Сгенерировать многомерные данные

[x1o]

• Данная формула описывает модель линейной регрессии в скалярном виде: $$f(\mathbf{x}_i\mid\boldsymbol{\beta})=\beta_{0}+\sum_{j=1}^{d}\beta_{j}x_{ij}.$$ Давайте напишем то же, но используя скалярное произведение, чтобы считался сразу вектор $\mathbf{y}$. Соглашение такое: в матрице данных $\mathbf{X}$ по строкам стоят $\mathbf{x}_i^{\intercal}$; соответственно, номер столбца соответствует номеру признака.
• Реализуем функцию make_X, генерирующую $\mathbf{X}$.
• Реализуем функцию f, реализующую модель линейной регрессии.
• Сгенерируем данные большей размерности: пусть $n = 1000$, $d = 5$, $x_{\min} = -5, x_{\max} = 5$, $\beta_{\min} = -5$, $\beta_{\max} = 5$. Выберем случайные значения для вектора параметров $\boldsymbol{\beta}$, посчитаем наблюдения и зашумим.
• Исследуем распределения полученных данных. Для визуализации хорошо подходит тип графиков "pairs plot". Он позволяет смотреть, как соотносятся признаки друг с другом и с наблюдениями. Рекомендация: GGally::ggpairs.

Как можно было заметить по pairs, $\mathbf{y}$ распределен вовсе не равномерно. А как? Фактически, результирующее распределение есть сумма равномерно распределенных случайных величин, однако их сумма не есть равномерное распределение. Вывести результат сложно даже со знанием теории вероятностей. Для ознакомления можно почитать вот эту статью https://arxiv.org/pdf/math/0411298v1.pdf

См. также #3.