projet-add.Rmd

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title: Projet d'analyse de données - Baseball
author: Hicham Echaoui, Réda BENMAAFA, Elyass Sayd et Hongxin Guo
date: 17 décembre 2022
bibliography: references.bib
nocite: '@*'
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```{r setup, include = FALSE, echo = FALSE}
knitr::opts_chunk$set(comment = NA, echo = FALSE) # comment : starting output character
# echo : code runs but only output show
# include : code runs but output not in the document
knitr::opts_chunk$set(warning = FALSE, message = FALSE)
knitr::opts_chunk$set(fig.align = "center", out.width = "80%")
```

```{css layout}
h1, title, .author, .date {
  text-align: center;
}
p {
	text-indent: 20px;
}
body{
  font-size: 13pt;
  text-align: justify;
}
```

```{r installation-packages, eval = FALSE}
install.packages("ggplot2")
install.packages("lattice")
# install.packages("Hmisc")
# install.packages("ggThemeAssist")
install.packages("gridExtra")
install.packages("GGally")
# install.packages("carData")
# install.packages("car")
# install.packages("leaps")
```

```{r import-nettoyage-données}
library("ggplot2")
library("lattice")
# library("ggThemeAssist")
library("gridExtra")
library("GGally")
# library("Hmisc")
# library("carData")
# library("car")
# library("leaps")

baseball <- read.csv("Baseball.csv", sep=";", dec=".", encoding="UTF-8")
nb_joueurs <- length(baseball$Name)
is_na = is.na(baseball)
not_na = apply(is_na, 1, sum) == 0
baseball <- baseball[not_na, ]
baseball_no_na <- read.csv("Baseball_no_na.csv", sep=",", dec=".", encoding="UTF-8")
```

<br>

## Introduction

Le jeu de données est constitué de `r nb_joueurs` joueurs de Baseball
regroupant plusieurs indicateurs de performance, salaire, carrière et équipes.

## Problématique et objectif

La variable salaire est de l'année 1987 les autres variables sont
de l'année 1986 ou s'étalent sur la carrière des joueurs. Il est donc 
intéressant de voir l'impact qu'ont eu les 
différentes performances des joueurs en 1986 sur leur salaire en 1987.
Nous essaierons d'établir un lien entre performances et salaire des joueurs
de Baseball de notre dataset.
(Est-ce que les salaires sont mis à jour chaque année ?.. Nous n'avons que ces
données.)

**Dans quelle mesure la performance d'un joueur explique son salaire ?**

***

## I - Analyse descriptive des données

### A - Analyse du jeu de données

Le jeu de données possède 28 variables dont 7 variables qualitatives.
Après importation et retrait des lignes avec des valeurs manquantes, 
on obtient un tableau de `r length(baseball$Name)` joueurs. Ce sont tous
des hitters. 

### B - Analyse univariée

L'histogramme des salaires nous permet de visualiser l'étendue 
et la distribution de cette variable. La distribution ressemblant à une 
distribution de type exponentielle, on regarde le Log du salaire 
pour avoir une distribution symétrique, réduire la variance de l'échantillon et
diminuer la grande différence entre les petits et grands salaires. Surtout, c'est pour avoir plus de chances d'expliquer cette variable à l'aide d'un modèle linéaire en fonction des autres.

```{r histogrammes-salaires}
baseball$Log_Salary_1987  <- log(baseball$Salary_1987)
Log_salary <- baseball$Log_Salary_1987
baseball$Runs_over_longevity <- baseball$Runs_career/baseball$Longevity
baseball$Hits_over_longevity <- baseball$Hits_career/baseball$Longevity


par(mfrow=c(1,2), pin = c(3, 2))
hist(baseball$Salary_1987, xlab = "salaire", main = "")
hist(baseball$Log_Salary_1987, xlab = "log(salaire)", main = "")
summary(baseball$Salary_1987)
```

Ajoutons les quartiles des salaires : les 1ers et 2e quartiles seront les petits salaires, et les 3e et 4e quartiles les grands salaires. 




