{% include index.html %}
<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ showProcessingMessages: false, tex2jax: { inlineMath: [['$','$'],['\\(','\\)']] } }); </script> <script type="text/javascript" src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_HTMLorMML"></script>Esta página contém definições, propriedades e os procedimentos para as construções geométricas usadas na disciplina de Desenho Geométrico II.
A apostila está disponível no link: apostila de Desenho Geométrico 2
Uso dos materiais básicos de Desenho
Veja o passo a passo das construções básicas mostradas no vídeo:
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.
- Com a ponta seca em A, desenhe um arco com raio maior do que a metade de AB.
- Com a ponta seca em B, desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior.
- Os pontos de interseção dos arcos são P e Q.
- Desenhe a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos.
- Pronto! A mediatriz do segmento AB está construída. Note que a figura PAQB é um losango e, portanto, suas diagonais são perpendiculares e se encontram no ponto médio das mesmas.
📏 📐 Resolução com esquadros
Podemos utilizar a régua e um dos esquadros ou a régua e o compasso para resolver este exercício. Primeiro, veja como é a construção com a régua e o esquadro de 45°.
- Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
- Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
- Deslize o esquadro até chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
- Desenhe a reta que passa pelo ponto P com o cateto do esquadro.
- Pronto! A reta paralela s // r está construída.
📏 📐 Resolução com esquadros
Vamos utilizar a régua e um dos esquadros para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.
- Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
- Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
- Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
- Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
- Pronto! A reta perpendicular p está construída.
- Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
- Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
- Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
- Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
- Pronto! A reta perpendicular p está construída.
📏 📐 Resolução
Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.
- Com a ponta seca no vértice O do ângulo desenhe um arco obtendo os pontos P e Q, cada um em um lado do ângulo.
- Com a ponta seca no ponto P desenhe um arco.
- Com a ponta seca em Q desenhe um arco com o mesmo raio do passo anterior, obtendo o ponto R.
- Desenhe a reta OR que é a bissetriz do ângulo dado.
- Note que construímos dois triângulos: um verde e outro laranja.
- Esses triângulos são congruentes (iguais) e por isso os ângulos α e β são também congruentes.
1. Simetria Axial, Arcos e Ovais
Material da página 1 até a página 11.
📑 Propriedades
Dados os pontos A, B e C, os simétricos destes pontos são obtidos da seguinte maneira:
- Construímos as retas perpendiculares ao eixo e que passam pelos pontos A, B e C.
- Depois, basta definir os homólogos A', B' e C' pertencentes às respectivas perpendiculares e equidistantes ao eixo, ou seja, AMA = A'MA, BMB = B'MB e CMC = C'MC.
📏 📐 Resolução
Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo serve como eixo de simetria para os pontos dos lados adjacentes a este ângulo.
- A reta r é um eixo de simetria dos pontos P e P'. Logo, podemos construir uma reta perpendicular a r que passa por P.
- Alinhando um catedo do esquadro de 45° com a reta r e deixando o outro esquadro ou a régua como apoio na hipotenusa, podemos deslizar o esquadro de 45° para construir com o outro cateto a reta perpendicular a r.
- Depois, basta construir com o compasso os segmentos congruentes das distâncias de P...
- ... e de P' à reta r.
- Unindo os pontos A e P', encontramos B na interseção com a reta r.
- Como o triângulo isósceles tem base BC, temos que AB = AC. Usando o compasso com a ponta seca em A e raio AB...
- ... encontramos o vértice C na reta suporte BP.
📏 📐 Resolução
Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo serve como eixo de simetria para os pontos dos lados adjacentes a este ângulo.
- A reta s é um eixo de simetria dos pontos P e P' que pertencem aos lados AB e AC.
- A reta s é também um eixo de simetria dos pontos Q e Q' que pertencem aos lados AC e AB.
- Determinando as retas PQ' e P'Q, encontramos os vértices do triângulo nas retas r e s.
📏 📐 Resolução
Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo serve como eixo de simetria para os pontos dos lados adjacentes a este ângulo.
- A reta r é um eixo de simetria dos pontos P e P' que pertencem aos lados AB e BC. Se construirmos um arco de circunferência com centro em um ponto B1 sobre r, que passe por P...
- ... e outro arco com centro em um ponto B2 sobre r, que passe por P, encontramos P' simétrico de P em relação a r (pois os triângulos △PB1B2 e △P'B1B2 são congruentes).
- Construindo da mesma forma, o arco de circunferência com centro em um ponto qualquer A1 de s e raio QA1...
- ... e o arco de centro em A2 de s com raio QA2 encontramos o simétrico de Q em relação a s.
- A reta PQ' determina os vértices A e B nas retas r e s.
- As retas AQ e BP' determinam o vértice C.
📏 📐 Resolução
Em um triângulo isósceles, a mediatriz da base serve como eixo de simetria para os pontos das laterais deste triângulo.
- A reta r é um eixo de simetria dos pontos P e P' que pertencem aos lados AB e AC. Construa o simétrico de P em relação à reta r.
- A reta r é também um eixo de simetria dos pontos Q e Q' que pertencem aos lados AC e AB. Construa o simétrico de Q em relação à reta r.
- Vamos encontrar a metade da medida da base construindo a mediatriz de BC.
-
Escolhendo um ponto qualquer R da reta r, construa os segmentos RB' e RC' perpendiculares a r com medidas iguais a
$\mathsf{BC \over 2}$ . - Os pontos B e C pertencem às retas AQ' e AP'.
- Outro lugar geométrico dos pontos B e C é o par de retas paralelas à reta r que passam por B' e C'.
📏 📐 Resolução
Neste problema, vamos usar o conceito da menor distância entre dois pontos de um plano.
- Quando A e B estão em semi-planos opostos em relação à reta r, basta encontrar a menor distância entre A e B definida pelo segmento de reta AB.
- Usando o conceito anterior, se construirmos o simétrico de um dos pontos (B) em relação à reta r, a menor distância entre o outro ponto (A) e o simétrico encontrado (B') será o segmento de reta (AB').
- Logo, temos que BX = B'X, e a trajetória mínima será AX + XB.
📏 📐 Resolução
Neste problema, vamos usar o conceito dos ângulos de incidência e reflexão nas tabelas da mesa de bilhar.
- Se construirmos o simétrico de Q em relação à ultima tabela BC, teremos o ângulo de incidência igual ao ângulo de reflexão nesta tabela.
- Usando o mesmo raciocínio, se construirmos o simétrico de Q' em relação à primeira tabela AB, teremos o ângulo de incidência igual ao ângulo de reflexão nesta tabela.
- Unindo os pontos P e Q'', temos o ponto X1 da trajetória que a bola fará ao sair da posição P com tabela AB.
- Unindo os pontos X1 e Q' temos o ponto X2 da trajetória que a bola fará ao sair da posição X1 com tabela BC. Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão de cada tabela, a bola que estava na posição P atinge a bola que está na posição Q depois de fazer as tabelas AB e BC solicitadas.
📏 📐 Solução
Usando o conceito de ângulos de incidência e reflexão, podemos encontrar os simétricos do foco F e do objeto O em relação aos espelhos planos r e s.
Desta forma, temos que a trajetória da fonte de luz saindo de F, atingindo o espelho r em X2, depois atingindo o espelho s em X1 para finalmente atingir o objeto em O.📑 Propriedades
Considere o arco de ferradura mostrado nesta página. Vamos analisar quais são os elementos de um arco arquitetônico.
- Os pontos A e B definem o começo do arco e são chamados de pontos de nascença.
- A distância entre os pontos de nascença AB é chamada de vão ou abertura do arco. O segmento AB pode ser considerado também como a base do arco.
- A distância entre o ponto mais alto do arco e a base é chamada de flecha do arco.
- As semi-retas perpendiculares ao vão, que geralmente passam pelas extremidades deste segmento, são chamadas de suportes do arco. São as semi-retas que sustentam o arco arquitetônico.
📏 📐 Resolução: 1ª parte
O arco pleno tem o centro na metade do vão.
- Vamos construir a mediatriz do vão AB. Usando um arco de abertura maior do que a metade do vão, com centro em A...
- ... e outro arco de mesmo raio com centro em B...
- ... definimos a medAB e o centro C do arco pleno.
- Alinhando um cateto de um dos esquadros com o vão e apoiando a hipotenusa com outro esquadro ou com a régua, podemos deslizar o esquadro alinhado...
- ... até passar pela extremidade B do vão, definindo um dos suportes. Construindo o arco de centro em C e raio CA = CB, temos o arco pleno...
- .. e deslizando o esquadro até passar pela extremidade A do vão, encontramos o outro suporte do arco.
- Este é o arco pleno, um dos mais simples de construir.
📏 📐 Resolução: 2ª parte
Agora vamos construir o arco abatido, com o uso de 3 centros. A flecha está definida pelo segmento CD, que contém o ponto mais alto deste arco.
- Com o compasso, vamos usar a medida da flecha CD.
- Construa a semi-circunferência com centro em C e raio igual à flecha CD, determinando no vão os pontos E e F.
- Com o compasso, construa os segmentos DG = AE = BF e DH = AE = BF nos segmentos AD e BD.
- Encontre as mediatrizes dos segmentos AG e BH e o ponto de interseção I destas mediatrizes: este é um dos centros do arco abatido.
- Com centro em I e raio ID a primeira parte do arco que começa na mediatriz de AG e termina na mediatriz de BH.
- Os outros centros são K e J: as outras partes do arco abatido têm raios AJ e BK. Para finalizar o arco, alinhamos um dos esquadros para construir as semi-retas perpendiculares ao vão AB...
- ... que passam por B...
- ... e pelo ponto A.
- Este é um arco abatido com 3 centros: I, J e K.
📏 📐 Solução
Quando a medida da flecha não for considerada, podemos definir a mediatriz do vão AB como eixo de simetria e escolher um centro E qualquer da mediatriz.
Definindo o centro D qualquer sobre o vão, temos o terceiro centro D' simétrico de D em relação à mediatriz. As retas ED e ED' são usadas como limites para os três arcos que formam o arco abatido.📏 📐 Resolução
Vamos começar construindo os centros do arco maior com um retângulo de lados iguais ao vão AB e a flecha CD.
- Alinhe a hipotenusa de um dos esquadros com o vão AB, deixando um cateto apoiado com o outro esquadro ou com a régua.
- Deslize o esquadro alinhado, construindo a reta paralela ao vão que passa por D.
- Construa da mesma forma as paralelas à flecha CD que passam pelas extremidades do vão A e B. Temos o retângulo AEFB.
- Construa as bissetrizes dos ângulos DÂE e ADE, definindo o incentro G do △ADE.
- A reta HG ⊥ AD define os centros I e H do arco abatido maior.
- Construa os segmentos sobre o vão do arco: CJ = AI = CK = BL. Note que os pontos I e L são simétricos em relação à flecha CD. O mesmo acontece com os pontos J e K.
- Os centros I e L definem as duas partes simétricas do arco maior até as retas HG e HL.
- A parte mais alta do arco maior tem centro em H e raio HD.
- A reta GM serve como limite dos arcos menores. Logo, podemos construir os arcos com centros em J e K e raios iguais a CJ até intersectar a reta GM.
- Agora precisamos encontrar os centros dos arcos abatidos menores. As retas NJ e OK intersectam as retas HG e HL nos centros P e Q.
- Construindo os arcos de centros P e Q e os suportes, temos o arco abatido conjugado em dois arcos abatidos menores.
📏 📐 Resolução
Vamos construir o arco ogival de duas formas: considerando a flecha com tamanho fixo e com a flecha dependente da medida do vão AB.
- Neste primeiro caso, vamos considerar a flecha com a medida que depende da medida do vão AB. Construa o arco de circunferência com a medida do raio igual a AB.
- Fazendo o mesmo no ponto B, temos um arco ogival.
- Considerando a medida fixa da flecha CD, vamos encontrar o centro do arco que passa por B e D usando a mediatriz de BD. O ponto E pertencente ao prolongamento do vão é o centro do primeiro arco.
- O ponto F, centro do segundo arco, está na interseção da mediatriz de AD com o prolongamento do vão AB.
- Construa o primeiro arco, com centro em E e raio com medida EB.
- O segundo arco tem centro F e raio com medida AF.
📏 📐 Resolução
Vamos construir um arco ogival com a flecha com tamanho menor do que o vão e um arco gótico.
- A construção fica parecida com o exercício anterior, porém, os centros E e F ficam entre as extremidades do vão.
- Para construir o arco gótico, começamos com a mediatriz do vão AB.
- A metade do vão é usada para encontrar CD na mediatriz de AB.
- Uma parte do arco gótico tem centro em A, raio AB, começando em B até o prolongamento da semi-reta AD.
- O arco simétrico, com centro em B e raio com medida AB começa em A e vai até o prolongamento de BD.
- Determine os segmentos EG = AD no prolongamento de AD...
- ... e HF = AD no prolongamento de BF.
- Os arcos com centros em H e G e raios iguais a EG = HF determinam o ponto mais alto do arco gótico.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os arcos gótico flamejante e otomano.
- No arco gótico flamejante, começamos dividindo o vão AB em 4 partes iguais usando o teorema de Tales.
-
Encontre os pontos C e D correspondentes a
$\mathsf{ {1 \over 4}}$ e$\mathsf{ {3 \over 4}}$ do vão. - Construa as semi-retas perpendiculares ao vão que passam por C e D.
- Uma parte do arco gótico flamejante tem centro em C, raio AC e amplitude de 90°. O arco simétrico tem centro em D e raio BD.
- Determine os pontos G e H nos prolongamentos de CF e de DE, tais que FG = CF = ED = HE.
- Os arcos com centros em H e G e raios iguais a FG = HE determinam o ponto mais alto do árco gótico flamejante.
- Para começar o arco otomando, vamos dividir o vão AB em 8 partes iguais usando o teorema de Tales.
-
Determine os pontos C e D correspondentes a
$\mathsf{ {3 \over 8}}$ e$\mathsf{ {5 \over 8}}$ do vão. - Construa o △ACE equilátero: uma parte do arco otomano tem centro em C, raio igual a CA e amplitude de 60°.
- O arco simétrico tem centro em D e raio DB. Construa os segmentos EC e DF.
- O ponto mais alto do arco otomano é determinado pelos segmentos tangentes aos arcos construídos nos pontos E e F.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os arcos ogivais de ferradura com ângulos centrais de 30° e 45°.
- Começamos dividindo o vão na metade com a mediatriz de AB.
- Posicione o esquadro de 60° com o cateto maior alinhado com o vão.
- Deslize o esquadro de 60° com o outro esquadro apoiado no cateto menor até o ponto C. Logo, temos o ângulo central construído com medida de 30°.
- Faça o mesmo do outro lado para construirmos os arcos simétricos em relação à mediatriz do vão com centro em C, raios AC = BC e amplitude de 30°.
- Determine o ponto D na mediatriz tal que CD = AC.
- O arco ogival de ferradura tem o terceiro arco com centro em D e raio DA' = DB'.
- A construção do arco ogival de ferradura com ângulo central de 45° é feita da mesma forma apresentada com 30°.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os arcos assimétricos denominados esconsos.
- Começamos encontrando o ponto D no prolongamento de AC, tal que CD = BC.
- Encontre a mediatriz de AD.
- O primeiro arco tem centro em E, raio AE e amplitude de 90°.
- O centro do segundo arco está na mediatriz de AD, tal que BG // AC e o raio mede BG.
