Forma Standard. 6 out of 25

content/Algebra della programmazione lineare.md

@@ -8,4 +8,40 @@ Cerchiamo di esprimere il concetto di vertice in modo algebrico, sfruttando la s
 
 # Forma Standard
 
-Si dice Forma Standard di un problema di PL, il problema scritto nella forma:
+Si dice Forma Standard di un problema di PL, il problema scritto nella forma:
+
+$$
+\begin{align}
+ min  & \displaystyle\sum^n_{j=1}c_{j}x_{j} \quad & \quad & \qquad min\  C^Tx \\
+ & \displaystyle\sum^n_{j=1}a_{ij}x_{j}=b_{i}, & \qquad i=1,\dots,n & \qquad Ax=b \\
+ & x_{j} \geq 0, \qquad& j=1,\dots,n & \qquad x\geq 0
+\end{align}
+$$
+
+con $b_{i}\geq 0$
+
+## Caratteristiche:
+
+1. Problema di minimo;
+2. Vincoli di **uguaglianza**;
+3. Termini noti $b_{i}\geq 0$
+4. Variabili $x_{j}\geq 0$
+
+Ogni problema di PL può essere scritto in FS.
+
+## Regole di conversione
+
+- Un problema di max si scrive come problema di min:
+	- $max(3x_{1}+7x_{2})\quad\overset{\text{risolvo}}{ \implies }\quad min(-3x_{1}-7x_{2}) \quad\implies\quad -min(3x_{1}-7x_{2})$
+- Vincolo di $\leq$ si trasforma in vincolo di $=$ aggiungendo una variabile di SCARTO (SLACK) $+\ x_{n+1}$
+	- $4x_{1}+5x_{2}\leq 12 \implies 4x_{1}+5x_{2}+\textcolor{red}{x_{3}}=12$
+- Vincolo di $\geq$ si trasforma in vincolo di $=$ sottraendo una variabile di SURPLUS $-x_{n+1}$
+	- $4x_{1}+5x_{2}\geq 12 \implies 4x_{1}+5x_{2}\textcolor{red}{-x_{3}}=12$
+- Variabile $x_{j}\leq 0$, Si moltiplica per -1 e si rinomina:
+	- $x_{j}\leq 0 \implies -x_{j}\geq 0 \implies \hat{x}_{j}=-x_{j}$
+	- $x_{j}$ si sostituisce in tutti i vincoli e nella f.o.
+- Variabile $x_{j}$ libera in segno, si introducono due variabili $x_{j}'\ ;\ x_{j}''\geq 0$, e si pone $x_{j}=x'_{j}-x''_{j}$, e poi si sostituisce la variabile.
+
+# Forma Standard e Vertici
+
+Partendo da un esempio: