Correction und Frage 77 done

exams/05-05-2015_Q_11-20.tex

@@ -5,7 +5,10 @@ \section{05. Mai 2015}
 
 (Siehe auch \aqref{2}.)
 
-Homöopolare Moleküle sind Moleküle, die aus Atomen desselben Elements bestehen. Sie entstehen durch kovalente Bindungen. In Abbildung \ref{fig:Frage_11} ist die Potentialkurve einer kovalenten Bindung dargestellt, welche mit einem Lennard-Jones-Potential angenähert werden kann. Für kleine Abstände dominiert der Faktor $\frac{a}{R^12}$ (Abstoßung der Elektronen durch Pauli-Prinzip) bei größeren Abständen der Faktor $-\frac{b}{R^6}$ (Van der Waals). Die Bindungsenergie $E_B$ befindet sich beim globalen Minimum. 
+Homöopolare Moleküle sind Moleküle, die aus Atomen desselben Elements bestehen. Sie entstehen durch kovalente Bindungen. In Abbildung \ref{fig:Frage_11} ist die Potentialkurve einer kovalenten Bindung dargestellt, welche mit einem Lennard-Jones-Potential angenähert werden kann. Für kleine Abstände dominiert der Faktor $\frac{a}{R^{12}}$ (Abstoßung der Elektronen durch Pauli-Prinzip) bei größeren Abständen der Faktor $-\frac{b}{R^6}$ (Van der Waals). Die Bindungsenergie $E_B = \frac{b^2}{4a}$ befindet sich beim globalen Minimum.
+
+\textcolor{red}{\textbf{Caveat:}} In \autoref{fig:Frage_11} ist die Bindungsenergie $E_B = \frac{b^2}{4a}$ falsch berechnet, siehe etwa \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Lennard-Jones_potential#Alternative_notations_of_the_Lennard-Jones_potential}{Wikipedia} oder selbst händisch nachrechnen!
+
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \includegraphics[width = 0.4\textwidth]{resources/05-05-2015/Frage_11.png}
@@ -14,12 +17,12 @@ \section{05. Mai 2015}
 \end{figure}
 
 
-\question{Erklären Sie die Herkunft der 'Austauschenergie' in H2. Wann ist sie groß, wann klein? Warum ist sie entscheidend für die chemische Bindung?}
+\question{Erklären Sie die Herkunft der \enquote{Austauschenergie} in \ch{H2}. Wann ist sie groß, wann klein? Warum ist sie entscheidend für die chemische Bindung?}
 \label{q:12}
 
-Siehe \aqref{1}
+Siehe \aqref{1}.
 
-\question{Welche Informationen über molekulare Kenngrößen können aus Rotations-Schwingungsspektren von Molekülen erhalten werden?}
+\question{Welche Informationen über molekulare Kenngrößen können aus Rotationsschwingungsspektren von Molekülen erhalten werden?}
 \label{q:13}
 
 (Siehe auch \aqref{2}.)
@@ -31,12 +34,12 @@ \section{05. Mai 2015}
     \item Form der Potentialkurve
 \end{itemize}
 
-\question{Diskutiere einen elektronischen Übergang in einem 2-Atomigen Molekül und die daraus resultierenden Schwingungsbanden im Spektrum.}
+\question{Diskutiere einen elektronischen Übergang in einem 2-atomigen Molekül und die daraus resultierenden Schwingungsbanden im Spektrum.}
 \label{q:14}
 
 (Siehe auch \aqref{3}.)
 
