-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 10
/
5to15_nl_NL.tex
839 lines (656 loc) · 44.9 KB
/
5to15_nl_NL.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
% compile with XeLaTeX or LuaLaTeX
\input{preamble}
\setdefaultlanguage{dutch}
\DeclareSIUnit[number-unit-product=\,]\uur{uur}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\title{Opgaven voor kinderen van 5 tot 15}
\author{V.\,I.~Arnold
\vspace*{2cm}\\
\includegraphics[width=\linewidth]{resources/photo-arnold_small}
}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\cleardoublepage
\setcounter{page}{1}
\begin{abstract}
Dit boek bevat 78 opgaven ter bevordering van een denkcultuur, uitgekozen of bedacht door de auteur. De meeste vergen geen bijzondere voorkennis anders dan algemeen onderwijs, maar som\-mige kunnen zelfs voor hoogleraren uitdagend zijn.
Het boek richt zich tot scholieren, studenten, leerkrachten, ouders -- tot allen die een denkcultuur als een wezenlijk onderdeel van de persoonlijke ontwikkeling beschouwen.
\end{abstract}
\cleardoublepage
\section*{Voorwoord}
Ik heb deze opgaven opgeschreven in Parijs in het voorjaar van 2004, toen Russische inwoners van Parijs me vroegen hun jonge kinderen te helpen de denkcultuur te verwerven die traditioneel is voor Rusland en die uitstijgt boven denkgewoonten in het Westen.
Ik ben er ten diepste van overtuigd dat deze cultuur het beste wordt ontwikkeld door het vroeg en zelfstandig nadenken over opgaven die eenvoudig op te schrijven maar moeilijk op te lossen zijn, zoals die hieronder (ik beveel vooral de opgaven~1, 3 en 13 aan).
Mijn lange ervaring heeft me duidelijk gemaakt dat matige leer\-lingen, die op school achterblijven, ze vaak beter oplossen dan uit\-blinkende leerlingen, omdat zij -- om achter in de klas te overleven~-- handiger moeten kunnen nadenken dan nodig om ``heel Sevilla en Granada te regeren'', zoals Figaro over zichzelf zei, terwijl toppers zich bij deze opgaven verliezen in ``wat met wat moet worden vermenig\-vuldigd''. Ik heb zelfs ontdekt dat kinderen van vijf jaar oud zulke opgaven beter oplossen dan schoolkinderen verpest door begeleiding, die op hun beurt de vragen beter aankunnen dan gedrilde studenten, die weer hun hoogleraren verslaan (het allerslechtst in het oplossen van deze opgaven zijn winnaars van de Nobelprijs of de Fieldsmedaille).
\clearpage
\section*{Opmerkingen bij de Duitse uitgave}
We hebben de vrijheid genomen bepaalde opgaven in het laatste deel van het boek van aanwijzingen en een nieuwe afbeelding te voorzien, en in vergelijking met de Engelse vertaling ook anders te verwoorden. Dit betreft de volgende opgaven: 52 (vrijer verwoord), 61 (aanwijzing toegevoegd), 64 (vrijer verwoord), 74 (afbeelding en uitleg toegevoegd), 75--77 (uitleg toegevoegd).
Verder hebben we aan het eind van het boek een korte verklarende woordenlijst opgenomen met definities van in het boek gebruikte wis\-kundige begrippen.
We stellen het op prijs reacties op de opgaven te ontvangen, om het gebruik van dit boek te verbeteren. Deze mogen uiteenlopen van oplossingsvoorstellen voor de opgaven, uitbreidingen van de verkla\-rende woordenlijst en nieuwe vertalingen, tot ideeën voor andere ver\-woordingen van de opgaven en aanvullende uitleg. Reacties, op- en aanmerkingen en verbetervoorstellen graag richten aan:\\\href{mailto:info@imaginary.org}{\nolinkurl{info@imaginary.org}}.
\section*{Opmerkingen bij de Nederlandse uitgave}
V.\,I.~Arnold heeft de originele uitgave van dit boek geschreven in het Russisch. Uw dienaar is die taal niet machtig en heeft zich voor deze Nederlandse uitgave op de Engelse en Duitse IMAGINARY vertalin\-gen verlaten. De Duitse uitgave, gebaseerd op de Engelse vertaling van het origineel, bevat een aantal eigen toevoegingen. Die zijn in deze Nederlandse uitgave meegenomen.
Ook geraadpleegd is de Nederlandse Google Translate vertaling van het Russische origineel; die gaf weliswaar nauwelijks nette zinnen, maar wel hier en daar treffende woorden.
Dit basismateriaal inspireerde een veelheid aan vertaalmogelijk\-heden. Er is voor gekozen de gebalde stijl van Arnold aan te houden.
\clearpage
\section*{De opgaven}
\begin{problem}{1.}
Masha kwam zeven kopeken tekort om een leesboek te kopen, en Misha had één kopeke te weinig. Ze legden hun geld bij elkaar om het boek samen te kopen, maar zelfs toen hadden ze nog niet genoeg. Hoeveel kostte het boek?
\end{problem}
\begin{problem}{2.}
Een fles met een kurk kost 10 kopeken, terwijl de fles alleen 9~kopeken duurder is dan de kurk. Hoeveel kost de fles zonder de kurk?
\end{problem}
\begin{problem}{3.}
Een baksteen weegt een pond plus een halve steen. Hoeveel weegt de baksteen?
\end{problem}
\begin{problem}{4.}
Een lepel wijn wordt vanuit een wijnvat in een (niet volledig gevuld) glas thee gegoten. Vervolgens wordt er een even grote lepel van het (inhomogene) mengsel vanuit het glas in het vat teruggebracht. Nu zit er zowel in het vat als in het glas een zekere hoeveelheid vreemde vloeistof (wijn in het glas en thee in het vat). Waarin is het volume vreemde vloeistof het grootst: in het glas of in het vat?
\end{problem}
\begin{problem}{5.}
Twee oude dames vertrokken tegelijkertijd, bij zonsopkomst, de ene van $A$ naar $B$ en de andere van $B$ naar $A$. Ze liepen elkaar op dezelfde weg tegemoet. Ze ontmoetten elkaar op het middaguur, stopten echter niet, en elk ging in hetzelfde tempo door. De eerste dame kwam aan in $B$ om \SI{16}{\uur} en de tweede bereikte $A$ om \SI{21}{\uur}. Hoe laat was de zonsopgang die dag?
\end{problem}
\begin{problem}{6.}
Een opgave in een standaard Amerikaans examen luidt: De schui\-ne zijde (hypotenusa) van een rechthoekige driehoek is 10 inch lang en de hoogte van de driehoek vanaf de schuine zijde is 6 inch. Bepaal de oppervlakte van de driehoek.
