07-DSstatisticalinference.Rmd

# 统计推断

## 导论

- 定义 用需要考虑不确定度的含噪音的统计学数据推断事实
- 工具 随机化 随机采样 采样模型 假设检验 置信区间 概率模型 实验设计 bootstraping 排列交换随机
- 类型
  - 频率派 使用概率的频率解释来控制错误率
  - 贝叶斯派 给定概率与数据概率哪个靠谱

## 概率

- 术语
  - 样本空间 Ω
  - 事件 样本空间子集 E
  - 单独事件 ω
  - 空事件 ∅
  - $ω∈E$ ω发生E发生
  - $ω∉E$ ω发生E不发生
  - $E⊂F$ E发生则F发生
  - $E∩F$ EF一起发生
  - $E∪F$ EF中至少一个发生
  - $E∩F=∅$ EF互斥
  - $E^c$ 或 $\bar E$ E不发生
- 概率
  1. 对事件 $E\subset \Omega$, $0 \leq P(E) \leq 1$
  2. $P(\Omega) = 1$
  3. 如果 $E_1$ 与 $E_2$ 互斥 有$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2)$.
  4. 概率无限可加性 $P(\cup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)$
  5. $P(\emptyset) = 0$
  6. $P(E) = 1 - P(E^c)$
  7. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
  8. 如果 $A \subset B$ 则 $P(A) \leq P(B)$
  9. $P\left(A \cup B\right) = 1 - P(A^c \cap B^c)$
  10. $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$
  11. $P(\cup_{i=1}^n E_i) \leq \sum_{i=1}^n P(E_i)$
  12. $P(\cup_{i=1}^n E_i) \geq \max_i P(E_i)$
- 随机变量
  - 实验的数值输出
  - 离散随机变量取可数的概率 $P(X = k)$
  - 连续随机变量取连续区间子集概率 $P(X \in A)$
- 概率质量函数（PMF）<- 离散随机变量
  1. 对于所有 $x$ $p(x) \geq 0$ 
  2. $\sum_{x} p(x) = 1$
- 概率密度函数（PDF）<- 连续随机变量
  1. 对于所有 $x$ $f(x) \geq 0$
  2. $f(x)$ 下面积为1
- 累计概率函数（CDF）
  - 定义 $F(x) = P(X \leq x)$
  - 生存函数 $S(x) = P(X > x)$ $S(x) = 1 - F(x)$
  - 对于连续函数 CDF是PDF的积分
- 分位数 $\alpha^{th}$
  - $F(x_\alpha) = \alpha$
  - $50^{th}$ 分位数是中位数

## 期望

- 离散随机变量均值 $E[X] = \sum_x xp(x)$
- $E[X]$ 代表质量与位置的中心 $\{x, p(x)\}$
- 连续随机变量均值 $E[X] = \mbox{the area under the function}~~~ t f(t)$
- 期望值是线性可加的
- 如果 $a$ 与 $b$ 不随机 $X$ 与 $Y$ 是随机变量
  - $E[aX + b] = a E[X] + b$
  - $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$
- 样本均值是总体均值$\mu$的无偏估计的证明
$$
  \begin{eqnarray*}
    E\left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right]
    & = & \frac{1}{n} E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] \\
    & = & \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left[X_i\right] \\
    & = & \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu =  \mu.
  \end{eqnarray*}
$$

## 方差

- 描述随机变量的离散情况
- 如果 $X$ 是均值 $\mu$ 的随机变量 其方差为$Var(X) = E[(X - \mu)^2]$
- 离开均值距离期望的平方
- 计算公式 $Var(X) = E[X^2] - E[X]^2$
- 如果 $a$ 是常数有 $Var(aX) = a^2 Var(X)$
- 方差的开方是标准差 单位与 $X$ 一致
- 车比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）边界极为保守
$$
P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
$$