-
O arco esconso com a medida BC menor do que
$\mathsf{ {AC \over 3}}$ pode ser feita de maneira similar.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os arcos Tudor e Mourisco.
- Começamos dividindo o vão AB em 3 partes iguais usando o teorema de Tales.
- Encontre a mediatriz do vão AB.
- Encontre o ponto F na mediatriz do vão, tal que EF = EC = ED.
- Construa o quadrado de lado CD.
- As semi-retas HC e GF serão usadas para delimitar o arco Tudor.
- Construa os arcos simétricos em relação à mediatriz do vão: centros em C e D, raios iguais a AC = BD.
- Com centros em H e G e raio HI = GJ, construa os arcos que determinam o ponto mais alto do arco Tudor.
- No arco Mourisco, determine os arcos com centros em A e B e raios iguais a AB. Assim encontramos o ponto mais alto deste arco arquitetônico.
- Determine os segmentos perpendiculares AC e AD. Construa um segmento DE com medida qualquer no prolongamento de AD.
- Para finalizar o arco Mourisco, determine o segmento FG simétrico de DE em relação à mediatriz do vão AB.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os arcos geminado e trilobado.
- Começamos dividindo o vão AB na metade. A mediatriz funciona como eixo de simetria deste arco.
- Podemos começar com o centro C, raio CA, com arco começando em A até o segmento CD.
- O próximo arco tem centro D, começa no segmento CD e termina no próximo segmento ED.
- Para finalizar a parte esquerda do arco geminado, construa o arco com centro E, que começa em ED e termina na mediatriz do vão.
- Determine os centros simétricos em relação à mediatriz do vão: C', D' e E'.
- Construa os arcos simétricos em relação à mediatriz da mesma forma mostrada nos arcos da parte esquerda deste arco.
- O arco trilobado é parecido com o ogival de ferradura. Porém os centros C, D e E são de arcos com raios iguais. Note que o ponto E deve estar na mediatriz do vão para que este arco tenha simetria em relação a esta reta.
- Construa os arcos com centros em C, D e E e raios iguais a AC.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os arcos parabólico e bulbiforme.
- No arco parabólico, podemos dividir os segmentos AB e CD em um número qualquer de partes iguais.
- Usando o teorema de Tales, divida AB e CD em 4 partes iguais.
- Determine os segmentos AB3, A1B2, A2B1 e A3B.
- Os pontos do arco parabólico são as extremidades A e B e os pontos de interseção: P1 = AB3 ∩ A1B2, P2 = A2B1 ∩ A1B2 e P3 = A2B1 ∩ A3B.
- No arco bulbiforme, determine o ponto E ∈ CD tal que CE = AC = BC.
- Construa a reta FG // AB e os segmentos DF = DG = AE.
- A mediatriz de EF determina o ponto G' que é o centro de um dos arcos.
- Determine o ponto F' simétrico de G' em relação ao segmento CD. Construa o arco com centro em E e raio AE.
- Os segmentos EF' e EG' determinam os pontos de tangência no arco de centro E.
- Com centros em F' e G', construa os arcos tangentes ao arco de centro em E.
📑 Propriedades
Vamos acompanhar algumas definições de elementos das curvas chamadas ovais ou falsas elipses.
- As ovais possuem sempre eixos com duas medidas: o eixo maior e o eixo menor. As ovais regulares têm os dois eixos de simetria.
- As ovais irregulares têm apenas um eixo de simetria. Assim como fizemos nos arcos arquitetônicos, os arcos de concordância são utilizados para construções das falsas elipses.
📏 📐 Resolução
Vamos construir ovais irregulares. Nestes casos, temos apenas um eixo de simetria nestas curvas.
- A mediatriz do eixo menor será o eixo de simetria da oval irregular de 4 centros.
- Encontre o ponto D pertencente à mediatriz tal que CD = AC = BC.
- O ponto médio de AB é o primeiro centro desta oval. As semi-retas AD e BD serão limites dos outros arcos desta curva.
- Construa os arcos com centros em A e B e raios iguais a AB até as semi-retas limites.
- O quarto centro desta oval é o ponto D, que define o arco de raio com medida DE = DF.
- Na oval alongada, o segmento CD está contido na mediatriz e tem medida maior do que a metade de AB. O primeiro arco tem centro em C e raio de medida AC = BC.
- Encontre o ponto médio de BC...
- ... e determine os pontos F e F' nos prolongamentos de AB tais que BF = AF' = BE = EC. Encontre também o ponto G ∈ CD tal que CG = EC = BE. As semi-retas FG e F'G serão limites de dois arcos da curva.
- Construa os arcos com centros F' e F e raios com medidas iguais a F'B = FA.
- As semi-retas JD e J'D serão limites de dois arcos da curva.
- Construa os arcos com centros J' e J e raios com medidas iguais a J'H = JI.
- Para finalizar, basta construir o arco de centro D e raio com medida DK = DL.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma oval irregular encurtada e uma oval regular. Os diâmetros das ovais regulares são eixos de simetria das curvas.
- A oval irregular encurtada tem a medida de CD menor do que a metade de AB. A construção fica similar à da oval alongada.
- No caso da oval regular, vamos construir a mediatriz do diâmetro menor, que funciona como eixo de simetria da curva. Neste caso, o eixo maior não está definido e depende das construções feitas com a medida do eixo menor.
- Encontre a metade de BC e o ponto simétrico de D em relação à mediatriz de AB.
- As semi-retas DE, DE', D'E e D'E' serão os limites dos arcos da oval regular.
- Construa o arco com centro em D' com raio D'B até as semi-retas limites.
- Construa o arco simétrico com centro em D com raio DA até as semi-retas limites correspondentes.
- Para finalizar, basta construir os arcos de centros E e E' da oval regular.
📏 📐 Resolução
Vamos construir ovais regulares: uma com apenas a medida do eixo maior e a outra com as medidas dos dois eixos.
- Vamos construir a mediatriz do diâmetro maior, que funciona como eixo de simetria da curva.
- Encontre a metade de BC e o ponto simétrico de D em relação à mediatriz de AB.
- As semi-retas DE, DE', D'E e D'E' serão os limites dos arcos da oval regular.
- Construa o arco com centro em D' com raio D'A até as semi-retas limites. Construa o arco com centro em D com raio DB até as semi-retas limites correspondentes.
- Para finalizar, basta construir os arcos de centros E e E' da oval regular.
- Considerando as medidas fixas dos eixos de uma oval regular, começamos a construção com a diferença entre as medidas dos eixos: AE = AB - CD.
-
Divida o segmento AE em 3 partes iguais e encontre o ponto F' tal que AF' =
$\mathsf{ {2 \over 3}}$ AE. - Encontre os pontos F e G no diâmetro maior, tais que OF = OG = AF'.
- Construa a circunferência de centro F e raio FG, determinando os pontos H e I no diâmetro menor.
- As semi-retas HF, HG, IF e IG serão os limites dos arcos da oval regular.
- Construa o arco de centro G e raio GB até as retas limites.
- Construa o arco simétrico de centro F e raio FA até as retas limites correspondentes.
- Para finalizar, basta construir os arcos de centros H e I da oval regular.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma oval com as medidas dos dois eixos dadas. O método do retângulo foi usado para construirmos um arco abatido.
- Construa o retângulo AOCE.
- Determine o incentro F do △ACE.
- Construa o segmento HF ⊥ AC, determinando G sobre o diâmetro maior da oval regular.
- Encontre o simétrico de G em relação ao eixo menor e a reta F'F // AB. As semi-retas HF e HF' serão usadas como limites de arcos da curva.
- Encontre os pontos simétricos de F, de H e de F' em relação ao diâmetro AB.
- Construa os arcos de centros G e G' até as respectivas semi-retas limites.
- Para finalizar, construa os arcos de centros H e H' até as respectivas semi-retas limites.
2. Espirais e elipses
Material da página 12 até a página 25.
📑 Propriedades
Veremos agora as definições usadas nas construções das espirais. Estas curvas podem ser construídas por pontos auxiliares e construídas à mão livre, ou construídas com arcos de concordâncias.
- O núcleo é o polígono que contém os centros dos arcos da falsa espiral.
- Na espiral verdadeira, o núcleo é substituído por um ponto denominado pólo.
- Os raios vetores são os prolongamentos dos lados do núcleo.
- A evolução completa da espiral é chamada de espira.
- O passo é a distância entre duas espiras.
📏 📐 Resolução
Vamos construir falsas espirais com 2 e com 3 centros.
- Determine o segmento AB que define os dois centros da falsa espiral. Prolongue o lado AB nos dois sentidos. Usando o centro A, determine o arco de circunferência com amplitude de 180° com raio AB.
- Agora vamos usar o centro B, com raio B1 e as amplitudes sempre iguais a 180°. Neste caso, completamos uma volta e temos uma espira.
- Voltamos ao ponto A e o próximo raio tem medida A2.
- Voltamos ao ponto B e o próximo raio tem medida B3.
- Prosseguimos com a alternância entre os centros e temos a construção da espiral de 2 centros com 4 espiras.
- Construa o △ABC equilátero com as medidas dos lados iguais a 1cm. Defina as semi-retas AC, BA e CB.
- Começando pelo centro A, defina o arco de amplitude 120° e raio AC até a semi-reta limite BA.
- Agora com centro B, defina o arco de amplitude 120° e raio B1 até a semi-reta limite CB. O próximo centro será C, com raio C2.
- Prosseguimos com o rodízio dos centros e temos a construção da espiral regular de 3 centros.
📏 📐 Resolução
Vamos construir falsas espirais com 3 e com 4 centros.
- Construa o △ABC com as medidas indicadas dos lados. Defina as semi-retas AB, BC e CA.
- Começando com o centro A e fazendo o rodízio de centros, temos a construção similar à que fizemos com o triângulo equilátero.
- Construa o quadrado ABCD com lado de medida 0,5cm. Defina as semi-retas BA, AD, DC e CB.
- Começando com o centro A, o primeiro arco tem raio AD, amplitude de 90° e termina na semi-reta limite BA.
- Agora vamos usar o centro B, com raio B1, terminando na semi-reta CB, com amplitudes sempre iguais a 90°.
- Agora vamos usar o centro C, com raio C2, terminando na semi-reta DC.
- Prosseguimos com o rodízio dos centros e temos a construção da espiral regular de 4 centros.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a espiral de ouro começando pela construção do retângulo áureo.
- Construa a mediatriz de AB.
- No segmento BE ⊥ AB, encontre o ponto E tal que BE = BM = AM.
- Construa o arco de circunferência com centro em E e raio EA. O segmento BC é áureo de AB.
- Construa os lados CD // AB e AD // BC do retângulo áureo.
- Defina o ponto F ∈ AB tal que AF = AD.
- O primeiro arco da espiral de ouro tem centro F e raio AF.
- Defina o ponto I ∈ FG tal que GI = CG.
- O segundo arco da espiral de ouro tem centro I e raio IG.
- Defina o ponto K ∈ IH tal que HK = HB. O terceiro arco da espiral de ouro tem centro K e raio HK.
- Defina o ponto L ∈ JK tal que LJ = LM. O quarto arco da espiral de ouro tem centro L e raio LJ.
- Defina o ponto N ∈ LM tal que MN = NO. O quinto arco da espiral de ouro tem centro N e raio MN. Prosseguindo com o mesmo raciocínio, podemos encontrar outros arcos que definem a espiral de ouro.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a espiral de ouro começando pela construção do triângulo áureo.
- O triângulo áureo é isósceles, conhecido também pelo nome de "triângulo sublime", pois apresenta as propriedades estéticas do retângulo áureo. Uma das formas de construí-lo utiliza três lados adjacentes de um pentagrama regular.
- Outra maneira de construir o triângulo áureo é parecida com a construção que vimos do retângulo áureo. Construa o segmento áureo EB de AB.
- Construa os lados BC = AC = BE do triângulo áureo. Os ângulos da base deste triângulo isósceles medem 36° e o arco com centro C e raio AC é o primeiro arco da espiral áurea.
- Defina o ponto F tal que AF = AC e CAF = 36°.
- Construa AFG = 36°, definindo o △AGF áureo.
- O arco com centro G e raio GF é o segundo arco da espiral áurea.
- Defina o ponto C' tal que FG = FC' e GFC' = 36°.
- Construa HCF = 36°, definindo o △HCF áureo. O arco com centro H e raio HF é o terceiro arco da espiral áurea.
- Defina o ponto G' tal que CG' = HC e HCG' = 36°. Construa CGI = 36°, definindo o △IGC áureo. O arco com centro I e raio IG é o quarto arco da espiral áurea. Prosseguindo com o mesmo raciocínio, podemos encontrar outros arcos que definem a espiral de ouro.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a Voluta Jônica começando pela construção dos segmentos perpendiculares aos lados do quadrado.
- Usando o teorema de Tales, divida um dos segmentos perpediculares a um lado do quadrado em 3 partes iguais: o primeiro ponto será chamado de 1.
- Construa a circunferência de centro O e raio O1 para encontrar nos outros segmentos perpendiculares aos lados do quadrado os pontos 2, 3 e 4.
- Usando a mesma ideia, com a segunda divisão obtida pela construção de Tales, construa a circunferência de centro O e raio O5 para encontrar nos outros segmentos perpendiculares aos lados do quadrado os pontos 6, 7 e 8. As interseções das perpendiculares aos lados do quadrado são os pontos 9, 10, 11 e 12.
- Defina as semi-retas limites 21 e 32 para construir o primeiro arco da voluta com centro 2, começando pela interseção da semi-reta 21 com a circunferência circunscrita ao quadrado.
- Defina a semi-reta limite 43 para construir o segundo arco da voluta com centro 3, começando pela interseção da semi-reta 32 com o arco anterior da voluta.
- Defina a semi-reta limite 54 para construir o próximo arco da voluta com centro 4, começando pela interseção da semi-reta 43 com o arco anterior da voluta.
- Defina a semi-reta limite 65 para construir o próximo arco da voluta com centro 5, começando pela interseção da semi-reta 54 com o arco anterior da voluta.
- Defina a semi-reta limite 76 para construir o próximo arco da voluta com centro 6, começando pela interseção da semi-reta 65 com o arco anterior da voluta.
- Defina a semi-reta limite 87 para construir o próximo arco da voluta com centro 7, começando pela interseção da semi-reta 76 com o arco anterior da voluta.
- Defina a semi-reta limite 98 para construir o próximo arco da voluta com centro 8, começando pela interseção da semi-reta 87 com o arco anterior da voluta.
- Defina a semi-reta limite 10-9 para construir o próximo arco da voluta com centro 9, começando pela interseção da semi-reta 98 com o arco anterior da voluta.
- Defina a semi-reta limite 11-10 para construir o próximo arco da voluta com centro 10, começando pela interseção da semi-reta 10-9 com o arco anterior da voluta.
- Para finalizar a construção, defina a semi-reta limite 12-11 para construir o próximo arco da voluta com centro 11, começando pela interseção da semi-reta 11-10 com o arco anterior da voluta.
📑 Propriedades
Vamos acompanhar a demonstração do teorema de Apollonius para o caso de uma elipse. Considere as esferas inscritas na superfície cônica e tangentes ao plano de seção.
- Usando o conceito de potência do ponto P em relação às esferas de centros O' e O, encontramos que PF1 = PL' e PF2 = PL.
- Como os planos de seção definidos por E e E' e por D e D' são perpendiculares ao eixo da superfície cônica, temos que DE = D'E' = LL'. Portanto, temos que PF1 + PF2 = LL' = DE.
