com o segmento n, marcando esta medida a partir da extremidade de m, ou seja, MN = n.
- Na sequência, marque a medida do último segmento, p, obtendo-se NP = p.
- Agora podemos unir a extremidade P com B e construir as paralelas a BP...
- ... deslizando um esquadro até o ponto N, obtendo-se N' ∈ AB...
- ... e até o ponto M, definindo M' ∈ AB.
- De acordo com o Teorema de Tales, os segmentos m', n' e p' são proporcionais aos segmentos m, n e p, respectivamente.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua e os esquadros para resolver este exercício.
- Podemos construir o segmento AB com a medida de 13cm diretamente com a régua. Na extremidade A, podemos construir uma reta com inclinação qualquer. A reta suporte de AB e a reta qualquer formam o feixe de retas concorrentes.
- Podemos construir o segmento m com o compasso, ou diretamente com a régua, marcando m = 2cm a partir de A na reta qualquer.
- Na sequência, a partir de C marcamos n = 4,2cm.
- E a partir de D, marcamos p = 5,3cm. Conseguimos marcar com a régua, pois conhecemos os valores das medidas. No exercício anterior, só tínhamos os segmentos: ao medir os segmentos do exercício anterior com a régua, podemos cometer erros de arredondamento.
- Agora basta construir as retas paralelas a EB com os esquadros...
- ... obtendo-se os pontos D' ∈ AB...
- ... e C' ∈ AB. De acordo com o Teorema de Tales, o segmento AB está dividido em partes proporcionais aos números m, n e p.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.
- Podemos construir o segmento AB com a medida de 15cm diretamente com a régua. Na extremidade A, podemos construir uma reta com inclinação qualquer. Vamos dividir o perímetro em partes proporcionais aos segmentos q, r e s, encontrando os lados a, b e c.
- Podemos marcar com a régua, na reta qualquer e partir de A o segmento q = 5cm.
- Na sequência, marcamos r = 3,5cm...
- ... e s = 4cm.
- Agora podemos construir as retas paralelas ao segmento que une a extremidade de s com Q.
- Deslizamos um dos esquadros até chegar na extremidade de r...
- ... e depois na extremidade de q. Desta forma, temos os lados a, b e c sobre o perímetro que marcamos PQ = 15cm.
- Podemos manter um dos lados e usar circunferências para encontrar o terceiro vértice do triângulo. Se mantivermos o lado b = AC, temos as relações dos segmentos: AQ = c = AB e PC = a = BC.
- Construindo a Circunf(C,a), temos o primeiro lugar geométrico do ponto B.
- O segundo lugar geométrico de B é a Circunf(A,c).
- Logo, temos as duas soluções deste exercício: △ABC e △AB'C.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.
- Vamos construir a divisão dos segmentos de uma só vez. Para funcionar esta "tática", construa uma reta qualquer, e determine um ponto A que tenha a distância até a reta um pouco menor do que o menor dos segmentos que queremos dividir: ou seja, a distância de A até a reta será um pouco menor do que 3cm.
- Agora construa a reta paralela à reta qualquer que construímos que passa por A.
- Logo, temos 2 retas paralelas com distância menor do que 3cm.
- Agora "pegue" a medida 3cm na régua, usando o compasso...
- ... e construa a Circunf(A,a), encontrando o ponto B na primeira reta construída.
- Podemos dividir este segmento AB = a usando como reta suporte uma das retas paralelas. Marque 5 unidades a partir de A ou de B...
- ... e construa as retas paralelas a A5 ou B5, dividindo AB em 5 partes iguais.
- Em cada ponto da divisão de AB, construa as retas paralelas às retas iniciais que construímos. Elas funcionam como um feixe para dividirmos os outros segmentos.
- Agora basta escolher um ponto C em uma das retas paralelas iniciais que construímos, e construir a Circunf(C,b). Na outra paralela, temos o ponto D e o segmento já aparece dividido em 5 partes iguais.
- Fazemos o mesmo com o ponto E, construindo a Circunf(E,c).
- Fazemos o mesmo para dividir o segmento d, construindo a Circunf(G,d).
- Fazemos o mesmo com o ponto I, construindo a Circunf(I,e).
- E finalmente temos a Circunf(K,f), que divide o segmento f em 5 partes iguais. Esta construção é bem menos trabalhosa do que fazer a divisão separada de cada segmento em 5 partes iguais.
📑 Propriedade
Vamos ver o conceito e as propriedades da Divisão Harmônica.
- Considere o segmento AB. Vamos encontrar o 3º e o 4º harmônicos, ou simplesmente os conjugados harmônicos de AB.
-
O ponto interno M, tal que
$\mathsf{ {AM \over BM} = -{p \over q} }$ é chamado de 3º conjugado harmônico. O sinal negativo apenas indica a direção oposta, considerando que os segmentos começam pelas extremidades de AB. -
O ponto externo N, tal que
$\mathsf{ {AN \over BN} = +{p \over q} }$ é chamado de 4º conjugado harmônico. O sinal positivo apenas indica a mesma direção, considerando que os segmentos começam pelas extremidades de AB. - Desta forma, temos os pontos M e N dividem harmonicamente o segmento AB. Vamos ver a seguir como é a construção da Divisão Harmônica de um segmento.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção.
- Construa o segmento AB = 7cm.
- Com a extremidade em A, construa uma reta com inclinação qualquer e marque com a régua A7 = 7cm, correspondente ao numerador da razão k.
- Usando os esquadros, construa a reta paralela a A7 que passa por B.
- Construa os segmentos B2 e B2' com medidas iguais a 2cm, correspondentes ao denominador da razão k.
-
Unindo os pontos 2 e 7, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB na razão k. Temos que
$\mathsf{ {AM \over BM} = -{7 \over 2} }$ por causa da semelhança dos triângulos △AM7 e △BM2. -
Unindo os pontos 2' e 7, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB na razão k. Temos que
$\mathsf{ {AN \over BN} = +{7 \over 2} }$ por causa da semelhança dos triângulos △AN7 e △BN2'.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção.
- Construa o segmento AB = 7cm.
- Com a extremidade em A, construa uma reta com inclinação qualquer e marque com a régua A2 = 2cm, correspondente ao numerador da razão k.
- Usando os esquadros, construa a reta paralela a A2 que passa por B.
- Construa os segmentos B5 e B5' com medidas iguais a 5cm, correspondentes ao denominador da razão k.
-
Unindo os pontos 2 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB na razão k. Temos que
$\mathsf{ {AM \over BM} = -{2 \over 5} }$ por causa da semelhança dos triângulos △AM2 e △BM5. -
Unindo os pontos 2 e 5', encontramos o 4º conjugado harmônico de AB na razão k. Temos que
$\mathsf{ {AN \over BN} = +{2 \over 5} }$ por causa da semelhança dos triângulos △AN2 e △BN5'.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção.
- Construa o segmento AB = 7cm. Como os números 3 e 5 são "próximos", o ponto externo da razão harmônica ficará mais distante de AB. Por isso, construa o segmento AB próximo da margem esquerda ou direita da folha.
- Com a extremidade em A, construa uma reta com inclinação qualquer e marque com a régua A3 = A3' = 3cm, correspondentes ao numerador da razão k.
- Usando os esquadros, construa a reta paralela a A3 que passa por B.
- Construa o segmento B5 com medida igual a 5cm, correspondente ao denominador da razão k.
- Unindo os pontos 3 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB na razão k.
- Unindo os pontos 3' e 5, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB na razão k.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
- Construa o segmento AP com uma medida qualquer p. A inclinação pode ser qualquer, pois vamos usar semelhança de triângulos. Encontraremos o segmento correspondente q que "gerou" o 3º harmônico M.
- Construa com os esquadros a reta paralela a AP que passa por B.
- Se unirmos P e M, encontramos o ponto Q na reta paralela que construímos. Este é o segmento correspondente q.
- Usando o compasso, "pegue" a medida BQ...
- E construa o segmento BR = BQ.
-
Unindo os pontos P e R, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB na razão
$\mathsf{ k = +{AP \over BQ} }$ .
📑 Propriedade
Vamos ver qual é a propriedade deste lugar geométrico. Neste exemplo, a razão considerada é
-
Se considerarmos o ponto P pertencente à Circunferência de Apolônio construída, a razão entre as medidas dos segmentos AP e BP será igual à razão da Divisão Harmônica
$\mathsf{ k = {5 \over 3} }$ . - O centro desta circunferência é encontrado com a mediatriz de MN.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
-
Vamos encontrar os conjugados harmônicos de AB na razão
$\mathsf{ 5 \over 2 }$ . Na extremidade A, construa o segmento A5 = 5cm com inclinação qualquer. - Usando os esquadros, construa a reta paralela a A5 que passa por B.
- Construa os segmentos B2 e B2' com medidas iguais a 2cm, correspondentes ao denominador da razão.
- Unindo os pontos 2 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB.
- Unindo os pontos 2' e 5, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB.
- Agora podemos construir a mediatriz de MN.
- Com centro no ponto médio de MN, construa a circunferência de raio OM = ON.
-
A construção é similar para a razão
$\mathsf{ 1 \over 4 }$ . - Com centro no ponto médio de MN, construa a circunferência de raio OM = ON.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção. Como temos a medida do lado a e a razão dos outros lados, precisamos utilizar a Circunferência de Apolônio de a com a razão
- Na extremidade B, construa o segmento B5 = 5cm com inclinação qualquer, correspondente ao lado c.
- Usando os esquadros, construa a reta paralela a B5 que passa por C.
- Construa os segmentos C3 e C3' com medidas iguais a 3cm, correspondentes ao lado b.
- Unindo os pontos 3 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de BC.
- Unindo os pontos 3' e 5, encontramos o 4º conjugado harmônico de BC.
- Agora podemos construir a mediatriz de MN.
- Com centro no ponto médio de MN, construa a circunferência de raio OM = ON. A Circunferência de Apolônio é o primeiro lugar geométrico do vértice A.
- Como temos a medida da altura ha, devemos construir a reta paralela a BC com distância ha = 4cm. Podemos usar a mediatriz para marcar esta distância, pois ela é perpendicular a BC: logo, encontramos os pontos P e Q.
- Usando os esquadros, construa as retas paralelas a BC que passam por P e Q. Temos 4 soluções para este exercício.
- Escolha uma das interseções para formar o △ABC.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
- Construa o segmento AB = 3,5cm, e na extremidade A, construa o segmento A5 = 5cm com inclinação qualquer, correspondente ao denominador da razão λ.
- Usando os esquadros, construa a reta paralela a A5 que passa por B.
- Construa os segmentos B2 e B2' com medidas iguais a 2cm, correspondentes ao numerador da razão λ.
- Unindo os pontos 2 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB.
- Unindo os pontos 2' e 5, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB.
- Agora podemos construir a mediatriz de MN.
- Com centro no ponto médio de MN, construa a circunferência de raio OM = ON. A Circunferência de Apolônio é o primeiro lugar geométrico do ponto procurado S.
- Como o ponto "enxerga" AB segundo ângulo de 45°, vamos construir o arco capaz deste ângulo. Podemos construí-lo de maneira mais simples construindo primeiro o arco capaz de 90°...
- ... e o centro do arco capaz de 45° será a interseção do arco capaz de 90° com a mediatriz de AB. O ponto S estará na interseção do arco capaz de 45° com a Circunferência de Apolônio.
Podemos escrever a relação de quarta proporcional de outras maneiras:
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção. Aplicaremos o teorema de Tales para encontrar o segmento x.
-
Vamos encontrar o segmento x tal que
$\mathsf{ {a \over b} = {c \over x} }$ . Podemos construir os segmentos a e b, que são o numerador e o denominador da primeira fração, em uma mesma reta. - Construindo uma reta com inclinação qualquer, que passa pela extremidade A, podemos construir o segmento correspondente ao numerador da outra fração: c. Usando os esquadros, determine a reta paralela a BD que passa pelo ponto C.
-
De acordo com o Teorema de Tales, os segmentos correspondentes são proporcionais, ou seja,
$\mathsf{ {a \over b} = {c \over x} }$ .
Podemos escrever a relação de terceira proporcional de outras maneiras:
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção. Aplicaremos o teorema de Tales para encontrar o segmento x.
-
Vamos encontrar o segmento x tal que
$\mathsf{ {a \over b} = {b \over x} }$ . Podemos construir os segmentos a e b, que são o numerador e o denominador da primeira fração, em uma mesma reta. - Construindo uma reta com inclinação qualquer, que passa pela extremidade A, podemos construir o segmento correspondente ao numerador da outra fração: b. Usando os esquadros, determine a reta paralela a BD que passa pelo ponto C.