## 独立性

- 独立事件
  - 两事件 $A$ 与 $B$ 在 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 下独立
  - 在 $P([X \in A] \cap [Y \in B]) = P(X\in A)P(Y\in B)$ 下两随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立
  - 对于一组随机独立变量$X_1, X_2, \ldots, X_n$有 $f(x_1,\ldots, x_n) = \prod_{i=1}^n f_i(x_i)$
  - iid随机变量（independent and identically distributed） 来自同一分布相互独立的随机变量
- 协方差（covariance）
  - $Cov(X, Y) = E[(X - \mu_x)(Y - \mu_y)] = E[X Y] - E[X]E[Y]$
  - $Cov(X, Y) = Cov(Y, X)$
  - $Cov(X, Y)$ 可以有正负
  - $|Cov(X, Y)| \leq \sqrt{Var(X) Var(y)}$
- 相关性（correlation）
  - $X$ 与 $Y$ 的相关性 $Cor(X, Y) = Cov(X, Y) / \sqrt{Var(X) Var(y)}$
  - $-1 \leq Cor(X, Y) \leq 1$
  - 只有对常数 $a$ 与 $b$满足 $X = a + bY$ 时$Cor(X, Y) = \pm 1$ 
  - $Cor(X, Y)$ 无单位
  - $Cor(X, Y) = 0$ 时 $X$ 与 $Y$ 不相关
  - $Cor(X,Y)$ 越接近1 $X$ 与 $Y$ 越正相关 反之接近-1 负相关
  - $\{X_i\}_{i=1}^n$ 是一组随机变量 当 $\{X_i\}$ 不相关时 $Var\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i + b\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2 Var(X_i)$
  - 如果一组随机变量$\{X_i\}$不相关 方差的和等于和的方差 非标准差
- 样本均值方差的推导
$$
\begin{eqnarray*}
    Var(\bar X) & = & Var \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right)\\ \\
    & = & \frac{1}{n^2} Var\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)\\ \\
    & = & \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n Var(X_i) \\ \\
    & = & \frac{1}{n^2} \times n\sigma^2 \\ \\
    & = & \frac{\sigma^2}{n}
  \end{eqnarray*}
$$
  - 当 $X_i$ 独立且方差为 $Var(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n}$
  - $\sigma/\sqrt{n}$ 为样本均值的标准误
  - 样本均值的标准误就是样本均值分布的标准差
  - $\sigma$ 是一次观察分布的标准差
  - 样本均值要比一次观察变化小 因此除以$\sqrt{n}$
- 样本方差
  - $S^2 =   \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2}{n-1}$
  - 总体方差 $\sigma^2$的估计
  - 计算 $\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n \bar X^2$
  - 均值偏差平方的均值
  - 样本方差是总体方差的无偏估计
$$
  \begin{eqnarray*}
    E\left[\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2\right] & = & \sum_{i=1}^n E\left[X_i^2\right] - n E\left[\bar X^2\right] \\ \\
    & = & \sum_{i=1}^n \left\{Var(X_i) + \mu^2\right\} - n \left\{Var(\bar X) + \mu^2\right\} \\ \\
    & = & \sum_{i=1}^n \left\{\sigma^2 + \mu^2\right\} - n \left\{\sigma^2 / n + \mu^2\right\} \\ \\
    & = & n \sigma^2 + n \mu ^ 2 - \sigma^2 - n \mu^2 \\ \\
    & = & (n - 1) \sigma^2
  \end{eqnarray*}
$$
- 澄清
  - 假定 $X_i$ 是 iid 均值 $\mu$ 方差 $\sigma^2$
  - $S^2$ 估计 $\sigma^2$
  - $S^2$ 的计算涉及除 $n-1$
  - $S / \sqrt{n}$ 估计 $\sigma / \sqrt{n}$ 是均值的标准误

## 条件概率

- $B$ 为一个事件 有 $P(B) > 0$
- $B$ 出现条件下 $A$ 的条件概率为 $P(A ~|~ B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
- 如果 $A$ 与 $B$ 独立 有 $P(A ~|~ B) = \frac{P(A) P(B)}{P(B)} = P(A)$