Scholieren in de Verenigde Staten hadden gedurende meer dan een decennium geen probleem met deze vraag. Toen kwam er een aantal Russische schoolkinderen uit Moskou en geen van hen kon een oplossing geven, in tegenstelling tot hun Amerikaanse evenknieën (die als antwoord 30 vierkante inch gaven). Waarom?
\end{problem}
\begin{problem}{7.}
Vasya heeft 2 zussen meer dan dat hij broers heeft. Hoeveel meer dochters dan zonen hebben Vasya's ouders?
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{8.}
Er is een ronde vijver in Zuid-Amerika, in het midden waarvan ieder jaar op 1~juni een Victoria Regia bloem verschijnt. De steel groeit vanuit de bodem en de bloembladen liggen op het wateroppervlak net zoals die van een waterlelie. Elke dag verdubbelt de oppervlakte van de bloem zich, totdat de bloembladen op 1~juli het gehele oppervlak van de vijver bedekken. Vervolgens vallen de bloembladen af en zinken de zaden naar de bodem. Op welke dag heeft de bloem de helft van de vijver bedekt?
\end{problem}
\begin{problem}{9.}
Een boer moet een wolf, een geit en een kool met een boot een rivier overzetten. De boot is echter zo klein dat hij slechts één van de drie aan boord kan meenemen. Hoe kan hij alle drie de rivier overbrengen? (De wolf kan niet alleen gelaten worden met de geit, en de geit kan niet alleen gelaten worden met de kool.)
\end{problem}
\begin{problem}{10.}
Overdag klimt een slak \SI{3}{\cm} tegen een paal omhoog, maar hij glijdt 's~nachts in zijn slaap weer \SI{2}{\cm} naar beneden. De paal is \SI{10}{\metre} hoog en helemaal bovenop bevindt zich een lekker hapje. Na hoeveel dagen zal de slak het hapje bereiken?
\end{problem}
\begin{problem}{11.}
Een natuurbeheerder liep vanaf zijn tent \SI{10}{\km} zuidwaarts, sloeg af naar het oosten, liep \SI{10}{\km} oostwaarts, kwam zijn vriend de beer tegen, sloeg af naar het noorden, en kwam na nog eens \SI{10}{\km} weer bij zijn tent uit. Welke kleur had de beer, en waar gebeurde dit allemaal?
\end{problem}
\begin{problem}{12.}
Het was vandaag om \SI{12}{\uur} 's~middags laagtij. Hoe laat zal dat morgen gebeuren (op dezelfde plaats)?
\end{problem}
\begin{problem}{13.}
Twee van de werken van Poesjkin, het eerste en het tweede deel, staan naast elkaar op een boekenplank. De bladzijden van elk deel zijn samen \SI{2}{\cm} dik en de kaft, voorkaft en achterkaft elk, is \SI{2}{\mm} dik. Een boekenworm heeft zich doorgevreten, loodrecht op de bladzijden, van de eerste bladzijde van het eerste deel tot de laatste bladzijde van het tweede deel. Hoe lang is het gaatje?
[Dit topologische vraagstuk met een onaannemelijk antwoord, te weten \SI{4}{\mm}, is onneembaar voor veel academici, terwijl sommige kleu\-ters er geen moeite mee hebben.]
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{14.}
Bedenk een lichaam met bovenaanzicht en vooraanzicht zoals hieronder getoond. Teken het zijaanzicht (duid onzichtbare ribben aan met een stippellijn).
\begin{figure}
\footnotesize
\null\hfill
\parbox{0.2\linewidth}{\centering\includegraphics{resources/taskbook-99}\\Bovenaanzicht}
\hfill
\parbox{0.2\linewidth}{\centering\includegraphics{resources/taskbook-98}\\Vooraanzicht}
\hfill\null
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{15.}
Hoeveel manieren zijn er om het getal 64 te schrijven als de som van 10 natuurlijke getallen (gehele getallen $\geq 1$), waarvan er minstens één gelijk is aan en geen groter is dan 12?
[Sommen die alleen verschillen in de volgorde van hun termen tellen niet als verschillend.]
\end{problem}
\begin{problem}{16.}
Door gelijke staven (bijvoorbeeld dominostenen) op elkaar te stapelen, kunnen we de hoogste laten uitsteken over de laagste met een lengte van $x$ maal de staaflengte. Wat is de hoogst haalbare waarde van $x$?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-97}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{17.}
De afstand tussen twee steden $A$ en $B$ is \SI{40}{\km}. Twee fietsers vertrekken gelijktijdig uit $A$ en $B$ en rijden elkaar tegemoet, de ene met een snelheid van \SI{10}{\km\per\uur} en de andere met \SI{15}{\km\per\uur}. Een vlieg gaat met \SI{100}{\km\per\uur} tegelijk met de eerste fietser weg uit $A$, bereikt de tweede fietser, raakt zijn voorhoofd, vliegt terug naar de eerste fietser, raakt diens voorhoofd, dan weer terug naar de tweede en zo verder, totdat de voorhoofden van de fietsers elkaar raken en de vlieg wordt geplet. Hoeveel kilometer heeft de vlieg in totaal afgelegd?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-1}
\end{figure}
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{18.}
Een dominosteen bedekt steeds precies twee velden van een schaakbord. Probeer het gehele bord, behalve twee tegenoverliggende hoekvelden (op dezelfde diagonaal), te bedekken met 31 stenen. [Een schaakbord bestaat uit $8 \times 8 = 64$ vierkante velden.]
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-2}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{19.}
Een rups wil in een kubusvormige kamer van een hoek (linksvoor op de vloer) naar de tegenoverliggende hoek (rechtsachter tegen het plafond) kruipen. Bepaal de kortst mogelijke weg langs de wanden.
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-3}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{20.}
Je hebt twee vaten, het ene met een inhoud van 5 liter en het andere 3 liter, en water uit de kraan. Meet een liter af (overblijvend in één van beide vaten).
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-4}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{21.}
In een gezin zijn er vijf hoofden en veertien benen. Hoeveel mensen en hoeveel honden telt het gezin?
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{22.}
Op de zijden $AB$, $BC$ en $CA$ van een driehoek $ABC$ worden naar buiten toe gelijkzijdige driehoeken geconstrueerd. Bewijs dat hun centra (in de figuur aangegeven met $*$) een gelijkzijdige driehoek bepalen.
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-6}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{23.}
Welke veelhoeken kunnen ontstaan als een plat vlak een kubus doorsnijdt? Kunnen we zo een vijfhoek (pentagon), een zevenhoek (heptagon), een regelmatige zeshoek (hexagon) verkrijgen?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-7}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{24.}
Teken een rechte lijn door het middelpunt van een kubus, zodat de som van de kwadraten van de afstanden ernaartoe vanuit de acht hoekpunten van de kubus a) zo groot mogelijk en b) zo klein mogelijk is (vergeleken met andere rechten door het midden).