-
De acordo com o Teorema de Tales, os segmentos correspondentes são proporcionais, ou seja,
$\mathsf{ {a \over b} = {b \over x} }$ .
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
-
Vamos encontrar o inverso de a, que será o segmento x tal que
$\mathsf{ x = {1 \over a} }$ ou$\mathsf{ {x \over 1} = {1 \over a} }$ . - Usando a terceira proporcional, com segmento de 1cm, encontramos o inverso x de a.
- Usando a terceira proporcional, com segmento de 1cm, encontramos o inverso y de b.
- Agora podemos dividir o segmento AB em partes proporcionais aos inversos. Construa o segmento AB e uma reta com inclinação qualquer que passa por A.
- Construa nesta reta qualquer os segmentos x e y usando o compasso.
- Com os esquadros, construa a reta paralela que define AP ∈ AB.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
- Vamos construir as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Começando com a projeção do cateto c, construímos o segmento BHa = n.
- No prolongamento de BHa, construímos o segmento HaC = m, que é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
- Como o vértice A "enxerga" a hipotenusa segundo 90°, vamos construir o arco capaz de 90°. Construa a mediatriz de BC.
- Com centro no ponto médio M e raio MB = MC, construa o arco capaz de 90°.
- Usando os esquadros, construa a reta perpendicular a BC que passa pelo ponto Ha.
- A interseção da reta perpendicular a BC com o arco capaz é o vértice A.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
- Vamos construir a hipotenusa BC.
- A projeção do cateto b sobre a hipotenusa é o segmento CHa = m.
- Como o vértice A "enxerga" a hipotenusa segundo 90°, vamos construir o arco capaz de 90°. Construa a mediatriz de BC.
- Com centro no ponto médio M e raio MB = MC, construa o arco capaz de 90°.
- Usando os esquadros, construa a reta perpendicular a BC que passa pelo ponto Ha.
- A interseção da reta perpendicular a BC com o arco capaz é o vértice A.
📑 Propriedade
Vamos mostrar as relações entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e a altura de um triângulo retângulo △ABC.
- Vamos considerar a hipotenusa BC = a e o ∢CHaA = 90°.
-
Considere o ângulo ∢C = γ. Temos que os triângulos △HaAC e △ABC são semelhantes (ângulos correspondentes iguais). Logo, os lados correspondentes são proporcionais na mesma razão, ou seja,
$\mathsf{ {h \over c} = {b \over a} = {m \over b} }$ . Da última igualdade, podemos concluir que$\mathsf{ b^2 = {a \cdot m} }$ . Esta é a relação entre o cateto b e sua projeção sobre a hipotenusa m. -
Considere o ângulo ∢B = β. Temos que os triângulos △HaBA e △ABC são semelhantes (ângulos correspondentes iguais). Logo, os lados correspondentes são proporcionais na mesma razão, ou seja,
$\mathsf{ {h \over b} = {c \over a} = {n \over c} }$ . Da última igualdade, podemos concluir que$\mathsf{ c^2 = {a \cdot n} }$ . Esta é a relação entre o cateto c e sua projeção sobre a hipotenusa n. -
Por transitividade, temos que os triângulos △HaBA e △HaAC são semelhantes. Logo, ∢HaAC = β e ∢HaAB = γ. Temos que os lados correspondentes são proporcionais na mesma razão, ou seja,
$\mathsf{ {h \over n} = {m \over h} = {b \over c} }$ . Da primeira igualdade, podemos concluir que$\mathsf{ h^2 = {m \cdot n} }$ . Esta é a relação entre a altura h e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa m e n.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
- No item 1.1, vamos usar o fato de que a altura é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Logo, os segmentos p e q são marcados como sendo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
- O segmento AB será a hipotenusa do triângulo retângulo que vamos construir. Construa a mediatriz de AB...
- ... e o arco capaz de 90° segundo AB. No ponto C, construímos a reta perpendicular a AB com os esquadros.
-
O segmento CD será a média geométrica entre p e q, segundo a propriedade que provamos na página anterior. Logo,
$\mathsf{ x = \sqrt{p \cdot q} }$ . - Como os segmentos do item 1.2 são maiores, podemos usar a relação de que um cateto é média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre a hipotenusa. Desta forma, construímos o segmento menor "por dentro" do segmento maior.
- O segmento p será hipotenusa, e o segmento q será a projeção do cateto sobre a hipotenusa. Construa a mediatriz de AB.
- Construa o arco capaz de 90° e a reta perpendicular a AB que passa por C.
-
De acordo com a propriedade que provamos na página anterior, o cateto BD é a média geométrica entre p e q, ou seja,
$\mathsf{ x = \sqrt{p \cdot q} }$ .
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
- No item 2.1, vamos usar o fato de que a altura é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Logo, os segmentos 2p e p são marcados como sendo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
- O segmento 2p + p será a hipotenusa do triângulo retângulo que vamos construir. Construa a mediatriz deste segmento...
-
... e o arco capaz de 90°. Construa a reta perpendicular ao segmento que passa pela extremidade que divide 2p e p. A altura do triângulo retângulo é a média geométrica
$\mathsf{ x = \sqrt{2p \cdot p} = p \sqrt{2} }$ . - No item 2.2, podemos usar a relação entre o cateto e sua projeção sobre a hipotenusa. Logo, construímos o segmento 3p...
- ... e o segmento p "por dentro" de 3p.
-
Construindo o arco capaz de 90° e a reta perpendicular à hipotenusa que passa pela extremidade de p, temos que o cateto y será a média geométrica
$\mathsf{ y = \sqrt{3p \cdot p} = p \sqrt{3} }$ . - No item 2.3, usamos a relação entre o cateto e sua projeção sobre a hipotenusa.
- Logo, construímos o segmento p "por dentro" do segmento 5p.
-
Construindo o arco capaz de 90° e a reta perpendicular à hipotenusa que passa pela extremidade de p, encontramos o cateto z que será a média geométrica
$\mathsf{ z = \sqrt{5p \cdot p} = p \sqrt{5} }$ . -
Se construirmos outro segmento p "por dentro" de 5p, podemos encontrar a média geométrica entre 2p e 5p, que será o cateto
$\mathsf{ t = \sqrt{2p \cdot 5p} = p \sqrt{10} }$ .
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
- Construa o segmento p e uma reta com qualquer inclinação que passa por A. Vamos dividir este segmento em 5 partes iguais usando o Teorema de Tales.
- Construímos na reta qualquer 5 segmentos consecutivos, com distâncias iguais entre si, começando pelo ponto A. Unimos o ponto 5 com o ponto B.
- Usando os esquadros, construa as retas paralelas a 5B que passam pelos pontos 4, 3, 2 e 1.
-
Vamos construir a média geométrica entre o segmento com
$\mathsf{ 4 \over 5 }$ de AB e o próprio AB. Construa o arco capaz de 90° em relação a AB. - No ponto A4, construa a reta perpendicular a AB.
-
A relação entre o segmento z e p é
$\mathsf{ \frac{z}{\sqrt{4}}=\frac{p}{\sqrt{5}} }$ ou de outra forma,$\mathsf{z=\frac{p\sqrt{4}}{\sqrt{5}} }$ , ou seja,$\mathsf{z=p\sqrt{\frac{4}{5}} }$ . O cateto AC4 é a média geométrica$\mathsf{z=\sqrt{\frac{4}{5}p.p} }$ . -
Analogamente, temos que o cateto AC3 é a média geométrica
$\mathsf{y=\sqrt{\frac{3}{5}p.p} }$ . -
Outro segmento que temos desta construção é o cateto BC3 que é a média geométrica
$\mathsf{x=\sqrt{\frac{2}{5}p.p} }$ . -
E o último segmento que temos desta construção é o cateto BC4 que é a média geométrica
$\mathsf{t=\sqrt{\frac{1}{5}p.p} }$ .
De acordo com a propriedade provada na página 39, temos as relações b² = a · m e c² = a · n .
Logo, b² + c² = a · m + a · n = a · (m + n) = a².
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
- Construa o segmento p. Vamos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o segmento x.
- Alinhando os esquadros com o segmento p, podemos construir a reta perpendicular a p que passa por uma extremidade deste segmento.
- Na reta perpendicular, podemos construir o segmento q.
-
De acordo com o teorema de Pitágoras, temos que
$\mathsf{ x^2 = p^2 + q^2 }$ , onde x é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos p e q. -
No ponto item 2, podemos reescrever a equação como
$\mathsf{ x^2 + q^2 = p^2 }$ . Neste caso, a hipotenusa será o segmento p. - O vértice com ângulo reto do triângulo retângulo que vamos construir "enxerga" a hipotenusa segundo ângulo de 90°. Logo, vamos construir o arco capaz de 90°.
- Com o centro no ponto médio de p, construa a semi-circunferência.
- Como temos a medida do cateto q, podemos construir o arco de circunferência com centro em uma extremidade de p, com raio q.
- Logo, o cateto com a medida x está construído.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
-
Podemos reescrever a equação como
$\mathsf{ x^2 = (p^2 + q^2) - r^2 }$ , onde$\mathsf{ y^2 = p^2 + q^2 }$ . Logo, vamos construir o segmento y, que terá dois "papéis". - O segmento y será a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos p e q, além de ser a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos x e r.
- Logo, vamos construir o arco capaz de 90° segundo segmento y.
- Com centro em uma das extremidades de y, construímos o arco de circunferência de raio r.
- Logo, temos o cateto com medida x com uma das extremidades no arco capaz.
-
No item 4, podemos reescrever a equação como
$\mathsf{ x^2 = (p^2 + q^2) + r^2 }$ , onde$\mathsf{ y^2 = p^2 + q^2 }$ . Logo, vamos construir o segmento y, que terá dois "papéis": será hipotenusa do triângulo retângulo de catetos p e q... - ... e será um cateto do triângulo retângulo de cateto r e hipotenusa x.
📏 📐 Solução
Neste exercício proposto, temos aplicações do teorema de Pitágoras. São segmentos que podemos construir também com o conceito de média geométrica
Nestes exercícios propostos, note que devemos reescrever as equações até determinar quais são os catetos e qual será a hipotenusa. Por exemplo, no item 2.4, procuramos o quadrado perfeito mais próximo do número 15 para reescrever a expressão📏 📐 Solução
Nestes exercícios propostos, temos aplicações do teorema de Pitágoras. São segmentos que podemos construir também com o conceito de média geométrica
No exercício 3, a espiral pitagórica é feita com triângulos retângulos que têm um dos catetos com medida igual a um segmento inicial p, obtendo-se na sequência:📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção. Vamos encontrar os segmentos
-
Vamos encontrar o segmento
$\mathsf{ a \over 2 }$ construindo a mediatriz de AB. - Vamos construir o triângulo retângulo de catetos a = AB e BC = BM = AM. Construa a reta perpendicular a AB que passa por B.
- Com o compasso, "pegue" a medida BM...
-
... e marque esta medida na reta perpendicular. Logo,
$\mathsf{ BC = \frac{a}{2} }$ . Usando o teorema de Pitágoras, temos que$\mathsf{ AC^2 = AB^2 + BC^2 }$ , ou seja,$\mathsf{ AC^2 = a^2 + {(\frac{a}{2})^2} }$ . Logo, temos que$\mathsf{ AC^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4} }$ . Portanto,$\mathsf{ AC = \frac{ a\sqrt{5} }{2} }$ . - Com o compasso centrado em C, construa o arco com raio AC até intercectar o prolongamento de BC.
-
De acordo com a demonstração feita nesta página, o segmento BD é áureo de AB, pois
$\mathsf{ BD = AC - BC = \frac{a\sqrt{5} }{2} - \frac{a}{2} }$ .
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção. Vamos encontrar os segmentos
-
Vamos encontrar o segmento
$\mathsf{ a \over 2 }$ construindo a mediatriz de AP. - Vamos construir o triângulo retângulo de catetos a = AP e PC = PM = AM. Construa a reta perpendicular a AP que passa por P.
- Com o compasso, "pegue" a medida PM...
-
... e marque esta medida na reta perpendicular. Logo,
$\mathsf{ PC = \frac{a}{2} }$ . Usando o teorema de Pitágoras, como fizemos na construção da página anterior, temos que$\mathsf{ AC = \frac{ a\sqrt{5} }{2} }$ . - Com o compasso centrado em C, construa o arco com raio PC no prolongamento de AC.
-
De acordo com a demonstração feita nesta página, o segmento AP é áureo de AD, pois
$\mathsf{ AD = AC + PC = \frac{a\sqrt{5} }{2} + \frac{a}{2} }$ . - Podemos construir o arco com raio AD no prolongamento de AP, para encontrar o segmento AB.
- Logo, temos o segmento AB, sabendo-se que AP é áureo de AB.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.