## 贝叶斯定理

$$
P(B ~|~ A) = \frac{P(A ~|~ B) P(B)}{P(A ~|~ B) P(B) + P(A ~|~ B^c)P(B^c)}.
$$

- 2*2 列联表 - 诊断测试

```{r echo=F}
knitr::include_graphics("http://yufree.github.io/blogcn/figure/error.png")
```

## 常见分布

- 贝努力分布
  - 二元输出变量
  - 数值为0或1 概率$p$ 与 $1-p$
  - $X$的PMF是$P(X = x) =  p^x (1 - p)^{1 - x}$
  - 均值 $p$ 方差 $p(1 - p)$
  - 如果有iid的贝努力观察$x_1,\ldots, x_n$ 似然函数 $\prod_{i=1}^n p^{x_i} (1 - p)^{1 - x_i} = p^{\sum x_i} (1 - p)^{n - \sum x_i}$
  - 似然函数依赖$x_i$的和 $\sum_i x_i / n$ 包含了所有 $p$ 的可能性
  - 最大化似然函数可以得到 $p$ 的估计

- 二项分布
  - PMF
$$
P(X = x) = 
\left(
\begin{array}{c}
  n \\ x
\end{array}
\right)
p^x(1 - p)^{n-x}
$$
对于 $x=0,\ldots,n$

- 正态分布
  - PDF $(2\pi \sigma^2)^{-1/2}e^{-(x - \mu)^2/2\sigma^2}$
  - $X$ 为均值 $E[X] = \mu$ 方差 $Var(X) = \sigma^2$ 的iid随机变量
  - 写作$X\sim \mbox{N}(\mu, \sigma^2)$
  - 均值 $\mu = 0$ 方差 $\sigma = 1$ 是标准正态分布
  - 标准正态函数写作 $\phi$
  - 标准正态随机变量用 $Z$ 表示
  - 如果 $X \sim \mbox{N}(\mu,\sigma^2)$ 并且 $Z = \frac{X -\mu}{\sigma}$ 是标准正态函数
  - 如果 $Z$ 是标准正态函数 $X = \mu + \sigma Z \sim \mbox{N}(\mu, \sigma^2)$
  - 非标准正态密度函数 $\phi\{(x - \mu) / \sigma\}/\sigma$
  - 正态似然函数对方差的估计是有偏的
  - 正态的和是正态 样本均值正态 
  - 正态的平方是卡方
- 泊松分布
  - PMF $P(X = x; \lambda) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$
  - 均值方差均为 $\lambda$
  - 可看做很短时间间隔中发生事件的概率 模拟速率 其中$\lambda * h$小于1 则各时间段独立
  - $X \sim Poisson(\lambda t)$ $\lambda = E[X / t]$是速率 $t$ 是总时间
  - $n$ 大 $p$ 小是对二项分布的模拟
  - $X \sim \mbox{Binomial}(n, p)$, $\lambda = n p$

## 渐进

- 样本接近无穷大时统计量的行为
- 频率派的基石
- 大数理论（LLN） 样本数量越多 均值接近期望
- 中心极限理论 (CLT) iid 变量均值的分布标准化后随样本数增加接近标准正态分布
$$
\frac{\bar X_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = 
    \frac{\mbox{Estimate} - \mbox{Mean of estimate}}{\mbox{Std. Err. of estimate}}
$$
- 可根据变量分布来 知道均值 方差 计算出样本均值标准误 就可以根据CLT计算逼近的统计量
- 置信区间
  - 根据CLT随机区间$\bar X_n \pm z_{1-\alpha/2}\sigma / \sqrt{n}$ 包括 $\mu$ 的概率逼近于 100$(1-\alpha)$% $z_{1-\alpha/2}$为标准正态分布$1-\alpha/2$的分位数 $100(1 - \alpha)$% 为置信区间 $\sigma$ 可用样本估计 $s$ 来近似
  - 估计是基于分布假设的 如果分布有解析解 则置信区间可以更准确的得到估计
  - 先生成不依赖参数的统计量
  - 根据统计量的概率分布计算参数的边界