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{25.}
Een rechtopstaande kegel met als basis een cirkel wordt door\-sneden door een plat vlak langs een gesloten kromme. Twee bollen die in de kegel zijn bevat raken het vlak, de ene in een punt $A$ en de andere in een punt $B$. Bepaal een punt $C$ op de snijkromme, waarvoor de som van de afstanden $CA + CB$ a) zo groot mogelijk en b) zo klein mogelijk is.
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-9}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{26.}
Het aardoppervlak wordt geprojecteerd op de cylinder gevormd door de raaklijnen aan de meridianen in de punten waar ze de evenaar snijden. De projectie verloopt langs de stralen door de aardas en evenwijdig aan het vlak van de evenaar. Is de oppervlakte van de projectie van Frankrijk groter of kleiner dan de werkelijke oppervlakte van Frankrijk?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-10}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{27.}
Bewijs dat voor een oneven priemgetal $p$ het delen van het getal~$2^{p-1}$ door $p$ een rest van 1 geeft (voorbeelden: $2^2 = 3 a + 1$, $2^4 = 5 b + 1$, $2^6 = 7 c + 1$, $2^{10} - 1 = 1023 = 11 \cdot 93$).
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{28.}
Een naald van \SI{10}{\cm} lang wordt willekeurig op een vel gelinieerd papier geworpen, waarvan de regelafstand ook \SI{10}{\cm} bedraagt. Dit wordt $N$ (zeg een miljoen) maal herhaald. Hoe vaak (ongeveer, met een fout van hoogstens een paar procent) kruist de gevallen naald een lijn op het papier?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-12}
\end{figure}
Het is mogelijk dit experiment uit te voeren met slechts $N = 100$ (zoals ik deed toen ik 10 jaar oud was) in plaats van een miljoen maal. [Het antwoord op deze vraag is verrassend: $\frac{2}{\pi} N$. Zelfs voor een gebogen naald ter lengte $a \cdot \SI{10}{\cm}$ zal het aantal waargenomen treffers bij $N$ worpen bij benadering $\frac{2 a}{\pi} N$ zijn. Het getal $\pi \approx \frac{355}{113} \approx \frac{22}{7}$.]
\end{problem}
\begin{problem}{29.}
Sommige veelvlakken hebben enkel driehoekige zijvlakken, zoals de volgende Platonische lichamen (regelmatige veelvlakken): tetraëder (4 zijvlakken), octaëder (8 zijvlakken), icosaëder (20 zijvlakken, met 12 hoekpunten en 30 ribben; is interessant om te tekenen).
\begin{figure}
\footnotesize
\null\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\centering\includegraphics{resources/taskbook-131}\\Tetraëder ($\text{tetra} = 4$)}
\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\centering\includegraphics{resources/taskbook-132}\\Octaëder ($\text{octo} = 8$)}
\hfill\null\\
{\Huge ?}\\Icosaëder ($\text{icosi} = 20$)
\end{figure}
Onderzoek de bewering dat van zo'n lichaam (een begrensd convex veelvlak met driehoekige zijvlakken) het aantal zijvlakken gelijk is aan tweemaal het aantal hoekpunten min vier.
\end{problem}
\clearpage
\noindent Nog een Platonisch lichaam (er zijn er maar 5):
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-14}
\end{figure}
\begin{problem}{30.}
Een dodecaëder is een convex veelvlak met twaalf (regelmatige) vijfhoekige zijvlakken, twintig hoekpunten en dertig ribben; de hoek\-punten bevinden zich steeds in het midden van de zijvlakken van een icosaëder.
Zoek vijf verschillende kubussen in het inwendige van de dode\-caëder, die voldoen aan de volgende eigenschappen: de hoekpunten van elke kubus zijn ook hoekpunten van de dodecaëder, en de ribben van elke kubus zijn diagonalen van de zijvlakken van de dodecaëder; bedenk dat een kubus 12 ribben heeft, één per zijvlak van de dodecaë\-der. [Johannes Kepler wierp deze constructie op in zijn model van de planetenbanen.]
\end{problem}
\begin{problem}{31.}
Bepaal de doorsnede van twee tetraëders die zodanig in een kubus liggen, dat hun hoekpunten ook hoekpunten van de kubus zijn, en hun ribben diagonalen van zijvlakken van de kubus.
Welk breukdeel van de kubusinhoud maakt de doorsnede van de tetraëders uit?
\end{problem}
\begin{problem}{31\textsuperscript{bis}.}
Construeer de doorsnede van een kubus en een plat vlak dat door drie gegeven punten op de ribben van de kubus gaat (zie teke\-ning). [Teken de veelhoek die de doorsnede vormt van het vlak en de zijden van de kubus.]
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-15}
\end{figure}
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{32.}
Hoeveel symmetrieën heeft een tetraëder? Hoeveel een kubus? Een octaëder? Een icosaëder? Een dodecaëder? Een symmetrie is een omzetting die een voorwerp op zichzelf afbeeldt, dus in het bijzonder de afmetingen van het voorwerp bewaart.
Hoeveel van de symmetrieën zijn draaiingen (rotaties) en hoeveel ervan zijn spiegelingen (reflecties) (in elk van de vijf gevallen)?
\end{problem}
\begin{problem}{33.}
Hoeveel manieren zijn er om de 6 zijvlakken van even grote kubussen in zes verschillende kleuren $(1,\dotsc,6)$ [één kleur per zijvlak] te verven, zodat er geen twee van de zo verkregen gekleurde kubussen gelijk zijn (geen twee kunnen door een draaiing in elkaar overgevoerd worden)?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-17}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{34.}
Hoeveel verschillende manieren zijn er om $n$ voorwerpen te rang\-schikken? Voor $n = 3$ zijn dat er zes: $(1,2,3)$, $(1,3,2)$, $(2,1,3)$, $(2,3,1)$, $(3,1,2)$, $(3,2,1)$. En hoeveel voor $n = 4$? $n = 5$? $n = 6$? $n = 10$?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-18}
\end{figure}
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{35.}
Een kubus heeft 4 lichaamsdiagonalen. Hoeveel permutaties van deze diagonalen zijn te verkrijgen via draaiingen van de kubus?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-19}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{36.}
De som van de derdemachten van een aantal gehele getallen wordt afgetrokken van de derdemacht van de som van deze getallen. Is dit verschil altijd deelbaar door 3?
\end{problem}
\begin{problem}{37.}
Dezelfde opgave als de vorige, maar dan voor de vijfde machten en deelbaarheid door 5, en voor de zevende machten en deelbaarheid door 7.
