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cap_pvi/cap_pvi.tex

@@ -588,19 +588,13 @@ \section{Método de Euler melhorado}\index{Método! de Euler melhorado}\label{se
   &\approx& u(t^{(1)}) +\left[\frac{f\left(t^{(1)},u(t^{(1)})\right)+f\left(t^{(2)},\tilde{u}(t^{(2)})\right)}{2}\right]h\\
  % &=& u(t^{(1)}) + \frac{k_1+k_2}{2}h
 \end{eqnarray}
-onde
-\begin{eqnarray}
-k_1&=&f\left(t^{(1)},u(t^{(1)})\right)\\
-\hbox{e}\\
-k_2&=&f\left(t^{(2)},\tilde{u}(t^{(2)})\right)=f\left(t^{(2)}, u(t^{(1)})+hk_1 \right )
-\end{eqnarray}
 
 Portanto, o método recursivo de Euler melhorado assume a seguinte forma:
 \begin{equation}
  \begin{split}
 \tilde{u}^{(k+1)}&=u^{(k)}+h f(t^{(k)},u^{(k)}),\\
-u^{(k+1)}&=u^{(k)}+\frac{h}{2}\left(f(t^{(k)},u^{(k)})+f(t^{(k)},\tilde{u}^{(k)})\right),\\
-u^{(1)}&=a~~ \hbox{(condição inicial)}.
+u^{(k+1)}&=u^{(k)}+\frac{h}{2}\left(f(t^{(k)},u^{(k)})+f(t^{(k)},\tilde{u}^{(k+1)})\right),\\
+u^{(1)}&=a~~ \hbox{\text{(condição inicial)}}.
  \end{split}
 \end{equation}
 
@@ -610,8 +604,8 @@ \section{Método de Euler melhorado}\index{Método! de Euler melhorado}\label{se
  \begin{split}
 k_1&=f(t^{(k)},u^{(k)}),\\
 k_2&=f(t^{(k+1)},u^{(k)}+k_1),\\
-u^{(k+1)}&=u^{(k)}+h\frac{k_1+k_2}{2},\\
-u^{(1)}&=a~~ \hbox{(condição inicial)}.
+u^{(k+1)}&=u^{(k)}+h\dfrac{k_1+k_2}{2},\\
+u^{(1)}&=a~~ \hbox{\text{(condição inicial)}}.
  \end{split}
 \end{equation}
 Aqui $k_1$ e $k_2$ são variáveis auxiliares que representam as inclinações e devem ser calculadas a cada passo. Esta notação é compatível com a notação usada nos métodos de Runge-Kutta, uma família de esquemas iterativos para aproximar problemas de valor inicial, da qual o método de Euler e o método de Euler melhorado são casos particulares. Veremos os métodos de Runge-Kutta na Seção~\ref{sec:sec_RK}.
@@ -634,7 +628,7 @@ \subsection*{Exercícios Resolvidos}
   \tilde{u}&=& u^{(n)} + hk_1\\
   k_2&=&  f(t^{(n+1)},\tilde{u})=-0,5\tilde{u}+2+t^{(n+1)}\\
   u^{(n+1)}&=&u^{(n)} + h( k_1+k_2),~~n=1,2,3,\ldots\\
-  u^{(1)}&=&8 ~~ \hbox{(condição inicial)}.
+  u^{(1)}&=&8 ~~ \hbox{\text{(condição inicial)}}.
 \end{eqnarray}
 
 \ifisscilab