## T 置信区间

- 卡方分布
  - 假定 $S^2$ 是来自$n$个 iid $N(\mu,\sigma^2)$ 数据样本的方差 有$\frac{(n - 1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$ 符合自由度$n-1$的卡方分布
  - 不对称分布
  - 均值是自由度 方差是两倍的自由度
  - 方差的置信区间
$$
\begin{eqnarray*}
  1 - \alpha & = & P \left( \chi^2_{n-1, \alpha/2} \leq  \frac{(n - 1) S^2}{\sigma^2} \leq  \chi^2_{n-1,1 - \alpha/2} \right) \\ \\
& = &  P\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}} \leq \sigma^2 \leq 
\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}} \right) \\
\end{eqnarray*}
$$
  - $\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}}\right]$ 是 $\sigma^2$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 置信区间
  - 依赖正态性假设 开方后得到 $\sigma$ 的置信区间
- Gosset的 t 分布
  - 比正态分布尾厚
  - 考虑自由度 自由度大时接近正态分布
  - $\frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi^2}{df}}}$
  - 假定 $(X_1,\ldots,X_n)$ 是 iid $N(\mu,\sigma^2)$ 有 $\frac{\bar X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 是标准正态分布 $\sqrt{\frac{(n - 1) S^2}{\sigma^2 (n - 1)}} = S / \sigma$ 是卡方除以自由度的开方
  - 有
$$
\frac{\frac{\bar X - \mu}{\sigma /\sqrt{n}}}{S/\sigma}  
= \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}}
$$
  服从自由度$n-1$的$t$分布
  - 均值的置信区间
$$
  \begin{eqnarray*}
&   & 1 - \alpha \\
& = & P\left(-t_{n-1,1-\alpha/2} \leq \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}} \leq t_{n-1,1-\alpha/2}\right) \\ \\
& = & P\left(\bar X - t_{n-1,1-\alpha/2} S / \sqrt{n} \leq \mu  
      \leq \bar X + t_{n-1,1-\alpha/2}S /\sqrt{n}\right)
  \end{eqnarray*}
$$
  $t_{df,\alpha}$ 是t分布的 $\alpha^{th}$ 分位数 自由度 $df$
  - t检验不适合有偏分布 置信区间中心也不在均值上
  
## 似然函数

- 一组数据的似然函数是数据固定下参数的联合概率密度函数
- 似然函数可用来估计参数 是参数的函数
- 似然函数比估计两个可能参数值的可能性
- 给定模型与数据 似然函数包含所有参数可能性
- 样本独立时 参数的似然函数是各独立样本似然函数的乘积
- 参数使似然函数概率取最大值时真实的可能性更大 更支持这组数据 这个估计是最大似然估计（MLE）