-Ändert sich die Schwingungsquantenzahl $\nu$ so ändert sich die Energie $E_{vib}$, bei Änderung der Rotationsquantenzahl $J$ die Energie $E_{rot}$ Die Gesamternergie setzt sich aus der Schwingungs- Rotations- und Potentiellenenergie zusammen:
+Ändert sich die Schwingungsquantenzahl $\nu$, so ändert sich die Energie $E_{vib}$, bei Änderung der Rotationsquantenzahl $J$ die Energie $E_{rot}$. Die Gesamtenergie setzt sich aus der Schwingungs-, Rotations- und Potentialenergie zusammen:
 \begin{equation}
     E = E_{rot} + E_{vib} + E_{pot}
 \end{equation}
@@ -70,7 +73,7 @@ \section{05. Mai 2015}
         \item 3 Schwingungsfreiheitsgrade der potentiellen Energie
     \end{itemize}
 \end{itemize}
-Gesetzt von Dulong-Petit:
+Gesetz von Dulong-Petit:
 \begin{equation}
     f = 6 \qquad c_\nu^m = 3N_Ak_B = 3R = \SI{24.9}{\joule\per\mole\per\kelvin}
 \end{equation}

exams/15-06-2015_Q_31-40.tex

@@ -16,7 +16,7 @@ \section{15. Juni 2015}
 \question{Arten von Para-Diamagnetismus}
 \label{q:32}
 
-\question{Konzept von Bravais Wigner-Seitz Zelle}
+\question{Konzept von Bravais-Gitter und Wigner-Seitz-Zelle}
 \label{q:33}
 
 Die Bravais Wigner-Seitz Zelle ist definiert als die Zelle im Raum, die jedem Gitterpunkt am nächsten 
@@ -66,17 +66,17 @@ \section{15. Juni 2015}
 \end{equation}
 wobei $G = 2\pi n/a$ ein reziproker Gittervektor ist und $n \in \mathbb{N}$.
 
-Bei solchen $k$ (hier mit $n=1$) überlagert sich die Wellenfunktion $exp(\pm i \pi x / a)$ eines Wandernden $e^-$ mit seiner Bragg-Reflektierten.
-Mit $exp(\pm i \pi x / a) = cos(\pi x/a) \pm i sin(\pi x/a)$ erhält man eine symmetrische stehende Welle
+Bei solchen $k$ (hier mit $n=1$) überlagert sich die Wellenfunktion $\exp(\pm i \pi x / a)$ eines Wandernden $e^-$ mit seiner Bragg-Reflektierten.
+Mit $\exp(\pm i \pi x / a) = \cos(\pi x/a) \pm i \sin(\pi x/a)$ erhält man eine symmetrische stehende Welle
 \begin{equation}
-    \psi(+) = exp( i \pi x / a) + exp(- i \pi x / a) = 2cos(\pi x/a)
+    \psi(+) = \exp( i \pi x / a) + \exp(- i \pi x / a) = 2\cos(\pi x/a)
 \end{equation}
 und eine antisymmetrische
 \begin{equation}
-    \psi(-) = exp( i \pi x / a) - exp(- i \pi x / a) = 2 i sin(\pi x/a)
+    \psi(-) = \exp( i \pi x / a) - \exp(- i \pi x / a) = 2 i \sin(\pi x/a)
 \end{equation}
 ähnlich wie in den Hybridisierungsorbitalen einer Doppelbindung.
-Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten $\left|\psi(\pm)\right|^2$ in Kombination mit den Potentialen der Atomkerne (Abb.a)) zeigen, dass die symmetrische Wellenfunktion $\psi(+)$ mehr negative Ladung an die positiven Ionen zieht und dadurch geringere potentielle Energie besitzt, als eine laufende Welle und $\psi(-)$ eine höhere potentielle Energie als eine laufende Welle besitzt.
+Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten $\left|\psi(\pm)\right|^2$ in Kombination mit den Potentialen der Atomkerne (Abb. (a)) zeigen, dass die symmetrische Wellenfunktion $\psi(+)$ mehr negative Ladung an die positiven Ionen zieht und dadurch geringere potentielle Energie besitzt, als eine laufende Welle und $\psi(-)$ eine höhere potentielle Energie als eine laufende Welle besitzt.
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
@@ -88,8 +88,8 @@ \section{15. Juni 2015}
         \caption{}
     \end{subfigure}% 
     \caption{
-        a) Aufenthaltswahrscheinlichkeiten $\left|\psi(\pm)\right|^2$ und für laufende Wellen zusammen mit der Potentiellen Energie einer negativen Ladung um die Kerne.
-        b) Energie plot mit Bandlücke.
+        (a) Aufenthaltswahrscheinlichkeiten $\left|\psi(\pm)\right|^2$ und für laufende Wellen zusammen mit der Potentiellen Energie einer negativen Ladung um die Kerne.
+        (b) Energie plot mit Bandlücke.
         }
 \end{figure}
 