\end{problem}
\begin{problem}{38.}
Bereken de som
\begin{equation*}
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dotsb + \frac{1}{99 \cdot 100}
\end{equation*}
(de fout mag niet groter zijn dan $1\%$ van het antwoord).
\end{problem}
\begin{problem}{39.}
Als twee verschillende veelhoeken dezelfde oppervlakte hebben, dan kunnen ze in een eindig aantal veelhoekjes worden verdeeld, die zo kunnen worden gelegd dat ze elk van beide veelhoeken vormen. Bewijs dit. [Voor driedimensionale lichamen geldt dit niet: een kubus en een tetraëder met dezelfde inhoud kunnen niet zodanig worden opgedeeld!]
\begin{figure}
\includegraphics{resources/q39_horizontal}
\end{figure}
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{40.}
Een parallellogram getekend op een vel ruitjespapier heeft zijn hoekpunten op roosterpunten. Verder liggen er noch op de zijden van het parallellogram noch in zijn binnengebied andere roosterpunten. Bewijs dat de oppervlakte van zo'n parallellogram gelijk is aan die van één ruitje.
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-24}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{41.}
Met hetzelfde uitgangspunt als in opgave~40 liggen er nu $a$~roos\-terpunten binnen het parallellogram en $b$ op de zijden. Bereken zijn oppervlakte.
\end{problem}
\begin{problem}{42.}
Geldt voor parallellepipeda in de ruimte de overeenkomstige uitspraak uit opgave~40 ook?
\end{problem}
\begin{problem}{43.}
De Fibonacci-getallen vormen de rij $1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dotsc$ (de rij van Fibonacci of ook wel de konijnenrij genoemd), waarin geldt: $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ voor alle $n = 1,2,\dotsc$ ($a_n$ is het $n$de~getal in de rij). Bepaal de grootste gemene deler van de getallen $a_{100}$ en $a_{99}$.
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{44.}
Bepaal het aantal manieren (Catalan-getal $c(n)$) om een convexe $n$-hoek in driehoeken te verdelen door te knippen langs diagonalen die elkaar niet snijden. Bijvoorbeeld $c(4) = 2$, $c(5) = 5$, $c(6) = 14$. Hoe bepaal je $c(10)$?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-281}
\qquad
\includegraphics{resources/taskbook-282}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{45.}
Aan een toernooi doen $n$ ploegen mee. Een ploeg die verliest valt af. Dus na $n - 1$ partijen blijft de winnaar over. Het wedstrijdschema voor vier ploegen kan worden geschreven met een symbool:\\$((a,(b,c)),d)$ betekent dat eerst de ploegen $b$ en $c$ tegen elkaar uit\-komen, de winnaar dan tegen $a$ speelt, en de winnaar van die partij ten slotte tegen $d$. Hoeveel verschillende schema's zijn er voor 10 ploegen?
\begin{itemize}
\item Bij 2 ploegen is er alleen de mogelijkheid $(a,b)$, aantal = 1.
\item Bij 3 ploegen zijn er de mogelijkheden $((a,b),c)$, $((a,c),b)$, $((b,c),a)$, aantal = 3.
\item Bij 4 ploegen zijn er de volgende, aantal = 15:
\begin{equation*}
\begin{array}{@{}cccc@{}}
(((a,b),c),d) & \quad\;(((a,c),b),d) & \quad\;(((a,d),b),c) & \quad\;(((b,c),a),d) \\
(((b,d),a),c) & \quad\;(((c,d),a),b) & \quad\;(((a,b),d),c) & \quad\;(((a,c),d),b) \\
(((a,d),c),b) & \quad\;(((b,c),d),a) & \quad\;(((b,d),c),a) & \quad\;(((c,d),b),a) \\
((a,b),(c,d)) & \quad\;((a,c),(b,d)) & \quad\;((a,d),(b,c))
\end{array}
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{problem}
\begin{problem}{46.}
Verbind $n$ punten $1,2,\dotsc,n$ met $n - 1$ lijnstukken tot een boom. Hoeveel verschillende bomen kun je vormen? (Het geval $n = 5$ is al interessant!)
$n = 2$:\quad
\includegraphics{resources/taskbook-291}\,,\quad
aantal = 1;
$n = 3$:\quad
\includegraphics{resources/taskbook-292}\,,\quad
\includegraphics{resources/taskbook-293}\,,\quad
\includegraphics{resources/taskbook-294}\,,\quad
aantal = 3;
$n = 4$:\quad
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{resources/taskbook-295}}}$,\quad
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{resources/taskbook-296}}}$,\quad
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{resources/taskbook-297}}}$,\quad
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{resources/taskbook-298}}}$,\quad
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{resources/taskbook-299}}\hbox{\includegraphics{resources/taskbook-290}}
\vskip-8pt
\hbox to50bp{\dotfill}}$,\\
\null\hspace{\parindent}\phantom{$n = 4$:}\quad
aantal = 16.
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{47.}
Een permutatie $(x_1,x_2,\dotsc,x_n)$ van de getallen $\{1,2,\dotsc,n\}$ heet een `slang' (ter lengte $n$) als $x_1 < x_2 > x_3 < x_4 \dotsb$.\\
\noindent \texttt{Voorbeeld}
\begin{equation*}
\begin{aligned}[t]
&\begin{aligned}[t] n=2, \text{\ \ alleen\ \ } 1<2, \end{aligned} && \text{aantal} = 1, \\
&\hskip-\nulldelimiterspace\mathord{\left. \begin{aligned} n=3, \hphantom{\text{\ \ alleen\ \ }} 1&<3>2 \\
2&<3>1 \end{aligned} \right\}}, && \text{aantal} = 2, \\
&\hskip-\nulldelimiterspace\mathord{\left. \begin{aligned} n=4, \hphantom{\text{\ \ alleen\ \ }} 1&<3>2<4 \\
1&<4>2<3 \\
2&<3>1<4 \\
2&<4>1<3 \\
3&<4>1<2 \end{aligned} \right\}},
&& \text{aantal} = 5. \\
\end{aligned}
\end{equation*}
Bepaal het aantal slangen ter lengte 10.
\end{problem}
\begin{problem}{48.}
Laat $s_n$ het aantal slangen ter lengte $n$ aangeven:
\begin{equation*}
s_1 = 1, \quad s_2 = 1, \quad s_3 = 2, \quad s_4 = 5, \quad s_5 = 16, \quad s_6 = 61.
\end{equation*}
Toon aan dat de Taylorreeks van de tangensfunctie luidt
\begin{equation*}
\tan x = 1\, \frac{x^1}{1!} + 2\, \frac{x^3}{3!} + 16\, \frac{x^5}{5!} + \dots = \textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} s_{2k - 1}\, \frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!}.