## 贝叶斯推断

- $\mbox{Posterior} \propto \mbox{Likelihood} \times \mbox{Prior}$
- 先验beta分布
  - 01之间
  - 依赖 $\alpha$ $\beta$ 的概率密度函数
$$
\frac{\Gamma(\alpha +  \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}
 p ^ {\alpha - 1} (1 - p) ^ {\beta - 1} ~~~~\mbox{for} ~~ 0 \leq p \leq 1
$$
  - 均值 $\alpha / (\alpha + \beta)$
  - 方差 $\frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}$
  - $\alpha = \beta = 1$ 为均匀分布
- 后验beta分布
  - 参数$\tilde \alpha = x + \alpha$ $\tilde \beta = n - x + \beta$ 的beta分布
$$
\begin{align}
\mbox{Posterior} &\propto  p^x(1 - p)^{n-x} \times p^{\alpha -1} (1 - p)^{\beta - 1} \\
                 &  =      p^{x + \alpha - 1} (1 - p)^{n - x + \beta - 1}
\end{align}
$$
  - 后验均值
$$
\begin{align}
E[p ~|~ X] & =   \frac{\tilde \alpha}{\tilde \alpha + \tilde \beta}\\ \\
& =  \frac{x + \alpha}{x + \alpha + n - x + \beta}\\ \\
& =  \frac{x + \alpha}{n + \alpha + \beta} \\ \\
& =  \frac{x}{n} \times \frac{n}{n + \alpha + \beta} + \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \times \frac{\alpha + \beta}{n + \alpha + \beta} \\ \\
& =  \mbox{MLE} \times \pi + \mbox{Prior Mean} \times (1 - \pi)
\end{align}
$$
- 后验均值是先验均值与最大似然估计的混合
- 当 $n$ 变大  $\pi$ 接近 $1$ 先验作用小
- 当 $n$ 很小 先验作用大
- 当数据量够大时 先验概率作用就很小了
- 当先验概率足够稳定 数据就作用不大了
- 信任区间
  - $95\%$ 信任区间 $[a, b]$ 会满足$P(p \in [a, b] ~|~ x) = .95$
  - 最高后验密度 (HPD) 区间

## 两独立样本t检验

- $X_1,\ldots,X_{n_x}$ 为 iid $N(\mu_x,\sigma^2)$
- $Y_1,\ldots,Y_{n_y}$ 为 iid $N(\mu_y, \sigma^2)$
- $\bar X$, $\bar Y$, $S_x$, $S_y$ 为均值与标准差
- 根据均值与方差的线性组合 有 $\bar Y - \bar X$ 也是正态 均值 $\mu_y - \mu_x$ 方差 $\sigma^2 (\frac{1}{n_x} + \frac{1}{n_y})$
- 混合方差为 $S_p^2 = \{(n_x - 1) S_x^2 + (n_y - 1) S_y^2\}/(n_x + n_y - 2)$ 为$\sigma^2$的良好估计
- 该估计为无偏估计
$$
    \begin{eqnarray*}
    E[S_p^2] & = & \frac{(n_x - 1) E[S_x^2] + (n_y - 1) E[S_y^2]}{n_x + n_y - 2}\\
            & = & \frac{(n_x - 1)\sigma^2 + (n_y - 1)\sigma^2}{n_x + n_y - 2}
    \end{eqnarray*}
$$
- 该估计独立于 $\bar Y - \bar X$ 因为方差独立于均值
- 两个独立的卡方变量之和是自由度之和的卡方值
$$
    \begin{eqnarray*}
      (n_x + n_y - 2) S_p^2 / \sigma^2 & = & (n_x - 1)S_x^2 /\sigma^2 + (n_y - 1)S_y^2/\sigma^2 \\ \\
      & = & \chi^2_{n_x - 1} + \chi^2_{n_y-1} \\ \\
      & = & \chi^2_{n_x + n_y - 2}
    \end{eqnarray*}
$$
- 构建统计量
$$
    \frac{\frac{\bar Y - \bar X - (\mu_y - \mu_x)}{\sigma \left(\frac{1}{n_x} + \frac{1}{n_y}\right)^{1/2}}}{\sqrt{\frac{(n_x + n_y - 2) S_p^2}{(n_x + n_y - 2)\sigma^2}}}
    = \frac{\bar Y - \bar X - (\mu_y - \mu_x)}{S_p \left(\frac{1}{n_x} + \frac{1}{n_y}\right)^{1/2}}
$$
- 该统计量为符合自由度 $n_x + n_y - 2$ 的 $t$ 分布
- 置信区间
$$
    \bar Y - \bar X \pm t_{n_x + n_y - 2, 1 - \alpha/2}S_p\left(\frac{1}{n_x} + \frac{1}{n_y}\right)^{1/2}
$$
- 方差不等
$$
    \bar Y - \bar X \sim N\left(\mu_y - \mu_x, \frac{s_x^2}{n_x} + \frac{s_y^2}{n_y}\right)
$$
- 统计量
$$
    \frac{\bar Y - \bar X - (\mu_y - \mu_x)}{\left(\frac{s_x^2}{n_x} + \frac{s_y^2}{n_y}\right)^{1/2}}
$$
近似于自由度
$$
    \frac{\left(S_x^2 / n_x + S_y^2/n_y\right)^2}
    {\left(\frac{S_x^2}{n_x}\right)^2 / (n_x - 1) +
      \left(\frac{S_y^2}{n_y}\right)^2 / (n_y - 1)}
$$
的$t$分布