@@ -106,23 +106,23 @@ \section{15. Juni 2015}
 
 \textbf{Einstein-Näherung:} 
 \begin{itemize}
-    \item Annahme: alle Atome im Kristall schwingen mit der gleichen Frequenz $\omega$ = $\omega_E$, wobei $\omega_E$ die Frequenz der optischen Moden darstellt. 
+    \item Annahme: alle Atome im Kristall schwingen mit der gleichen Frequenz $\omega = \omega_E$, wobei $\omega_E$ die Frequenz der optischen Moden darstellt. 
     \item lässt sich nur auf optische Moden anwenden (nicht auf akustische!)
     \item funktioniert gut bei hoher Dichte der optischen Phononen und liefert richtiges 
-    Hochtermperaturlimit nach Dulong-Petit-Gesetz
+    Hochtemperaturlimit nach Dulong-Petit-Gesetz
     \item funktioniert schlecht bei tiefen Temperaturen und liefert ungenaues Limit für niedrige Temperaturen
-    \item Falsche Annahme: akkustische Moden werden nicht berücksichtigt und alle harmonischen Oszillatoren im Festkörper würden mit einheitlicher Frequenz schwingen.
+    \item Falsche Annahme: akustische Moden werden nicht berücksichtigt und alle harmonischen Oszillatoren im Festkörper würden mit einheitlicher Frequenz schwingen.
 \end{itemize}
 
-\textbf{Debye-Näherung} 
+\textbf{Debye-Näherung:} 
 \begin{itemize}
     \item Annahme: 
         \begin{itemize}
             \item Vielzahl möglicher Frequenzen und Ausbreitungsgeschwindigkeit $v_i$ von Wellen/Phononen. 
             \item Lineare Dispersion $\omega_i=v_ik$ 
         \end{itemize}
-    \item berücksichtigt nur akkustische Moden
-    \item funktioniert gut bei niedrigen Temperaturen, da niederenergetische (akkustische) Phononen besser dargestellt sind 
+    \item berücksichtigt nur akustische Moden
+    \item funktioniert gut bei niedrigen Temperaturen, da niederenergetische (akustische) Phononen besser dargestellt sind 
     \item liefert korrektes Limit für hohe und tiefe Temperaturen
     \item Falsche Annahme: optische Phononen werden nicht berücksichtigt und Effekte nahe der Brillouinzonengrenze werden nicht richtig beschrieben
 \end{itemize}

