微分方程

方法

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http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F(a%2Bbx)

<math>\int \frac{1}{a + bx} = \frac{1}{b} log(a + bx) + constant </math> 公式 (1)

<math>\frac{dS}{dt} = \frac{M- S}{ M + \lambda t}</math> 公式 (2)

<math> \frac{dS}{M-S} = \frac{dt}{M + \lambda t} </math> 公式 (3)

<math>\int \frac{1}{M-S} dS = \int \frac{1}{M + \lambda t} dt </math> 公式 (4)

由公式（1），可以知道公式（4）两边积分的结果：

<math> - log(M-S) = C_1 + \frac{1}{\lambda} log( M + \lambda t)</math>

<math> log(M-S) = C_2 - \frac{1}{\lambda} log( M + \lambda t)</math>

<math> log(M-S) = log 10^{C_2} - \frac{1}{\lambda} log( M + \lambda t)</math>

<math> log(M-S) = log \frac{10^{C_2}}{( M + \lambda t)^{\frac{1}{\lambda}}}</math>

<math> log(M-S) = log \frac{C}{( M + \lambda t)^{\frac{1}{\lambda}}}</math>

<math> M-S = \frac{C}{( M + \lambda t)^{\frac{1}{\lambda}}}</math>

<math> S = M - C (\frac{1}{M + \lambda t})^{\frac{1}{\lambda}}</math> 公式 （5）

由公式（5）如果还知道S和t的初始状态，比如t = 1时， S = 1， 那么就可以求出来C。

Book

Morris W. Hirsch . Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. 2nd edition. 2004. Academic Press.

庞特里亚金.常微分方程. 俄罗斯数学教材选译.高等教育出版社

衰变与复利

<math>u' = ku </math> 即u在每一个瞬时的变化率与该瞬时的u的数值成比例。

这个微分方程的解是<math>u = u_0 e^{kt}</math>

<math>\frac{u_2}{u_1} = \frac{u_0 e^{kt_2}}{u_0 e^{kt_1}} = e^{k(t_2 - t_1)}</math>

t=np.linspace(0,5,500)
u0 = 5
k = -0.5
u=u0*np.exp(k*t)

fig = plt.figure(figsize=(9, 4),facecolor='white')
ax = fig.add_subplot(1, 2,1)
plt.plot(t,u,'r-')
plt.xlabel('$t$', fontsize = 20)
plt.ylabel('$u$', fontsize = 20)

ax = fig.add_subplot(1, 2,2)
plt.plot(t,u,'r-')
plt.xlabel('$t$', fontsize = 20)
plt.ylabel('$log(u)$', fontsize = 20)
plt.yscale('log')

plt.tight_layout()
plt.show()

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