## 假设检验

- 使用数据做决定 
- 空假设 $H_0$ 无变化
- 备择假设 $H_a$ 或大 或小 或不等
- 真值表

Truth | Decide | Result |
---|---|---|
$H_0$ | $H_0$ | Correctly accept null |
$H_0$ | $H_a$ | Type I error |
$H_a$ | $H_a$ | Correctly reject null |
$H_a$ | $H_0$ | Type II error |

- Z检验
  - Z检验 $H_0:\mu = \mu_0$ 与
    - $H_1: \mu < \mu_0$
    - $H_2: \mu \neq \mu_0$
    - $H_3: \mu > \mu_0$ 
  - 检验统计量 $TS = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
  - 拒绝空假设条件
    - $TS \leq -Z_{1 - \alpha}$
    - $|TS| \geq Z_{1 - \alpha / 2}$
    - $TS \geq Z_{1 - \alpha}$
  - 样本数要足够 否则选 $t$ 检验
  - 通过 $\alpha$ 控制了 Type I error 但没控制 $\beta$ Type II error 所以结论为没有拒绝 $H_0$ 而不是接受 $H_0$
  - 拒绝 $H_0$ 的值域为拒绝域
- 二项分布不易做正态假设可精确计算拒绝域

## P 值

- 假定没有事发生 出现状况的可能性
- 先定义分布 然后计算相关统计量 对比常见阈值看数值是否够极端
- 阈值为达到显著性水平 与p值有区别
- p值可设定任意显著性水平 小于就可以拒绝
- 两尾检验 单尾概率翻倍
- 独立于假设检验 但常常一起使用

## 功效

- 错误拒绝空假设的概率为功效（power）
- Power  $= 1 - \beta$ 对 Type II error 的控制
- 正态分布假设下的推导
$$
\begin{align}
1 -\beta & = 
P\left(\frac{\bar X - 30}{\sigma /\sqrt{n}} > z_{1-\alpha} ~|~ \mu = \mu_a \right)\\
& = P\left(\frac{\bar X - \mu_a + \mu_a - 30}{\sigma /\sqrt{n}} > z_{1-\alpha} ~|~ \mu = \mu_a \right)\\ \\
& = P\left(\frac{\bar X - \mu_a}{\sigma /\sqrt{n}} > z_{1-\alpha} - \frac{\mu_a - 30}{\sigma /\sqrt{n}} ~|~ \mu = \mu_a \right)\\ \\
& = P\left(Z > z_{1-\alpha} - \frac{\mu_a - 30}{\sigma /\sqrt{n}} ~|~ \mu = \mu_a \right)\\ \\
\end{align}
$$
```{r power,fig.path='../figure/'}
sigma <- 10; mu_0 = 0; mu_a = 2; n <- 100; alpha = .05
plot(c(-3, 6),c(0, dnorm(0)), type = "n", frame = F, xlab = "Z value", ylab = "")
xvals <- seq(-3, 6, length = 1000)
lines(xvals, dnorm(xvals), type = "l", lwd = 3)
lines(xvals, dnorm(xvals, mean = sqrt(n) * (mu_a - mu_0) / sigma), lwd =3)
abline(v = qnorm(1 - alpha))
```
- 计算步骤
  - 考虑 $H_0 : \mu = \mu_0$ 与 $H_a : \mu > \mu_0$ 且在$H_a$下 $\mu = \mu_a$ 
  - 在 $H_0$ 下统计量 $Z = \frac{\sqrt{n}(\bar X - \mu_0)}{\sigma}$ 符合 $N(0, 1)$
  - 在$H_a$下 $Z$ 是 $N\left( \frac{\sqrt{n}(\mu_a - \mu_0)}{\sigma}, 1\right)$
  - 如果 $Z > Z_{1-\alpha}$ 拒绝空假设 也就是给定条件下功效不够
- 当检验 $H_a : \mu > \mu_0$, 如果功效为 $1 - \beta$ 那么
$1 - \beta = P\left(Z > z_{1-\alpha} - \frac{\mu_a - \mu_0}{\sigma /\sqrt{n}} ~|~ \mu = \mu_a \right) = P(Z > z_{\beta})$ 也就是 $z_{1-\alpha} - \frac{\sqrt{n}(\mu_a - \mu_0)}{\sigma} = z_{\beta}$
- $\mu_a$, $\sigma$, $n$, $\beta$, $\mu_0$, $\alpha$ 给定五个可解出剩余的
- 两尾检验考虑 $\alpha / 2$
- 功效在 $\alpha$ 提高 单尾检验功效高于两尾 $\mu_1$ 距离 $\mu_0$ 远功效大 样本数提高功效高
- 计算功效不需要特定样本 只需要指定 $\frac{\mu_a - \mu_0}{\sigma}$ 也就是有效样本大小 无单位
- R 中使用 `power.t.test` 来计算 $t$ 检验功效相关参数 指定多数求一个