```{r boxplot-position}
# mean_salary <- aggregate(baseball$Salary_1987, list(baseball$Team_1986), FUN=mean)
# team_ordered <- mean_salary[order(mean_salary$x),]$Group.1
#   
# boxplot_position <- ggplot(data=baseball) + aes(x=factor(Position_1986)[], y=Salary_1987) + scale_x_discrete(guide = guide_axis(n.dodge=4)) + geom_boxplot() + xlab("Positions")
# boxplot_position
```

Puis leur salaire en fonction de leur ancienneté :

```{r boxplot-longevite}
# boxplot_longevite <- ggplot(data=baseball) + aes(x=factor(Longevity), y=Salary_1987) + scale_x_discrete(guide = guide_axis(n.dodge=4)) + geom_boxplot() + xlab("Longevity")
bwplot(Longevity~Salary_1987, data = baseball)
```

On observe que la longévité est discriminante pour le salaire. 
En particulier, il est évident qu'une anova nous donnera une influence cette variable. Même si certains groupes contiennent moins de 30 joueurs
et qu'on a pas de normalité asymptotique.

Nous constatons l'existence de trois phases d'évolution de salaires par rapport aux années expériences professionnelles:

- Phase 1: [1,5] c'est le début de carrières des joueurs de Baseball avec des salaires faibles mais qui augmentent avec le temps. L’émergence de nouvelles stars avec des salaires remarquables.
- Phase 2: [6,13] c'est la phase de la maturité professionnelles où des joueurs se différencient par rapport à la médiane, c'est l'age d'or des joueurs. Ils ont touché des salaires importants.
- Phase 3: [14,24] c'est la fin des carrières, nous observons que des joueurs démissionnent à partir de l'année 18, les salaires en parallèles diminuent. Des cas de figures exceptionnels restent toujours sur le marché et réussissent à garder leur salaires intéressants.

La longévité est bien discriminante sur le salaire.

<br>

### C - Analyse bivariée

On va regarder deux tableaux de corrélations : les corrélations entre les 
variables qui s'étendent sur la carrière, et celles qui s'étendent sur les années.
On va chercher des liens dans les données afin de mieux expliquer le salaire.

```{r corrélations, results = 'hide', out.width = "80%"}
baseball_numbers <- subset(baseball, select = c("Bat_times_86", "Hits_86", "Home_runs_1986", "Runs_1986", "Runs_batted_1986", "Walks_1986", "Longevity", "Bat_times_career", "Hits_career", "Home_runs_career", "Runs_career", "Runs_batted_career", "Walks_career", "Put_outs_1986", "Assists_1986", "Errors_1986", "Salary_1987", "Log_Salary_1987", "Runs_over_longevity", "Hits_over_longevity"))
selected1 <- c(18, 17, 7, 9, 11, 19)
ggpairs1 <- ggpairs(baseball_numbers[, selected1])
ggpairs1
```

Deux variables ont été ajoutées au dataframe : Log_Salary et Runs_over_longevity. On remarque plusieurs tendances, en particulier des corrélation évidentes entre le 
le nombre de Hits_career et le nombre de Runs_career.


```{r corrélations-années, eval=FALSE, out.width = "80%"}
selected2 <- c(18, 17, 2, 3, 5, 19)
ggpairs2 <- ggpairs(baseball_numbers[, selected2])
ggpairs2
```

Pour ce qui est du salaire, le tableau suggère un lien linéaire entre le 
Log_salaire et Runs_over_longevity. Le nuage de points semble plus centré autour
d'une éventuelle droite que celui du salaire, qui serait plus utile pour de la 
classification.

\pagebreak


## II - Régressions linéaires

### A - Régression simple

Comme l'a suggéré le tableau des corrélations, on regarde le lien linéaire entre
Log_Salary_1987 et Runs_career/Longevity = Runs_over_longevity

```{r regression-simple,out.width="70%"}

reg.simple <- lm(Log_Salary_1987 ~ Runs_over_longevity, data = baseball)
plot(Log_Salary_1987 ~ Runs_over_longevity, data = baseball)
abline(reg.simple)
summary(reg.simple)
```

Les statistiques de tests sont claires, on rejette l'hypothèse que les coefficients
de régression sont nuls.