- Vamos construir o segmento áureo de AB. Construa a mediatriz de AB.
- Na reta perpendicular a AB que passa por B, encontre o ponto N tal que BN = BM = AM.
- Construa o arco com centro em N e raio AN. O segmento BC é áureo de AB. Já temos 2 lados do retângulo áureo: AB e BC.
- Usando os esquadros, construa os lados AD // BC e CD // AB. Logo, temos o retângulo áureo ABCD: um lado é segmento áureo do outro.
- Agora vamos construir a espiral áurea. Começando pelo vértice B, vamos construir um quadrado com lado BE = BC usando o compasso.
- Com os esquadros, construa o segmento EF // BC.
- Com centro em E, construa o arco que começa em B e vai até o ponto F. Este é o primeiro arco da espiral.
- Para dar continuidade nos arcos, a próxima extremidade será com vértice em D. Vamos construir o quadrado com lado DG = DF.
- Com os esquadros, construa o segmento HG // DF.
- Para dar continuidade na espiral o arco que construiremos terá centro em H, raio HF, começando em F e terminando em G. O próximo quadrado terá vertice em A e lado AG.
- Analogamente ao que fizemos nos outros 2 arcos, construa o quadrado AGJI, com arco de centro em J, começando em G e terminando em I. O próximo quadrado terá lado EI.
- Construa o quadrado EIKL, com arco de centro em K, começando em I e terminando em L. O próximo quadrado terá lado HL.
- Construa o quadrado HLPO, com arco de centro em P, começando em L e terminando em O. O próximo quadrado terá lado OJ, e assim sucessivamente.
📏 📐 Solução
Neste exercício proposto, temos construções de segmentos áureos "em cascata".
Na verdade, note que depois de construir o primeiro segmento áureo, AP, podemos "transportá-lo" para o segmento AB, encontrando o ponto P. Se construirmos o áureo de AP, temos a formação de triângulos semelhantes. O mesmo acontece com o áureo do áureo de AP. Construa as circunferências áureas com os raios encontrados em uma outra folha.📑 Demonstração
Vamos demonstrar esta propriedade com os 3 casos possíveis.
- No primeiro caso, quando P é externo à circunferência, vamos determinar os segmentos BC, AD e AC. Como os pontos B e D "enxergam" o segmento AC no mesmo arco...
-
... temos que ∢B = ∢ D, pois são ângulos inscritos relativos à mesma corda. Logo, temos que os triângulos △PAD e △PCB são semelhantes. Por isso, temos que
$\mathsf{ \frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB} }$ , ou seja,$\mathsf{ PA \cdot PB = PC \cdot PD }$ . - No segundo caso, quando P é interno à circunferência, vamos determinar os segmentos BC, AD e AC. Como os pontos B e D "enxergam" o segmento AC no mesmo arco...
-
... temos também a propriedade do arco capaz: ∢B = ∢ D. Logo, temos que os triângulos △PAD e △PCB são semelhantes. Por isso, temos que
$\mathsf{ \frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB} }$ , ou seja,$\mathsf{ PA \cdot PB = PC \cdot PD }$ .
📑 Demonstração
Agora vamos ver como fica a demonstração do terceiro caso possível: quando um dos segmentos é tangente à circunferência.
- Vamos determinar os segmentos AT e BT. Neste caso, o ∢B é inscrito e o ∢PTA é de segmento, ambos da mesma corda AT.
-
Conforme já provamos, estes ângulos são iguais. Logo, os triângulos △PTA e △PBT são semelhantes. Por isso, temos que
$\mathsf{ \frac{PA}{PT}=\frac{PT}{PB} }$ , ou seja,$\mathsf{ PT^2 = PA \cdot PB }$ .
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar os casos que demonstramos na página anterior.
-
Usando o segundo caso da propriedade de potência de ponto, temos que
$\mathsf{ PA \cdot PC = PB \cdot PD }$ , ou seja,$\mathsf{ x \cdot 2 = 5 \cdot 1 }$ . Logo,$\mathsf{ x = \frac{5}{2} = 2,5 }$ . -
Usando o primeiro caso da propriedade de potência de ponto, temos que
$\mathsf{ PA \cdot PB = x \cdot PC }$ , ou seja,$\mathsf{ x \cdot 8 = 3 \cdot 6 }$ . Logo,$\mathsf{ x = \frac{18}{8} = 2,25 }$ . -
Usando o terceiro caso da propriedade de potência de ponto, temos que
$\mathsf{ x^2 = PA \cdot PB }$ , ou seja,$\mathsf{ x^2 = 3 \cdot 8 }$ . Logo,$\mathsf{ x = \sqrt{24} = 4,89 }$ .
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar o terceiro caso da propriedade de potência de ponto.
-
Ao determinar uma reta secante qualquer que passa pelo ponto P, temos a propriedade válida:
$\mathsf{ PT^2 = PA \cdot PB }$ , ou seja,$\mathsf{ PT = \sqrt{PA \cdot PB} }$ . Logo, PT será a média geométrica entre PA e PB. - Construa a mediatriz de PB.
- Construa também o segmento AC ⊥ PA e o arco capaz de 90°. O segmento PC será a média geométrica entre PA (projeção do cateto PC) e PB (hipotenusa).
- Podemos "transferir" esta distância construindo o arco de circunferência com centro em P e raio PC = PT.
- Nas interseções do arco com a circunferência dada, encontramos T e T', que definem as tangentes PT e PT'.
3. Triângulos e quadriláteros
Material da página 49 até a página 64.
📏 📐 Construção
Vamos construir as principais cevianas nos triângulos desta página. Para facilitar as construções, podemos utilizar os esquadros nas construções de retas perpendiculares.
- Vamos nomear o triângulo como △ABC. Os nomes dos lados serão a = BC, b = AC e c = AB.
- Construa as mediatrizes de dois lados. A mediatriz do terceiro lado passa pelo mesmo ponto de interseção O, chamado de circuncentro. O raio da circunferência circunscrita é a distância OA = R do centro O até um dos vértices.
- Com centro em O e raio R, construa a circunferência circunscrita do triângulo.
- Unindo os pontos médios dos lados com os vértices opostos, temos as medianas do triângulo. Note que são bem diferentes de mediatrizes: as medianas são segmentos que unem um vértice ao ponto médio do lado oposto; já as mediatrizes são as retas que dividem o segmento ao meio.
- Os nomes das medianas são relativos aos lados opostos. Por exemplo, BMb = mb é a mediana relativa ao lado b. O encontro das medianas é o baricentro, representado por G. Se construirmos a reta paralela à mediana mb que passa por Mb, encontramos o ponto M ∈ BC.
-
De acordo com o teorema de Tales, temos que AMb = MbC implica que MaM = MC. Como BMa = MaC, temos a seguinte relação:
$\mathsf{ \frac{BM_a}{MM_a} = \frac{BG}{GM_b} = \frac{2}{1} }$ . Ou seja, o baricentro divide a mediana na razão BG =$\mathsf{ \frac{2}{3} m_b }$ e GMb =$\mathsf{ \frac{1}{3} m_b }$ . -
O mesmo vale para as outras medianas: AG =
$\mathsf{ \frac{2}{3} m_a }$ ; GMa =$\mathsf{ \frac{1}{3} m_a }$ ; CG =$\mathsf{ \frac{2}{3} m_c }$ ; GMc =$\mathsf{ \frac{1}{3} m_c }$ .
📏 📐 Construção
Vamos construir outras duas cevianas nos triângulos desta página.
- Construa as bissetrizes dos ângulos internos de dois vértices do triângulo. A terceira bissetriz passa pelo ponto de interseção I, chamado de incentro do triângulo.
- Construa o segmento perpendicular a um dos lados do triângulo passando pelo incentro. Assim, encontramos o raio da circunferência inscrita r = ITb.
- Com centro em I e raio r, construa a circunferência inscrita do triângulo.
- Os nomes das bissetrizes são relativos aos lados opostos. Por exemplo, ABa = ba é a bissetriz relativa ao lado a.
- Construa as alturas relativas a dois lados do terceiro triângulo desta página. A terceira altura passa pelo mesmo ponto de interseção das outras. Este ponto é chamado de ortocentro do triângulo.
- Se unirmos os pés das alturas, temos o △HaHbHc, chamado de triângulo órtico.
- Os nomes das alturas são relativos aos lados opostos. Por exemplo, CHc = hc é a altura relativa ao lado c.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares nestes primeiros exercícios.
- Podemos começar com qualquer lado. Neste exemplo, começamos pelo lado a = BC.
- Como temos a medida do lado c, construímos a Circunf(B,c), que é o primeiro lugar geométrico do vértice A.
- Construindo a Circunf(C,b), temos o segundo lugar geométrico de A, e finalizamos o △ABC.
- No exercício 2, podemos começar com o lado a ou com o lado b. Considerando o lado a construído...
- ... podemos construir o ângulo B = 30°. Com centro em B, podemos construir um arco com raio qualquer.
- Com o mesmo raio, construímos outro arco de circunferência. Logo, temos o ângulo de 60° com vértice em B.
- Agora podemos construir a bissetriz deste ângulo. Com centro em uma das interseções, construímos um arco...
- ... e com centro na outra interseção, construímos o arco com mesmo raio. Logo, temos o ângulo B = 30°.
- Agora podemos construir a Circunf(C,b), que será o segundo lugar geométrico de A. Escolha uma das interseções para construir o triângulo.
- Pronto! O △ABC está construído. Podemos usar os esquadros para construir o ângulo de 30° ao invés do compasso.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Devemos sempre começar com uma medida linear. Neste caso, temos apenas o lado a = BC. Vamos usar os esquadros para construir o ângulo de 30° em B.
- Deslizando o esquadro com o vértice de 30° alinhado com BC, temos o ângulo B = 30°.
- Alinhando o esquadro de 45 com o vértice de 30 do outro esquadro, temos um ângulo de 75°.
- Deslizando o esquadro de 30 até chegar em C, temos C = 75°.
- Pronto! Temos o △ABC construído. Você pode utilizar a régua e o compasso para construir estes ângulos.
- No exercício 4, vamos construir o segmento BC = a. Como temos o ângulo oposto, vamos construir o arco capaz de 45°.
- Construa a mediatriz de BC.
- Com centro em Ma e raio BMa, temos o arco capaz de 90°. O centro do arco capaz de 45° está na interseção da mediatriz com o arco capaz de 90°.
- Construa o arco capaz de 45°, com centro em O e raio OB = OC. Temos que o ∢OBC = 45°.
- Construindo a bissetriz do ∢OBC, temos o ângulo B construído e o segundo lugar geométrico de A. Na interseção da reta que forma 22,5° com BC com o arco capaz de 45°, temos o vértice A do △ABC.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Começamos com o cateto b = AC. Com os esquadros ou régua e compasso, construa a reta perpendicular a AC que passa por A.
- Vamos construir o arco capaz de 30° em AC. Construa a mediatriz de AC.
- Construa o ângulo de 30° com vértice em A ou em C. Esta é a reta tangente ao arco capaz.
- Construa a reta perpendicular à reta tangente pelo ponto A. O centro do arco capaz é a interseção da mediatriz com a reta perpendicular.
- Com centro em O e raio OA = OC, construa o arco capaz de 30°. A interseção deste arco com a reta perpendicular a AC que passa por A é o vértice B.
- No exercício 7, construímos o arco capaz de 90° em BC e a reta que forma 60° com BC.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Começamos com o cateto c = AB.
- Com os esquadros ou régua e compasso, construa a reta perpendicular a AB que passa por A.
- Podemos construir a Circunf(B,a), que é o segundo lugar geométrico do ponto C.
- No exercício 9, começamos com o cateto b = AC.
- Com os esquadros ou régua e compasso, construa a reta perpendicular a AC que passa por A.
- Construa a Circunf(A,c), que é o segundo lugar geométrico do ponto B.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Podemos construir as projeções dos catetos m e n sobre a hipotenusa.
- Como o vértice A tem ângulo reto, vamos construir o arco capaz de 90°.
- Construa a perpendicular a BC que passa por Ha.
- Na interseção do arco capaz de 90° com a perpendicular, temos o vértice A.
- No exercício 11, podemos começar construindo a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
- Construa a perpendicular a BHa pelo ponto Ha.
- Construa a Circunf(B,c) para encontrar o vértice A.
- Construa a perpendicular a AB que passa por A. No prolongamento de BHa, encontramos o vértice C.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Vamos encontrar a projeção do cateto c sobre a hipotenusa. Construa a circunferência com diâmetro m.
- No ponto T, construa a reta perpendicular ao raio OT. Esta é uma reta tangente à circunferência.