## 多重比较

- 多次进行比较会导致错误率与校正出现问题
- False positive rate 错误结果是显著的比率 $\alpha$ 样本数增大错误增加
- Family wise error rate (FWER) 所有比较中至少一个假阳性比率
  - Bonferroni correction
  - 假设你进行m次测试 控制 $\alpha$ 在某水平 计算所有测试的 $p$ 值 将 $\alpha$ 设为 $ \alpha/m$ 所有测试都在这个置信度下进行 
  - 容易计算 过于保守
- False discovery rate (FDR) 声称显著是错误的概率
  - $m$ 次测试 水平 $\alpha$ 计算 $p$ 值 排序 $P_{(i)} \leq \alpha \times \frac{i}{m}$ 为显著
  - 相对容易计算 不保守 允许一定的假阳性
- 调节p值
  - $P_i^{fwer} = \max{m \times P_i,1}$ 类似FWER处理 $\alpha$ 的方式处理 $p$ 按照正常 $\alpha$ 检测
- 一般情况对 $p$ 值用 bonferroni/BH矫正就够了
- 对比间依赖强烈考虑 method="BY"
- [多重比较从原理到应用](http://yufree.github.io/blogcn/2013/12/16/rgabriel-package.html) 从实用角度分类 适合常见科研实验结果处理

## 重采样推断

- jackknife
  - 用来无偏估计偏差与标准误
  - 每次估计删掉一个数据 $\bar \theta = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \hat \theta_{i}$
  - 偏差 $(n - 1) \left(\bar \theta - \hat \theta\right)$
  - 标准误 $\left[\frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n (\hat \theta_i - \bar\theta )^2\right]^{1/2}$
  - 可用来估计分位数 是bootstrap的线性逼近 但性质不好
  - 假观察量角度理解jackknife $\mbox{Pseudo Obs} = n \hat \theta - (n - 1) \hat \theta_{i}$ 生成原数据集
- bootstrap
  - 构建置信区间与求标准误
  - 假定采样分布是总体分布 重采样估计统计量
  - 有放回的重采样 $B$ 次 $N$ 个样本 得到估计统计量的一个分布 直接计算置信区间
  - 非参方法 偏差小 [进阶指南](http://galton.uchicago.edu/~eichler/stat24600/Handouts/bootstrap.pdf)
- 置换检验
  - 分组对比时取消原分组随机分组
  - 重复进行 记录分组差异
  - 对比原参数与置换后参数差异进行推断