- Calculando o perímetro do △SA1A2, encontramos que 2p = SD' + SD + DA2 + A2F2 + A1F2 + D'A1.
- Usando a potência dos pontos A1 e A2 em relação às esferas, encontramos que DA2 = A2F2 e A1F2 = D'A1. Substituindo estas medidas no perímetro do △SA1A2, encontramos que A2F2 + A1F2 = p - SD.
- Analisando a circunferência ex-inscrita do △SA1A2, temos que A2F1 = A2E e A1F1 = A1E'. Substituindo estas medidas no perímetro do △SA1A2, obtemos que 2p = SE + SE'.
- Como SE = SE', temos que p = SE.
- Portanto, temos que SE - SD = ED e A1A2 = DE, ou seja, PF1 + PF2 = DE = A1A2.
📏 📐 Resolução
Construiremos uma elipse dados um vértice, o centro e o foco.
- Vamos iniciar encontrando os simétricos de A1 e de F1 em relação ao centro.
- A distância entre os focos e os vértices do diâmetro menor é igual ao semi-diâmetro maior a. Logo, para achar B1 e B2, basta encontrar a interseção da reta perpendicular ao diâmetro A1A2 que passa pelo centro com a Circunf(F2, a).
- Para construir uma elipse por pontos, vamos determinar os pontos 1, 2 e 3 entre o foco F1 e o centro O. Cada ponto determinará 4 pontos da elipse.
- Como PF1 + PF2 = 2a, tome os raios com medidas iguais a 1A1 e 1A2. As interseções das circunferências com centros em F1 e F2 com raios 1A1 e 1A2 são dois pontos da elipse.
- Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F1 e F2 com raios 1A2 e 1A1 determinam mais dois pontos da elipse.
- Usando o mesmo raciocínio com o ponto 2, tomamos os raios com medidas iguais a 2A1 e 2A2. As interseções das circunferências com centros em F1 e F2 com raios 2A1 e 2A2 são dois pontos da elipse.
- Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F1 e F2 com raios 2A2 e 2A1 determinam mais dois pontos da elipse.
- Usando o mesmo raciocínio com o ponto 3, tomamos os raios com medidas iguais a 3A1 e 3A2. As interseções das circunferências com centros em F1 e F2 com raios 3A1 e 3A2 são dois pontos da elipse.
- Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F1 e F2 com raios 3A2 e 3A1 determinam mais dois pontos da elipse.
- Depois, basta traçar a cônica à mão livre usando os pontos encontrados e os vértices.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma elipse dados os focos e um ponto da cônica.
- Vamos iniciar encontrando o centro da elipse usando a mediatriz de F1F2.
- Como PF1 + PF2 = 2a, podemos prolongar PF1 e marcar a medida PF2, obtendo-se o ponto F'2. Logo, temos que F1F'2 = 2a.
- Encontre a mediatriz de F1F'2 para determinar os vértices do diâmetro maior da elipse.
- Determine OA1 = OA2 = a.
- Com a circunferência de centro em F1 e raio a, encontramos os vértices B1 e B2 na mediatriz de F1F2.
- Depois, basta construir a elipse à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma elipse dados os pontos simétricos em relação ao centro e um foco da cônica.
- Vamos iniciar encontrando o centro da elipse usando a mediatriz de P1P2.
- Podemos determinar OF1 = OF2.
- Como P1F1 + P1F2 = 2a, podemos prolongar P1F1 e marcar a medida P1F2, obtendo-se o ponto F'2. Logo, temos que F1F'2 = 2a. Encontre a mediatriz de F1F'2 para determinar os vértices do diâmetro maior da elipse.
- Determine OA1 = OA2 = a.
- Com a circunferência de centro em F2 e raio a, encontramos os vértices B1 e B2 na reta perpendicular ao eixo maior que passa pelo centro.
- Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir as retas tangentes a uma elipse dada pelos focos, a distância 2a e um ponto da cônica.
- Vamos iniciar encontrando a circunferência diretriz γ1, com centro em F1 e raio 2a. Construindo a Circunf(P, PF2), determinamos os pontos F'2 e F''2 na circunferência diretriz.
- As retas tangentes são as mediatrizes de F2F'2 e F2F''2.
- Unindo o foco F1 com os simétricos de F2 em relação às tangentes, determinamos os pontos de tangência nas retas t e t'.
- Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir as retas tangentes a uma elipse paralelas a uma reta. São dados os focos e a distância 2a da cônica.
- Vamos iniciar encontrando a circunferência diretriz γ1, com centro em F1 e raio 2a. Construindo o segmento PF2 ⊥ r, determinamos o ponto F'2 na circunferência diretriz.
- Uma das retas tangentes é a mediatriz de F2F'2.
- Unindo o foco F1 com o ponto F'2, determinamos o ponto de tangência T.
- Se prolongarmos o segmento PF2, determinamos o ponto F''2 na circunferência diretriz. A outra reta tangente é a mediatriz de F2F''2.
- Unindo o foco F1 com o ponto F''2, determinamos o ponto de tangência T'.
- Depois, basta construir a elipse à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada por um vértice, um foco e uma reta tangente.
- Vamos iniciar encontrando o segmento F2F'2 ⊥ t. Logo, determinamos o ponto L ∈ t que pertence à circunferência principal da elipse.
- Como a circunferência principal passa pelo vértice A2 e por L, o centro O estará na interseção do prolongamento de A2F2 com a mediatriz de A2L.
- Determine os pontos F1 e A1, simétricos de F2 e de A2 em relação ao centro.
- Determine os vértices B1 e B2, sabendo-se que B1B2 ⊥ F1F2 e B1F2 = B2F2 = a.
- Unindo o foco F1 com o ponto F'2, determinamos o ponto de tangência T.
- Depois, basta construir a elipse à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada por um vértice, um foco e uma reta tangente.
- Vamos iniciar encontrando o segmento F2F'2 ⊥ t. Logo, determinamos o ponto L ∈ t que pertence à circunferência principal da elipse.
- Como a circunferência principal passa pelo vértice A1 e por L, o centro O estará na interseção do segmento A1F2 com a mediatriz de A1L.
- Determine os pontos F1 e A2, simétricos de F2 e de A1 em relação ao centro.
- Determine os vértices B1 e B2, sabendo-se que B1B2 ⊥ F1F2 e B1F2 = B2F2 = a.
- Unindo o foco F1 com o ponto F'2, determinamos o ponto de tangência T.
- Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada por um foco e 3 retas tangentes.
- Vamos iniciar encontrando os simétricos do foco F1 em relação às retas tangentes.
- Como a circunferência diretriz passa pelos simétricos de um foco em relação às retas tangentes, podemos construir as mediatrizes de F'1F''1 e F'1F'''1 para encontrar o foco F2.
- A circunferência diretriz γ2 tem centro em F2 e raio 2a. Unindo F2 com os simétricos de F1 em relação às tangentes, determinamos os pontos de tangência.
- Determine a mediatriz de um dos raios da circunferência diretriz: medF2F'''1 para encontrarmos a medida a.
- Construa a mediatriz de F1F2 para encontrar o centro da elipse.
- Obtenha os vértices A1 e A2 usando a Circunf(O, a).
- Determine os vértices B1 e B2, sabendo-se que B1B2 ⊥ F1F2 e B1F1 = B2F1= a.
- Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada pelos vértices do diâmetro principal e um ponto.
- Vamos iniciar encontrando o centro da elipse com a medA1A2.
- Construa a circunferência principal da elipse e o segmento PE ⊥ A1A2.
- De acordo com as propriedades de afinidade homológica, a interseção de OC com o segmento PD // A1A2 determina OD = b.
- A Circunf(O, OD) determina os vértices B1 e B2 na mediatriz de A1A2.
- Construa a Circunf(B1, a) para encontrar os focos da elipse.
- Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada pelo diâmetro 2c e pela excentricidade.
- Vamos iniciar encontrando o segmento 2c e a medF1F2.
-
Usando o teorema de Tales, determinamos a proporção da excentricidade
$\mathsf{ {c \over a} = {2 \over 3}}$ fazendo$\mathsf{ {O2 \over O3} = {2 \over 3}}$ . Logo, encontramos o vértice A1. - Encontre o simétrico de A1 em relação ao centro da elipse.
- A Circunf(F1, a) determina os vértices B1 e B2 na mediatriz de F1F2.
- Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada pelo diâmetro 2a e pela excentricidade.
- Vamos iniciar encontrando o segmento 2a e a medA1A2.
-
Usando o teorema de Tales, determinamos a proporção da excentricidade
$\mathsf{ {c \over a} = {4 \over 5}}$ fazendo$\mathsf{ {O4 \over O5} = {4 \over 5}}$ . Logo, encontramos o foco F1. - Encontre o simétrico de F1 em relação ao centro da elipse.
- A Circunf(F1, a) determina os vértices B1 e B2 na mediatriz de A1A2.
- Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.
3. Hipérboles e parábolas
Material da página 26 até a página 43.
📑 Propriedades
Vamos acompanhar a demonstração do teorema de Apollonius para o caso de uma hipérbole. Considere as esferas inscritas na superfície cônica e tangentes ao plano de seção.
- Usando o conceito de potência do ponto P em relação às esferas de centros O' e O, encontramos que PF2 = PG' e PF1 = PG. Logo, temos que PF2 - PF1 = PG' - PG = GG' = BB' = CC'.
- Prolongando-se BB', obtemos o ponto A1 e BB' = A1B' - A1B. Pela potência do ponto A1 em relação às esferas, temos que A1F1 = A1B e A1B' = A1F2. Logo, temos que BB' = A1B' - A1B = A1F2 - A1F1.
- Temos também que CC' = BB' = A2C - A2C' = A2F1 - A2F2 ...
- ... pois pela potência do ponto A2 em relação às esferas temos que A2F1 = A2C ...
- ... e A2F2 = A2C'.
- Logo, temos que CC' = BB' = A1F2 - A1F1 = A2F1 - A2F2.
- Temos também que CC' = BB' = A2C - A2C' = A2F1 - A2F2.
- Da última igualdade que verificamos, podemos concluir que A1F1 = A2F2 e A1F2 = A2F1.
- Portanto, temos que A2F1 - A1F2 = A1F2 - A2F2 = BB' = A1A2. Logo, PF2 - PF1 = BB' = A1A2.
📏 📐 Resolução
Construiremos uma hipérbole dados um vértice, o centro e um foco.
- Vamos iniciar encontrando os simétricos de A1 e de F1 em relação ao centro.
- A distância entre os focos e os vértices do diâmetro imaginário é igual à metade da distância focal: c. Logo, para achar B1 e B2, basta encontrar a interseção da reta perpendicular ao diâmetro A1A2 que passa pelo centro com a Circunf(A2, c).
- Para construir uma hipérbole por pontos, vamos determinar os pontos 1, 2 e 3 que ficam à esquerda do foco F1 na semi-reta de origem F1. Cada ponto determinará 4 pontos da cônica.
- Como PF1 - PF2 = 2a, tome os raios com medidas iguais a 1A1 e 1A2. As interseções das circunferências com centros em F1 e F2 com raios 1A1 e 1A2 são dois pontos da hipérbole.
- Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F1 e F2 com raios 1A2 e 1A1 determinam mais dois pontos da hipérbole.
- Usando o mesmo raciocínio com o ponto 2, tomamos os raios com medidas iguais a 2A1 e 2A2. As interseções das circunferências com centros em F1 e F2 com raios 2A1 e 2A2 são dois pontos da hipérbole.
- Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F1 e F2 com raios 2A2 e 2A1 determinam mais dois pontos da hipérbole.
- Usando o mesmo raciocínio com o ponto 3, tomamos os raios com medidas iguais a 3A1 e 3A2. As interseções das circunferências com centros em F1 e F2 com raios 3A1 e 3A2 são dois pontos da hipérbole.
- Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F1 e F2 com raios 3A2 e 3A1 determinam mais dois pontos da hipérbole.
- Depois, basta traçar a cônica à mão livre usando os pontos encontrados e os vértices do diâmetro real.
📏 📐 Resolução
Vamos encontrar os elementos principais de uma hipérbole dados os focos, e um ponto da curva.
- Começamos encontrando o centro da hipérbole construindo a mediatriz de F1F2.
- Como PF1 - PF2 = 2a, construímos a Circunf(P, PF2) para encontrar PF'2 no segmento PF1. Logo, temos que F1F'2 = 2a.
- Determine a mediatriz de F1F'2 para encontrar a medida do segmento a.
- Obtenha os vértices A1 e A2, simétricos em relação ao centro.
- A distância entre os focos e os vértices do diâmetro imaginário é igual à metade da distância focal: c. Logo, para achar B1 e B2, basta encontrar a interseção da mediatriz de F1F2 com a Circunf(A1, c).
- Para finalizar, construa a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Encontraremos os elementos principais de uma hipérbole um foco e os pontos simétricos em relação ao eixo imaginário.
- Como os pontos P1 e P2 são simétricos em relação ao eixo imaginário, a mediatriz de P1P2 contém os vértices deste eixo.
- Construa a reta perpendicular à medP1P2, determinado o centro da hipérbole.
- Encontre o simétrico de F1 em relação ao centro O.
- Como P1 pertence à cônica, podemos unir F1 e P1 e construir a Circunf(P1, P1F2), obtendo-se o segmento F1F'2 = 2a.
- Encontre a mediatriz de F1F'2 para determinar a medida a.
- Construa os vértices do diâmetro real, simétricos em relaçao ao centro da cônica.
- Para achar B1 e B2, encontre a interseção da mediatriz de P1P2 com a Circunf(A2, c).
- Finalizando, construa a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada pelo diâmetro 2a e pela excentricidade.
- Vamos iniciar encontrando o segmento 2a e a medA1A2.
-
Usando o teorema de Tales, determinamos a proporção da excentricidade
$\mathsf{ {c \over a} = {5 \over 2}}$ fazendo$\mathsf{ {O5 \over O2} = {5 \over 2}}$ . Logo, encontramos o foco F1. - Encontre o simétrico de F1 em relação ao centro da hipérbole.
- A Circunf(A1, c) determina os vértices B1 e B2 na mediatriz de A1A2.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada pelo diâmetro 2c e pela excentricidade.
- Vamos iniciar encontrando o segmento 2c e a medF1F2.
-
Usando o teorema de Tales, determinamos a proporção da excentricidade
$\mathsf{ {c \over a} = {6 \over 5}}$ fazendo$\mathsf{ {O6 \over O5} = {6 \over 5}}$ . Logo, encontramos o vértice A1. - Encontre o simétrico de A1 em relação ao centro da hipérbole.
- A Circunf(A1, c) determina os vértices B1 e B2 na mediatriz de F1F2.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir as retas tangentes à hipérbole, dada pelos focos e pela distância 2a, que passam pelo ponto P.
- Começamos construindo a circunferência diretriz γ1 com centro em F1 e raio 2a. Os simétricos de F2 em relação à reta tangente pertencem à circunferência diretriz: logo, construímos a Circunf(P, PF2) para encontrar os dois simétricos de F2 em relação às tangentes à hipérbole que passam pelo ponto dado.
- Construa as mediatrizes de F2F'2 e de F2F''2 que são as tangentes à hipérbole que passam por P.
- Unindo F1 com F'2 e com F''2, encontramos os pontos de tangência T e T'.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir as retas tangentes à hipérbole, dada pelos focos e pela distância 2a, que são paralelas à reta r.