exams/16-03-2012_Q_41-50.tex

@@ -9,9 +9,9 @@ \section{16. März 2012}
     \item erklärt Hybridorbitale, aber liefert KEINE Details über Molekülorbitale
     \item im Grundzustand können zwei Elektronen mit $\uparrow \downarrow$ Spins untergebracht werden
     \item zwei \textbf{lokalisierte} Elektronen um Kerne A und B
-    \item beide Elektronen werden betrachtet, sodass für beide Wahrscheinlichkeitsamplituden $\psi_1$ und $\psi_2$ ein Produktansatz der Atomorbitale notwendig ist % TODO: Formel
-    \item Besetzung des Molekülorbitals wird mit Linearkombination von $\psi_1$ und $\psi_2$ durch Pauli-Prinzip erzwungen % TODO: Formel
-    \item \textbf{$e^-$ Lokalisiert}
+    \item beide Elektronen werden betrachtet, sodass für beide Wahrscheinlichkeitsamplituden $\psi_1$ und $\psi_2$ ein Produktansatz der Atomorbitale notwendig ist
+    \item Besetzung des Molekülorbitals wird mit Linearkombination von $\psi_1$ und $\psi_2$ durch Pauli-Prinzip erzwungen
+    \item \textbf{$e^-$ lokalisiert}
 \end{itemize}
 2 $e^-$ werden zugleich beschrieben:
 \[\psi_1(\vb{r_1},\vb{r_2}) = c_1 \phi_A(\vb{r_1}) \cdot \phi_B(\vb{r_2})\]
@@ -25,9 +25,9 @@ \section{16. März 2012}
 \begin{itemize}
     \item basiert auf bindenden und antibindenden Molekülorbitalen
     \item erklärt nicht die Hybridisierung des Orbitale
-    \item ein Elektron betrachtet, dass sich in $\phi_A$ als auch in $\phi_B$ aufhalten kann, sodass für dieses Molekülorbital-Ansatz notwendig ist (wobei $\Phi_A$ und $\Phi_B$ atomare Wellenfunktionen)
+    \item ein Elektron betrachtet, dass sich in $\phi_A$ als auch in $\phi_B$ aufhalten kann, sodass für dieses ein Molekülorbital-Ansatz notwendig ist (wobei $\Phi_A$ und $\Phi_B$ atomare Wellenfunktionen)
     \item für Besetzung des Molekülorbitals mit zwei Elektronen wird Produktansatz verwendet
-    \item \textbf{$e^-$ Delokalisiert}
+    \item \textbf{$e^-$ delokalisiert}
 \end{itemize}
 $e^-$ werden einzeln beschrieben als Linearkombination der Atomorbitale:
 \[\psi_{e_1}(\vb{r}) = c_1 \cdot \phi_A(\vb{r}) +c_2 \cdot \phi_B(\vb{r})\]
@@ -48,14 +48,16 @@ \section{16. März 2012}
       \caption{Wahrscheinlichkeitsdichten der symmetrischen (bindend, grün) und antisymmetrischen (antibindende, rot) Wellenfunktion}
    \end{minipage}
 \end{figure}
-\question{Diskutieren des Schwigungs-Rotations Spektrums eines 2-atomigen Moleküls}
+
+\question{Diskutieren des Schwingungsrotationsspektrums eines 2-atomigen Moleküls}
 \label{q:43}
+
 \begin{itemize}
     \item Spektren zweiatomiger Moleküle entstehen durch Rotations- und Schwingungsübergänge
     \item im realen Molekül führen Kerne um Gleichgewichtsabstand $R_e$ Schwingungen aus, sodass sich Kernabstand $R$ während Rotation des Moleküls ändert
     \item \textbf{Rotationsspektren}
         \begin{itemize}
-            \item entstehen durch Absorption des Moleküls im Ultrarot-Bereich
+            \item entstehen durch Absorption des Moleküls im Infrarot-Bereich
             \item durch Energieaufnahme kommt es zu Strahlungsübergänge zwischen den Rotationszuständen
             \item in einfachster Näherung wird Molekül als \textbf{starrer Rotator} betrachtet, der sich mit konstantem Kernabstand $R=R_e$=const um Schwerpunktachse dreht. Rotationsenergie $E_{rot}$ ,als Termwert $F_{rot}$, hat bei $R=R_e$ diskrete Werte, siehe \ref{RotEnergie_starr} \ref{Termwert_RotE}. Die Abstände der Energieniveaus $\Delta E_{rot}$ nehmen linear zu, siehe \ref{Abstaende_Eniveaus_starr}.
 
