Algoritmo Ungherese

content/Algoritmo Ungherese.md

@@ -3,3 +3,20 @@ tags:
   - Ottimizzazione
   - Ottimizzazione/PLI
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+Opera sulla matrice dei costi $c_{ij}$ e trasforma la matrice dei costi in una serie di matrici equivalenti fino a determinare l'assegnamento di costo minimo che corrisponderà al ricoprimento degli zeri della matrice.
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+## Operazioni
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+1. Si sottrae ad ogni riga il suo elemento minimo: $c_{ij}=c_{ij}-\underset{j}min\ c_{ij}$ (generiamo zeri sulle righe)
+2. Si sottrae ad ogni colonna il suo elemento minimo: $c_{ij}=c_{ij}-\underset{i}min\ c_{ij}$ (generiamo zeri su colonne)
+3. Si cerca l'assegnamento di costo minimo, cercando il ricoprimento degli zeri della matrice. Se il numero di righe e colonne che ricoprono gli zeri è minore del numero di righe della matrice, l'assegnamento non è completo e si deve ridurre ancora la matrice. Altrimenti, si è trovato l'assegnamento completo di costo minimo
+4. Si barrano le righe e le colonne che ricoprono gli zeri. Sia $\delta$ l'elemento minimo non barrato. Si aggiunge $\delta$ agli elementi barrati 2 volte (cioè l'incrocio tra riga e colonna) e si sottrae agli elementi non barrati.
+
+Si ripetono $3$ e $4$ fino a trovare l'assegnamento completo
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+## Regola generale per trovare il ricoprimento minimo degli zeri
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+- Si etichettano le righe lasciate fuori dall'assegnamento;
+- Si etichettano le colonne che hanno degli zeri in corrispondenza delle righe etichettate;
+- Si etichettano le righe abbinate alle colonne etichettate dall'assegnamento ottenuto;
+- Si barrano le righe non etichettate e le colonne etichettate.

content/Problema dell'assegnamento.md

@@ -46,5 +46,17 @@ La matrice dei coefficienti è **Totalmente Unimodulare**
 
 
 > [!tldr] Proposizione
-> Dato il poliedro
+> Dato il poliedro $\{ x \in \mathbb{R}^n: Ax=b, x\geq 0 \}$ con A matrice tot. unimodulare, e b intero $\implies$ poliedro ha solo vertici interi
 
+Possiamo quindi risolvere il problema rilassato con il vincolo $x_{ij} \in [0,1]$ (insieme agli altri vincoli diventa poi solo) $x_{ij}\geq 0$)
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+Non è utile usare il simplesso perché il poliedro ha vertici fortemente degeneri, si usa infatti un algoritmo specifico:
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+![[Algoritmo Ungherese]]
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+## Assegnamento su Grafo Bipartito
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+Il problema dell'assegnamento si può vedere su un grafo bipartito completo. Siano noti i costi $c_{ij}$ su tutti gl iarchi e si cerca un abbinamento tra gli elementi dei due insiemi di costo minimo.
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+![[Pasted image 20240214183550.png]]