- Começamos construindo a circunferência diretriz γ1 com centro em F1 e raio 2a. O simétrico de F2 em relação à reta tangente pertence à circunferência diretriz: logo, construímos a reta PF2 ⊥ r para encontrar o simétrico de F2 em relação a uma tangente da hipérbole paralela a r.
- Construa a mediatriz de F2F'2 que é uma das tangentes à hipérbole paralela à reta r.
- Unindo F1 com F'2, encontramos o ponto de tangência T na reta t.
- Construa o prolongamento de PF2 para encontrar o simétrico F''2 na circunferência diretriz. Construa a mediatriz de F2F''2 que é a segunda tangente à hipérbole paralela à reta r.
- Unindo F1 com F''2, encontramos o ponto de tangência T' na reta t'.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir as assíntotas da hipérbole, dada pelos focos e pelo diâmetro principal 2a.
- Começamos construindo a circunferência diretriz γ1 com centro em F1 e raio 2a.
- Construa a mediatriz de F1F2 para encontrar o centro da cônica.
- As retas tangentes à diretriz que passam por F2 determinam os simétricos do foco F2 em relação às assíntotas. Logo, podemos construir o arco capaz de 90° em relação a F1F2.
- As mediatrizes de F2F'2 e de F2F''2 são as assíntotas da hipérbole.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre e determinar os elementos principais da curva.
📏 📐 Resolução
Vamos encontrar os elementos principais da hipérbole, dada por um foco, o centro e uma reta tangente. Além disso, vamos encontrar os elementos principais da hipérbole conjugada desta cônica.
- Começamos construindo o símetrico do foco F2 em relação à reta tangente t.
- Construa o simétrico de F2 em relação ao centro O. Logo, temos a circunferência diretriz γ1 com centro em F1...
- ... e raio F1F'2 = 2a.
- Determine a medida do segmento F1M = a.
- Encontre os vértices da hipérbole construindo a circunferência de centro O e raio a.
- Encontre as extremidades do diâmetro imaginário da hipérbole construindo a circunferência de centro A1 e raio c e a reta perpendicular ao diâmetro real que passa por O.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre. Agora vamos encontrar os elementos da hipérbole conjugada.
- Duas hipérboles são conjugadas quando os diâmetros real e imaginário de uma são os diâmetros imaginário e real da outra (respectivamente).
- Para encontrar os focos da hipérbole conjugada, basta construir a circunferência de centro O e raio c = A1B1.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole conjugada à mão livre. Uma propriedade importante é que as hipérboles conjugadas compartilham das mesmas assíntotas.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole equilátera, dada pelo diâmetro principal 2a.
- Começamos construindo a mediatriz de A1A2 para encontrar o centro da cônica.
- Na hipérbole equilátera, temos que A1A2 = B1B2. Logo, podemos construir a circunferência de centro O e raio a para encontrar o diâmetro imaginário da cônica.
- A distância focal c tem medida B1A2. Logo, podemos construir a circunferência de centro O e raio c...
- ... para encontrar os focos da hipérbole.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada por um foco, um vértice e uma reta tangente.
- Começamos construindo o simétrico do foco F2 em relação à reta t, encontrando os pontos L e F'2.
- A circunferência principal da hipérbole tem centro em O e passa pelo vértice A2 e L: logo, para encontrar O, basta construir a mediatriz de A2L.
- Encontre os simétricos de F2 e de A2 em relação ao centro O.
- A Circunf(A2, c) determina os vértices B1 e B2 na reta perpendicular ao diâmetro real que passa por O.
- Unindo F1 com F'2, encontramos o ponto de tangência T na reta t.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada por um foco, um vértice e uma reta tangente.
- Começamos construindo o simétrico do foco F2 em relação à reta t, encontrando os pontos L e F'2.
- A circunferência principal da hipérbole tem centro em O e passa pelo vértice A1 e L: logo, para encontrar O, basta construir a mediatriz de A1L.
- Encontre os simétricos de F2 e de A1 em relação ao centro O.
- A Circunf(A1, c) determina os vértices B1 e B2 na reta perpendicular ao diâmetro real que passa por O.
- Unindo F1 com F'2, encontramos o ponto de tangência T na reta t.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada pelo diâmetro real e uma reta tangente.
- Começamos construindo a mediatriz de A1A2 para encontrar o centro da hipérbole.
- A circunferência principal da hipérbole tem centro em O e passa pelos vértices A1 e A2, determinando os pontos L e L' na reta t.
- As retas perpendiculares à reta t que passam por L e L' determinam os focos nos prolongamentos do diâmetro real.
- A Circunf(A2, c) determina os vértices B1 e B2 na mediatriz de A1A2.
- Determine o simétrico de F1 em relação à reta tangente. Unindo F2 com F'1, encontramos o ponto de tangência T na reta t.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais e as assíntotas de uma hipérbole dada pelos diâmetros real e imaginário.
- Construa a mediatriz de A1A2 para encontrar o centro da hipérbole.
- Encontre os pontos B1 e B2 na mediatriz de A1A2.
- A medida B1A2 = c: logo, determine os focos F1 e F2 nos prolongamentos do diâmetro real.
- Construa as retas paralelas ao diâmetro real que passam por B1 e por B2.
- Construa as retas paralelas ao diâmetro imaginário que passam por A1 e por A2: logo, temos os vértices do retângulo cujas diagonais são as retas suporte das assíntotas.
- Determine as assíntotas SQ e PR.
- Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.
📑 Propriedades
Vamos acompanhar a demonstração do teorema de Apollonius para o caso de uma parábola. Considere a esfera inscrita na superfície cônica e tangente ao plano de seção.
- Vamos considerar o plano LSL' perpendicular ao plano de seção que determina a parábola. Neste caso teremos que a geratriz SL' será paralela ao plano de seção e o traço deste plano em LSL' é a reta A2F2.
- Considere a circunferência de centro O tangente às geratrizes SL e SL' em B e C e no segmento DN no ponto F2. Girando esta circunferência com amplitude de 180° em torno de um diâmetro, temos a esfera tangente à superfície cônica.
- Usando a potência do ponto P em relação à esfera, construa os segmentos PF2 e PS, obtendo-se o ponto G no plano perpendicular ao eixo do cone que passa pelos pontos B e C.
- Construa o plano paralelo ao plano BCG que passa pelo ponto P, obtendo-se o ponto N ∈ A2F2.
- Usando a propriedade de potência de ponto, temos que PF2 = PG.
- Os segmentos PG, BR e CR são iguais, pois são obtidos dos planos perpendiculares ao eixo do cone.
- A interseção dos planos de seção e BCG é a reta DE perpendicular ao plano LSL': temos que ND é a distância do ponto P à reta DE.
- Da semelhança dos △A2NR, △A2BD e △SLL', temos que ND = BR = PF2. Logo, temos que PF2 = PE.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais e alguns pontos de uma parábola dada pelo vértice e pelo foco.
- A reta definida por A2F2 é o eixo da cônica e a distância A2F2 = p é a metade do parâmetro da parábola. Determine o simétrico de F2 em relação ao vértice A2.
- A reta γ, perpendicular ao eixo que passa por F'2 é a diretriz da parábola.
- Agora vamos determinar pontos da cônica. Escolha um ponto 1 ∈ γ: a interseção da mediatriz de 1F2 com a reta paralela ao eixo que passa por 1 é um dos pontos da parábola (equidistante da diretriz e do foco).
- Escolha um ponto 2 ∈ γ: a interseção da mediatriz de 2F2 com a reta paralela ao eixo que passa por 2 é outro ponto da parábola (equidistante da diretriz e do foco).
- Escolha um ponto 3 ∈ γ: a interseção da mediatriz de 3F2 com a reta paralela ao eixo que passa por 3 é outro ponto da parábola (equidistante da diretriz e do foco).
- Depois, basta encontrar os simétricos de P1, P2 e P3 em relação ao eixo. Assim, temos 6 pontos da cônica além do vértice A2.
- Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada pelos pontos simétricos em relação ao eixo e a reta diretriz.
- A mediatriz de PP' é o eixo da cônica e o ponto de interseção do eixo com a diretriz é o simétrico do foco em relação ao vértice A2.
- Construindo a reta perpendicular à diretriz que passa por P, obtemos o ponto S2 ∈ γ.
- A distância de P à diretriz PS2 é igual a PF2. Logo, podemos construir a Circunf(P, PS2) para determinar o foco no eixo. Escolha uma das interseções.
- Determine o vértice A2 por meio da mediatriz de S'2F2. Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada pela direção da diretriz, o foco e um ponto da curva.
- Construindo a reta PS'2 ⊥ r e a Circunf(P, PF2), determinamos o ponto S2 ∈ γ.
- Construa a reta diretriz, paralela a r que passa por S2. A reta perpendicular à diretriz que passa pelo foco determina o eixo e o ponto simétrico do foco em relação ao vértice: S''2
- Determine o vértice A2 por meio da mediatriz de S''2F2. Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir as retas tangentes à parábola que passam por um ponto. São dados o foco e a diretriz da cônica.
- A reta F2S'2 ⊥ γ determina o eixo da parábola.
- Construa a mediatriz de F2S'2 para achar o vértice da parábola.
- A Circunf(P, PF2) determina na diretriz os simétricos do foco em relação às retas tangentes à parábola que passam por P.
- Construa as mediatrizes de F2F'2 e de F2F''2 que são as retas tangentes à parábola que passam por P.
- Construa as retas paralelas ao eixo que passam por F'2 e por F''2. As interseções destas retas com as retas tangentes são os pontos de tangência.
- Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada por duas retas tangentes e o foco.
- Começamos a construção determinando os simétricos do foco em relação às retas tangentes.
- A reta que passa por F'2 e F''2 é a diretriz da parábola.
- A reta F2S2 ⊥ γ é o eixo da parábola e o vértice é o ponto médio de F2S2.
- Construa as retas paralelas ao eixo que passam por F'2 e por F''2. As interseções destas retas com as retas tangentes são os pontos de tangência.
- Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.
📑 Propriedades
Vamos compreender as propriedades sobre retas tangentes e normais de uma parábola.
- O quadrilátero TF'2PF2 é losango, pois F'2P e TF2 são iguais e paralelos (pois △F'2LP = F2LT pelo critério LAAo). Logo TF'2PF2 tem todas as propriedades de um losango.
- O quadrilátero F'2PNF2 é paralelogramo, pois F'2P // F2N e PN // F'2F2. Logo F'2PNF2 tem todas as propriedades de um paralelogramo.
- Temos que os triângulos retângulos △PIN e △F'2MF2 têm um par de catetos e um par de ângulos iguais. Logo, são triângulos congruentes e temos que IN = MF2 = 2p.
- Temos no △TPI o ponto L médio de TP e o eixo y paralelo a PI. De acordo com o teorema de Tales, podemos concluir que A2 é o ponto médio de TI, ou seja, TI = 2A2I = 2x.
- Temos no △TPN, retângulo em P, que PI2 = TI·IN, ou seja, y2 = 2x·2p. De acordo com o teorema de Tales, podemos concluir que A2 é o ponto médio de TI, ou seja, TI = 2A2I = 2x = 4px, que é a equação da parábola.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada pelo eixo, uma reta tangente e um ponto da parábola pertencente à reta tangente.
- Começamos a construção determinando a reta normal à parábola que passa pelo ponto P. Logo, encontramos o ponto N do eixo da cônica.
- A mediatriz do segmento PT determina o ponto L da reta tangente.
- Podemos construir os segmentos LA2 ⊥ e e PI ⊥ e.
- A mediatriz de PT determina o foco F2 sobre o eixo. Logo, podemos encontrar o simétrico do foco em relação ao vértice A2.
- A diretriz γ passa por F'2 perpendicularmente ao eixo.
- Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.
📏 📐 Resolução
Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada pelos segmentos sub-tangente e sub-normal.
- Começamos a construção determinando os segmentos dados colineares TI e IN.
- Para encontrar o ponto que determina os segmentos dados, construimos a média geométrica entre TI e IN. Começamos com o arco capaz de 90° em relação ao segmento TN.
- A média geométrica está no encontro do arco capaz de 90° com a reta perpendicular ao eixo que passa por I.
- Podemos construir o segmento LA2 ⊥ e.
- Determine o simétrico do foco em relação ao vértice A2, e a diretriz γ passa por F'2 perpendicularmente ao eixo.
- Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.
📑 Propriedades
Vamos acompanhar as propriedades que aparecem na definição de Apollonius para as cônicas.
- Vamos começar com o caso de uma elipse. Considere o segmento BC ⊥ A1A2, onde B e C pertencem à elipse. Determine um ponto P da elipse e o segmento PS ⊥ A1A2.
- Construa o quadrado com a medida do lado igual a PS.
- Vamos determinar o lado x de um retângulo equivalente ao quadrado de lado PS, sabendo-se que um dos lados mede A1S. Temos que A1S·x = SR².
-
Desenvolvendo a relação das áreas, temos que
$\mathsf{ {A_1S \over SR} = {SR \over x}}$ . Logo, podemos usar o teorema de Tales para determinar o segmento x por uma terceira proporcional. - Construa o retângulo A1SUT equivalente ao quadrado PQRS.
- Podemos observar que temos x < BC, que vem da palavra grega "elleípsis", que significa falta ou insuficiência.
- Seguindo o mesmo raciocínio no caso da parábola, ao construirmos o retângulo A2SUT equivalente ao quadrado PQRS, obtemos que x = BC. O nome da cônica vem da palavra grega "parabolé", que significa comparação ou igualdade.
- Seguindo o mesmo raciocínio no caso da hipérbole, ao construirmos o retângulo A2SUT equivalente ao quadrado PQRS, obtemos que...
- ... A2S·x = SR² = BC e o segmento x > BC. O nome da cônica vem da palavra grega "hyperbolé", que significa exagero ou excesso.
4. Homotetia, Rotação e curvas
Material da página 44 até a página 54.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a Homotetia para multiplicar uma circunferência, usando o centro de homotetia H e as razões indicadas.
-
Usando o teorema de Tales, vamos encontrar o centro O' com a razão
$\mathsf{ {O'H \over OH} = -{2 \over 3}}$ . - Construa o segmento O'2 // H3 para determinar o centro O' da circunferência multiplicada pela razão k.
- O raio O'A' é determinado construindo-se O'A' // OA. O ponto A' pertence à reta AH.
-
Para encontrar a circunferência multiplicada com a razão
$\mathsf{ {1 \over 2}}$ , podemos encontrar o ponto médio do segmento OH, que define o centro da circunferência multiplicada pela razão k. - O segmento que define o raio O''A'' é paralelo a OA, e A'' ∈ AH.
- A circunferência multiplicada na razão k = -1 é simétrica em relação ao centro de homotetia H.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a Homotetia para construir um pentágono regular com medida do lado m.
- Podemos escolher qualquer vértice como centro de homotetia. Considere o ponto A ≡ A' e determine A'B' = m.
- Determine o segmento A'E' = m.
- Construa o segmento B'C' // BC. Como os triângulos △ABC e △A'B'C' são semelhantes, o vértice C' ∈ AC.
- Construa o segmento C'D' // CD. Como os triângulos △ACD e △A'C'D' são semelhantes, o vértice D' ∈ AD.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a Homotetia para construir um quadrado com a diferença de medidas entre a diagonal e o lado igual a m.
- Considerando o quadrado construído, defina a diferença entre as medidas da diagonal AC e de um lado AN = n.
