随着科技的发展，在无人机编队飞行中，利用相对角度等信息进行纯方位无源定位成为一个重要的研究方向。本文基于正弦定理，提出了一种针对多架无人机在圆形编队中定位的模型。通过几何分析得出，确定三架定位飞机后，即可求解其他飞机的位置。随后，提出了一种多架无人机定位调整的迭代模型，通过多次迭代优化无人机的位置。本文还研究了在纯方位无源定位条件下，无人机在等边三角形阵列中的位置优化模型，并设计了有效的调整方案，为无人机集群控制提供了理论参考。
针对问题一第一小问，本文利用边角之间的关系，巧用正弦定理来求无人机的定位模型。首先，通过极坐标方式定义每架无人机的位置，再通过被动接收无人机在$k$点接收到的三个角度信息，定义了无人机之间的相对位置关系。根据不同飞机的编号顺序，夹角大小等因素，分了三大类共九种情况，利用正弦定理将角度关系转化为边长关系，然后通过将不同的正弦表达式结合，得出$k$点无人机的极角和半径信息，构建出相应的定位模型。
针对问题一第二小问，本文探讨了利用多架无人机进行定位的模型。当只有两架无人机时，由于信息对称性，定位结果存在重复，而引入第三架无人机后，能够通过接收不同的角度信息来唯一确定无人机的位置。本文通过举例具体分析说明的方式，表明还需要一架无人机发射信号，才能实现无人机的有效定位。
针对问题一第三小问，根据第二问得出的结论，再结合欧式距离的计算，选择出最优的一架飞机来构成三架飞机协助定位，根据第一问建立的模型以及本问的实际情况，最终确定本问共6种情况，遍历剩余无人机并根据第一问的模型进行求解，从而更新位置，然后再重新选择一架飞机进行定位，循环迭代并更新位置不断收敛，最终得到最优解。最终总体误差率由原先的 5.21% 降低至3.29%。
针对问题二，基于问题一中无人机之间已实现相互定位的基础，本文提出了一种无人机阵列优化模型。该模型结合了最优分配、旋转矩阵和平移操作。首先，通过随机生成无人机的初始位置来建立基准。接着，将理想阵列的质心与初始位置的质心对齐，并通过旋转优化调整阵列方向，以减少每个无人机与其目标位置的距离。为实现最优匹配，构建了距离矩阵并采用匈牙利算法解决分配问题。最后，利用局部搜索和交换优化策略，逐步减少无人机的总移动距离，达到整体路径优化的目的，为无人机的定位提供了有效的解决方案。
关键词：无人机编队；无源定位；正弦定理；优化
无人机集群在遂行编队飞行时，为避免外界干扰，应尽可能保持电磁静默，少向外发射电磁波信号。为保持编队队形，拟采用纯方位无源定位的方法调整无人机的位置，即由编队中某几架无人机发射信号、其余无人机被动接收信号，从中提取出方向信息进行定位，来调整无人机的位置。
该题要求在由 10 架无人机组成的圆形编队中，建立被动接收信号无人机的定位模型，采用正弦定理等几何方法进行分析。
在无人机发射信号的数量问题中，本文通过几何对称性的分析得出至少需要三架无人机发射信号来唯一确定目标无人机的位置。
本文进一步研究如何选择合适的无人机作为定位参考，优化其他无人机的位置，并给出逐步迭代的求解方法。
本文建立了一种无人机阵列优化模型，通过平移和旋转操作，使得无人机的初始位置逐步接近理想的阵列布局，并采用匈牙利算法优化了无人机的移动路径。
- 无人机的飞行高度相同，运行在二维平面内。
- 本文假设题中所给数据真实可靠。
- 不考虑风向、天气等外在因素对无人机的影响。
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| R | 圆的半径 |
| rk | k位置飞机的实际半径 |
| θi, θj, θk | 点 i, j, k的极角（弧度） |
| α1, α2, α3 | 角度定义 |
| o | 圆心，无人机 FY00的位置 |
| i, j | 发出信号的无人机位置 |
通过极坐标方式定义每架无人机的位置，采用正弦定理对发出信号的无人机和接收信号的无人机之间的角度进行求解。
根据正弦定理推导出无人机的极角和半径的关系，并通过数学分析求解出无人机的最终位置。
增加一架无人机发射信号，通过接收三个角度信息，唯一确定目标无人机的位置。
通过几何分析得出无人机位置的唯一解。
选择定位飞机，通过迭代优化其他无人机的位置，逐步调整使无人机达到均匀分布。
采用欧式距离计算选择最优飞机，并迭代更新位置，直到无人机的位置误差率收敛。
- 采用多种几何方法分析问题，模型全面。
- 通过迭代优化无人机位置，提高定位精度。
- 计算过程复杂，需要多次迭代才能收敛。
该模型可推广至其他无人机编队场景或其他自动化编队领域。
- Enrico G. Gnerre and Roberto De Nigris. An efficient linear assignment algorithm for large-scale problems. Operations Research Letters, 52(2):122–130, 2024.
- Zhenyu Li, Xiaoyang Li, and Liang Zhao. Rotation estimation using non-convex optimization for 3D object recognition. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2023.
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