Aggiunge dimostrazioni costo ammortizzato zig-zig, todo:zig-zag, zig

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@@ -92,18 +92,104 @@ Poniamo:
 - $R(\nu)=_{def}\log(S(\nu))$, rango di $\nu$
 - $\Phi(T)=_{def}\displaystyle\sum_{\nu \in T}R(\nu)$
 >[!example]- Esempio di Calcolo $\phi(T)$
->#todo
+>![[SplayCalcoloPhi.excalidraw.svg|512]]
+>
+>$\phi(T)=5+\log3+\log 5+\log 10 = 5+\log 150$
 
 
-Sia $T_{0}$ un albero vuoto #todo
+Sia $T_{0}$ un albero vuoto, si ha:
 
-### Lemma
+$\phi(T_{0})=\displaystyle\sum_{\nu \in T_{0}} R(\nu)=0$ 
 
-### Dim
+Sia $T$ un qualsiasi albero:
+$\phi(T)=\displaystyle\sum_{\nu \in T} R(\nu)=\sum_{v \in T}\log S(\nu)\geq 0 = \Phi(T_{0})$
 
->[!def] Teorema
->Il costo ammortizzato dell'operazione Splay(x,T) è al più #todo 
+Pertanto, possiamo utlizzare il potenziale $\Phi(T)$ per calcolare un upper bound al costo reale di $M$ operazioni (cioè $Splay$,$Insert$,$Delete$) di cui $N$ sono $Insert$, a partire da uno splay tree vuoto. 
+
+
+>[!def] Lemma
+>
+>Siano $a,b \in \mathbb{N^+}$, e sia $c \geq a+b$ 
+>
+>Allora: $\log a+\log b \leq 2\log c -2$
+>
 ><ins>Dimostrazione</ins>
->Calcoliamo
+>Si osservi:
+>$$\begin{align}
+>(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \\
+> & = a^2-2ab+b^2+4ab \\
+> & = (a-b)^2+4ab \\
+> & \geq 4ab \\
+>a+b & \geq 2\sqrt{ ab }
+>\end{align} $$
+>Considerando $c$
+>$c\geq a+b\geq 2\sqrt{ ab }$
+>Prendendo i logaritmi di ambo i membri:
+>$\log c \geq 1+\dfrac{1}{2}(\log a+\log b)$
+>$2\log c-2\geq \log a+\log b$
+
+
+
+
+>[!def] Teorema
+>Il costo ammortizzato dell'operazione Splay(x,T) è al più $3(R(root(T))-R(x))+1$ 
+
+>[!def] Dimostrazione (Per casi!)
+>Calcoliamo per iniziare il costo ammortizzato di una operazione di tipo Zig, Zig-Zag, Zig-Zig
+
+### Notazione e Abbreviazioni
 
-Casi...
+Indiamo con $S_{i}(x) \text{ e } S_{f}x$ il numero di nodi nel sottoalbero di radice x prima e dopo l'operazione in esame, analogamente per il Rango. 
+
+Inoltre:
+- $R_{i}(x,p) = R_{i}(x)+R_{i}(p)$
+- $R_{f}(x,p,g)=R_{f}(x)+R_{f}(p)+R_{f}(g)$
+etc... 
+
+## Caso Zig-Zig
+
+Costo Reale=2 
+
+
+$\Delta \phi=R_{f}(x,p,g)-R_{i}(x,p,g)$ 
+
+Si osservi che: $S_{f}(x) = S_{i}(g) \to R_{f}(x) =R_{i}(g)$, e quindi $\to \Delta \phi \leq R_{f}(x,g)-R_{i}(x,p)$ 
+
+$S_{i}(x)+S_{f}(g)\leq S_{f}(x) \overset{ lemma }{ \longrightarrow }R_{i}(x)+R_{f}(g)\leq 2R_{f}(x)-2$
+$$
+\begin{align}
+\longrightarrow\Delta \Phi & \leq R_{f}(x,g)-R_{i}(x,p)+R_{i}(x)-R_{i}(x) \\
+& = R_{f}(x) \textcolor{lightgreen}{+R_{f}(g)} \textcolor{lightblue}{-R_{i}(x)}-R_{i}(p)\textcolor{lightgreen}{+R_{i}(x)} \textcolor{lightblue}{-R_{i}(x)} \\
+& \leq R_{f}(x) +{\underset{ \text{somma maggiorata} }{\textcolor{lightgreen} {2R_{f}(x)-2} }}\textcolor{lightblue}{-2R_{i}(x)}-R_{i}(p) \\
+& = 3R_{f}(x)-2-2R_{i}(x)-R_{i}(p) \\
+& \leq 3R_{f}(x) -2 -\underbrace{ 2R_{i}(x)-R_{i}(x) }_{  } \\
+& \leq 3R_{f}(x) - 2 -3R_{i}(x)  \\
+& = 3(R_{f}(x)-R_{i}(x))-2 \\
+\text{Da cui segue} \\
+& -R_{i}(p) \leq -R_{i}(x) \\
+\text{Cons. i nodi:} \\
+S_{i}(x)\leq S_{i}(p) & \to R_{i}(x)\leq R_{i}(p) \\ \\
+
+\Delta \Phi & \leq 3(R_{f}(x)- R_{i}(x)) -2 \\
+ \\
+ \\
+&\Large\boxed{\hat{c}_{\text{zig-zig}}=2+\Delta \Phi \leq 3(R_{f}(x)-R_{i}(x))}
+\end{align}
+$$
+
+>[!example] Grafico
+>
+
+## Caso Zig-Zag
+$$
+todo
+$$
+>[!example] Grafico
+>
+## Caso Zig
+
+$$
+todo
+$$
+>[!example] Grafico
+>