- Com o compasso, construa o segmento PT = c.
-
Construa a reta que passa por P e O, intercectando a circunferência em Q e R. De acordo com a propriedade de potência de ponto, temos que
$\mathsf{ PT^2 = PQ \cdot PR }$ , ou seja,$\mathsf{ c^2 = PT^2 = PQ \cdot (PQ + m) }$ . -
Das relações de média geométrica, temos que
$\mathsf{ c^2 = n \cdot a }$ , ou seja,$\mathsf{ c^2 = n \cdot (n + m) }$ . Esta é a mesma relação encontrada por meio de potência de ponto. Logo, temos que PQ = n. - Podemos então construir a reta perpendicular a PQ que passa por Q, que será o pé da altura do triângulo retângulo.
- Construa a Circunf(P,c), que intercecta a reta perpendicular em A.
- Unindo o vértice A com R, temos o △ABC construído. Os vértices B e C coincidem com P e R.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios. Vamos utilizar a técnica de HOMOTETIA para resolver estes exercícios.
- Nestes exercícios, não temos a medida de um dos lados. Então, vamos começar com um lado B'C' de medida qualquer.
- Construa os ângulos de 60° e 45° nos vértices B' e C'.
- Construa a altura do △A'B'C' relativa ao lado a'.
- Se a medida A'H'a for igual à medida pedida de 5cm, o △ABC coincide com o △A'B'C'. Neste caso, a altura ficou menor: então, a partir de A' podemos marcar a medida A'Ha = ha.
- Temos que △ABC ~ △A'B'C'. Logo, podemos construir a reta paralela a B'C' que passa por Ha.
- As interseções da reta paralela com os prolongamentos dos lados A'B' e A'C' são os vértices B e C.
- No exercício 14, vamos usar a mesma ideia. Primeiro, construímos o △A'B'C' com a medida B'C' qualquer e com as medidas indicadas dos ângulos.
- Construa a mediatriz de B'C' e a mediana m'a. Neste exemplo, a mediana tem medida maior do que 4,5cm.
- Logo, a partir de A' ou de M'a, construa o segmento AMa = ma.
- Neste caso, encontramos a nova posição do vértice A. Construa as retas paralelas a A'C' e B'A' que passam por A, encontrando os vértices B e C.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios. Vamos utilizar a técnica de HOMOTETIA para resolver estes exercícios.
- O exercício 15 é similar aos anteriores. Neste caso, o △A'B'C' ficou menor do que o △ABC.
- No exercício 16, construa o triângulo auxiliar △A'B'C'.
- Vamos encontrar o circuncentro deste triângulo. Construa a mediatriz de um dos lados.
- A interseção de duas mediatrizes determina o circuncentro O' e o raio O'B'.
- Considerando que o centro do △ABC coincide com O', construa a Circunf(O,R).
- Se prolongarmos os raios OA', OB' e OC', encontramos os vértices A, B e C.
- Logo, temos o △ABC ~△A'B'C'.
📏 📐 Resolução
Podemos usar a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Usando a fórmula da área de um triângulo, temos a relação mostrada entre lados e alturas correspondentes: são relações de inversos proporcionais.
- Logo, podemos construir o inverso do segmento ha, como fizemos anteriormente usando Tales.
- Fazemos o mesmo com os segmentos hb e hc. Estes segmentos inversos são proporcionais aos lados do △ABC.
- Logo, podemos construir o △A'B'C' com lados iguais aos inversos correspondentes: a' tem lado inverso de ha, b' tem lado inverso de hb e c' tem lado inverso de hc.
- Como fizemos no exercício 13, consideramos os vértices coincidentes A' ≡ A e prolongamos o segmento AH'a até que AH'a = ha. Construindo a reta paralela a B'C', encontramos os vértices B e C.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Construa o lado a e a reta perpendicular a este lado por um ponto qualquer: pode ser pelo vértice B.
- Construa a reta paralela a BC com distância igual à altura ha.
- Construa a Circunf(B,c). O vértice A está na interseção desta circunferência com a reta paralela.
- Escolha uma das soluções.
- O exercício 20 é similar ao exercício 19. O ângulo de 30° pode ser construído com esquadros ou com régua e compasso.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- No exercício 21, utilizamos os seguintes lugares geométricos: a reta que forma 45° com BC e a Circunf(Ma,ma).
- No exercício 22, começamos construindo o lado AB = c. O lugar geométrico para encontrarmos o pé da altura Ha é o arco capaz de 90°.
- Com o centro no ponto médio Mc, construa o arco capaz de 90°.
- Construa a Circunf(A,ha). A reta BHa é o primeiro lugar geométrico do vértice C.
- Construa a Circunf(A,b). Na interseção desta circunferência com a reta BHa, temos o ponto C. Escolha uma das soluções.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Como temos um lado e o ângulo oposto, podemos construir o arco capaz deste ângulo relativo a este lado.
- Com o centro no ponto Ma, construa o arco capaz de 90°. O centro do arco capaz de 45° está na interseção da mediatriz de BC com o arco capaz.
- Com o centro em O, construa o arco capaz de 45°.
- Podemos aproveitar a mediatriz para construir o segmento para marcar a distância ha a partir de Ma.
- Construa a reta paralela ao lado BC com a distância ha. Na interseção desta paralela com o arco capaz de 45°, temos o vértice A.
- O exercício 24 é parecido com o 23, mas temos que encontrar o ponto Hb usando o arco capaz de 90°.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- No exercício 27, encontramos o pé da altura Hb com o arco capaz de 90° e usamos a Circunf(Ma,ma) para encontrar o vértice A.
- No exercício 28, vamos imaginar a solução. Se unirmos os pontos médios dos lados, pelo teorema de Tales, estes segmentos terão medidas iguais à metade das medidas dos lados opostos correspondentes. Além disso, estes segmentos são paralelos aos lados correspontentes: MbMc // BC e MbMa // AB.
- Começando pelo lado BC, vamos encontrar o ponto Mb. Encontre o ponto médio Ma.
-
Como vimos anteriormente, temos que
$\mathsf{ M_bM_a = \frac{c}{2} }$ e$\mathsf{ BM_b = m_b }$ . Construa as Circunf(B,mb) e Circunf(Ma,MaMb). - Construa a Circunf(Mb,CMb) para finalizar o △ABC.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Temos apenas as medidas das 3 medianas, então vamos construir um triângulo auxiliar.
-
Vamos construir o triângulo auxiliar com as medidas G'Ma = GMa. Logo, temos um paralelogramo BGCG', pois as diagonais intercectam-se em seus pontos médios. Portanto,
$\mathsf{ GG' = \frac{2}{3} m_a }$ ,$\mathsf{ BG = \frac{2}{3} m_b }$ e$\mathsf{ BG' = \frac{2}{3} m_c }$ . - Vamos dividir as medianas em 3 partes iguais. Podemos fazer a construção parecida com a que fizemos anteriormente para dividir segmentos em 5 partes iguais. Construa duas retas paralelas, e a partir de um ponto P, construa com o compasso PP' = ma.
- Usando o teorema de Tales, divida ma em 3 partes iguais.
- Nos pontos de divisão, construa as retas paralelas às duas retas iniciais que construímos. A partir de um ponto Q da mesma reta que colocamos o ponto P, construa o segmento QQ' = mb.
- Faça o mesmo com a terceira mediana: RR' = mc. Assim, temos as 3 medianas divididas em 3 partes iguais.
-
Com o compasso, construa o segmento
$\mathsf{ GG' = \frac{2}{3} m_a }$ . -
Construa as
$\mathsf{ Circunf(G, \frac{2}{3} m_b) }$ e$\mathsf{ Circunf(G', \frac{2}{3} m_c) }$ . Na interseção destas circunferências, encontramos o vértice B. -
Construa no prolongamento de GG' a
$\mathsf{ Circunf(G, \frac{2}{3} m_a) }$ , encontrando o vértice A. -
No prolongamento de BG, construa a
$\mathsf{ Circunf(G, \frac{1}{3} m_b) }$ , encontrando o ponto Mb. - Para finalizar, construa a Circunf(Mb ,AMb), encontrando o vértice C.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos construir a mediana que o vértice A "enxerga" segundo ângulo dado de 60°.
- Construa o ângulo de segmento de 60° em Mc, obtendo-se a reta tangente ao arco capaz.
- Construa a reta perpendicular à reta tangente que passa por Mc. Na interseção desta reta com a mediatriz de CMc, encontramos o centro do arco capaz de 60°.
- Construa o arco capaz.
-
Vamos encontrar o baricentro. Como as medianas têm mesmas medidas do exercício anterior, podemos usar a divisão que fizemos para construir a
$\mathsf{ Circunf(M_c, \frac{1}{3} m_c) }$ . -
A distância do baricentro ao vértice A é de
$\mathsf{ \frac{2}{3} m_a }$ . Logo, construa a$\mathsf{ Circunf(G, \frac{2}{3} m_a) }$ . Onde esta circunferência intercectar o arco capaz, temos o vértice A. -
No prolongamento de AMc, construa a
$\mathsf{ Circunf(M_c, AM_c) }$ , encontrando o vértice B. - Finalizamos a construção do △ABC.
- No exercício 31, podemos construir uma reta qualquer e a altura perpendicular a esta reta, determinando o segmento AHa.
- Construa a Circunf(A,ma). Logo, temos a reta suporte do lado BC determinada.
- Como a mediatriz é perpendicular ao lado e passa pelo ponto médio, construa a reta perpendicular a HaMa pelo ponto Ma.
- Como a circunferência circunscrita tem o centro na interseção das mediatrizes, construa a Circunf(A,R): na interseção desta circunferência com a mediatriz, encontramos o circuncentro.
- Construa a Circunf(O,R), determinando os vértices B e C na reta suporte construída.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Começamos com o lado b e a reta perpendicular a b que passa pelo ponto A.
- Construa a Circunf(A,r) e a reta paralela a AC. Este é o primeiro lugar geométrico do incentro do triângulo.
- Construa a bissetriz do ângulo Â. Na interseção com a reta paralela, temos o incentro I.
- Construa a circunferência inscrita. Para construir o lado BC, vamos encontrar o ponto de tangência usando o arco capaz de 90° em IC.
- Com centro no ponto médio de IC, construa o arco capaz de 90°: na interseção com a circunferência inscrita, temos o ponto T.
- Unindo os pontos C e T, encontramos o vértice B na reta perpendicular a AC que passa por A.
- No exercício 33, podemos usar a propriedade que usamos em exercícios anteriores: os segmentos que unem os pontos médios de dois lados são paralelos ao terceiro lado e têm a metade da medida do terceiro lado. Construa a reta paralela a MbMc que passa por Ma.
- construímos a Circunf(Ma,MbMc), determinando os vértices B e C.
- Determine os segmentos BMc e CMb, encontrando o vértice A nos prolongamentos dos segmentos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos imaginar o triângulo construído. Como temos a altura Hb, vamos imaginar que a soma dos lados b + c está construída a partir de C. Logo, teremos o △ABD isósceles de base BD, pois BA = AD. Para encontrar o vértice A, vamos construir a mediatriz de BD.
- Vamos começar pelo lado a = BC e o arco capaz de 90° para fixar o pé da altura Hb.
- Construa a Circunf(B,hb), determinando o ponto Hb na interseção com o arco capaz de 90°.
- Unindo os pontos Hb e C, podemos construir a Circunf(C,b + c), encontrando o ponto D.
- Agora podemos construir a mediatriz de BD.
- Na interseção da mediatriz de BD com a reta CD, temos o vértice A.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos imaginar o triângulo construído. Como temos o ângulo  = 75°, vamos imaginar que a diferença dos lados a − c está construída a partir de A. Logo, teremos o △BCD isósceles de base CD, pois BC = BD. Para encontrar o vértice B, vamos construir a mediatriz de CD.
- Construa o segmento AC = b. Com os esquadros ou régua e compasso, faça a construção do ângulo de 75°.
- Na reta suporte do lado AB, construa a Circunf(A,a − c), encontrando o ponto D.
- Construa a mediatriz de CD.
- O vértice B está na interseção da mediatriz com a reta AD.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos imaginar o triângulo construído. Se marcarmos as medidas dos lados AB e AC nos prolongamentos de BC, temos os △ABD e △ECA que são isósceles de bases AD e AE.
-
De acordo com o teorema do ângulo externo, temos que
$\mathsf{ \alpha = \frac{B}{2} }$ e$\mathsf{ \beta = \frac{C}{2} }$ . Portanto, podemos construir o △ADE. - Construa o segmento DE = 2p.
- No vértice D, construa o ângulo de 75°...
- ... e no vértice E, construa o ângulo de 45°.
- Construa a bissetriz do ângulo de 75°...