- Usando o vértice A como centro de homotetia, encontre o ponto M tal que AM = m e M ∈ AC.
- Como todos os quadrados são semelhantes entre si, podemos definir os triângulos semelhantes △ABN e △AB'M. Logo, definimos o vértice B' do quadrado com o segmento B'M // BN.
- Construa o segmento B'C' // BC. Como os triângulos △ABC e △AB'C' são semelhantes, o vértice C' ∈ AC.
- Construa o segmento C'D' // CD. O vértice D' ∈ AD.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a Homotetia para construir um heptágono regular com a medida do apótema a.
- Considerando o heptágono dado, vamos construir o apótema. Para determinar o centro do heptágono, construa as mediatrizes de dois lados.
- O segmento OM = a' é o apótema do heptágono dado.
- Usando o centro de homotetia O' ≡ O, defina a Circunf(O, a) e os pontos M' e M'' nas mediatrizes construídas.
- Como os triângulos △ABO e △A'B'O são semelhantes, os vértices A' e B' pertencem às retas OA e OB, e temos também que A'B' // AB.
- Construa o segmento A'G' // AG. O vértice G' ∈ OG.
- Construa a Circunf(O, OA'), definindo os vértices F', E', D' e C' nos respectivos raios OF, OE, OD e OC.
- Construa os lados do heptágono.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a Homotetia para construir um hexágono regular com a medida da diagonal menor igual a d.
- Vamos construir um hexágono regular a partir de uma circunferência de raio OA qualquer.
- A partir do ponto A qualquer, defina os pontos B e C na circunferência, tais que AB = AF = OA.
- Usando o mesmo raciocínio, defina os outros vértices do hexágono.
- Construa uma diagonal menor d'.
- Usando um vértice como centro de homotetia, construa o segmento A'C' = d.
- Como os triângulos △AB'C' e △ABC são semelhantes, defina o vértice B' ∈ AB, tal que B'C' // BC.
- Como os triângulos △O'A'B' e △OAB são semelhantes, defina o centro O' ∈ OA, tal que O'B' // OB
- Construa a Circunf(O', O'A') e defina os vértices F' ∈ AF e D' ∈ AD.
- Prolongando-se o segmento O'B', definimos o vértice E'. Construa os lados do hexágono.
📏 📐 Resolução
Usaremos a Homotetia para construir um triângulo inscrito no triângulo △ABC.
- Construa o △X'Y'Z' tal que X'Z' // t e Y'Z' // s. Agora falta inserir o vértice Z' no lado BC.
- Usando o centro de homotetia H ≡ A, defina o ponto Z ∈ AZ' e Z ∈ BC.
- Construa o triângulo △XYZ tal que XZ // X'Z', XY // X'Y' e YZ // Y'Z'.
📏 📐 Resolução
Usaremos a Homotetia para construir um quadrado inscrito em um setor circular.
- No primeiro exemplo, vamos considerar que um dos lados do quadrado pertence a um raio do setor circular. Considere o ponto X' ∈ AB e o vértice Y' ∈ AC tal que X'Y' ⊥ AB.
- Defina o lado Y'Z' // AB...
- ... e finalize o quadrado com Z'W' ⊥ AB. Falta inserir o vértice Z' no arco do setor circular.
- Considere o centro de homotetia A ≡ H e defina o ponto Z ∈ AZ' no arco do setor circular.
- Construa o segmento ZW ⊥ AB...
- ... o lado YZ // AB...
- ... e finalize o quadrado construindo XY // X'Y'.
- No segundo exemplo, vamos considerar que um dos lados do quadrado contém os vértices equidistantes ao vértice do setor circular. Considere os pontos X' ∈ AB e Y' ∈ AC tais que X'A = Y'A.
- Construa o lado Y'Z' ⊥ X'Y'...
- ... e finalize o quadrado com X'W' // Y'Z' e Z'W' // X'Y'. Falta inserir os vértices Z' e W' no arco do setor circular.
- Considere o centro de homotetia A ≡ H e defina os pontos Z ∈ AZ' e W ∈ AW' no arco do setor circular.
- Construa o segmento YZ ⊥ ZW...
- ... e finalize o quadrado com XY // ZW e XW // YZ.
📏 📐 Resolução
Usaremos a Homotetia para construir um losango inscrito no triângulo △ABC.
- Como os lados de um losango são iguais, encontre os pontos X' ∈ BC e Y' ∈ AC tais que CX' = CY'.
- Construa os lados do losango: X'Z' // Y'C e Y'Z' // X'C. Agora falta inserir o vértice Z' no lado AB.
- Usando o centro de homotetia H ≡ C, defina o ponto Z ∈ CZ' e Z ∈ AB.
- Construa o losango tal que XZ // X'Z' e ZY // Z'Y'.
📏 📐 Resolução
Usaremos a Homotetia para construir um quadrado inscrito em uma elipse.
- Encontre os pontos X' e Y' nos diâmetros principais da elipse, tais que OX' = OY'.
- Construa os lados do quadrado: X'Y' // OZ' e Y'Z' // OX'. Agora falta inserir o vértice Y' na elipse.
- Usando o centro de homotetia H ≡ O, defina o ponto A ∈ OY' na elipse. Temos o primeiro vértice do quadrado inscrito.
- Prolongando-se OA, temos o vértice C simétrico de A em relação ao centro da elipse.
- Construa o quadrado: AD // Y'Z', CD // OZ'...
- ... e AB // CD.
📏 📐 Resolução
Usaremos a Homotetia para construir um retângulo inscrito em uma hipérbole.
-
Encontre os pontos 3 e 2 nos diâmetros principais da hipérbole, tais que
$\mathsf{ {O2 \over O3} = {2 \over 3}}$ . - Construa os lados do retângulo: A'2 // O3 e A'3 // O2. Agora falta inserir o vértice A' na hipérbole.
- Usando o centro de homotetia H ≡ O, defina o ponto A ∈ OA' na hipérbole. Temos o primeiro vértice do retângulo inscrito. Prolongando-se OA, temos o vértice C simétrico de A em relação ao centro da hipérbole.
- Construa o retângulo: AD // A'2, CD // A'3...
- ... e AB // A'3.
📏 📐 Resolução
Usaremos a Homotetia para construir um triângulo equilátero inscrito em uma parábola.
- Encontre o vértice B' tal que A2B' forme ângulo de 30° com o eixo da parábola.
- Construa os lados do triângulo equilátero: A2C' forma 30° com o eixo e A2C' = A2B'. Agora falta inserir os vértices B' e C' na parábola.
- Usando o centro de homotetia H ≡ A2, defina o ponto B ∈ A2B' na parábola. Temos o primeiro vértice do triângulo equilátero inscrito.
- Defina o ponto C ∈ A2C' na parábola, determinando o triângulo equilátero inscrito na cônica.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral de Arquimedes por pontos. Usaremos 8 pontos neste exemplo.
- Obtenha os vértices de um octógono regular inscrito na circunferência: os ângulos centrais medem 45°.
- Divida um dos raios AC = r0 em 8 partes iguais, usando o teorema de Tales. Assim, encontramos os pontos A1, A2, ..., A7 no raio AC.
- Defina o arco com centro em A e raio AA1: a interseção deste arco com o primeiro raio AC1 é o primeiro ponto da espiral.
- Defina o arco com centro em A e raio AA2: a interseção deste arco com o segundo raio AC2 é o segundo ponto da espiral.
- Defina o arco com centro em A e raio AA3: a interseção deste arco com o terceiro raio AC3 é o terceiro ponto da espiral.
- Usando o mesmo raciocínio, encontramos os demais pontos da espiral.
- A forma paramétrica desta curva pode ser encontrada com um raio qualquer AC' e o ângulo CÂC' = α.
-
Defina a
$\mathsf{ Circunf(A, { {AC'\cdot \alpha} \over {2 \pi}}) }$ . O ponto P de interseção desta circunferência com o raio AC' determina um ponto da espiral. - O lugar geométrico do ponto P em relação ao ponto C' é a espiral de Arquimedes limitada à circunferência dada.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral logarítmica por pontos. Usaremos 8 pontos neste exemplo.
- Construa as retas que passam por A e formam ângulos de 45° entre si.
- Construa o segmento 1C ⊥ a0, tal que 1 ∈ a1.
- Construa o segmento 12 ⊥ a1, tal que 2 ∈ a0.
- Construa o segmento 23 ⊥ a0, tal que 3 ∈ a1.
- Usando o mesmo raciocínio, defina os pontos 4, 5, 6 e 7 que pertencem alternadamente às retas a0 e a1.
- Os pontos C e 1 pertencem à espiral. Defina o arco com centro em A e raio A2: a interseção deste arco com a reta a2 é o terceiro ponto da espiral.
- Defina o arco com centro em A e raio A3: a interseção deste arco com a reta a3 é o quarto ponto da espiral.
- Defina o arco com centro em A e raio A4: a interseção deste arco com a reta a4 é o quinto ponto da espiral.
- Usando o mesmo raciocínio, encontramos os demais pontos da espiral.
- Obtenha o ponto 8 por meio do segmento 78 ⊥ a1. Este é o último ponto da primeira volta desta espiral.
-
A forma paramétrica desta curva pode ser encontrada com um raio qualquer AC' e o ângulo CÂC' = α. Defina a
$\mathsf{ Circunf(A, AC'e ^ {m \alpha}) }$ . O ponto P de interseção desta circunferência com o raio AC' determina um ponto da espiral. - O lugar geométrico do ponto P em relação ao ponto C' é a espiral logarítmica. Neste exemplo, temos m = 0.442
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral hiperbólica usando sua equação polar.
- Defina o valor m e o raio inicial r0.
- Construa o ângulo com amplitude fixa m, com vértice A.
-
Defina a
$\mathsf{ Circunf(A, { {AC} \over {m} }) }$ . O ponto P de interseção desta circunferência com o raio AC' determina um ponto da espiral. - O lugar geométrico do ponto P em relação ao valor m é a espiral hiperbólica.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma ciclóide simples, por pontos, usando uma circunferência geradora com raio de medida igual a 2cm.
- Construa a circunferência próxima à margem da folha, e encontre os vértices do octógono inscrito nesta circunferência.
- Construa a reta tangente à circunferência que passa pelo ponto A, que será o início da ciclóide. Construa quatro segmentos consecutivos com medidas iguais ao diâmetro d da circunferência.
-
Usando a aproximação de Arquimedes para retificação de circunferências, obtenha
$\mathsf{ {1} \over {7} }$ do quarto diâmetro construído. Logo, a distância AB = 3d +$\mathsf{ {d} \over {7} }$ é aproximamente igual ao perímetro da circunferência. -
Divida o segmento AB em 4 partes iguais. Os pontos N, M e P definem
$\mathsf{ {1} \over {4} }$ ,$\mathsf{ {1} \over {2} }$ e$\mathsf{ {3} \over {4} }$ da trajetória da circunferência. -
Divida os segmentos AN, NM, MP e PB ao meio. Os pontos Q, R, S e T definem
$\mathsf{ {1} \over {8} }$ ,$\mathsf{ {3} \over {8} }$ ,$\mathsf{ {5} \over {8} }$ e$\mathsf{ {7} \over {8} }$ da trajetória da circunferência. - As retas CD, GH e EF definem os pontos da trajetória da ciclóide. A interseção da circunferência que passa por Q com a reta CD define o primeiro ponto da curva ciclóide (ângulo de 45° relativo ao ponto C).
- A interseção da circunferência que passa por N com a reta GH define o segundo ponto da curva ciclóide (ângulo de 90° relativo ao ponto G).
- A interseção da circunferência que passa por R com a reta EF define o terceiro ponto da ciclóide (ângulo de 135° relativo ao ponto F).
- O ponto A4 corresponde à metade da trajetória (ângulo de 180° relativo ao ponto I).
- A interseção da circunferência que passa por S com a reta EF define o quinto ponto da ciclóide (ângulo de 225° relativo ao ponto E).
- A interseção da circunferência que passa por P com a reta GH define o sexto ponto da ciclóide (ângulo de 270° relativo ao ponto H).
- A interseção da circunferência que passa por T com a reta CD define o sétimo ponto da ciclóide (ângulo de 315° relativo ao ponto D). O último ponto da ciclóide é B.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma ciclóide usando uma rotação.
- Construa uma circunferência de centro O e raio OA. Trace a reta r tangente a esta circunferência pelo ponto A.
- Usando um ponto qualquer A' ∈ r, construa a circunferência com raio O'A' = OA tangente à reta r.
-
A fração da trajetória AA' está em uma correspondência proporcional ao ângulo de 360°. Usando a regra de três, temos que
$\mathsf{ { {\alpha} \over {AA'} } = { {2 \pi} \over {2 \pi \cdot OA} } }$ . -
Logo, temos que
$\mathsf{ \alpha = { {AA'} \over {OA} } }$ . - Defina a rotação do ponto A' feita por meio do ângulo de amplitude fixa α e vértice O'.
- A ciclóide é o lugar geométrico da extremidade do ângulo α, ou seja, do ponto A'', em relação ao ponto A'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma ciclóide encurtada usando uma rotação.
- Construa uma circunferência de centro O e raio OA. Trace a reta r tangente a esta circunferência pelo ponto A.
- Usando um ponto qualquer A' ∈ r, construa a circunferência com raio O'A' = OA tangente à reta r. Defina os pontos P e P' pertencentes aos raios OA e O'A'.
-
Defina o ângulo
$\mathsf{ \alpha = { {AA'} \over {OA} } }$ . - Defina a rotação do ponto P' feita por meio do ângulo de amplitude fixa α e vértice O'.
- A ciclóide encurtada é o lugar geométrico da extremidade do ângulo α, ou seja, do ponto P'', em relação ao ponto A'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma ciclóide usando uma rotação, com um pentágono regular estrelado giratório.
- Usando os elementos mostrados nos dois exemplos anteriores, construa uma ciclóide simples com o ângulo α definido na circunferência de centro O'.
- Defina o ângulo central do pentágono a partir da extremidade móvel A'' da circunferência de centro O'.
- Construa os demais vértices do pentágono...
- ... e defina os lados do pentágono regular estrelado.
- Ao movimentar a circunferência, os vértices e lados do pentágono movimentam-se junto. Experimente definir os lugares geométricos dos vértices do pentágono em relação ao ponto A'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma epiciclóide usando rotações.
- Começamos com a definição de um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
-
Defina o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente externa à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede
$\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$ . - Considerando que a epiciclóide começa no ponto A, quando a circunferência menor rolar tangenciando a circunferência maior até o ponto A', o comprimento do arco AOA' (com amplitude α) será igual ao comprimento do arco A'O'A'' (com amplitude β), ou seja, α·r = β·r'.
-
Logo, temos que
$\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {r'} } }$ . - Defina o ângulo central com medida paramétrica β na circunferência menor no sentido horário.
- A epiciclóide é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto A'', em relação ao ponto A'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma epiciclóide alongada usando rotações.
- Começamos definindo um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
-
Defina o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede
$\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$ . - Na epiciclóide alongada, a trajetória será de um ponto P pertencente ao prolongamento do raio O'A'.
-
O ângulo correspondente da circunferência menor mede
$\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {O'A'} } }$ . - Defina o ângulo central com medida paramétrica PO'P'' = β na circunferência menor.
- A epiciclóide alongada é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto P'', em relação ao ponto A'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma epiciclóide usando rotações, com um pentágono regular estrelado giratório.
