Typos + ex. 3.53

naturals-permutations.tex

@@ -57,7 +57,7 @@ \section{Перестановки}
 
 Помимо представления перестановки в виде строки, их удобно рассматривать в виде \term{циклов}. Рассмотрим опять перестановку $\rho = 45231$. Мы видим, что при этой перестановке 1 переходит на позицию 5, 5 переходит на позицию 2, 2 на позицию 3, 3 на 4, которая переходит опять на позицию 1. Эти переходы записываются строкой чисел в круглых скобках: $\rho = (15234)$. Здесь за каждым числом $x$ следует число $\rho(x)$. Последнее значение переходит на позицию, обозначенную первым числом, что замыкает цикл.
 
-Рассмотрим теперь перестановку $\pi = (35124)$. Здесь $\pi(1) = 3$ и $\pi(3) = 1$, что даёт цикл $(13)$. Сюда, однако, вошли не все элементы множества. Рассмотрим оставшиеся элементы: $\pi(2) = 4$, $\pi(4) = 5$, $\pi(5) = 2$, что даёт цикл $(245)$. Итого перестановка представляется в виде произведения двух циклов: $\pi = (13)(245)$.
+Рассмотрим теперь перестановку $\pi = 35124$. Здесь $\pi(1) = 3$ и $\pi(3) = 1$, что даёт цикл $(13)$. Сюда, однако, вошли не все элементы множества. Рассмотрим оставшиеся элементы: $\pi(2) = 4$, $\pi(4) = 5$, $\pi(5) = 2$, что даёт цикл $(245)$. Итого перестановка представляется в виде произведения двух циклов: $\pi = (13)(245)$.
 
 Количество элементов в цикле мы будем называть его длиной. Если какой-то элемент $x$ отображается сам в себя (то есть $\pi(x) = x$), то мы будем говорить, что перестановка имеет цикл длины 1 $(x)$.
 
@@ -90,7 +90,7 @@ \section{Перестановки}
 перестановок типа $(c_1, c_2, \ldots, c_n)$
 \end{thm}
 \begin{proof}
-В качестве рабочего примера будем считать, что мы ищем все перестановки типа $(1, 2, 2, 3, 0, 0, 0, 0)$ множества $[8]$.
+В качестве рабочего примера будем считать, что мы ищем все перестановки типа $(1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0)$ множества $[8]$.
 
 Вначале выпишем произвольную строку чисел, являющуюся перестановкой $[n]$ (например, 18356724), способов сделать это $n!$. Расставим теперь в этой записи круглые скобки по очереди: вначале $c_1$ скобок с одним элементом внутри, затем $c_2$ скобок с двумя элементами внутри, потом $c_3$ с тремя элементами внутри и так далее. Для нашего примера получится запись
 $$(1)(83)(56)(724)$$
@@ -143,7 +143,7 @@ \section{Перестановки}
 \end{exercise}
 
 \begin{exercise}
-Докажите, что произведение чётных перестановок даёт чётную перестановку, произведение нечётных~--- нечётную, а произведениче чётной и нечётной перестановки~--- чётную перестановку.
+Докажите, что произведение чётных перестановок даёт чётную перестановку, произведение нечётных~--- тоже чётную, а произведениче чётной и нечётной перестановки~--- нечётную перестановку.
 \end{exercise}
 
 Тривиальная перестановка, которая оставляет все элементы на месте, чётная. Если умножить её на транспозицию~--- получаем нечётную перестановку. Умножная её на транспозицию ещё раз~--- опять получаем чётную перестановку. Поскольку любая перестановка однозначно либо чётная либо нечётная, то, рассуждая по индукции, приходим к ожидаемому: любая перестановка всегда представлена в виде транспозиций либо чётным их числом, либо нечётным.
@@ -154,6 +154,10 @@ \section{Перестановки}
 
 Пока мы рассмотрели понятие чётности перестановок лишь в качестве упражнения, но довольно скоро вы увидите, что оно играет весьма важную теоретическую роль.
 
+\begin{exercise}
+Докажите, что любая чётная перестановка может быть представлена в виде произведения циклов длины 3.
+\end{exercise}
+
 \begin{definition}
 \term{Беззнаковым числом Стирлинга первого рода} $\fstirling{n}{k}$ называется количество перестановок множества $[n]$, содержащих ровно $k$ циклов.
 \end{definition}