- ... e a bissetriz do ângulo de 45°, determinando o vértice A.
- Agora basta construir a paralela a s que passa por A, encontrando B...
- ... e a paralela a r que passa por A, encontrando o vértice C.
📑 Propriedades
Vamos ver algumas definições e propriedades sobre os quadriláteros.
- Construindo uma diagonal de um quadrilátero, temos 2 triângulos. Logo, a soma dos ângulos internos do quadrilátero será 360°.
- Quando os 4 vértices pertencem a uma circunferência, o quadrilátero é chamado de inscritível.
- Provamos esta propriedades no conteúdo de arco capaz. Usamos os ângulos inscritos e centrais correspondentes, chegando à relação de que α + β = 180° e γ + δ = 180°.
- Quando os lados do quadrilátero são tangentes a uma circunferência, ele é chamado de circunscritível.
- De acordo com a propriedade de potência de ponto, temos que AT1 = AT4, BT1 = BT2, CT2 = CT3 e DT3 = DT4. Substituindo estas medidas na soma de dois lados opostos, temos a relação de que as somas dos lados opostos de quadriláteros circunscritíveis são iguais.
📑 Propriedades
Vamos ver algumas definições e propriedades sobre os quadriláteros notáveis. Começando pelos trapézios
- As bases do trapézio são os segmentos AB e CD, e as laterais são BC e AD.
- Somente no trapézio isósceles teremos os ângulos das bases iguais e as diagonais iguais. Neste trapézio, temos também uma circunferência circunscrita.
📑 Propriedades
Agora vamos ver as propriedades dos paralelogramos.
- Em um paralelogramo, os ângulos opostos são iguais. Logo, não teremos a circunferência circunscrita. Como os lados opostos são iguais, também não conseguimos construir uma circunferência inscrita neste quadrilátero.
- Todas as recíprocas das propriedades mostradas dos paralelogramos são verdadeiras.
📑 Propriedades
Agora vamos ver as propriedades dos paralelogramos especiais: retângulo, losango e quadrado.
- Vamos usar estas propriedades nas construções propostas a seguir.
- Nos casos de retângulos e quadrados, a circunferência circunscrita tem centro na interseção das diagonais. O losango não tem esta circunferência. No caso do quadrado, podemos construir a circunferência inscrita, que terá o raio igual à metade da medida do lado.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Vamos construir o segmento AB e a reta perpendicular a este segmento que passa por B.
- Construa a Circunf(B,AB), determinando o vértice C na reta perpendicular a AB.
- Construa as retas: paralela a AB que passa por C e a paralela a BC que passa por A, encontrando o vértice D.
- No exercício 2, construa a diagonal BD.
- Construa o arco capaz de 90° em BD, pois os vértices A e D "enxergam" BD segundo 90°.
- Na interseção da mediatriz de BD com o arco capaz, temos os vértices A e C.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Construa a Circunf(M,r) e um diâmetro T1T2.
- Construa o diâmetro T3T4 ⊥ T1T2.
- Construa as retas AT1 // T3T4 e AT3 // T1T2.
- Construa a reta BT4 // T1T2.
- E para finalizar o quadrado, construa a reta DT2 // T3T4.
- No exercício 4, o diâmetro da circunferência circunscrita tem a medida das diagonais do quadrado. Basta construir os diâmetros perpendiculares para encontrar os vértices do quadrado.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos construir o lado AB, conhecendo-se o segmento áureo de AB. Construa o segmento PQ = x e sua mediatriz.
- Construa a reta perpendicular a PQ em Q e a circunferência com raio igual à metade de x.
- No prolongamento de PR, construa o segmento RS com a metade da medida de x. O segmento PS tem a medida do lado AB procurado.
- Você pode construir o quadrado usando a posição de PS, ou transportar a medida AB = PS ao lado, usando o compasso.
- Construa a reta perpendicular ao lado AB que passa por A e marque nesta perpendicular o segmento AD = AB.
- Construa a reta CD // AB e a reta BC // AD.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Vamos construir a diagonal AC = d e sua mediatriz, encontrando o ponto M.
- Construa a reta que forma 60° com AC e passa por M.
- Construa a Circunf(M,MC) para encontrar os vértices B e C.
- Pronto! O retângulo está construído.
- Vamos imaginar o retângulo do exercício 9 construído. Se marcarmos o lado CD no prolongamento de AD, temos que o segmento CE formará 45° com AE = p.
- Construa o segmento AE = p.
- Construa a reta que forma 45° com AE a partir de E.
- Construa a Circunf(A,d), encontrando o vértice C na reta que forma 45° com AE.
- Escolha uma das interseções e construa a reta perpendicular a AD que passa por C, encontrando o vértice D.
- Construa as retas BC // AD e AB // CD, fechando o retângulo.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- O exercício 10 é parecido com o anterior. Note que neste caso a solução será um quadrado, caso particular de um retângulo.
- No exercício 11, construa o semi-perímetro AE = p.
- Vamos usar a construção de média geométrica. Como temos a medida m, construa a reta perpendicular a AE que passa por A e faça AP = m.
- Construa o arco capaz de 90° em AE.
- Construa a reta PQ // AE.
- Escolha uma das interseções, e faça QD ⊥ AE. Esta é a construção que vimos de média geométrica. Logo, o ponto D será vertice do retângulo, determinando os lados AD e DE.
- Construa a Circunf(D,DE) para determinar o vértice C ∈ QD.
- Agora basta construir a reta BC // AD para finalizar o retângulo.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- O exercício 14 é parecido com os anteriores.
- Imagine que o losango do exercício 15 está resolvido. Se construirmos a metade da soma das diagonais, teremos ME = BM no prolongamento de AM. Como as diagonais são perpendiculares, temos que o ∢MEB = 45°. Logo, podemos construir o △AEB.
- Construa o segmento AE com medida igual à metade da soma das diagonais e a reta que forma 45° com AE a partir de E.
- Construa a Circunf(A,AB) para determinar o vertice B na reta BE.
- Construa a reta BD ⊥ AE. Como os lados do losango são iguais, a perpendicular intercecta a Circunf(A,AB) no vértice D.
- Construa a Circunf(B,AB) para encontrar o vértice C no prolongamento de AE.
- Pronto! O losango está construído.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Imaginando o paralelogramo pronto, temos que o segmento BE = p e pelo teorema do ângulo externo temos que o ∢CED = 30°.
- Construa o segmento BE = p e a reta que forma 30° com BE e que passa por E.
- Construa a Circunf(B,BD) para encontrar na interseção com a reta DE o vértice D.
- Escolha uma das interseções e construa a reta que forma 60° com BE e passa por D ou que forma 30° com DE e passa por D.
- Construa as retas AD // BC e AB // CD para encontrar o vértice A.
- O exercício 21 é parecido com os anteriores.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- Imaginando o trapézio construído, podemos construir um paralelogramo auxiliar da seguinte forma: como temos as medidas das bases, podemos construir a base menor por dentro da maior a partir de um dos vértices, ou seja, AE = CD. Logo, teremos que CE = AD e conseguiremos construir o △BCE.
- Construa a base maior AB e o segmento AE = CD.
- Construa a Circunf(B,BC) e a Circunf(E,AD). A interseção destas circunferências será o vértice C.
- Agora basta construir CD // AB e AD // CE.
- Imaginando que o trapézio do exercício 23 esteja construído, podemos usar a mesma ideia do exercício 22. Porém, como não temos as laterais, podemos construir a base menor no prolongamento da maior: BE = CD. Logo, podemos construir o △AEC.
- Construa a base maior AB e o segmento BE = CD.
- Construa a Circunf(A,AC) e a Circunf(E,BD). A interseção destas circunferências será o vértice C.
- Construa a reta paralela a CE que passa por B e a reta paralela a AB que passa por C.
- A interseção das paralelas determina o vértice D.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.
- O exercício 24 é parecido com os anteriores, porém, sem a necessidade de construir uma base sobre a outra.
- Vamos imaginar o exercício 25 resolvido. Como temos a diagonal AC e o ângulo formado entre as diagonais, podemos construir o segmento BE = CD no prolongamento de AB. Logo, o vértice C "enxerga" AE segundo ângulo de 120° e podemos construir o △ACE.
- Construa a base maior AB e o segmento BE = CD.
- Construa o ângulo de segmento de 120° com vértice A.
- A interseção da mediatriz de AE com a reta perpendicular à reta tangente do ângulo de 120° é o centro do arco capaz.
- Construa o arco capaz de 120°.
- Construa a Circunf(A,AC), encontrando o vértice C na interseção desta circunferência com o arco capaz.
- Construa a reta paralela a CE que passa por B e a reta paralela a AB que passa por C.
- A interseção das paralelas determina o vértice D.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Construa a circunferência circunscrita e escolha uma posição para o vértice A nesta circunferência.
- Construa a Circunf(A,AB), determinando o vértice B.
- Construa a reta OM ⊥ AB, que é a mediatriz das bases.
- Construa a Circunf(M,CD/2), determinando os vértices auxiliares C' e D'.
- Construa as retas DD' // OM e CC' // OM, encontrando os vértices C e D na circunferência circunscrita.
- Escolha uma das soluções.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Construa a base AB e a reta perpendicular a AB que passa por A.
- Construa o segmento AD = h.
- Construa o segmento DE = s = BC + AD.
- Como vimos anteriormente nos triângulos, quando marcamos a soma de segmentos, temos um triângulo isósceles △CBE determinado. Logo, podemos construir a mediatriz de BE para encontrar o vértice C
- Pronto! O trapézio retângulo está construído.
4. Tangência e concordância
Material da página 65 até a página 78.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Utilizando o centro, podemos construir o raio CT, e a reta tangente será t ⊥ CT que passa pelo ponto T.
- Sem utilizar o centro, podemos construir um segmento AB, tal que TA = TB.
- Temos então o △TAB isósceles de base AB.
- A reta AB será paralela à reta tangente. Construa a reta t // AB com os esquadros ou com régua e compasso.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Utilizando o centro, podemos construir a reta r ⊥ s que passa pelo ponto C.
- Os pontos de tangência T e T' são determinados pela interseção da reta r com a circunferência. Construa as retas t e t' paralelas à reta s que passam pelos pontos T e T'.
- Sem utilizar o centro, podemos construir uma reta paralela à reta s, que determina os pontos A e B.
- Construa a mediatriz de AB.
- Os pontos de tangência T e T' estão na interseção da mediatriz de AB com a circunferência. Construa as retas t e t' paralelas à reta s que passam por T e T'.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos começar transportando o ângulo α. Construa um arco com centro no vértice do ângulo...
- Escolha um ponto A ∈ s e faça a construção do ângulo α com vértice A. Podemos escolher uma das retas r ou r' para construir as retas tangentes.
- Construa a reta perpendicular a r que passa por C.
- Na interseção da reta perpendicular com a circunferência, encontramos os pontos de tangência T e T'. Construa as retas paralelas a r que passam por T e T'.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos construir o arco capaz de 90° em PC, pois o ponto de tangência "enxerga" PC segundo ângulo reto.
- Com centro no ponto médio M, construa a circunferência com raio MC = MP.
- Na interseção do arco capaz de 90° com a circunferência, temos os pontos de tangência. Determine as retas PT e PT'.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos imaginar uma reta tangente exterior às circunferências α e β. Se reduzirmos os raios das circunferências até β tornar-se um ponto, a circunferência α será contraída, ou seja, torna-se uma circunferência com raio a − b.
- Logo, podemos construir a reta t1 tangente a α' que passa por B; depois, basta construir a reta t paralela a t1.
- Vamos começar "pegando" com o compasso a medida b...
- ... e construindo o segmento com medida b a partir da extremidade de um raio da circunferência α. Logo, podemos construir α'(A,a − b).
- Construa a mediatriz de AB.
- O arco capaz de 90° determina os pontos T1 e T'1 e as retas tangentes a α' que passam por B.
- Para encontrar os pontos de tangência T e T', basta prolongar os segmentos AT1 e AT'1.
- Construa as retas t // t1 e t' // t'1 que passam pelos pontos T e T'.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos imaginar uma reta tangente interior às circunferências α e β. Se aumentarmos o raio da circunferência α e diminuirmos o raio de β até tornar-se um ponto, a circunferência α será dilatada, ou seja, torna-se uma circunferência com raio a + b.
- Logo, podemos construir a reta t1 tangente a α' que passa por B; depois, basta construir a reta t paralela a t1.
- Vamos começar "pegando" com o compasso a medida b...
- ... e construindo o segmento com medida b a partir da extremidade de um raio da circunferência α. Logo, podemos construir α'(A,a + b).
- Construa a mediatriz de AB.