- Usando os elementos mostrados nos dois exemplos anteriores, construa uma epiciclóide simples usando o ângulo central com medida β na circunferência menor.
- Defina o ângulo central do pentágono a partir da extremidade móvel A'' da circunferência de centro O'.
- Construa os outros vértices e os lados do pentágono regular estrelado.
- Ao movimentar a circunferência, os vértices e lados do pentágono movimentam-se junto. Experimente definir os lugares geométricos dos vértices do pentágono em relação ao ponto A'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma hipociclóide usando rotações.
- Começamos com a definição de um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
-
Defina o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente interna à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede
$\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$ . - Considerando que a hipociclóide começa no ponto A, quando a circunferência menor rolar tangenciando a circunferência maior até o ponto A', o comprimento do arco AOA' (com amplitude α) será igual ao comprimento do arco A'O'A'' (com amplitude β), ou seja, α·r = β·r'.
-
Logo, temos que
$\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {r'} } }$ . - Defina o ângulo central com medida paramétrica β na circunferência menor, no sentido anti-horário.
- A hipociclóide é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto A'', em relação ao ponto A'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma hipociclóide alongada usando rotações.
- Começamos com a definição de um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
-
Considere o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede
$\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$ . - Na hipociclóide alongada, a trajetória será de um ponto P pertencente ao prolongamento do raio O'A'.
-
O ângulo correspondente da circunferência menor mede
$\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {O'A'} } }$ . - Defina o ângulo central com medida paramétrica PO'P'' = β na circunferência menor.
- A hipociclóide alongada é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto P'', em relação ao ponto A'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma hipociclóide encurtada usando rotações.
- Defina um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
-
Considere o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede
$\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$ . - Na hipociclóide encurtada, a trajetória será de um ponto P pertencente ao raio O'A'.
-
O ângulo correspondente da circunferência menor mede
$\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {O'A'} } }$ . - Defina o ângulo central com medida paramétrica PO'P'' = β na circunferência menor.
- A hipociclóide encurtada é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto P'', em relação ao ponto A'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir as projeções frontal e superior de uma hélice cilíndrica usando rotações.
- Defina a projeção superior do cilindro: uma circunferência de centro O e raio r = OA'. Escolha um ponto P qualquer desta circunferência.
- Construa as retas tangentes à circunferência nas extremidades do diâmetro A'B'. Escolha um ponto A em uma das retas construídas.
- Construa o segmento AB // A'B'.
- A projeção frontal do cilindro é o retângulo ABCD com o segmento AB igual ao diâmetro da base e BC = h com a medida da altura do cilindro.
-
Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Considere o ponto K ∈ AD. Usando uma regra de três, temos que o segmento KA corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α por meio da seguinte expressão:
$\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KA} \over {h} } }$ . - Defina o ângulo central paramétrico α = P'OQ' no sentido anti-horário. Construindo o segmento QQ' tal que QQ' // AD e KQ // A'B', temos o ponto correspondente Q' da projeção superior da rotação de ângulo α da hélice cilíndrica, e Q será a projeção frontal deste mesmo ponto Q'.
- A projeção frontal da hélice cilíndrica é o lugar geométrico do ponto Q em relação ao ponto K. A projeção superior é a própria circunferência que define a base do cilindro.
- Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices. Podemos modificar também a posição do ponto P', que define o início das projeções da curva.
📏 📐 Resolução
Vamos construir as projeções frontal e superior de uma hélice cônica usando rotações.
- Defina a projeção superior do cone: uma circunferência de centro O e raio r = OA'. Escolha um ponto P qualquer desta circunferência.
- Construa as retas tangentes à circunferência nas extremidades do diâmetro A'B'. Escolha um ponto A em uma das retas construídas.
- Construa o segmento AB // A'B'.
- A projeção frontal do cone é o triângulo isósceles VAB com o segmento AB igual ao diâmetro da base e VM = AD = h com a medida da altura do cone.
-
Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Considere o ponto K ∈ AD. Usando uma regra de três, temos que o segmento KA corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α por meio da seguinte expressão:
$\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KA} \over {h} } }$ . - Defina o ângulo central paramétrico α = P'OC' no sentido anti-horário. Defina a projeção frontal de C' tal que CC' // AD e C ∈ AB. Logo, temos a geratriz VC com sua projeção superior OC'. Obtenha as projeções do ponto R ∈ VC, tal que KR // AB, RR' // AD e R' ∈ OC'.
- As projeções frontal e superior da hélice cônica são os lugares geométricos dos pontos R e R' em relação ao ponto K.
- Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices. Podemos modificar também a posição do ponto P', que define o início das projeções da curva.
5. Translação, Inversão e curvas
Material da página 54 até a página 67.
📏 📐 Resolução
Vamos construir o trapézio ABCD, dadas as medidas dos lados.
- Começamos pela base maior AB.
- Fazendo a translação da base menor CD sobre a base maior com amplitude AD, definimos o segmento AE = CD sobre a base AB.
- Logo, temos o paralelogramo AECD que define o segmento EC = AD. Construa as circunferências de centros em E e B, com raios AD e BC. Assim, encontramos o vértice C.
- Para finalizar o trapézio, basta construir os segmentos CD // AB e AD // EC.
📏 📐 Resolução
Vamos construir o trapézio ABCD, dadas as medidas das bases e das diagonais.
- Podemos fazer a translação da base menor com amplitude igual à medida de uma diagonal: BD. Assim, encontramos o ponto E ∈ AB, tal que BE = CD.
- Começamos com a base maior AB...
- ... e construímos o segmento BE = CD.
- Logo, temos o paralelogramo BECD que define o segmento EC = BD. Construa as circunferências de centros em E e A, com raios BD e AC. Assim, encontramos o vértice C.
- Para finalizar o trapézio, basta construir os segmentos CD // AB e BD // EC.
📏 📐 Resolução
Vamos construir o trapézio ABCD, dadas as medidas das bases e de dois ângulos.
- Podemos fazer a translação da base menor com amplitude igual à medida de uma diagonal: AD. Assim, encontramos o ponto E ∈ AB, tal que AE = CD.
- Começamos com a base maior AB e construímos o segmento AE = CD.
- Construa os ângulos dos vértices A e B, encontrando as retas suporte das laterais do trapézio.
- Construa a reta paralela à direção da lateral AD que passa por E. Assim, encontramos o vértice C na interseção da reta suporte do lado BC.
- Para finalizar o trapézio, basta construir o segmento CD // AB.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a translação para determinar os pontos P e Q das circunferências dadas, tal que o segmento PQ passa por C e PQ = 2m.
- Construa o arco capaz de 90° no segmento AB.
- O segmento PQ deve passar pelo ponto C: logo, defina o segmento AQ' = m, tal que Q' esteja no arco capaz de 90° mais próximo de C.
- O segmento procurado PQ é paralelo ao segmento AQ' e passa por C.
- A justificativa para esta construção está na construção do arco capaz de 90°, que define o segmento MAMB transladado de AQ' = m. Temos que PMA = CMA e QMB = CMB, ou seja, PQ = 2m.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a translação para circunscrever um triângulo equilátero no triângulo △ABC.
- Vamos construir arcos capazes de 60° em dois lados do △ABC. Começando pelo lado AB, construa o ângulo de segmento de 60° com vértice A.
- Encontre a mediatriz do lado AB. O centro O do arco capaz de 60° está na interseção da mediatriz do lado AB com o segmento perpendicular à reta suporte do ângulo de segmento construído.
- Construa o arco capaz de centro O e raio OA = OB.
- Agora vamos construir o arco capaz no lado AC: construa o ângulo de segmento de 60° com vértice C.
- Encontre a mediatriz do lado AC. O centro O' do arco capaz de 60° está na interseção da mediatriz do lado AC com o segmento perpendicular à reta suporte do ângulo de segmento construído.
- Construa o arco capaz de centro O' e raio O'A = O'C.
- Escolha um ponto P de um dos arcos capazes e defina o segmento PQ que passa por A e Q pertence ao outro arco capaz construído. Assim, temos um dos lados de um triângulo equilátero circunscrito.
- Agora basta construir os segmentos PR e QR que passam pelos vértices B e C.
- Outra forma de resolver este exercício é começar com uma reta r que passa por um dos vértices: por exemplo, o vértice A.
- Depois podemos escolher um ponto P' ∈ r e construir um ângulo de 60° no sentido horário a partir da reta escolhida.
- Agora podemos escolher um ponto Q' ∈ r e construir um ângulo de 60° no sentido anti-horário a partir da reta escolhida. Assim construímos um triângulo equilátero △P'Q'R'.
- Agora basta fazer a translação do lado P'R', obtendo-se a reta PB // P'R'.
- Com a translação do lado Q'R' encontramos a reta QC // Q'R' e o triângulo equilátero circunscrito.
📏 📐 Resolução
Vamos usar a translação para encontrar um ponto da reta s que enxerga o segmento AB segundo ângulo de 60°.
- Contrua um ângulo BC'A' = 60°. Agora precisamos fazer a translação do segmento C'A' até que os pontos A e A' fiquem coincidentes.
- Construindo a reta paralela a A'C' que passa por A, encontramos o ponto C ∈ s que enxerga AB segundo ângulo de 60°.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma hélice cilíndrica em projeções ortogonais e também em perspectiva.
- Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy.
- Construa a projeção frontal do cilindro: o retângulo com um lado igual ao diâmetro da circunferência da base e o outro lado igual à altura h. Considere as geratrizes paralelas ao eixo y.
-
Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Considere o ponto K ∈ QR. Usando uma regra de três, temos que o segmento KR corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'B' por meio da seguinte expressão:
$\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KR} \over {h} } }$ . - Construa os segmentos paralelos aos eixos que passam por A', definindo as coordenadas deste ponto: xA' e yA'.
- Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas xA' e yA' que determinam a projeção do ponto A' em perspectiva, por meio dos segmentos paralelos aos eixos representados em perspectiva.
- Agora obtenha as coordenadas do ponto B' e transfira estas medidas para os eixos em perspectiva.
- O lugar geométrico do ponto B' da perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da circunferência da base do cilindro em perspectiva.
- Construa o segmento correspondente de B' na vista frontal do cilindro, definindo o segmento BC tal que BC // QR e BK // P'Q'.
- O lugar geométrico do ponto B em relação ao ponto K é a projeção frontal da hélice cilíndrica. Transfira a medida BC para a perspectiva, tal que BB' // z e BB' = BC.
- O lugar geométrico do ponto B na perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da hélice cilíndrica na perspectiva.
- Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices cilíndricas representadas em projeções e também em perspectiva.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma hélice cônica em projeções ortogonais e também em perspectiva.
- Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy. Construa a projeção frontal do cone: o triângulo iscósceles com um lado igual ao diâmetro da circunferência da base e altura QR = h. Considere a altura do cone paralela ao eixo y.
-
Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Considere o ponto K ∈ QR. Usando uma regra de três, temos que o segmento KR corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'C' por meio da seguinte expressão:
$\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KR} \over {h} } }$ . - Construa os segmentos paralelos aos eixos que passam por A', definindo as coordenadas deste ponto: xA' e yA'.
- Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas xA' e yA' que determinam a projeção do ponto A' em perspectiva, por meio dos segmentos paralelos aos eixos representados em perspectiva.
- Agora obtenha as coordenadas do ponto C' e transfira estas medidas para os eixos em perspectiva.
- O lugar geométrico do ponto C' da perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da circunferência da base do cone em perspectiva.
- Construa a geratriz correspondente de C' na vista frontal do cilindro, definindo o segmento VC tal que C pertence ao segmento da base do triângulo isósceles. Defina o ponto correspondente de K na geratriz VC, tal que BK // P'Q'.
- O lugar geométrico do ponto B em relação ao ponto K é a projeção frontal da hélice cônica. Obtenha a projeção superior do ponto B tal que B' ∈ A'C' e defina a medida da altura correspondente da hélice BD.
- O lugar geométrico do ponto B' em relação ao ponto K é a projeção superior da hélice cônica.
- Obtenha as coordenadas do ponto B' na perspectiva. O lugar geométrico do ponto B' da perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da hélice cônica em perspectiva.
- Transfira a medida BD para a perspectiva, tal que BB' // z e BB' = BD.
- O lugar geométrico do ponto B na perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da hélice cônica na perspectiva.
- Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices cônicas representadas em projeções e também em perspectiva.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma hélice esférica em projeções ortogonais e também em perspectiva.
- Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy. Construa a projeção frontal da esfera: a circunferência de raio QA = r. Considere o segmento correspondente das projeções da esfera QQ' // y.
- Defina os pontos limite V e T da projeção frontal a partir dos diâmetros paralelos aos eixos x e y.
- Defina o ponto K ∈ VT, e os pontos da projeção frontal D e E tais que DE // P'Q'.
-
Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Usando uma regra de três, temos que o segmento KT corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'C' por meio da seguinte expressão:
$\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KT} \over {TV} } }$ . - Construa a Circunf(A', A'D'), correspondente à seção paralela ao diâmetro da esfera P'Q' da vista frontal. O ponto R' ∈ A'C' pertence à hélice esférica.
- O ponto correspondente de R' da projeção frontal é R tal que RR' // TV e R ∈ DE.
- O lugar geométrico de R em relação ao ponto K define a projeção frontal da hélice esférica.
- O lugar geométrico do ponto R' em relação ao ponto K define a projeção superior da hélice esférica.
- Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas e projeções do ponto R'.
- O lugar geométrico do ponto R' da perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice esférica em perspectiva.
- Transfira a medida KT para a perspectiva, tal que RR' // z, RR' = KT + 1. O lugar geométrico do ponto R na perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice esférica na perspectiva.
- Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices esféricas representadas em projeções e também em perspectiva.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma hélice hiperbólica em projeções ortogonais e também em perspectiva. Vamos considerar a superfície de um hiperbolóide de revolução.
- Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy. Construa a projeção frontal da hipérbole com centro na mesma reta paralela ao eixo y que passa por A'. Considere o segmento PQ // P'Q' que passa por A e contém os focos da hipérbole.
- Defina os pontos limite T e V da projeção frontal a partir dos diâmetros paralelos aos eixos x e y.
- Defina o ponto K ∈ VT, e os pontos da projeção frontal D e E tais que DE // P'Q'.
-
Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Usando uma regra de três, temos que o segmento KT corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'C' por meio da seguinte expressão:
$\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KT} \over {VT} } }$ . - Construa a Circunf(A', A'D'), correspondente à seção paralela ao diâmetro do hiperbolóide P'Q' da vista frontal. O ponto R' ∈ A'C' pertence à hélice hiperbólica.
- O ponto correspondente de R' da projeção frontal é R tal que RR' // VT e R ∈ DE.
- O lugar geométrico do ponto R em relação ao ponto K define a projeção frontal da hélice hiperbólica.
- O lugar geométrico do ponto R' em relação ao ponto K define a projeção superior da hélice hiperbólica.
- Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas e projeções do ponto R'.
- O lugar geométrico do ponto R' da perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice hiperbólica em perspectiva.
- Transfira a medida KT para a perspectiva, tal que RR' // z, RR' =KT + 1.
- O lugar geométrico do ponto R na perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice hiperbólica na perspectiva.
- Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices hiperbólicas representadas em projeções e também em perspectiva.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma hélice parabólica em projeções ortogonais e também em perspectiva. Vamos considerar a superfície de um parabolóide de revolução.
- Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy. Construa a projeção frontal da parábola com o vértice na mesma reta paralela ao eixo y que passa por A'. Considere o segmento PQ // P'Q' // γ.