@@ -74,7 +76,7 @@ \section{16. März 2012}
                 \label{Abstaende_Eniveaus_starr}
                 \end{equation}
 
-            \item beim \textbf{nicht starren Rotator} (Zentrifugalkraft berücksichtigt) besteht elastische Bindung zwischen Atomen mit Federkonstante k. Der Kernabstand vergrößert sich von $R_e$ auf $R$, dabei wird das Trägheitsmoment $I=MR^2$ größer und die Rotationsenergie $F_{rot}$ kleiner, siehe \ref{RotE_nichtstarr}. Die Spektrallinien rücken mit steigender Rotationsquantenzahl J=0,1,2,... weiter auseinander. Im Vergleich zum starren Rotator liegen sie jedoch näher beisammen.
+            \item beim \textbf{nicht-starren Rotator} (Zentrifugalkraft berücksichtigt) besteht elastische Bindung zwischen Atomen mit Federkonstante k. Der Kernabstand vergrößert sich von $R_e$ auf $R$, dabei wird das Trägheitsmoment $I=MR^2$ größer und die Rotationsenergie $F_{rot}$ kleiner, siehe \ref{RotE_nichtstarr}. Die Spektrallinien rücken mit steigender Rotationsquantenzahl J=0,1,2,... weiter auseinander. Im Vergleich zum starren Rotator liegen sie jedoch näher beisammen.
                 \begin{equation}
                    F_{rot}=B_eJ(J+1)-D_eJ^2(J+1)^2+...
                    \label{RotE_nichtstarr}
@@ -98,7 +100,7 @@ \section{16. März 2012}
         \begin{itemize}
             \item entstehen durch Absorption/Emission des Moleküls im Infrarot-Bereich, wobei Rotation und Schwingung gleichzeitig verändert werden
             \item jede Bande des Rotationsschwingungsspektrums entspricht einem Schwingungsübergang
-            \item in einfachster Näherung bilden schwingende Atome des Moleküls einen \textbf{harmonischen Oszillator} mit diskreten Energie $E_{vib}$, siehe \ref{EVib_harmonisch}, und gleich großen Energieabstände $\Delta E_{vib}$, siehe \ref{EVib_Abstaende}. Potential kann durch Parabelpotential angenähert werden. %TODO: Formel Morse-Potential
+            \item in einfachster Näherung bilden schwingende Atome des Moleküls einen \textbf{harmonischen Oszillator} mit diskreten Energie $E_{vib}$, siehe \ref{EVib_harmonisch}, und gleich großen Energieabstände $\Delta E_{vib}$, siehe \ref{EVib_Abstaende}. Potential kann durch Parabelpotential angenähert werden.
 
                 \begin{equation}
                     E_{vib}(\nu)=(\nu+\frac{1}{2})\hbar \omega
@@ -110,7 +112,11 @@ \section{16. März 2012}
                 \label{EVib_Abstaende}
                 \end{equation}
 
-            \item bei Näherung als \textbf{anharmonischer Oszillator} rücken die Enrgieniveaus mit zunehmender Schwingungsquantenzahl $\nu$=0,1,2,... näher zusammen und konvergieren gegen Dissoziationsenergie des Moleküls. Potential kann durch Morse-Potential angenähert werden.
+            \item bei Näherung als \textbf{anharmonischer Oszillator} rücken die Enrgieniveaus mit zunehmender Schwingungsquantenzahl $\nu$=0,1,2,... näher zusammen und konvergieren gegen Dissoziationsenergie des Moleküls. Potential kann durch Morse-Potential (\autoref{eq:morse_potential}) angenähert werden.
+            \begin{equation}
+                \label{eq:morse_potential}
+                U(r) = U_0 \left( e^{-2(r-r_0)/a} - 2e^{-(r-r_0)/a} \right)
+            \end{equation}
         \end{itemize}
 
 \end{itemize}
@@ -150,7 +156,7 @@ \section{16. März 2012}
 \question{Wodurch unterscheidet sich ein fcc Gitter von einem hcp?}
 \label{q:46}
 