```{r plot-res.simple}
par(mfrow = c(2, 2))
plot(reg.simple)
```
On a bien la normalité des résidus d'après le QQ-plot. Pour les distances de Cook,
certaines ont l'air élevées, mais elles ne dépassent pas le contour en poitillés qui n'est pas visible. Il y a donc des valeurs aberrantes dans cette régression mais elles ne sont pas des points leviers.

```{r old-code, eval=FALSE}
# reg.simple <- reg.multiple.runs
df.residus <- data.frame(residu = rstudent(reg.simple))
n <- length(baseball$Name)

ID_suspect <- (1:n)[abs(df.residus$residu) > 2]
df.residus$ID <- rep("", n)
df.residus[ID_suspect,]$ID <- ID_suspect
df.residus$Groupes <- rep("Valeur non aberrante", n)
df.residus[ID_suspect, ]$Groupes <- "Valeur aberrante"

plot_rstudent <- ggplot(data = df.residus) + aes(x = 1:n, y = residu, color=Groupes) + geom_point()
plot_rstudent <- plot_rstudent + geom_hline(yintercept = -2, col = "blue", linetype = 2)
plot_rstudent <- plot_rstudent + geom_hline(yintercept = 2, col = "blue", linetype = 2)
plot_rstudent <- plot_rstudent + geom_text(aes(label=ID),hjust = 0, vjust = 0)
plot_rstudent <- plot_rstudent + xlab('Index') + ylab('Résidus studentisés') + labs(title="Analyse des valeurs aberrantes") + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

nb_aberrant2 <- sum(abs(df.residus$residu) > 2)

# Points leviers
p <- reg.simple$rank
seuil1 <- 2*p/n
seuil2 <- 3*p/n
df.H <- data.frame(H = hatvalues(reg.simple))
ID_levier <- (1:n)[df.H$H > seuil2]
df.H$ID <- rep("", n)
df.H[ID_levier, ]$ID <- ID_levier
df.H$Groupes <- rep("Point non levier", n)
df.H[ID_levier, ]$Groupes <- "Point levier"

plot_levier <- ggplot(data = df.H) + aes(x=1:n, y = H, color = Groupes) + geom_point()
plot_levier <- plot_levier + geom_hline(yintercept = seuil1, col = "blue", linetype = 2)
plot_levier <- plot_levier + geom_hline(yintercept = seuil2, col = "blue", linetype = 3)
plot_levier <- plot_levier + geom_text(aes(label=ID), hjust=0, vjust=0)
plot_levier <- plot_levier + xlab('Index') + ylab('hii') + labs(title="Analyse des points levier") + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))


nb_leviers2 <- sum(df.H$H>seuil2)

df.cook <- data.frame(cook = cooks.distance(reg.simple))
s1 <- qf(0.1, p, n-p)
s2 <- qf(0.5, p, n-p)
plot_cook <- ggplot(data = df.cook) + aes(x=1:n, y = cook) + geom_point()
plot_cook <- plot_cook + geom_hline(yintercept = s1, col = "blue", linetype = 3)
plot_cook <- plot_cook + geom_hline(yintercept = s2, col = "blue", linetype = 2)
plot_cook <- plot_cook + xlab('Index') + ylab('Distance de Cook') + labs(title="Analyse des distances de Cook") + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))


l<- which.max(cooks.distance(reg.simple))

grid.arrange(plot_rstudent, plot_levier, widths = c(1/2, 1/2))
plot_cook
```




<br>

### B - Régressions multiples

On va essayer d'expliquer le salaire à partir des variables Runs_career et Hits_careers. Mais les joueurs ne sont pas au même stade de leur carrière.
Alors on les divise par Longevity pour avoir des performances moyennes. 