- Defina o ponto limite T da projeção frontal que pertence à reta paralela ao eixo x que passa pelo vértice da parábola.
- Defina o ponto K ∈ QT, e os pontos da projeção frontal D e E tais que DE // P'Q'.
-
Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Usando uma regra de três, temos que o segmento KT corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'C' por meio da seguinte expressão:
$\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KT} \over {TQ} } }$ . - Construa a Circunf(A', A'D'), correspondente à seção paralela ao diâmetro do parabolóide P'Q' da vista frontal. O ponto R' ∈ A'C' pertence à hélice parabólica.
- O ponto correspondente de R' da projeção frontal é R tal que RR' // QT e R ∈ DE.
- O lugar geométrico do ponto R em relação ao ponto K define a projeção frontal da hélice parabólica.
- O lugar geométrico do ponto R' em relação ao ponto K define a projeção superior da hélice parabólica.
- Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas e a projeção do ponto R'.
- O lugar geométrico do ponto R' da perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice parabólica em perspectiva.
- Transfira a medida TK para a perspectiva, tal que RR' // z e RR' = TK + 1.
- O lugar geométrico do ponto R na perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice parabólica na perspectiva.
- Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices parabólicas representadas em projeções e também em perspectiva.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva de Agnesi a partir de uma circunferência de centro A e raio a.
- Começamos construindo um diâmetro CT.
- Na extremidade T, construa uma reta tangente t.
- Escolha um ponto qualquer B ∈ t e defina o segmento BC.
- Encontre o ponto da circunferência D ∈ BC e o ponto P tal que PD // t e PB // CT.
- O lugar geométrico do ponto P em relação ao ponto B é a curva de Agnesi relativa à circunferência de centro A e raio a.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva logarítmica a partir dos eixos x e y.
- Começamos construindo um segmento AB ∈ y que será usado como parâmetro da curva.
-
A curva logarítmica pode ser definida a partir de um ponto C ∈ x tal que
$\mathsf{ CP = { {AB} \over {k \cdot AC} } }$ . - Se considerarmos k = 1, temos esta curva logarítmica como o lugar geométrico de P em relação ao ponto C. Escolha outros valores de k para construir outras curvas logarítmicas.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva Catenária a partir de dois segmentos perpendiculares.
- Começamos construindo um segmento AB que será usado como parâmetro da curva. Defina o segmento a ⊥ AB.
-
A curva Catenária pode ser definida a partir de um ponto C ∈ a tal que
$\mathsf{ CP = cosh \left( { {AC} \over {AB} } \right) }$ . - O lugar geométrico de P em relação ao ponto C é a curva Catenária com parâmetro a.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva de Cassini a partir dos segmentos AA' e FF'.
- Construa o segmento AA' e encontre o ponto médio O, que será o centro da curva.
- Determine os pontos F e F', simétricos em relação ao centro O.
- Construa a Cirunf(O, OF).
- Determine um ponto B da circunferência e defina o segmento A'C tal que B ∈ A'C. Um ponto da curva de Cassini tem as distâncias aos focos com a potência de ponto fixa igual a A'B·A'C = a².
- Para encontrar um ponto P da curva de Cassini, construa a Circunf(F', A'B)...
- ... e a Circunf(F, A'C). A interseção destas duas circunferências define dois pontos da curva de Cassini, simétricos em relação ao diâmetro AA'.
- Os lugares geométricos de P e de P' em relação ao ponto B definem a curva de Cassini com parâmetros AA' e FF'.
- Modificando o tamanho de FF', temos outros formatos da curvas de Cassini.
- Modificando o tamanho de FF', temos outros formatos da curvas de Cassini.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva lemniscata de Bernoulli a partir do segmento FF'.
- Construa o segmento FF' e encontre o ponto médio O, que será o centro da curva.
- Determine o ângulo central F'OA'' = 45°.
- A lemniscata de Bernoulli é um caso especial da curva de Cassini, quando a = OF. Para determinar o ponto A', basta construir o segmento A''A' tangente à circunferência. Logo, teremos que A''A'² = a².
- Determine um ponto B da circunferência e defina o segmento A'C tal que B ∈ A'C. Um ponto da lemniscata tem as distâncias aos focos com a potência de ponto fixa igual a A'B·A'C = a².
- Para encontrar os pontos P e P' da lemniscata, construa as Circunf(F', A'B) e Circunf(F, A'C).
- Os lugares geométricos de P e de P' em relação ao ponto B definem a lemniscata de Bernoulli com parâmetro FF'.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma quadratriz de Hippias a partir do segmento AB.
- Construa a semicircunferência de diâmetro AB.
- Determine um ponto C ∈ AB.
-
Defina o ângulo
$\mathsf{ \alpha = { {AC \cdot \pi} \over {AB} } }$ , ou seja, proporcional em relação ao ângulo de 180° e ao diâmetro AB. - Determine um ponto P tal que CP ⊥ AB e P ∈ OA'.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto C define a quadratriz de Hippias com diâmetro AB.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma cissóide de uma circunferência exterior a uma reta.
- Construa uma circunferência de raio r (curva c1) e uma reta exterior a esta circunferência (curva c2).
- Construa o diâmetro AB ⊥ c2.
- Defina o ponto C ∈ c2.
- Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = AD.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a cissóide das curvas c1 e c2.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma cissóide de uma circunferência tangente a uma reta.
- Construa uma circunferência de raio r (curva c1).
- Construa o diâmetro AB.
- Construa a reta tangente à circunferência (curva c2) pela extremidade B.
- Defina o ponto C ∈ c2.
- Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = AD.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a cissóide das curvas c1 e c2.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma cissóide de uma elipse secante a uma reta.
- Construa uma elipse que contém um ponto K (curva c1) e uma reta secante a esta elipse (curva c2).
- Construa o diâmetro AB ⊥ c2.
- Defina o ponto C ∈ c2.
- Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = AD.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a cissóide das curvas c1 e c2.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma cissóide de uma hipérbole secante a uma reta.
- Construa uma hipérbole que contém um ponto K (curva c1) e uma reta secante a esta hipérbole (curva c2).
- Construa o diâmetro AB ⊥ c2.
- Defina o ponto C ∈ c2.
- Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = AD.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a cissóide das curvas c1 e c2.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma conchóide de uma circunferência com parâmetro d e pólo A.
- Construa uma circunferência de raio OA (curva c).
- Defina o ponto C ∈ c.
- Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = d.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a conchóide da curva c.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma conchóide de uma circunferência com parâmetro igual ao diâmetro d e pólo A.
- Construa uma circunferência com diâmetro d (curva c).
- Defina o ponto C ∈ c.
- Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = d.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a conchóide da curva c. Este caso especial da conchóide chama-se cardióide.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma conchóide de uma reta com parâmetro d e pólo A.
- Construa uma reta (curva c) e determine um ponto A exterior à reta.
- Defina o ponto C ∈ c.
- Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = d.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a conchóide da curva c.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma conchóide de uma hipérbole com parâmetro d e pólo A.
- Construa uma hipérbole que contém um ponto K (curva c) e determine um ponto A da hipérbole.
- Escolha um ponto C ∈ c.
- Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = d.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a conchóide da curva c.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma besácea com parâmetros AB e AC.
- Construa uma circunferência de raio OA.
- Defina o diâmetro AB e um ponto C da circunferência.
- Determine um ponto E da circunferência.
- Construa a reta ED // BC e encontre os pontos P ∈ ED e Q ∈ ED tais que PD = QD = EC.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto E definem uma curva chamada besácea.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva de Bézier dados os segmentos de controle AB e CD.
- Determine os segmentos de controle AB e CD.
-
Defina um ponto E ∈ AB e a razão
$\mathsf{ c = { {AE} \over {AB} } }$ relativa à medida AB. Usaremos este número para encontrar os pontos correspondentes nos outros segmentos. - Determine o ponto F ∈ BC tal que F = B + c·(C - B). Desta forma, temos o ponto F com a mesma razão de distâncias do ponto E, porém, em relação ao segmento BC.
- Determine o ponto G ∈ CD tal que G = C + c·(D - C).
- Determine o ponto H ∈ EF tal que H = E + c·(F - E).
- Determine o ponto I ∈ FG tal que I = F + c·(G - F).
- Para finalizar, determine o ponto J ∈ HI tal que J = H + c·(I - H).
- O lugar geométrico de J em relação ao ponto E define uma curva de Bézier.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva aerofólio dadas as circunferências α e β e a reta r.
- Construa as circunferências secantes α e β e a reta r.
- Defina um ponto A ∈ α e construa o inverso de A em relação a β.
- Determine o ponto A'' simétrico de A' em relação à reta r.
- Determine o ponto médio de AA''.
- A curva aerofólio é o lugar geométrico de P em relação ao ponto A.
📏 📐 Resolução
Vamos determinar a reta que define uma curva aerofólio que passa por P, dadas as circunferências α e β.
- Defina o ponto simétrico de A ∈ α em relação ao ponto P (pois P é o ponto médio de AA'').
- Determine o ponto A' inverso de A em relação a β.
- Logo, a reta procurada é mediatriz de A'A'' (pois A' e A'' são simétricos em relação à reta r).
- Determine um ponto B ∈ α.
- Encontre o inverso de B em relação a β.
- Determine o simétrico de B' em relação à reta r.
- Construa o ponto médio de BB''.
- A curva aerofólio é o lugar geométrico de P' em relação ao ponto B.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a curva bicorne usando as três definições apresentadas nesta página.
- Definição 1: Construa as circunferências com raios iguais, tangentes no ponto A.
- Determine um ponto B ∈ β.
- Encontre a reta polar de B em relação a α.
- Construa o segmento BP // OO' tal que P ∈ b.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto B é uma curva bicorne.
- Definição 2: Construa uma circunferência com raio OE e determine os pontos A e A' simétricos em relação a OE.
- Determine um ponto C da circunferência e construa o triângulo △AA'C.
- Construa o ortocentro H do triângulo △AA'C.
- O lugar geométrico de H em relação ao ponto C é uma curva bicorne.
- Definição 3: Construa uma circunferência com raio OE e determine os pontos A e A' simétricos em relação a OE.
- Determine um ponto C da circunferência e construa o diâmetro CD.
- Determine o ponto P ≡ AC ∩ A'D.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto C é uma curva bicorne.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a curva lemniscata de Gerono usando as três definições apresentadas nesta página.
- Definição 1: Determine uma circunferência de raio OA, um ponto B desta circunferência e a reta tangente t que passa por A.
- Determine o segmento BC ⊥ t.
- Construa o segmento CD que passa pelo centro O. Determine P ∈ CD tal que BP // t.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto B é uma lemniscata de Gerono.
- Definição 2: Construa uma circunferência com raio OA e a circunferência tangente de diâmetro OA.
- Determine um ponto B da circunferência menor e construa o diâmetro da circunferência maior CD que passa por B.
- Construa os segmentos CQ // PD tais que CQ ⊥ OA e B ∈ PQ.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma lemniscata de Gerono.
- Definição 3: Construa uma circunferência com diâmetro AB e determine um ponto C ∈ AB.
- Construa os segmentos CD ⊥ AB e CE ⊥ OD.
- Determine os pontos P e Q pertencentes à reta CD tais que CP = CQ = CE.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C determinam uma lemniscata de Gerono.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva kappa, dados o ponto O e a reta s.
- Determine uma reta s e um ponto O.
- Encontre o ponto A ∈ s tal que AO ⊥ s.
- Determine um ponto B ∈ s.
- Construa a reta OB e determine a medida AB.
- Encontre os pontos P ∈ OB e Q ∈ OB tais que OP = OQ = AB.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma curva kappa.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a reta s da curva kappa, dados o ponto P da curva, a reta que contém o ponto A e o ponto O.
- Determine a distância OP e escolha um ponto C ∈ q para construir CD ⊥ q. Esta é a distância do ponto A até o ponto B que define o ponto dado P.
- Construa a reta BD // q, definindo o ponto B no prolongamento de OP.
- Logo, a reta s será perpendicular à reta q e passará no ponto B.
- O simétrico de P em relação ao ponto O pertence à curva kappa.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma curva kappa.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a curva quártica piriforme dados a circunferência, o ponto A e a reta s.
- Determine circunferência de raio OA e a reta secante s.
- Escolha um ponto B pertencente à circunferência.
- Construa o segmento BC ⊥ s tal que C ∈ s.
- Construa a reta AC e encontre o ponto P ∈ AC tal que BP // s.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto B determina uma curva quártica piriforme.
6. Curvas paramétricas
Material da página 68 até a página 79.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a curva torpedo dados a circunferência e o ponto fixo A.
- Construa a circunferência de raio OA.
- Escolha um ponto B pertencente à circunferência e determine a distância AB.
- Construa os segmentos BQ // OA e BP // OA tais que BP = BQ = AB.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma curva torpedo.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a curva serpentina dados a circunferência, o ponto A e a reta s.
- Construa a circunferência de raio OA e a reta secante s.
- Escolha um ponto B pertencente à reta s e construa a reta perpendicular a s que passa por B.
- Encontre o ponto de interseção da reta AB com a circunferência.
- Construa o segmento CP // s tal que BP ⊥ s.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto B determina uma curva serpentina.
📏 📐 Resolução
Vamos encontrar o ponto fixo que determine a curva serpentina, dados a circunferência, o ponto da curva P e a reta s.
- Construa o segmento BP ⊥ s.
- Determine o segmento CP // s, onde C pertence à circunferência.
- Determine o segmento BC: o ponto fixo da curva está na interseção de BC com a circunferência.
- Para encontrar mais um ponto da curva, escolha um ponto B' ∈ s e defina o segmento B'C' que contém o ponto fixo A.
- Construa o segmento C'P' // s tal que B'P' ⊥ s
- O lugar geométrico de P' em relação ao ponto B' determina uma curva serpentina.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva de Talbot com as circunferências tangentes à elipse passando pelo centro da elipse.
- Construa uma elipse que contém um ponto K.
- Escolha um ponto da elipse A, e obtenha o simétrico do foco F2 em relação à reta tangente: AF'2 = AF2.
- A reta tangente t é a mediatriz do segmento F2F'2.
- Encontre o centro da cônica construindo a mediatriz do segmento que define os focos.
- A circunferência tangente à elipse no ponto A tem o centro na mediatriz de OA (porque passa pelo centro da cônica). Como a circunferência fica tangente à elipse no ponto A, o centro pertence à reta AP ⊥ t.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto A determina uma curva de Talbot. Construa uma curva de Talbot que passa pelo foco F1 ao invés de passar pelo centro da cônica.
📏 📐 Resolução
Vamos construir curvas rosáceas com n = 2, 3, 4, 5 e 6.
- Construa uma circunferência de raio OA.
- Escolha um ponto da circunferência A' e defina o ângulo AOA' = α.
- Defina um número n e o ângulo β = n·α = AOA''.
- Construa a Circunf(A'', A''O) e determine o ponto P nesta circunferência tal que P ∈ A'O.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto A' determina uma rosácea com n = 3: uma curva com 4 "pétalas".
- Quando n = 2, a rosácea coincide com uma circunferência com raio OA e centro em A.
- Quando n = 4, a rosácea contém 3 "pétalas".
- Quando n = 5, a rosácea contém 8 "pétalas".
- E quando n = 6, a rosácea contém 5 "pétalas".
📏 📐 Resolução
Vamos construir as ciclóides centradas usando os pontos médios dos segmentos A'B', B'P e PA'.
