Aggiunge MST e primi attachments

content/Minimum Spanning Tree.md

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+tags:
+  - Algoritmi
+  - Algoritmi/SecondaProva
+  - Algoritmi/MST
+  - Algoritmi/StruttureDati
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+# Alberi Ricoprenti Minimi
+
+Input: 
+- Grafo non Orientato ==Connesso==: $G=(V,E)$
+- Una funzione ==peso== $w:E\to \mathbb{R}$
+Output:
+- Albero $T=(V,E')$ con $E' \subseteq E$, tale che per ogni altro albero $T_{1}=(V,E_{1}')$, con $E'\subseteq E$ si abbia:
+	- $w(T)=\displaystyle\sum_{e \in E'}w(e)\leq \displaystyle\sum_{e \in E_{1}'}w(e)=w(T_{1})$
+	- Cioè un albero la cui somma di tutti i pesi dei suoi archi è minore o uguale a quella di ogni altro albero possibile.
+
+
+
+Algoritmo semplice: ricerca esaustiva di un MST. 
+
+Problema: la ricerca esaustiva è però **esponenziale**, infatti il numero di alberi ricoprenti in un grafo completo su $n$ vertici è $n^{n-2}$. 
+
+
+Discutiamo tre algoritmi Greedy:
+- [[Algoritmo di Boruska]]
+- [[Algoritmo di Kruskal]]
+- [[Algoritmo di Prim]]
+
+Sono tutti basati su un processo, **non deterministico**, di colorazione che mantiene un opportuno invariante (==invariante del colore==). 
+
+A seconda dell'euristica utilizzata nel processo di colorazione si otterranno i tre algoritmi sopra. 
+
+In generale, si scelgono gli archi $\textcolor{royalblue}{blu}$, e si eliminano gli archi $\textcolor{red}{rossi}$.
+
+## Taglio
+
+
+> [!def] Definizione
+> Un **Taglio** di $G$ è una partizione $(V_{1},V_{2})$ di $V$ non banale (cioè tale che $V_{1,2}\neq \emptyset$). 
+> 
+> Un arco $(u,v)$ tale che $u \in V_{1}$ e $v \in V_{2}$ si dice che **attraversa** il taglio $(V_{1},V_{2})$.
+
+
+![[Minimum Spanning Tree-20240123005940441.png|384]]
+
+## Processo di Colorazione
+
+
+> [!NOTE] Inizialmente nessun arco è colorato.
+
+Finchè è possibile, si applichi uno dei due passi: 
+
+
+- $\text{Passo }\textcolor{royalblue}{Blu}$
+	- Si seleziona un taglio **non attraversato** da alcun arco blu;
+	- Tra gli archi non colorati che attraversano il taglio se ne selezioni uno di peso <ins>minimo</ins> e lo si colori di $\textcolor{royalblue}{blu}$.
+- $\text{Passo }\textcolor{red}{Rosso}$
+	- Si seleziona un ciclo **semplice** privo di archi rossi;
+	- Tra gli archi non colorati del ciclo se ne selezioni uno di peso <ins>massimo</ins> e lo si colori di $\textcolor{red}{rosso}$.
+
+
+
+In un ciclo semplice: 
+
+![[Minimum Spanning Tree-20240123010850884.png|384]]
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+I tre algoritmi sono tutti istante di questo processo di colorazione. Dimostrando che la colorazione è corretta, tutte le sue istanze, di conseguenza, lo saranno.
+
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+> [!example]- Esempio Colorazione
+> ![[Minimum Spanning Tree-20240123013937896.png]]
+
+Durante l'esecuzione del processo di colorazione vale la:
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+## Invariante del Colore
+
+
+> [!def] Definizione
+> Ad ogni passo della procedura di colorazione esiste un MST contente **tutti** gli archi $\textcolor{royalblue}{blu}$ e **nessun** arco $\textcolor{red}{rosso}$