\end{equation*}
\end{problem}
\begin{problem}{49.}
Bepaal de som van de reeks
\begin{equation*}
1 + 1\, \frac{x^2}{2!} + 5\, \frac{x^4}{4!} + 61\, \frac{x^6}{6!} + \dots = \textstyle\sum\limits_{k=0}^{\infty} s_{2k}\, \frac{x^{2k}}{(2k)!}.
\end{equation*}
\end{problem}
\begin{problem}{50.}
Bewijs voor $s > 1$ de gelijkheid
\begin{equation*}
\textstyle\prod\limits_{p=2}^{\infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}} = \textstyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
\end{equation*}
(het product loopt over alle priemgetallen $p$, de som over alle natuur\-lijke getallen $n$).
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{51.}
Bepaal de som van de reeks
\begin{equation*}
1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots = \textstyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
\end{equation*}
(bewijs dat deze gelijk is aan $\nicefrac{\pi^2}{6}$, dus bij benadering $\nicefrac{3}{2}$).
\end{problem}
\begin{problem}{52.}
$R$ is de straal van een cirkelschijf, en $p$ en $q$ zijn twee gehele getallen die voldoen aan de ongelijkheid $p^2 + q^2 \leqslant R^2$. Hoe groot is de kans dat de breuk $\nicefrac{p}{q}$ niet meer kan worden vereenvoudigd?
We tellen op de cirkelschijf de punten waarvan de coördinaten onderling ondeelbare gehele getallen zijn (geen gemene deler anders dan 1). We noemen dit aantal $N(R)$ (het aantal punten $N$ hangt af van de straal $R$; dat maken we in de notatie $N(R)$ duidelijk). Verder is $M(R)$ het aantal punten op de cirkelschijf met geheeltallige coördinaten ($M(R) \sim \pi R^2$). De kans dat de breuk $\nicefrac{p}{q}$ niet meer kan worden vereenvoudigd is dan de limiet van de breuk $\nicefrac{N(R)}{M(R)}$.
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-36}\\
\footnotesize $M(5) = 81,N(5) = 44,\nicefrac{N}{M} = \nicefrac{44}{81}$
\end{figure}
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{53.}
Bepaal voor de rij Fibonacci-getallen $a_n$ uit opgave~43 de limiet van de verhouding $a_{n+1}/a_n$ wanneer $n$ naar oneindig gaat:
\begin{equation*}
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1, \ 2, \ \frac{3}{2}, \ \frac{5}{3}, \ \frac{8}{5}, \ \frac{13}{8}, \ \frac{21}{13}, \ \frac{34}{21}, \ \dotsc
\end{equation*}
\noindent \texttt{Antwoord:} De `gulden snede', $\frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1{,}618$. [Deze is de verhouding tussen de zijden van een rechthoek $ABCD$ die gelijkvormig is aan wat er overblijft na afsnijden van het vierkant $ABPQ$ met als zijde de korte zijde van de rechthoek, $\frac{AB}{BC} = \frac{PC}{CD}$.] Hoe treedt de gulden snede op in een regelmatige vijfhoek (pentagon) en een vijfpuntige ster (pentagram)?
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-37}
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{54.}
Bereken de waarde van de oneindige kettingbreuk
\begin{equation*}
1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \ldots}}}}} = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ldots}}}
\end{equation*}
met $a_{2k} = 1$ en $a_{2k + 1} = 2$ (bepaal de limiet van de breuken
\begin{equation*}
a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + {\atop{\ddots\atop{}} + \cfrac{1}{a_n}}}}
\end{equation*}
voor $n \to \infty$).
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{55.}
Druk uit in veeltermen (polynomen)
\begin{equation*}
y = \cos (3 \arccos x),\ y = \cos (4 \arccos x),\ y = \cos (n \arccos x),
\end{equation*}
waarbij $|x| \leqslant 1$.
\end{problem}
\begin{problem}{56.}
Bereken de som van de $k$de machten van de $n$ (complexe) $n$de eenheidswortels.
\end{problem}
\begin{problem}{57.}
Teken in het $(x,y)$-vlak de krommen gedefinieerd door de para\-metervoorstellingen
\begin{equation*}
\{x = \cos 2 t, y = \sin 3 t\},\quad
\{x = t^3 - 3 t, y = t^4 - 2 t^2\}.
\end{equation*}
\end{problem}
\begin{problem}{58.}
Bereken (de fout mag niet groter zijn dan $10\%$ van het antwoord)
\begin{equation*}
\int_{0}^{2 \pi} \sin^{100} x\,dx.
\end{equation*}
\end{problem}
\begin{problem}{59.}
Bereken (de fout mag niet groter zijn dan $10\%$ van het antwoord)
\begin{equation*}
\int_{1}^{10} x^x\,dx.
\end{equation*}
\end{problem}
\begin{problem}{60.}
Bepaal de oppervlakte $S$ van een driehoek met hoeken $(\alpha,\beta,\gamma)$ op een bol met straal 1, waarvan de zijden liggen op grootcirkels (doorsnedes van de bol met platte vlakken die door het middelpunt van de bol gaan).\\
\noindent \texttt{Antwoord:} $S = \alpha + \beta + \gamma - \pi$ (bijvoorbeeld voor een driehoek met drie rechte hoeken bedraagt $S = \nicefrac{\pi}{2}$, een achtste van de oppervlakte van de bol).
\begin{figure}
\null\hfill
\includegraphics{resources/taskbook-44}
\hfill\null
\end{figure}
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{61.}
Een cirkel met straal $r$ rolt (zonder te slippen) binnen een cirkel met straal 1. Teken de volledige baan van een punt op de rollende cirkel (zo'n baan heet een hypercycloïde) voor $r = \nicefrac{1}{3}$, voor $r = \nicefrac{1}{4}$, voor $r = \nicefrac{1}{n}$, voor $r = \nicefrac{1}{2}$.\\
\noindent \texttt{Aanwijzing:} Voer dit gedachtenexperiment vervolgens uit op een over een rechte rollende cirkel. De resulterende kromme heet een cycloïde. Zet dit geval nu over naar de oorspronkelijke opgave.
\begin{figure}
\null\hfill
\includegraphics{resources/taskbook-45}
\hfill\null
\end{figure}
\end{problem}
\begin{problem}{62.}
Hoe groot is de kans dat in een klas van $n$ leerlingen er twee op dezelfde dag jarig zijn? Vind je deze kans groot of klein?\\
\noindent \texttt{Antwoord:} (Zeer) groot als het leerlingenaantal $n$ (ver) boven een zekere $n_0$ ligt, (zeer) klein als het (ver) onder $n_0$ ligt, en wat deze opgave eigenlijk vraagt is welke waarde $n_0$ heeft (wanneer de kans ongeveer $\nicefrac{1}{2}$ is).