-fcc -- face centered cubic, hcp -- hexagonal closed pack
+fcc -- face centered cubic, hcp -- hexagonal close-packed
 
 \begin{enumerate}
     \item Anordnung der Atome: Im fcc-Gitter sind die Atome auf den Eckpunkten eines Würfels sowie in den Zentren der sechs Flächen platziert. Im hcp-Gitter sind die Atome hexagonal angeordnet.
@@ -178,21 +184,21 @@ \section{16. März 2012}
     \end{samepage}
 \end{figure}
 
-\question{Wodurch unterscheidet sich die Dispersionsrelation der Phononen eines primitiven kubischen Gitters von jener eines CsCl-Gitters.}
+\question{Wodurch unterscheidet sich die Dispersionsrelation der Phononen eines primitiven kubischen Gitters von jener eines \ch{CsCl}-Gitters.}
 \label{q:49}
 
 \textbf{TL;DR:} Bei primitiv kubischem Gitter haben alle Atome die gleiche Masse $M_n = M$.
 Es kommt daher nur zu einer Bewegungsgleichung und in folge nur zu einer Lösung für die Dispersionsrelation $\omega(\vec{k})$.
-Dahin gegen werden beim $CsCl$ Gitter zwei Bewegungsgleichungen benötigt, welche zwei Lösungen für die Dispersionsrelation besitzen mit unterschiedlichen Energien.
-Die Lösung mit geringerer Energie beschreibt Akkustische Phononen und die Lösung mit höherer Energie optische Phononen.
+Dahingegen werden beim \ch{CsCl} Gitter zwei Bewegungsgleichungen benötigt, welche zwei Lösungen für die Dispersionsrelation besitzen mit unterschiedlichen Energien.
+Die Lösung mit geringerer Energie beschreibt akustische Phononen und die Lösung mit höherer Energie optische Phononen.
 
 \textbf{TS;WR:} Die Unterschiede können gut durch die Herleitung eines eindimensionalen Kristalls gezeigt werden:\\
 \begin{minipage}[t]{0.44\textwidth}
     \centering
     \begin{figure}[H]
         \includegraphics[width=0.7\linewidth]{resources/16-03-2012/q49_same_mass.png}
     \end{figure}
-    Ausgehend von der Auslenkung $u_n$ des Atom $n$ aus der Ruhelage $x_n$ und vom Hookschen Gesetz die Kraft $F_n$ auf Atom $n$ die aus Federverbindung mit Nachbarn resultiert:
+    Ausgehend von der Auslenkung $u_n$ des Atom $n$ aus der Ruhelage $x_n$ und vom Hook'schen Gesetz die Kraft $F_n$ auf Atom $n$ die aus Federverbindung mit Nachbarn resultiert:
     \begin{align*}
         u_n &= x - x_n\\
         F_n &= \sum_{p} C \left(u_{n+p} - u_n\right)
@@ -242,10 +248,10 @@ \section{16. März 2012}
         + 4C^2 sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)& = 0
     \end{align*}
     \begin{align*}
-        \omega^2 = &C \left(\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2}\right)^2} \\
-        &\overline{- \frac{4}{M_1 M_2}sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)}
+        \omega^2 &= C \left(\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2}\right)^2} \\
+        &\overline{-\frac{4}{M_1 M_2}sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)}
     \end{align*}
-    $\pm \rightarrow$ 2 Disp.rel. ( Herleitung $\omega_{\pm}$ in Folien 7. Dynamik des Kristallgitters S.12-16).
+    $\pm \rightarrow$ 2 Disp.rel. (Herleitung $\omega_{\pm}$ in Folien 7. Dynamik des Kristallgitters S.12-16).
     \includegraphics[width=0.7\linewidth]{resources/16-03-2012/q49_diff_mass_disp.png}
 \end{minipage}