- Construa uma circunferência de raio OA.
- Construa uma circunferência de raio O'B = OA, onde os pontos O, A, O' e B estão alinhados.
- Defina um número n, o ângulo θ e o ângulo α = n·θ = AOA'.
- Defina o número m e o ângulo β = -m·θ = BO'B'.
- Encontre o ponto médio de A'B'.
- O lugar geométrico de P em relação ao ângulo θ determina uma ciclóide centrada com m = 2 e n = 3.
- Encontre o ponto médio de A'P. O lugar geométrico de Q em relação ao ângulo θ determina outra ciclóide centrada.
- Encontre o ponto médio de B'P. O lugar geométrico de R em relação ao ângulo θ determina outra ciclóide centrada.
- Modifique os valores de m e de n para obter novas curvas. Neste exemplo, temos m = 5 e n = 3.
- Neste exemplo, temos m = 7 e n = 3.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a curva bifolium usando as 3 definições mostradas nesta página.
- Definição 1: Construa uma circunferência de raio OA e a reta tangente t que passa por A.
- Escolha um ponto B da circunferência e construa a Circunf(B, AB). Determine o diâmetro PQ // t.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B definem uma curva bifolium.
- Definição 2: Construa uma elipse que contém um ponto K e a reta AF que passa pelo centro da cônica.
- Construa uma parábola com vértice A e com a diretriz r que passa pelo simétrico de F em relação ao ponto A. Escolha um ponto B da elipse e construa uma reta paralela a r que passa por B.
- Encontre os pontos de interseção das cônicas que pertencem à reta que passa por B: D, C e E.
- Encontre os pontos médios de BD e de CE.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma curva bifolium.
- Definição 3: Construa uma circunferência com raio OA, e escolha um ponto B da circunferência. Defina a reta AB e escolha um ponto C ∈ AB.
- Construa o segmento CD ⊥ AB e encontre a interseção deste segmento com a circunferência.
- Defina o segmento BD e construa PC ⊥ BD.
- Defina o segmento BE e construa QC ⊥ BE.
- Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C determinam uma curva bifolium.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma crosscurve a partir de uma circunferência.
- Construa uma circunferência de raio r.
- Construa os segmentos perpendiculares que passam pelo centro O da circunferência. Escolha um ponto A de um dos segmentos.
- Construa os segmentos AD e AB tangentes à circunferência, onde B e D pertencem ao segmento perpendicular ao segmento que contém A.
- Construa as retas perpendiculares a BD que passam por B e por D.
- Construa a reta paralela a BD e encontre os pontos C e E nesta reta tais que DE ⊥ OD e BC ⊥ OD.
- Os lugares geométricos de E e de C em relação ao ponto A determinam uma crosscurve.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva de Watt a partir das circunferências com raios de medida r e uma distância d.
- Construa as circunferências com raios iguais a r e defina uma distância d.
- Escolha um ponto A da circunferência de centro O e encontre os pontos B e C da circunferência de centro O' tais que AB = AC = d.
- Determine os pontos médios de AB e de AC.
- Os lugares geométricos de D e de E em relação ao ponto A determinam uma curva de Watt.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma trissetriz de Ceva a partir de um ponto fixo O e uma distância d e a semi-reta de origem O.
- Construa a semi-reta de origem O, escolha um ponto B desta semi-reta e defina uma distância d.
- Encontre um ponto A tal que OA = AB = d.
- Encontre o ponto B' da semi-reta tal que BB' = d. Defina o ângulo α = OBA.
- Determine o ângulo β = 3·α = B'BC.
- O lugar geométrico de C em relação ao ponto B determina uma parte da trissetriz de Ceva.
- Encontre o simétrico de C em relação à semi-reta OB. O lugar geométrico de C1 em relação ao ponto B determina outra parte da trissetriz de Ceva.
- Encontre o simétrico de C em relação ao ponto O. O lugar geométrico de C2 em relação ao ponto B determina outra parte da trissetriz de Ceva.
- Finalmente, encontre o simétrico de C1 em relação ao ponto O. O lugar geométrico de C3 em relação ao ponto B determina outra parte da trissetriz de Ceva.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma oval de Hügelschäffer a partir das circunferências α e β.
- Construa as circunferências de centros O e O', com raios de medidas r e s.
- Determine a reta OO' e escolha um ponto A ∈ α.
- Encontre o ponto P tal que PB // OO' e PA ⊥ OO'.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto A define uma oval de Hügelschäffer.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva de Rosillo a partir da circunferência α e de um ponto A.
- Construa a circunferência de centro O e raio r e defina o ponto A exterior à circunferência.
- Determine a reta AO e encontre o ponto B de interseção desta reta com a circunferência.
- Escolha um ponto C ∈ α e determine o segmento AC.
- Construa o segmento PC tal que PB // AC e PC ⊥ AO.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto C define uma curva de Rosillo.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva de Cramer-Lacroix a partir de uma hipérbole e de uma distância d.
- Construa uma hipérbole que passa por um ponto K e defina o segmento de medida d.
- Encontre o centro O da hipérbole.
- Escolha um ponto A da hipérbole e defina o segmento AB = d tal que AB ⊥ OA.
- Construa o segmento OC ⊥ OA tal que AC = d.
- Defina o segmento BO, e encontre o ponto D ∈ OA tal que DO = BO.
- Os lugares geométricos de C e de D em relação ao ponto A definem uma curva de Cramer-Lacroix.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral de Euler a partir de um ponto A sobre o eixo x.
- Considere o sistema de coordenadas com os eixos x e y. Defina um segmento de medida e sobre o eixo x e um ponto A ∈ e. Determine a medida do segmento α, com uma extremidade na origem do sistema de coordenadas e a outra extremidade A.
-
Defina a reta com equação
$\mathsf{ x = { \int_{0}^{\alpha} cos \left( { {\pi} \over {2} } x^2 \right) \,dx } }$ . -
Defina a reta com equação
$\mathsf{ y = { \int_{0}^{\alpha} sen \left( { {\pi} \over {2} } x^2 \right) \,dx } }$ . Encontre o ponto P de interseção das retas construídas. - O lugar geométrico de P em relação ao ponto A define a parte de coordenadas positivas da espiral de Euler.
- Encontre o simétrico do ponto P em relação à origem do sistema de coordenadas. O lugar geométrico de P' em relação ao ponto A define a parte de coordenadas negativas da espiral de Euler.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral curva usando sua equação com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p.
- Defina o ângulo α e construa AOA' = α.
-
Defina a medida m e construa a circunferência com centro O e raio
$\mathsf{ {p} \over {1 + e ^{m \cdot \alpha}} }$ . Encontre a interseção desta circunferência com o segmento OA'. - O lugar geométrico de P em relação ao ângulo α define uma espiral curva de parâmetro p.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral cóclea usando sua equação com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p.
- Defina o ângulo α e construa AOA' = α.
-
Construa a circunferência com centro O e raio
$\mathsf{ {p \cdot sen(\alpha)} \over {\alpha} }$ . Encontre a interseção desta circunferência com o segmento OA'. - O lugar geométrico de P em relação ao ângulo α define uma espiral cóclea de parâmetro p.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma tratriz usando sua equação com coordenadas cartersianas.
- Considere o sistema de coordenadas com os eixos x e y. Defina o parâmetro OA = p e a Circunf(O, OA).
- Defina um ângulo central da circunferência α = AOA'.
-
Construa a reta com equação
$\mathsf{ x = p \cdot \left( cos(\alpha)+ln(tan\left( {\alpha} \over {2} \right) \right) }$ . -
Construa a reta com equação
$\mathsf{ y = p \cdot sen(\alpha) }$ . Encontre a interseção P das retas construídas. - Encontre o ponto B ∈ x tal que PB = p.
- O lugar geométrico de P em relação ao ponto A' define uma tratriz com parâmetro p.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral tratriz usando suas equações com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p.
- Defina um ângulo θ e construa o ângulo AOA' = α = tan(θ) - θ.
- Construa a circunferência com centro O e raio p·cos(θ) e encontre o ponto P de interseção desta circunferência com o segmento OA'.
- O lugar geométrico de P em relação ao ângulo θ define uma espiral tratriz com parâmetro p.
- Construa o segmento perpendicular a OA' que passa por O.
- Encontre o ponto B tal que BO = BP = p/2.
- Prolongue o segmento BP para encontrar o ponto C na reta perpendicular a OA'. Verifique qual é a medida do segmento BC.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva epi usando sua equação com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p.
- Construa uma circunferência com centro O e raio OK.
- Escolha um ponto A' pertencente à circunferência com raio menor e defina um ângulo central AOA' = α.
-
Defina um número n e construa a circunferência com centro O e raio
$\mathsf{ {p} \over {cos(n \cdot \alpha)} }$ . Determine a interseção desta circunferência com o segmento OB. - O lugar geométrico de P em relação ao ponto B define uma curva epi com parâmetro p.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral de Fermat usando sua equação com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p.
- Defina um ângulo α e construa o ângulo central AOA' = α.
-
Construa a circunferência com centro O e raio
$\mathsf{ p \sqrt{\alpha} }$ . Determine a interseção desta circunferência com a reta OA'. - O lugar geométrico de P em relação ao ângulo α define uma espiral de Fermat com parâmetro p.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral Lituus usando sua equação com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p.
- Defina um ângulo α e construa o ângulo central AOA' = α.
-
Construa a circunferência com centro O e raio
$\mathsf{ p \sqrt{ {1} \over {\alpha} } }$ . Determine a interseção desta circunferência com a reta OA'. - O lugar geométrico de P em relação ao ângulo α define uma espiral Lituus com parâmetro p.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma espiral parabólica usando sua equação com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p.
- Defina um ângulo α e construa o ângulo central AOA' = α.
-
Defina o número b e construa as circunferências com centros em O e raios
$\mathsf{ p + \sqrt{2p \cdot \alpha \cdot b} }$ e$\mathsf{ p - \sqrt{2p \cdot \alpha \cdot b} }$ . Determine as interseções destas circunferências com a reta OA'. - Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ângulo α definem uma espiral parabólica com parâmetro p.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva sinusoidal usando sua equação com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p.
- Escolha um ponto A' da circunferência e defina um ângulo α = AOA'.
-
Defina o número n e construa a circunferência com centro O e raio
$\mathsf{ \sqrt[n]{2 \cdot cos(n \cdot \alpha)} }$ . Determine a interseção desta circunferência com a reta OA'. - O lugar geométrico de P em relação ao ponto A' define uma curva sinusoidal com parâmetro p.
📏 📐 Resolução
Vamos construir uma curva folióide usando sua equação com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p.
- Escolha um ponto A' da circunferência e defina um ângulo α = AOA'.
-
Defina os números m e n e construa as circunferências com centros em O e raios com medidas
$\mathsf{ p \cdot(m \cdot cos(n \cdot \alpha) - \sqrt{1 - (m \cdot sen(n \cdot \alpha))^2} }$ e$\mathsf{ p \cdot(m \cdot cos(n \cdot \alpha) + \sqrt{1 - (m \cdot sen(n \cdot \alpha))^2} }$ . Determine as interseções destas circunferências com a reta OA'. - Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto A' definem uma curva folióide com parâmetro p.
📏 📐 Resolução
Vamos construir curvas ornamentais usando suas equações com coordenadas polares.
- Defina o parâmetro OA = p da curva.
- Escolha um ponto A' da circunferência e defina um ângulo α = AOA'.
-
Construa a circunferência com centro em O e raio com medida
$\mathsf{ p \cdot { { \sqrt{|cos(2 \alpha)|} \over {cos(\alpha)^2} } } }$ . Determine a interseção desta circunferência com a reta OA'. - O lugar geométrico de P em relação ao ponto A' define a primeira curva ornamental com parâmetro p.
-
Se utilizarmos o raio da circunferência com medida
$\mathsf{ p \cdot (e^{cos(\alpha)} - 2 \cdot cos(4 \alpha) + (sen( { {\alpha} \over {12} } ))^5) }$ , temos a segunda curva ornamental.
📏 📐 Resolução
Vamos construir a curva do Batman usando funções com coordenadas cartesianas.
-
Defina o sistema de coordenadas x e y com origem O. A primeira função tem a seguinte expressão:
$\mathsf{ f(x) = | { {x} \over {2} } | - { {3 \sqrt{33} - 7} \over {122} } x^{2} - 3 + \sqrt{1 - (||x| - 2| - 1)^{2} } - 0.1 }$ -
Defina a função:
$\mathsf{ s(x) = -3 \sqrt{1 - \left( { {x} \over {7} } \right)^{2} } \cdot \sqrt{ {||x| - 4|} \over {|x| - 4} }}$ . -
Agora defina a função:
$\mathsf{ r(x) = 3\sqrt{1 - \left( { {x} \over {7} } \right)^{2} } \cdot t(x) \cdot (|x| - 3) }$ . -
A próxima função tem a seguinte expressão:
$\mathsf{ q(x) = { {6\sqrt{10}} \over {7} } + (1.5 - 0.5|x|) \cdot t(x) \cdot (|x| - 1) - { {6\sqrt{10}} \over {14} } \sqrt{4 - (|x| - 1)^2 } }$ . -
Agora defina a função:
$\mathsf{ g(x) = -9t(x) \cdot (|x| - 1) \cdot (|x| - 0.75) - 8|x| }$ . -
A próxima função tem a seguinte expressão:
$\mathsf{ h(x) = 3|x| - 0.75t(x) \cdot (|x| - 0.5) \cdot (|x| - 0.75) }$ . -
A última função tem a seguinte expressão:
$\mathsf{ p(x) = 2.25t(x) \cdot (-(x - 0.5) \cdot (x + 0.5)) }$ . - Para definir a região que será pintada de amarelo, usamos as inequações em função da variável y da seguinte maneira: as funções com coordenadas negativas de y definem as regiões do semi-plano superior relativo às funções: y > s(x) ∨ y > f(x).
- As funções com coordenadas positivas de y definem as regiões do semi-plano inferior relativo às funções: y < g(x) ∨ y < p(x) ∨ y < h(x) ∨ y < r(x) ∨ y < q(x).
- Agora basta fazer a união destas regiões usando a seguinte expressão: (y > s(x) ∨ y > f(x)) ∧ (y < g(x) ∨ y < p(x) ∨ y < h(x) ∨ y < r(x) ∨ y < q(x)).
- Construindo um retângulo preto no fundo, temos o símbolo do Batman completo.
Paulo Henrique Siqueira
contato: paulohscwb@gmail.com
O desenvolvimento deste material de construções geométricas faz parte do Grupo de Estudos em Expressão Gráfica (GEEGRAF) da Universidade Federal do Paraná (UFPR)
Desenho Geométrico 2 de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Siqueira, P.H., "Desenho Geométrico 2". Disponível em: , Dezembro de 2022.
- Carvalho, B.A. Desenho Geométrico. Imperial Novo Milênio, 2008.
- Rezende, E.Q.F.; Queiroz, M.L.B. Geometria Euclidiana plana e construções geométricas. Editora da Unicamp, 2008.
- Marmo, C.M.B. Curso de Desenho, vol. 1 a 4. Editora Moderna, 1967.
- Braga, T.B. Desenho Linear Geométrico. Editora Cone, 1997.
- Braga, T.B. Problemas de Desenho Linear Geométrico. Cultura Brasileira, 1962.
- Candido Gomes, M.E. Desenho Geométrico. Editora I.T.E.C., 1950.
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