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{63.}
De brekingswet van Snellius zegt dat de hoek $\alpha$ tussen een lichtstraal en de loodlijn op het oppervlak van een gelaagd medium wordt bepaald door de vergelijking
\begin{equation*}
n(y) \sin \alpha = \text{constant},
\end{equation*}
waarbij $n(y)$ de brekingsindex van de laag ter hoogte $y$ is. (De index~$n$ is omgekeerd evenredig aan de lichtsnelheid in het medium, waarbij de snelheid in vacuüm op 1 wordt gesteld; in water is $n$ onafhankelijk van de hoogte $y$ en heeft de waarde $n = \nicefrac{4}{3}$.)
\begin{figure}
\null\hfill
\includegraphics{resources/taskbook-47}
\hfill\null
\end{figure}
Teken de banen van lichtstralen in het medium `lucht boven een woestijn', waarin de brekingsindex $n(y)$ op een bepaalde hoogte een maximum heeft:
\begin{figure}
\null\hfill
\includegraphics{resources/taskbook-471}
\hfill\null
\end{figure}
(De oplossing van dit vraagstuk verklaart het verschijnsel van een luchtspiegeling in de woestijn, tenminste voor wie begrijpt hoe banen van lichtstralen afkomstig van een voorwerp in verband staan met het beeld ervan.)
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{64.}
Beschouw een scherphoekige driehoek $ABC$. Bepaal de driehoek $KLM$ met de kleinst mogelijke omtrek die zo in $ABC$ is ingeschreven dat de hoek $K$ op de zijde $AB$ ligt, $L$ op $BC$, en $M$ op $CA$.
\begin{figure}
\includegraphics{resources/taskbook-48}
\end{figure}
\noindent \texttt{Opmerking:} Voor niet-scherphoekige driehoeken is de oplossing niet zo elegant als voor scherphoekige.
\end{problem}
\begin{problem}{65.}
Bereken het gemiddelde van de functie $\nicefrac{1}{r}$ ($r$ is de afstand van de oorsprong $(0,0,0)$ tot een willekeurig punt $(x,y,z)$, $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$) op de bol met straal $R$ en middelpunt $(X,Y,Z)$.\\
\noindent \texttt{Opmerking:} Deze opgave staat in verband met de gravitatiewet van Newton en de wet van Coulomb uit de elektriciteitsleer. In de twee\-dimensionale versie van deze opgave dient de gegeven functie te wor\-den vervangen door $\ln r$ en de bol door een cirkel.
\end{problem}
\begin{problem}{66.}
Uit het feit dat $2^{10} = 1024 \approx {10}^3$ volgt dat $\log_{10} 2 \approx 0,3$. Schat hun verschil en bereken $\log_{10} 2$ tot op drie decimalen nauwkeurig.
\end{problem}
\begin{problem}{67.}
Bereken $\log_{10} 4$, $\log_{10} 8$, $\log_{10} 5$, $\log_{10} 50$, $\log_{10} 32$, $\log_{10} 128$,\\$\log_{10} 125$, $\log_{10} 64$ met dezelfde nauwkeurigheid.
\end{problem}
\begin{problem}{68.}
Gebruik het feit dat $7^2 \approx 50$ om een benadering te bepalen van $\log_{10} 7$.
\end{problem}
\begin{problem}{69.}
Bepaal $\log_{10} 9$, $\log_{10} 3$, $\log_{10} 27$, $\log_{10} 6$, $\log_{10} 12$, aannemende dat de waarden van $\log_{10} 64$ en $\log_{10} 7$ bekend zijn.
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{70.}
Bepaal, met gebruik van $\ln (1 + x) \approx x$ ($\ln$ staat voor $\log_e$)\footnote{Het getal van Euler $e = 2{,}71828 \dots$ is gedefinieerd als de limiet van de rij ${\left( 1 + \frac{1}{n} \right)}^n$ voor $n \to \infty$, en is gelijk aan de som van de reeks $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dotsb$. Het kan ook worden gedefinieerd via de aangehaalde formule voor $\ln (1 + x)$: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$.}, $\log_{10} e$ en $\ln 10$ uit de betrekking
\begin{equation*}
\log_{10} a = \frac{\ln a}{\ln 10}
\end{equation*}
en de eerder berekende waarden van $\log_{10} a$ (bijvoorbeeld voor $a = \nicefrac{128}{125},\nicefrac{1024}{1000}$ enzovoort).
[De antwoorden uit de opgaven~66--70 leveren je, na een half uur rekenen, een logaritmetafel op in vier decimalen voor elk willekeurig getal, met behulp van producten van reeds als steunpunten gevonden getallen en met de formule
\begin{equation*}
\ln (1 + x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dotsb
\end{equation*}
ter correctie.] (Op deze manier stelde Newton een logaritmetafel op in 40 decimalen!)
\end{problem}
\begin{problem}{71.}
Beschouw de rij machten van~2: $1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,$\\$1024,2048,\dotsc$. Onder de eerste twaalf zijn er vier waarvan de decimale expansie begint met een 1, en geen waarvan deze begint met een 7.
Bewijs dat in de limiet voor $n \to \infty$ het eerste cijfer van de getallen $2^m$, $0 \leqslant m \leqslant n$, voorkomt met een bepaalde frequentie: $p_1 \approx 30\%,p_2 \approx 18\%,\dotsc,p_9 \approx 4\%$.
\end{problem}
\begin{problem}{72.}
Beschouw het gedrag van de eerste cijfers van de machten van~3: $1,3,9,2,8,2,7,\dotsc$. Bewijs dat voor dezelfde limiet als in opgave~71 ook bepaalde frequenties optreden, en wel dezelfde als voor de machten van~2. Bepaal een exacte formule voor $p_1,\dotsc,p_9$.\\
\noindent \texttt{Aanwijzing:} Het eerste cijfer van een getal $x$ wordt bepaald door het decimale deel van het getal $\log_{10} x$. Het volstaat dus de rij decimale delen van de getallen $m \alpha$ te beschouwen, waarbij $\alpha = \log_{10} 2$.
Bewijs dat deze decimale delen gelijkmatig over het interval van 0 tot 1 verdeeld zijn: Voor een deelinterval $A$ van het interval van 0 tot 1 is $k_n(A)$ het aantal decimale delen van de $n$ getallen $m \alpha$, $0 \leqslant m < n$, die in $A$ liggen. Toon aan $\lim (k_n(A) / n) = (\text{Lengte deelinterval }A)$ voor $n \rightarrow \infty$.
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{73.}
Laat $M$ een begrensd domein zijn en $g \colon M \to M$ een gladde, injectieve afbeelding van $M$ in zichzelf die oppervlakten (volumes in het meerdimensionale geval) van gebieden bewaart.