```{r regression-multiple-hits-over-longevity, out.width="50%"}

baseball.scaled <- as.data.frame(scale(baseball_numbers))
reg.multiple.longevity <- lm(Log_Salary_1987 ~ Runs_over_longevity + Hits_over_longevity, data = baseball)
plot(Log_Salary_1987 ~ Hits_over_longevity, data = baseball)
abline(reg.multiple.longevity)
summary(reg.multiple.longevity)
```

De même, ici on peut rejeter les hypothèses sur les coefficients de régression nuls.

```{r plot-reg-multiple-longevity}
par(mfrow = c(2, 2))
plot(reg.multiple.longevity)
```

Les résidus standarisés ne sont pas normaux. Pour les valeurs aberrantes, on observe
bien un point levier qui est `r baseball$Name[250]` avec un salaire de 
`r baseball$Salary_1987[250]` qui as un 


```{r hist-erreurs-standards, out.width="70%"}
par(mfrow = c(1, 2))
stdz <- (reg.multiple.longevity$residuals - mean(reg.multiple.longevity$residuals))/sd(reg.multiple.longevity$residuals)
hist(stdz, main = "Erreurs standardisées")
hist(reg.multiple.longevity$residuals, main = "Résidus")
```

Les distributions des résidus standardisés montre des queues longues à gauche signe d'une distribution asymétrique négative ce qui confirme la non normalité. 

On refait la même régression, sauf qu'on prend uniquement les variables Hits_86
et Runs_1986.

```{r regression-multiple-2, out.width="70%"}
Hits <- baseball$Hits_86
Runs <- baseball$Runs_1986
Home_runs <- baseball$Home_runs_1986
reg.multiple.86 <- lm(Log_salary ~ Home_runs + Hits)
summary(reg.multiple.86)
par(mfrow = c(2, 2))
plot(reg.multiple.86)
par(mfrow = c(1,1))
plot(Log_salary ~  Hits)
abline(reg.multiple.86)
```

Par rapport à la première régression multiple, on voit que les Hits de l'année
dernière expliquent mieux le salaire que les Hits moyens sur la carrière.
Mais le $R^2$, c'est à dire la variance résiduelle, est trop élevé pour garder
ce modèle. On ne retiens aucun modèle linéaire pour expliquer les données.


```{r acf, out.width="70%"}
acf(reg.multiple.86$residuals, main="ACF")
```

A partir du corrélogramme nous confirmons l'absence d'auto-corrélation des résidus. 
Ce qui signifie que notre modèle linéaire est plus adapté à la forme du nuage de points, c'est à dire l'existence d'une tendance linéaire.

\pagebreak

## III - Etude groupée

### A - Anova

On a déjà vu dans la partie I que la longévité était discriminante pour le salaire.
On le vérifie avec une anova, même si l'hypothèse de normalité n'est pas vérifiée.
Certaines valeurs de longévités de contiennent que quelques joueurs.

```{r anova, echo=TRUE}
aov.res <- aov(Salary_1987 ~ Longevity, data = baseball)
summary(aov.res)
```

On regroupe alors les salaires en 4 groupes des 4 quantiles de la distribution afin
de réaliser une nouvelle anova.

Pour la suite nous avons vérifié la condition de normalité des 4 groupes par le biais du faite que les observations du chaque groupe sont supérieurs à 30.  