- O arco capaz de 90° determina os pontos T1 e T'1 e as retas tangentes a α' que passam por B.
- Para encontrar os pontos de tangência T e T', basta determinar os segmentos AT1 e AT'1.
- Construa as retas t // t1 e t' // t'1 que passam pelos pontos T e T'.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos imaginar uma reta tangente exterior às circunferências α e β. Os raios AT1 e AT2 são paralelos e determinam os △AT1H ~ △BT2H. O ponto H é chamado de centro de semelhança ou de homotetia.
- Vamos encontrar o centro de homotetia. Prolongue o segmento AB.
- Determine os raios paralelos a e b, ambos no mesmo semi-plano definido pela reta AB.
- Unindo as extremidades dos raios paralelos, encontramos o centro de homotetia H.
- Agora basta construir o arco capaz de 90° em AH ou BH.
- Unindo os pontos de tangência T e T' com o centro de homotetia H, encontramos as retas tangentes às circunferências α e β.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos imaginar uma reta tangente interior às circunferências α e β. Os raios AT1 e AT2 são paralelos e determinam os △AT1I ~ △BT2I. O ponto I é chamado de centro de semelhança ou de homotetia.
- Vamos encontrar o centro de homotetia. Construa o segmento AB.
- Determine os raios paralelos a e b, um em cada semi-plano definido pela reta AB.
- Unindo as extremidades dos raios paralelos, encontramos o centro de homotetia I.
- Agora basta construir o arco capaz de 90° em AI ou BI.
- Unindo os pontos de tangência T e T' com o centro de homotetia I, encontramos as retas tangentes às circunferências α e β.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos prolongar o segmento CT, pois o centro da circunferência tangente está alinhado com C e T.
- Como a circunferência passa pelo ponto P, o centro pertence à mediatriz de TP.
- Com centro em O e raio OT = OP, construa a circunferência tangente à Circunf(C,m).
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Construa a reta perpendicular a t pelo ponto T.
- Como a circunferência passa pelo ponto P, o centro pertence à mediatriz de TP.
- Com centro em O e raio OT = OP, construa a circunferência tangente à reta t.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Construa a reta perpendicular a s pelo ponto T, encontrando o ponto P ∈ r.
- Como r // s, P também será ponto de tangência. Logo, o centro da circunferência pertence à mediatriz de TP.
- Construa a Circunf(O,OT).
- No item 14.2, construa a reta perpendicular a s que passa pelo ponto T.
- Como a circunferência é tangente a r e s, seu centro pertence à bissetriz do ângulo formado entre estas retas. Escolha um dos ângulos para construir a bissetriz.
- Construa a perpendicular à bissetriz construída que passa pelo ponto V.
- As interseções das bissetrizes com a reta perpendicular a s determinam os centros O e O'. Construa as circunferências com raios OT e O'T.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Escolha um ponto A qualquer da circunferência, e "pegue" com o compasso a medida do raio r.
- No prolongamento de CA, construa o segmento AB = r.
- Como a circunferência é tangente à Circunf(C,m), o centro da circunferência tangente pertence à Circunf(C,m + r).
- Como a circunferência tangente passa pelo ponto P, o seu centro pertence à Circunf(P,r).
- Construa as circunferências com centros O e O' e raios iguais a r.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Escolha um ponto A qualquer da reta s, e construa a reta perpendicular a s. "Pegue" com o compasso a medida do raio r.
- Na reta perpendicular a s, construa o segmento AB = r.
- Construa a reta paralela a s que passa por B, lugar geométrico do centro da circunferência tangente a s.
- Como a circunferência tangente passa pelo ponto P, o seu centro pertence à Circunf(P,r).
- Construa as circunferências com centros O e O' e raios iguais a r.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Escolha um ponto A qualquer da reta t, e construa a reta perpendicular a t. "Pegue" com o compasso a medida do raio r.
- Na reta perpendicular a t, construa o segmento AB = r.
- Construa a reta s // t que passa por B, lugar geométrico do centro da circunferência tangente a t.
- Como a circunferência é tangente à Circunf(C,m), o seu centro pertence à Circunf(C,m + r). Construa um raio CD qualquer.
- No prolongamento de CD, construa o segmento DE = r.
- Construa a Circunf(C,m + r).
- Construa as circunferências com centros em O e O' e raios iguais a r.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Escolha um ponto A qualquer da Circunf(A,m), e construa o segmento AB = r no prolongamento de CA.
- Escolha um ponto E qualquer da Circunf(D,n), e construa o segmento EF = r no prolongamento de DE.
- Como a circunferência é tangente à Circunf(C,m), o seu centro pertence à Circunf(C,m + r).
- Como a circunferência é tangente à Circunf(D,n), o seu centro pertence à Circunf(D,n + r).
- Os centros estão nas interseções da Circunf(C,m + r) com a Circunf(D,n + r). Construa as circunferências com centros O e O' e raios iguais a r.
📏 📐 Resolução 20.5: 1ª parte
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Começamos construindo o segmento AB e as Circunf(A,2) e Circunf(B,2).
- Aplicando o exercício 19, construímos as Circunf(A,5) e Circunf(B,5) para encontrar o centro da circunferência tangente com raio de 3cm.
- Construa a circunferência com raio de 3cm.
- Construa o raio que forma 75° com o raio indicado. No prolongamento deste raio, construa o segmento AC com medida de 6,4cm.
- Construa o arco tangente à Circunf(A,2) e o segmento CT // AB.
- Para encontrar o ponto D, construa a mediatriz de CT.
- Construa o ∢TDT' = 75°, determinando mais um arco do contorno da maçã.
- Para encontrar o ponto E, construa a mediatriz de DT'.
- Para encontrar o ponto G, construa as Circunf(D,4.6) e Circunf(E,5.3).
📏 📐 Resolução 20.5: 2ª parte
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos aplicar o exercício 19 para encontrar o ponto F. Determine um ponto E' ∈ Circunf(E,ED), e marque no prolongamento do raio EE' o segmento E'F' com medida 2,4cm.
- Construa as Circunf(G,6) e Circunf(E,EF'), determinando o ponto F.
- Logo, determinamos os pontos de tangência nas Circunf(E,ED) e Circunf(G,GL). Construa os arcos do contorno da maçã de centros E e F.
- Construa o segmento CH = AB e a Circunf(H,3), determinando mais um arco do contorno da maçã, com centro em G.
- No prolongamento do segmento DB, encontramos um ponto de tangência na Circunf(B,2), determinando mais um arco do contorno da maçã.
- O arco com centro em D e raio até o ponto de tangência da Circunf(B,2) determina mais uma parte do contorno, que vai até a Circunf(H,3).
- Construa o arco do contorno com centro em H e a reta que forma 45° com CH e passa por H. O ponto de interseção desta reta com a Circunf(H,3) é o ponto P.
- Construa a Circunf(N,3), sabendo-se que o ponto N pertence à reta que acabamos de construir.
- Construa MN = 4cm e a Circunf(M,3).
- Para finalizar, determine os arcos de centros em M e N para fazer a folha da maçã.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Como a circunferência é tangente à reta t em T, construa a reta perpendicular à reta t que passa pelo ponto T.
- Construa a reta AB ⊥ t que passa pelo centro C.
- No prolongamento do segmento TA, encontramos o ponto de tangência T1 da circunferência.
- Unindo os pontos C e T1, encontramos o centro O1 na reta perpendicular que construímos. Esta construção usa o fato de que △O1TT1 ~ △CAT1.
- Usando o mesmo raciocínio, unimos os pontos B e T, determinando o ponto de tangência T2 na circunferência.
- Unindo os pontos C e T2, encontramos o centro O2 na reta perpendicular que construímos. Esta construção usa a propriedade que △O2TT2 ~ △CBT2.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos usar propriedades parecidas com as que usamos no exercício anterior. Construa a reta AB ⊥ t que passa pelo centro C.
- No prolongamento do segmento TA, encontramos o ponto de tangência T1 ∈ t. Construa a reta perpendicular a t que passa por T1.
- Unindo os pontos C e T, encontramos o centro O1 na reta perpendicular que construímos. Esta construção usa o fato de que △O1TT1 ~ △CTA
- Usando o mesmo raciocínio, unimos os pontos B e T, determinando o ponto de tangência T2 ∈ t.
- Construa a reta perpendicular a t que passa por T2.
- Unindo os pontos C e T, encontramos o centro O2 na reta perpendicular que construímos. Esta construção usa a propriedade que △O2TT2 ~ △CTB.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos usar propriedades parecidas com as que usamos nos exercícios anteriores. Construa a reta t ⊥ CT. Logo, podemos construir a circunferência tangente à Circunf(D,n) e tangente à reta t em T.
- Construa a reta AB ⊥ t.
- No prolongamento de TA, encontramos o ponto de tangência T1 da Circunf(D,n).
- Unindo os pontos D e T1, encontramos o centro O1 na reta CT.
- Unindo os pontos B e T2, encontramos o ponto de tangência T2 da Circunf(D,n).
- Unindo os pontos D e T2, encontramos o centro O2 na reta CT.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- A circunferência tangente à reta t passa pelos pontos A e B. Logo, o centro pertence à mediatriz de AB.
- No prolongamento do segmento AB, determine o ponto de interseção P ∈ t.
-
De acordo com as propriedades de potência de ponto, a distância PT será a média geométrica entre PA e PB, ou seja,
$\mathsf{ PT = \sqrt{PA \cdot PB} }$ . Logo, construa a mediatriz de PB. - Construa o arco capaz de 90° em PB.
- Construa o segmento AA' ⊥ PB: a média geométrica será o cateto PA'.
- Construa a Circunf(P,PT) para encontrar os pontos T e T' na reta t.
- Construa as perpendiculares a t que passam por T e T'. Os centros O e O' pertencem à mediatriz de AB.
- As soluções são as circunferências de centros O e O' e raios OT e OT'.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- A circunferência tangente à Circunf(C,m) passa pelos pontos A e B. Logo, o centro pertence à mediatriz de AB.
- Construa a circunferência com centro em um ponto Q ∈ medAB que passa pelos pontos A e B e que seja secante à Circunf(C,m).
- A reta DE é chamada de eixo radical, que mantém mesma potência de ponto em relação à Circunf(C,m) e à Circunf(Q,QA). Na interseção de DE com AB, encontramos o ponto CR, chamado de centro radical.
-
Neste ponto, temos mesma potência de ponto em relação à solução e às outras duas circunferências, ou seja,
$\mathsf{ C_RT = \sqrt{C_RA \cdot C_RB} = \sqrt{C_RE \cdot C_RD} }$ . Logo, podemos construir o arco capaz de 90° em CCR. - Com centro em M, determine o arco capaz de 90° em CCR: os pontos de tangência T e T' estão na interseção do arco capaz construído com a Circunf(C,m).
- Construa a reta CT: na interseção desta reta com a mediatriz de AB, encontramos o centro da primeira solução O.
- Construa a Circunf(O,OT).
- Construa a reta CT': na interseção desta reta com a mediatriz de AB, encontramos o centro da segunda solução O'.
- Construa a Circunf(O',O'T').
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos imaginar uma solução tangente interior às 3 circunferências. Se reduzirmos os raios das 3 circunferências até tornarem-se pontos, a solução passará pelos 3 centros. Logo, vamos fazer a contração das 3 circunferências.
- Vamos determinar o centro da circunferência que passa pelos pontos A, B e C. Começamos pela mediatriz de BC.
- Depois podemos construir a mediatriz de AC. O centro O está no encontro das duas mediatrizes.
- Na reta OA, encontramos os pontos de tangência das soluções TA e T'A.
- Podemos fazer o mesmo com os raios OB e OC.
- A tangente interior tem centro em O ≡ O' e raio OTA e a tangente exterior tem centro em O' ≡ O e raio O'T'A.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos imaginar uma solução tangente interior à circunferência α e exterior às circunferências β e γ. Se reduzirmos os raios das circunferências β e γ, a solução passará pelos centros B e C e será tangente à circunferência α', que terá o raio dobrado. Esta resolução foi feita no exercício 27.
- Construa a circunferência α' com o dobro do raio de α. A circunferência tangente à α' passa pelos pontos B e C. Logo, o centro pertence à mediatriz de BC.
- Construa a circunferência com centro em um ponto Q ∈ medBC que passa pelos pontos B e C e que seja secante a α'.
- A reta DE é chamada de eixo radical, que mantém mesma potência de ponto em relação a α' e à Circunf(Q,QB). Na interseção de DE com BC, encontramos o ponto CR, chamado de centro radical.