Beschouw een willekeurig punt in $M$ en een willekeurige omge\-ving~$U$ van dit punt. Neem verder een willekeurig natuurlijk getal $N$. Bewijs dat er een punt $x$ in $U$ bestaat, zodat voor een zeker natuurlijk getal $T \geq N$ geldt dat $g^T(x)$ weer in $U$ ligt (d.w.z. we beschouwen $g(g(\dots(x))$, waarbij $g$ in totaal $T$ maal wordt toegepast) (\textit{Terugkeer\-stelling van Poincaré}).
\end{problem}
\begin{problem}{74.}
Laat $M$ het oppervlak van een torus aangeven (een torus ziet eruit als een donut). Men kan deze heel eenvoudig formeel beschrijven, wanneer men als coördinaat-assen deze twee cirkels kiest:
\begin{figure}
\includegraphics{resources/74_torus}
\end{figure}
\noindent Punten met coördinaten $(a,0)$ liggen dan bijvoorbeeld op de horizon\-tale cirkel, punten met coördinaten $(0,b)$ op de vertikale. Omdat we na een volledige rondgang (${360}^\circ$ of $2 \pi$) langs elk van de cirkels weer in het vertrekpunt terugkomen, volstaat het de coördinaten modulo~$2 \pi$ te beschouwen.
Laat de torus dus door de coördinaten ($\alpha$ mod $2 \pi$, $\beta$ mod $2 \pi$) beschreven zijn en $g \colon M \to M$ door
\begin{equation*}
g(\alpha,\beta) = (\alpha + 1,\beta + \sqrt{2}) \pmod {2 \pi}.
\end{equation*}
Toon aan dat de rij $\{g^T(x)\}$ voor alle $x$ op $M$ overal dicht in de torus ligt, waarbij $T$ de waarden $1,2,\dotsc$ doorloopt.
\end{problem}
\clearpage
\begin{problem}{75.}
Laat met dezelfde uitgangspunten als in opgave~74 de afbeelding $g \colon M \to M$ gegeven zijn door
\begin{equation*}
g(\alpha,\beta) = (2 \alpha + \beta,\alpha + \beta) \pmod {2 \pi}.
\end{equation*}
Toon aan dat er een deelverzameling van de torus bestaat die overal dicht is en uit periodieke punten van $g$ bestaat. (`Periodiek' betekent dat $g^{T(x)}(x) = x$ geldt voor zekere natuurlijke getallen $T(x)$. Het getal~$T$ hangt hierbij af van het punt $x$; deze afhankelijkheid wordt in de notatie $T(x)$ uitgedrukt.)
\end{problem}
\begin{problem}{76.}
We nemen dezelfde uitgangspunten als in opgave~74 en beschou\-wen de afbeelding uit opgave~75. Bewijs dat voor bijna alle punten $x$ op de torus de rij punten $\{g^T(x)\}$, $T = 1,2,\dotsc$, overal op de torus dicht is (`bijna alle' punten betekent dat de punten zonder deze eigenschap samen `maat', hier oppervlakte, nul hebben).
\end{problem}
\begin{problem}{77.}
Bewijs in de opgaven~74 en 76 dat de rij $\{g^T(x)\}$, $T = 1,2,\dotsc$, gelijkmatig (uniform) over de torus verdeeld is. Hiermee wordt het volgende bedoeld: We beschouwen een deelverzameling $A$ van $M$, en tellen uit de eerste $n$ punten van de rij alleen de punten die in $A$ liggen. Dit aantal noemen we $k_n(A)$. Opdat de rij gelijkmatig verdeeld is, moet gelden
\begin{equation*}
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{k_n(A)}{n} = \frac{\text{Oppervlakte}\,(A)}{\text{Oppervlakte}\,(M)}.
\end{equation*}
\end{problem}
\vfill
\noindent \texttt{Opmerking bij opgave~13.} Met deze opgave probeerde ik in mijn bijdrage aan het 2000 milleniumnummer van het tijdschrift \textit{Physics -- Uspekhi} de verschillende probleembenaderingen die men doorgaans ziet bij wiskundigen en natuurkundigen te illustreren. Het succes over\-trof mijn verwachtingen. De redacteuren waren, in tegenstelling tot de kleuters op de ervaring met wie ik mijn plan baseerde, niet in staat het probleem op te lossen. Ze veranderden het als volgt om in hun ogen toe te werken naar mijn oplossing \SI{4}{\mm}: in plaats van ``van de eerste bladzijde van het eerste deel tot de laatste bladzijde van het tweede deel'' drukten ze af ``van de \textit{laatste} bladzijde van het eerste deel tot de \textit{eerste} bladzijde van het tweede deel''.
Dit waargebeurde voorval is zo ongeloofwaardig dat ik het hier vermeld: het bewijs is de versie van de redactie zoals gepubliceerd in het tijdschrift.
\clearpage
\section*{Verklarende woordenlijst}
\begin{description}
\item[Convex] Wiskundigen noemen een figuur (bijvoorbeeld een veelvlak) convex, als men tussen twee willekeurige punten van de figuur een rechte lijn kan tekenen en dat hele lijnstuk in het inwendige van de figuur ligt. Aanschouwelijk gesproken is een convexe fi\-guur overal bolstaand naar buiten.
Voorbeelden:
\begin{figure}
\def\svgwidth{230pt}
\subimport{resources/}{glossar_konvex.pdf_tex}
\end{figure}
\item[Dicht] Een deelverzameling $A$ van een `grote' verzameling $M$ ligt dicht in $M$, als men elk element van $M$ willekeurig goed kan benaderen met elementen uit $A$ (spreektaal: wanneer men met elementen uit $A$ willekeurig dicht bij elk element van $M$ kan komen).
Bijvoorbeeld ligt de verzameling van de rationale getallen $\mathbb{Q}$ dicht in de verzameling van de reële getallen $\mathbb{R}$, d.w.z. elk reëel getal kan willekeurig goed door een breuk worden benaderd.
\item[Eenheidswortel] Een $n$de eenheidswortel is een getal dat verheven tot de $n$de macht 1 oplevert (in formulevorm: een getal $z$ zodat $z^n = 1$).
Bijvoorbeeld is 1 een $n$de eenheidswortel voor elk natuurlijk getal $n$, want er geldt $1^n = 1$. Als $n$ even is, is bovendien $-1$ een $n$de eenheidswortel, want dan geldt ${(-1)}^n = 1$.
In het algemeen vindt men eenheidswortels op het terrein van de complexe getallen. Deze vormen het eersthogere getalbegrip boven de verzameling van de reële getallen $\mathbb{R}$. Het kan boeiend zijn je daar wat in te verdiepen.
