Aggiunge algoritmo di Boruska, Kruskal, con spiegazione alternativa e…

… pseudocodice

content/Algoritmo di Boruska.md

@@ -4,3 +4,15 @@ tags:
   - Algoritmi/MST
   - Algoritmi/SecondaProva
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+Supponiamo che gli archi siano ordinati totalmente da un ordinamento che è in accordo con quello sui pesi, cioè: 
+
+$w(e)\lt w(e') \implies e<e'$ 
+
+Si applica il seguente passo finché possibile:
+
+
+> [!NOTE] Passo Boruska
+> Per ciascun albero blu, si selezioni l'arco incidente "minimo" non ancora colorato.
+> 
+> Si colorino di blu gli archi selezionati.
+> (e di rosso gli archi non ancora colorati.)

content/Algoritmo di Kruskal.md

@@ -5,3 +5,45 @@ tags:
   - Algoritmi/MST
 draft: true
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+# Strategia
+
+Seguendo un ordine non decrescente per costi, se l'arco corrente $e$ è contenuto in un albero $\textcolor{royalblue}{blu}$ lo si colori di $\textcolor{red}{rosso}$, altrimenti lo si colori di $\textcolor{royalblue}{blu}$.
+
+
+> [!example]- Esempio
+> ![[Algoritmo di Kruskal-20240124015826262.png|512]]
+> <ins>Ordinamento</ins>
+> $(b,d)<(c,d)<(e,g)<(a,c)<(a,b)<(b,c)<(d,e)<(d,g)<(c,f)<(b,e)<(f,g)<(d,f)$
+> <ins>Colorazione</ins>
+> $\textcolor{royalblue}{(b,d)}<\textcolor{royalblue}{(c,d)}<\textcolor{royalblue}{(e,g)}<\textcolor{royalblue}{(a,c)}<\textcolor{red}{(a,b)}<\textcolor{red}{(b,c)}<\textcolor{royalblue}{(d,e)}<\textcolor{red}{(d,g)}<\textcolor{royalblue}{(c,f)}<\textcolor{red}{(b,e)}<\textcolor{red}{(f,g)}<\textcolor{red}{(d,f)}$
+
+Oppure, per una strategia senza colori: ordina gli edge in ordine non-decrescente, come da pseudocodice (vedi sotto), crea un set per ogni vertice del grafo, e controlla via via in ordine di peso se due vertici sono nello stesso subset. 
+
+Se sono in subset diversi, aggiungi l'arco nell'MST, e unisci il subset precedentemente disgiunto. 
+
+Seguendo questo ragionamento senza sbagliare, avremo un MST corretto senza cicli.  
+
+La riga 6 dello pseudocodice (l'istruzione *if* ) garantisce che il vertice $u$ e il vertice $v$ sono in subset diversi, garantendo appunto l'assenza di cicli.
+# Correttezza
+
+- Sia $w(e_{1})\leq w(e_{2})\leq\dots \leq w(e_{|E|})$ l'ordinamento per pesi utilizzato;
+- Siano $op(e_{1}),op(e_{2}),\dots,op(e_{|E|})$ le operazione di colorazione effettuate dall'algoritmo di Kruskal.
+- Procediamo per induzione su $i=1,\dots,|E|$
+
+# Implementazione
+
+Pseudocodice:
+
+```C
+T = EMPTY_SET();    // T is going to be the MST
+for each (v in V)
+	MAKE_SET(v)    // create a subtree for each vertex
+E = sort(E,w);     // non-decreasing order
+for each ((u,v) in E)    // in sorted edges...
+	if (FIND_SET(u) != FIND_SET(v))    // if u and v are in different subtrees (sets), avoid cycles
+		T = T U {(u,v)}    // insert the edge inside the MST
+		UNION(u,v)        // union between the two different subtrees (sets), we're sure there are no cycles.
+return T;    // return the MST
+```
+
+# Complessità