-
Neste ponto, temos mesma potência de ponto em relação à solução e às outras duas circunferências, ou seja,
$\mathsf{ C_RT = \sqrt{C_RB \cdot C_RC} = \sqrt{C_RE \cdot C_RD} }$ . Logo, podemos construir o arco capaz de 90° em ACR. - Com centro em M, determine o arco capaz de 90° em ACR: os pontos de tangência T1 e T'1 estão na interseção do arco capaz construído com α'.
- Construa a reta AT1: na interseção desta reta com a mediatriz de BC, encontramos o centro da primeira solução O.
- Construa a Circunf(O,OT1).
- Construa a reta AT'1: na interseção desta reta com a mediatriz de BC, encontramos o centro da segunda solução O'.
- Construa a Circunf(O',O'T'1).
- Um dos pontos de tangência de α está na interseção de OT1 com α. Construa a solução tangente às três circunferências com centro O.
- O outro ponto de tangência de α está na interseção de O'T'1 com α. Construa a solução tangente às três circunferências com centro O'.
- Se contrairmos α e γ e dilatarmos β, teremos mais 2 soluções. Outras duas soluções podem ser encontradas se contrairmos α e β e dilatarmos γ. Este é o problema de Apolônio, que admite 8 soluções.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Construa a bissetriz do ∢AVB. O ponto de tangência T do arco está na bissetriz construída.
- Construa a reta B'A' ⊥ VT que passa por T.
- Construa a bissetriz do ∢VA'B'. O centro da circunferência inscrita está na interseção das bissetrizes.
- Construa a circunferência inscrita, que tem raio OT.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Podemos dividir o ângulo central em 3 partes iguais: logo, o ângulo central ∢AOB terá medida de 120°.
- Construa o ângulo ∢BOC com medida de 120°.
- O prolongamento de CO é a bissetriz do ∢AOB. Logo, temos o primeiro ponto de tangência T1. Construa a reta perpendicular a CT1.
- Construa a bissetriz do ∢A'.
- O centro O1 está na interseção de OT1 com a bissetriz do ∢A'. Contrua a primeira circunferência tangente.
- Vamos determinar as outras circunferências de maneira mais simples: construa a reta O1T' ⊥ OB.
- O centro O2 está no prolongamento de OA com o prolongamento de O1T'. Construa a segunda circunferência tangente.
- Construa a reta O1T'' ⊥ OA.
- O centro O3 está no prolongamento de OB com o prolongamento de O1T''.
- Construa a terceira circunferência tangente.
5. Polígonos regulares
Material da página 79 até a página 89.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Para construir um polígono de n lados, vamos usar o conceito de dividir a medida do ângulo central em n partes iguais.
- Construindo um diâmetro, dividimos o ângulo central em dois ângulos de 180°. Logo, temos 2 arcos capazes de 90°.
- Construa o diâmetro perpendicular ao diâmetro construído no passo anterior. Logo, temos ângulos centrais de 90°, e podemos construir o quadrado inscrito na circunferência.
-
A medida do lado do quadrado é
$\mathsf{ l_4 = r \sqrt{2} }$ . - Construa as bissetrizes dos ângulos centrais retos, ou construa com os esquadros ângulos de 45° com os diâmetros construídos.
- Neste caso, conseguimos a divisão da circunferência em 8 partes iguais.
- Construa o octógono regular inscrito na circunferência.
-
Utilizando a lei dos cossenos em um dos triângulos, por exemplo, no △OA6A5, encontramos a medida do lado
$\mathsf{ l_8 = r \sqrt{2 - \sqrt{2} } }$ . Os outros polígonos com 16, 32, 64,... lados são construídos mediante sucessivas bissetrizes dos ângulos centrais.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Para construir um polígono de n lados, vamos usar o conceito de dividir a medida do ângulo central em n partes iguais.
- Construindo um raio da circunferência OA1 = r, podemos "pegar" a medida do raio e construir o arco com centro na extremidade A1 e raio r.
- Fazendo a mesma construção no semi-plano oposto, encontramos mais um ponto na circunferência.
- Com centros em A2 e em A6, construímos arcos com a medida do raio igual a r e determinamos mais 2 pontos na circunferência.
- O último vértice pode ser obtido da mesma forma, ou então no prolongamento do raio OA1.
- Temos o hexágono regular inscrito na circunferência.
- Esta construção deve-se ao fato de que construímos 6 triângulos equiláteros, com lados iguais a r. Portanto, o ângulo central mede 60°.
- Para construir o triângulo equilátero, basta "pular" os vértices com índices pares ou ímpares; logo, teremos ângulos centrais de 120°. Os demais polígonos podem ser construídos mediante sucessivas bissetrizes dos ângulos centrais.
📑 Propriedade
Vamos acompanhar a demonstração da Propriedade 1.
- Considere o ângulo central de 36° e o lado AB = l10.
- Logo, temos que ∢OAB = ∢ OBA = 72°.
- Construindo a bissetriz do ∢OAB, temos dois ângulos com 36°. Logo, o △ABC é isósceles de base BC.
- Temos outro triângulo iscósceles: △OAC, de base OA, pois tem dois ângulos com medida de 36°.
- Logo, BC = r − l10, e podemos substituir as medidas correspondentes na razão da semelhança dos △OAB e △ABC. Esta relação entre as medidas é a mesma do segmento áureo, que vimos na página 44. Logo, o lado l10 é segmento áureo do raio.
📑 Propriedade
Vamos acompanhar a demonstração da Propriedade 2.
- Considere o ângulo central de ∢AOB = 36° e o prolongamento do segmento AB intercectando a circunferência de centro em A no ponto C. Note que as duas circunferências têm mesma medida de raio r.
- Considere o segmento CD tangente à circunferência de centro O. Logo, temos que ∢CDO = 90°.
-
Usando potência do ponto C em relação à circunferência de centro O, temos que
$\mathsf{ CD^2 = CA \cdot CB }$ , ou seja,$\mathsf{ CD^2 = r \cdot (r - l_{10} ) }$ , que é a mesma relação da propriedade anterior. Logo, CD = l10. - Como o ∢OAB = 72°, o segmento OC = l5. Portanto, temos um triângulo retângulo △OCD com catetos l10 e l6 = r e hipotenusa l5. Logo, os lados do pentágono regular e do decágono regular são construídos por meio do △OCD.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos construir dois diâmetros perpendiculares. Utilizaremos a construção de segmento áureo.
- Construa a mediatriz do raio OB.
- Construa o arco com centro em M e raio MA, encontrando o ponto D ∈ OC.
- De acordo com as propriedades anteriores, temos que OD = l10 (segmento áureo de r) e que AD = l5.
- Considere o ponto C ≡ A1. "Pegue" com o compasso a medida do lado do pentágono regular....
- ... e construa os arcos com centro em A1 e raio l5. Assim, encontramos mais 2 vértices do pentágono.
- Construa os arcos com raio l5 e centros em A5 e A2.
- Construa o pentágono regular. Para construir os polígonos de 20, 40, ... lados, podemos usar bissetrizes sucessivas do ângulo central de 72°.
📏 📐 Resolução do pentadecágono
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos construir dois diâmetros perpendiculares.
- Primeiro, vamos encontrar o l10. Construa a mediatriz de OB.
- Construa o arco com centro em M e raio MA, encontrando o ponto D ∈ OC.
- Logo, temos que OE = l10.
- "Pegue" com o compasso a medida do l10...
- ... e construa o arco com raio l10 e centro em um ponto qualquer da circunferência. Eu escolhi o ponto D.
- Logo, temos um ângulo central de 36°.
- Agora "pegue" com o compasso a medida do raio da circunferência...
- ... e construa o arco com raio r = l6 e centro em D.
- Como o ângulo central ∢DOA2 = 60°, temos que o ∢A1OA2 = 24°. Portanto, A1A2 = l15.
- Construa os outros 13 vértices do pentadecágono regular. Os demais polígonos de 30, 60,... são construídos com bissetrizes sucessivas do ângulo central de 24°.
📏 📐 Resolução de heptadecágono
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Esta construção é devida a Richmond (1893).
- Vamos construir dois diâmetros perpendiculares.
-
Usando o teorema de Tales, vamos encontrar
$\mathsf{ OE = \frac{r}{4} }$ . - Construa o segmento EA1.
- Vamos dividir o ∢OEA1 em 4 partes iguais. Construa a bissetriz deste ângulo...
- ... e depois, a bissetriz da metade deste ângulo, encontrando o ponto F ∈ OA1.
- Construa o ∢FEG = 45°.
- Agora construa a semi-circunferência com diâmetro A1G; construa a mediatriz de GA1. O ponto de interseção desta semi-circunferência com OC é o ponto I.
- Construa o arco com centro em F e raio FI, até encontrar J ∈ OA1.
- A reta JA4 ⊥ OA1 determina o quarto vértice do heptadecágono na circunferência. O primeiro vértice já está sendo considerado como A1.
- Podemos "pegar" com o compasso a medida A1A4...
- ... e construir os arcos: com centro em A4 para encontrar A7; com centro em A7 para encontrar A10; com centro em A10 para encontrar A13; e com centro em A13 para encontrar A16.
- Continuando, na segunda volta e mesmo raio A1A4, construímos os arcos para encontrar A2, A5, A8, A11, A14 e A17.
- Para finalizar, na terceira volta e mesmo raio A1A4, construímos os arcos para encontrar A3, A9, A12 e A15. Construa o heptadecágono regular.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos encontrar o centro da circunferência circunscrita. Como o ângulo central mede 45°, vamos construir o arco capaz de 45° em AB = 3cm. Construa a mediatriz de AB.
- Construa o arco capaz de 90°. Com centro em N, construa o arco capaz de 45°.
- O centro da circunferência circunscrita está no encontro do arco capaz de 45° com a mediatriz de AB.
- Agora, basta construir os arcos com centros em A e B, com raios de medidas iguais a l8 = AB.
- Com centros em C e H, construa os arcos com raios de medidas iguais a AB.
- Para finalizar, construa os arcos com centros em D e G, com raios de medidas iguais a AB.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Vamos usar homotetia.
- Começamos com a construção de uma circunferência de raio qualquer. Vamos construir um pentágono regular inscrito nesta circunferência. Construa dois diâmetros perpendiculares.
- Construa a mediatriz do raio O'B.
- Com centro em M e rao MC, construa o arco que intercecta A'O' em D.
- Considerando o primeiro vértice A1, construa os arcos com raio l5 para encontrar os vértices A'2 e A'5.
- Agora podemos construir o lado l5 = 4,5cm a partir de A1. Logo, encontramos os vértices A2 e A5.
- Para encontrar o centro da nova circunferência circunscrita, vamos construir a reta OA2 // O'A'2.
- Construa a nova circunferência circunscrita.
- Construa o pentágono com lado l5 = 4,5cm.
📑 Propriedade
Vamos ver como é o cálculo da medida do lado de um polígono de n lados inscrito em uma circunferência de raio r.
-
Considere AB = ln. Logo, temos que
$\mathsf{ A \hat{O} B = \frac{360^o}{n} }$ . - Construindo a bissetriz do ∢AOB, encontramos a metade do lado ln.
-
Portanto,
$\mathsf{ \alpha = \frac{A \hat{O} B}{2} = \frac{180^o}{n} }$ . Usando a relação trigonométrica do seno, encontramos a relação$\mathsf{ l_n = 2 \cdot sen(\frac{180^o}{n}) }$ .
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Construa o arco com centro em um ponto qualquer da circunferência A, e raio OA = r. Encontre as interseções B e C.
- Construa o segmento BC. A interseção de OA com BC é o ponto D.
-
O lado l'7 mede a metade de BC. Como BC é o segmento l3, temos que
$\mathsf{ l'_7 = \frac{r \sqrt{3}}{2} }$ . O erro teórico deste processo fica na ordem de dois milésimos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
- Construa o arco com centro em D e raio de medida r = l6.
- Temos que CE = l3. Construa o arco com centro em C e raio CE. No prolongamento de AB, encontramos o ponto F.
- Construa o arco com centro em F e raio CF. Encontramos então o ponto G ∈ OA e o segmento AG = l'9.
-
Desta construção, temos que OF = l4. Logo,
$\mathsf{ AG = OA - (GF - OF) = r - (r \sqrt{3} - r \sqrt{2}) }$ . O erro teórico deste processo fica na ordem de dois milésimos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
- Construa a mediatriz de um dos raios: por exemplo, do raio OA.
- Agora construa a mediatriz de ED, encontrando o ponto médio F.