```{r hist-group}
baseball_no_na$Hits_group <- rep(1, length(baseball_no_na$Name))
summary_hits <- summary(Hits)
q1 <- summary_hits[2]
q2 <- summary_hits[4]
q3 <- summary_hits[5]
baseball_no_na$Hits_group <- baseball_no_na$Hits_group + as.numeric(baseball_no_na$Hits_86 > q3)
baseball_no_na$Hits_group <- baseball_no_na$Hits_group + as.numeric(baseball_no_na$Hits_86 > q2)
baseball_no_na$Hits_group <- baseball_no_na$Hits_group + as.numeric(baseball_no_na$Hits_86 > q1)
```



```{r anova-hist, out.width="100%"}

aov.res <- aov(Bat_times_86 ~ Salary_Group, data = baseball_no_na)
summary(aov.res)
fig1 <- bwplot(Hits_group ~ Salary_1987, data = baseball_no_na, aspect = 1)
fig2 <- bwplot(Salary_Group ~ Hits_86, data = baseball_no_na, aspect = 1)
fig3 <- bwplot(Salary_Group~Errors_1986, data = baseball_no_na, aspect = 1)
grid.arrange(fig1, fig2, fig3, ncol = 3)

```

On distingue clairement une tendance entre les 2 premiers groupes de salaires et
les deux derniers. C'est à dire par rapport à la médiane des salaires.
Être payé au dessus de la médiane est nécessaire pour être un meilleur hitteur, 
modulo quelques exceptions.
La réciproque n'est pas vraie. En faisant 4 groupes de Hitteurs, être au dessus
de la médiane des hits en 86 n'est pas nécessaire un salaire élevé : il y a des
mauvais hitteurs dans le premier quartile qui sont bien payés qui se démarquent.

```{r anova-calculs}

aov.res_hit <- aov(Hits_86 ~ Salary_Group, data = baseball_no_na)
aov.res_hit_lower <- aov(Hits_86~Salary_Group, data = subset(baseball_no_na, Salary_Group == 1 | Salary_Group == 2))
aov.res_runs <- aov(Runs_1986~Salary_Group, data = subset(baseball_no_na, Salary_Group == 1 | Salary_Group == 2))
summary(aov.res_hit)
```

Il y'a une difference signifcative de moyenne entre les groupes de salaires dans la performance de hits, de ce fait nous rejettons l'hypothèse nulle de moyennes égales.

Nous remarquons grapiquement (box plot) que pour les 2 groupes avec des salaires faibles ne présentes pas une grandes diffrence en termes de caractéristiques statistiques notamment la moyenne.

```{r anova-res-hit-lower}
summary(aov.res_hit_lower)
```

L'anova nous permets de confirmer notre remarque précédente.

```{r anova-res-runs}
summary(aov.res_runs)
```

Pour les Home_Runs, la p-value est supérieur à 5%, de ce fait on conclut le 
nombre de Home_Runs n'a pas un grand impact sur les salaires.

### B - Tests de student

Nous utilisons le test de student comme alternative de l'Anova sur les 2 groupes avec des salaires élevés. 

```{r test-student}
t.test(Hits_86~Salary_Group, data = subset(baseball_no_na, Salary_Group == 1 | Salary_Group == 2))
```

Ceci nous permets de confirmer le fait qu'il y a une différence significative entre les moyennes de Hits_86 des deux groupes.

<br>


## Conclusion

On ne trouve pas de lien linéaire évident entre nos variables quantitatives.
Même si un modèle s'adapte toujours aux données, il n'est pas forcément vrai.
Tentez de correspondre parfaitement aux données revient à faire de l'overfitting, 
or notre jeu de données n'est probablement pas significatif pour y voir un intérêt.

Néanmoins, les variables sont bien corrélées entres elles (non linéairement). 
En effet, nous avons vu des tendances positives ou négatives entre variables.

Pour l'Anova, nous avons vu un certain lien entre groupes de Salaires et groupes
de Hits. Être payé au dessus de la médiane est nécessaire pour être un
meilleur hitteur. Mais être au dessus de la médiane des hits en 86 n’est pas 
nécessaire un salaire élevé : il y a des mauvais hitteurs
dans le premier quartile qui sont bien payés.

Peut-être également que les salaires ne sont pas mis à jour chaque année. 
Le salaire de l'année 86 n'impacte pas forcément celui de l'année 87.

<br>

***