\clearpage
\item[Gladde afbeelding] Volgens de wiskundige definitie heet een afbeeld\-ing glad, als deze oneindig vaak differentieerbaar is. Bijvoorbeeld is elke veelterm (polynoom) glad:
\begin{gather*}
f(x) = x^2 + 3,\ f'(x) = 2 x,\ f''(x) = 2,\\
f'''(x) = f^{(n)}(x) = 0 \text{ voor alle natuurlijke getallen } n \geq 3.
\end{gather*}
Ook de $e$-functie behoort tot de gladde afbeeldingen:
\begin{equation*}
g(x) = e^x, g'(x) = g^{(n)}(x) = e^x \text{ voor alle natuurlijke getallen } n.
\end{equation*}
Een voorbeeld van een functie die niet glad is, is de absolute waarde functie $h(x) = |x|$. Die heeft in $x = 0$ een `punt' en kan daar niet worden gedifferentieerd.
Aanschouwelijk kan het woord `glad' bij functies letterlijk wor\-den opgevat: de grafiek van een gladde functie heeft geen punten en laat zich in één streek tekenen.
\item[Injectief] Een afbeelding die geen element in het bereik meer dan eenmaal bereikt, heet injectief. Bijvoorbeeld is elke permutatie injectief (zie Permutatie).
Voorbeelden:
\begin{figure}
\def\svgwidth{200pt}
\subimport{resources/}{glossar_injektiv.pdf_tex}
\end{figure}
De functie $f(x) = x^2$ is niet injectief, wanneer men als domein de hele reële as toelaat. Dan is namelijk $f(-1) = f(1) = 1$, dus 1 wordt tweemaal bereikt.
\item[Modulo] We schrijven $a \mod b$ en bedoelen de rest die overblijft als $a$ door $b$ wordt gedeeld. Vergelijkbaar met het gelijkheidsteken wordt in dit verband het symbool ``$\equiv$'' gebruikt.
$c \equiv a \mod b$ (spreek uit: $c$ is congruent aan $a$ modulo $b$) be\-tekent dat $c$ en $a$ bij deling door $b$ dezelfde rest hebben.
Voorbeelden: $7 \equiv 1 \mod 6,\ 11 \equiv 3 \mod 4$.
\clearpage
\item[Permutatie] Een permutatie is een afbeelding, waarbij de getallen $1,2,\dotsc,n$ zodanig op de getallen $1,2,\dotsc,n$ worden afgebeeld, dat elk getal in het co-domein wordt bereikt.
Voorbeelden:
\begin{figure}
\def\svgwidth{200pt}
\subimport{resources/}{glossar_permutation.pdf_tex}
\end{figure}
\item[Productteken] Net als het somteken (zie Somteken) is het product\-teken $\prod$ een korte notatie voor ``deze getallen worden met elkaar vermenigvuldigd''. Ook hier worden de grenzen onder en boven het symbool geschreven.
Voorbeelden:
\begin{gather*}
\prod\limits_{k=3}^{5} k = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60,\\
\prod\limits_{m=4}^{7} (m^2 - m) = (4^2 - 4) \cdot (5^2 - 5) \cdot (6^2 - 6) \cdot (7^2 - 7) = 302\,400.
\end{gather*}
\clearpage
\item[Rij] Een rij is een opeenvolging van genummerde objecten, waaraan een voorschrift ten grondslag ligt. De rij zelf wordt als $(a_n) = a_1,a_2,a_3,\dotsc$ geschreven, het teken $a_n$ staat voor het $n$de~ele\-ment van de rij.
Voorbeelden:
\begin{itemize}
\item De natuurlijke getallen met het voorschrift $a_n = n$:
\begin{equation*}
1,2,3,4,5,\dotsc{}
\end{equation*}
Men kan ook afzonderlijke elementen uit de rij lichten, bij\-voorbeeld $a_{14} = 14$.
\item De Fibonacci-getallen met het voorschrift $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ en de start $a_1 = a_2 = 1$:
\begin{equation*}
1,1,2,3,5,8,13,\dotsc{}
\end{equation*}
\item De rij die door het voorschrift $a_n = f^n(x)$ voor de functie $f(x) = 2 x - 1$ is gegeven. Hierbij hebben we natuurlijk een startwaarde voor $x$ nodig, bijvoorbeeld $x = 2$:
\begin{equation*}
a_1 = f(2) = 3,\ a_2 = f(3) = 5,\ a_3 = f(5) = 9,\dotsc
\end{equation*}
Anders geschreven luidt de rij aldus $3,5,9,17,33,\dotsc{}$
\end{itemize}
\item[Somteken] Het somteken $\sum$ is een korte notatie voor de uitspraak ``deze getallen worden bij elkaar opgeteld''. Opdat men weet van waar tot waar men moet optellen, worden de grenzen onder (het begin) en boven (het eind) het teken geschreven:
\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^{5} i,
\end{equation*}
spreek uit ``de som over $i$ van 1 tot en met 5'', wat dus betekent dat alle getallen van 1 tot en met 5 moeten worden opgeteld.
Voorbeelden:
\begin{gather*}
\sum\limits_{i=7}^{11} i = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 45,\\
\sum\limits_{i=1}^{3} i \cdot (i + 2) = 1 \cdot (1 + 2) + 2 \cdot (2 + 2) + 3 \cdot (3 + 2) = 26.
\end{gather*}
Men kan ook sommen nemen die geen bovengrens hebben, die dus tot in het oneindige doorlopen. Men schrijft dan $\sum\limits_{i=1}^{\infty}$.
\end{description}
\clearpage
\null\vfill
\noindent
Vertaling Russisch - Engels:\\
\null\quad Victor Goryunov en Sabir Gusein-Zade\\
\\
Vertaling Engels - Duits:\\
\null\quad David Grünberg, Lilian Hueber en Lea Renner\\
\\
Aanvullingen en verklarende woordenlijst in de Duitse uitgave:\\
\null\quad Lea Renner\\
\\
Vertaling Engels en Duits - Nederlands:\\
\null\quad Rik Biel\\
\\
Ontwerp en opmaak:\\
\null\quad Konrad Renner en Christian Stussak\\
\\
\\
Vanuit de oorspronkelijke Russische uitgave:\\
\null\quad \textrussian{В. И. Арнольд: Задачи для детей от 5 до 15 лет}\\
\null\quad Moskou, MCCME, 2004\\
\null\quad ISBN 5-94057-183-2\\
\\
\\
Foto titelblad verstrekt door:\\
\null\quad Archiv des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach\\
\\
Versie:\\
\null\quad \today\\
\\
Dit boek is beschikbaar onder de licentie CC BY-NC-SA 3.0 op het IMAGINARY-platform: \href{http://www.imaginary.org/background-materials}{www.imaginary.org/background-materials}.\\
IMAGINARY is een project van het Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach ondersteund door de Klaus Tschira Stiftung.
\end{document}