-
Temos então que FD = l'11. O segmento ED já foi usado na construção de segmento áureo, e sua medida é
$\mathsf{ \frac{r \sqrt{5}}{2} }$ . Portanto,$\mathsf{ l'_{11} = \frac{r \sqrt{5}}{4} }$ , e o erro deste processo é da ordem de 5 milésimos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
-
Agora vamos construir o segmento com medida
$\mathsf{ \frac{r}{4} }$ . Usando o teorema de Tales, vamos dividir OD em 4 partes iguais. -
Determine o segmento
$\mathsf{ OE = \frac{r}{4} }$ . - Construa a reta EB, encontrando o ponto F na circunferência. O segmento AF = l'13
-
Usando o teorema de Pitágoras, encontramos a medida
$\mathsf{ EB = \frac{r \sqrt{17}}{4} }$ . -
Como temos que △EOB ~ △AFB, substituindo as medidas dos lados nas razões correspondentes, encontramos
$\mathsf{ l'_{13} = \frac{2r \sqrt{17}}{17} }$ . O erro teórico deste processo fica na ordem de sete milésimos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
- Temos que o segmento BD = l4. Construa o arco com centro em D e raio BD, encontrando E ∈ OC.
-
O segmento
$\mathsf{ OE = l'_{15} = r \sqrt{2} - r }$ . O erro deste processo fica na ordem de dois milésimos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
-
Agora vamos usar o teorema de Tales para encontrar
$\mathsf{ \frac{r}{4} }$ . -
O segmento OE mede
$\mathsf{ \frac{r}{4} }$ . - Construa a mediatriz de OA.
- Construa a reta paralela a OA que passa por E. A interseção desta paralela com a mediatriz de OA é o ponto F.
- No prolongamento de BF, encontramos G na circunferência e AG = l'19.
-
Usando o teorema de Pitágoras, encontramos a medida
$\mathsf{ BF = \frac{r \sqrt{37}}{4} }$ . -
Como △AGB ~ △FMB, podemos substituir as medidas conhecidas na proporção entre os lados correspondentes. Logo, encontramos o segmento
$\mathsf{ l'_{19} = \frac{2r \sqrt{37}}{37} }$ . O erro deste processo fica na ordem de quatro milésimos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. O método usado nesta construção é da Homotetia.
- Vamos começar construindo uma circunferência de raio qualquer: por exemplo, r = 5cm.
- Vamos encontrar o lado l'7 do heptágono inscrito nesta circunferência. Construa o arco de centro A1 e raio O'A1.
- A medida AC é o lado do heptágono.
- Construa os arcos com centro em A1 e raio l'7.
- A partir de A1, podemos construir o lado l7 = 2,5cm. O centro da circunferência circunscrita do heptágono de lado A1A2 é encontrado por meio da paralela a O'A'2 que passa por A2.
- Construa a nova circunferência, com centro em O.
- Construa o heptágono com lado l7 = 2,5cm.
📏 📐 Solução do item b
Começando com a circunferência de raio qualquer (por exemplo, r = 5cm), podemos construir o eneágono inscrito nesta circunferência.
Depois, basta ampliar ou reduzir o raio desta circunferência para construir o eneágono de lado com medida de 2,5cm usando Homotetia.📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. O método usado nesta construção é da Homotetia.
- Vamos começar construindo uma circunferência de raio qualquer: por exemplo, r = 4,5cm.
- A partir de um ponto A'1 da circunferência, construa dois lados do hexágono circunscrito.
- Podemos escolher A6 ou A'2 para construirmos a diagonal d = 5cm. Escolhendo A6, encontraremos o vértice A2.
- Usando a Homotetia, temos que △A6A2A1 ~ △A6A'2A'1. Logo, construímos o segmento A1A2 // A'1A'2.
- O centro da nova circunferência circunscrita é encontrado da mesma maneira: construa o segmento OA1 // O'A'1.
- Construa a nova circunferência, com centro em O.
- Construa o hexágono com lado A1A2.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos começar construindo um diâmetro AB da circunferência.
- Construa os arcos com centros em A e B, de raios AB, determinando os pontos C e D.
- Agora dividimos o diâmetro AB no mesmo número de partes que queremos dividir a circunferência: neste exemplo, dividimos em 7 partes iguais usando o teorema de Tales. Podemos nomear os pontos de divisão usando índices numéricos para facilitar as próximas construções.
- Agora podemos unir o ponto C com os pontos nomeados com índices pares ou ímpares (tanto faz). Neste exemplo, vamos unir com os ímpares: nos prolongamentos destes segmentos, encontramos 3 vértices na circunferência. O vértice A4 fica coincidente com A.
- Agora unimos o ponto D com os mesmos pontos usados com o ponto C: neste caso, os ímpares. Nos prolongamentos destes segmentos, encontramos outros 3 vértices na circunferência.
- Agora basta unir os vértices encontrados do heptágono regular.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos começar construindo o lado do pentágono regular inscrito na primeira circunferência.
- Encontre os vértices do pentágono regular. Podemos nomear os vértices usando índices numéricos para facilitar nossas construções.
- Vamos usar o número p = 2, ou seja, a partir de um vértice vamos "pular" o vértice consecutivo e unir com o segundo: começando com A1, vamos uní-lo com A3, no sentido anti-horário.
- Agora unimos A3 com A5.
- Depois, A5 com A2.
- Unimos A2 com A4.
- E finalizamos chegando no mesmo ponto de partida: A1. Este é o pentagrama.
- Para construir o heptágono regular estrelado, começamos encontrando o lado l'7 e os vértices deste polígono.
- Neste caso, podemos fazer p = 2 ou p = 3. Neste exemplo, veja como fica o heptágono estrelado com p = 2.
📏 📐 Solução do item a
Construímos o lado do heptágono regular, e os vértices na circunferência de raio 5cm.
Podemos "pular" de 3 em 3 vértices. No exercício da página anterior, fizemos a construção do heptágono regular estrelado de 2 em 2 vértices.📏 📐 Solução do item a
Construímos o lado do pentadecágono regular, e os vértices na circunferência de raio 4,5cm.
Depois, basta unir os pontos, sempre no mesmo sentido, pulando de 4 em 4.📏 📐 Solução do exercício 1
Construímos o heptágono regular inscrito na circunferência de raio 2cm.
Depois, basta prolongar os lados do heptágono para definir a estrelação com p = 2.6.1. Retificação de circunferência
Material da página 90 até a página 95.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos construir a circunferência de raio 2cm e prolongar seu diâmetro AB = d.
- No prolongamento de AB, construa os segmentos BC = CD = DE = d.
- Vamos usar o teorema de Tales para dividir o último diâmetro construído em 7 partes iguais.
-
Unindo os pontos 7 e E, e construindo a reta 1F // 7E, encontramos o segmento correspondente a
$\mathsf{ \frac{d}{7} }$ . Logo, temos que$\mathsf{ AF = 3d + \frac{d}{7} = \pi'd }$ .
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
-
Usando o valor aproximado de π do processo de Arquimedes, temos que
$\mathsf{ d = \frac{7 \cdot AB}{22} }$ - Usando o teorema de Tales, vamos dividir o segmento AB em 22 partes iguais. Começamos construindo 11 unidades iguais em uma reta que passa por A.
- Agora, podemos "pegar" a medida A11 e marcá-la a partir do ponto 11 para encontrar o ponto 22.
-
Unindo os pontos 22 e B, e construindo a reta 7C // B22, encontramos o segmento correspondente a
$\mathsf{ \frac{7 \cdot AB}{22} }$ . - Logo, o segmento AC é o diâmetro da circunferência. Construa a mediatriz de AC para construir a circunferência com perímetro AB.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Neste processo de retificação da circunferência, começamos construindo o diâmetro AB e os pontos C e D da circunferência, tais que AC = BD = r.
-
Construa os arcos com centros em A e B, com raio igual a AD, encontrando o ponto E. Vale lembrar que
$\mathsf{ AD = r \sqrt{3} }$ . -
Construa o arco com centro em C e raio CE, encontrando o ponto F na circunferência. O segmento AF mede aproximadamente
$\mathsf{ \frac{\pi r}{2} }$ . - Agora vamos verificar algumas propriedades decorrentes desta construção. A primeira delas é que ∢AFC = 30°, pois o ângulo central ∢AOC mede 60°.
-
Construindo o segmento OE ⊥ AB, temos que
$\mathsf{ OE = r \sqrt{2} }$ , pois, de acordo com o teorema de Pitágoras,$\mathsf{ AE = r \sqrt{3} }$ e$\mathsf{ AO = r }$ . -
Se construirmos o segmento CM ⊥ AB, temos que
$\mathsf{ CM = \frac{r \sqrt{3}}{2} }$ , pois é a altura do △AOC equilátero. -
Portanto,
$\mathsf{ GE = r \sqrt{2} - \frac{r \sqrt{3}}{2} }$ . -
Usando o teorema de Pitágoras no △CGE, temos que
$\mathsf{ CF = r \sqrt{ 3 - \sqrt{6}} }$ . -
Finalmente, usando a lei dos cossenos no △ACF, temos que
$\mathsf{ AF = \frac{r}{2} (\sqrt{\sqrt{6} + 1} + \sqrt{9-3 \sqrt{6}}) }$ . Este processo tem erro da ordem de 8 décimos de milésimos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Neste processo de retificação da circunferência, começamos construindo o diâmetro AB e o ∢AOA' = 30°.
- Construa a reta tangente à circunferência pelo ponto A: AC.
- A partir do ponto C, construa os segmentos CD = DE = EF = r. Temos que BF mede aproximadamente πr.
- Como AB = 2r e AF = 3r - rtan30°, usamos o teorema de Pitágoras no △ABF para encontrar o valor aproximado de π neste processo. O erro fica na ordem de 6 décimos de milésimos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Neste processo de retificação da circunferência, começamos construindo o diâmetro AB e a reta tangente à circunferência pelo ponto A.
- Construa o arco com centro em A e raio AB, encontrando o ponto C na reta tangente.
- Usando o teorema de Tales, vamos dividir o raio AO em 5 partes iguais.
-
Construa os segmentos
$\mathsf{ CD = \frac{r}{5} }$ e$\mathsf{ DE = \frac{2r}{5} }$ na reta tangente. - Usando o compasso, construa o segmento AF = OD.
- Agora construa o segmento FG // OE. O segmento AG tem medida aproximada de 2πr.
-
Vamos ver algumas propriedades desta construção. Da semelhança dos △AOE e △AFG, temos que
$\mathsf{ AG = \frac{AE \cdot AF}{AO} }$ . -
Temos também que
$\mathsf{ AE = \frac{13r}{5} }$ . -
Usando o teorema de Pitágoras no △AOD, encontramos a medida
$\mathsf{ OD = \frac{r \sqrt{146}}{5}}$ . Logo, temos que$\mathsf{ AG = \frac{13r \sqrt{146}}{25} }$ . O erro neste processo é da ordem de 8 décimos de milésimos.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Neste processo de retificação de arco de circunferência, começamos prolongando o raio OA e construindo a semi-circunferência de centro O e raio OA.
-
Usando o teorema de Tales, construa o segmento
$\mathsf{ CD = \frac{3r}{4} }$ . - Construa a semi-circunferência de centro C e raio CD.
- Construa a reta AF ⊥ OA e a reta BE. O segmento AF é a retificação do arco AB, que tem amplitude θ.
- Agora vamos ver algumas propriedades desta construção. Se construirmos o segmento BG ⊥ OA, temos que △BGE ~ △FAE, BG = rsen(θ) e OG = rcos(θ).
-
Da razão dos lados correspondentes, temos que
$\mathsf{ AF = \frac{11r \cdot sen(\theta)}{7+4 \cdot cos(\theta)} }$ . O erro deste processo depende do valor do ângulo θ.
Quando o ângulo for maior do que 180° e menor do que 360°, podemos retificar a quarta parte; depois, quadruplicamos a medida para termos o arco retificado.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Vamos desretificar o arco, ou seja, vamos obter a medida do ângulo θ. Construa os segmentos OA = r e AF = l.
- Podemos prolongar o raio OA e construir a semi-circunferência de centro O e raio OA.
-
Divida o raio OC em 4 partes iguais, para encontrar
$\mathsf{ CD = \frac{3r}{4} }$ . - Construa a semi-circunferência de centro C e raio CD.
- Construa o segmento EF: a interseção deste segmento com a semi-circunferência de centro O e raio OA é o ponto B, correspondente à extremidade do arco AB.
- Unindo os pontos O e B, encontramos o ângulo θ.
📏 📐 Resolução
Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.
- Construa o arco OAB com raio OA = r e amplitude de 75°. Vamos retificar este arco.
- Podemos prolongar o raio OA e construir a semi-circunferência de centro O e raio OA.
-
Divida o raio OC em 4 partes iguais, para encontrar
$\mathsf{ CD = \frac{3r}{4} }$ . Construa a semi-circunferência de centro C e raio CD. - Construa a reta EB e AF ⊥ OA. O segmento AF tem a medida aproximada do arco OAB retificado.