Garch_Model_Assets

General information

Eight months project supervised by Prof. Jean-Michel Zakoïan, CREST; during the second year of studies at ENSAE Paris.

The aim of the project was the medium or long term predictions of powers of financial returns, by using the GARCH model. We have worked on simulated data and real data downloaded on Yahoo! Finance.

We have implemented the estimation (QML - Quasi-Maximum Likelihood), the predictions (log-returns and square of log-returns) and the validation (backtest) of the GARCH model. Our backtest power tests have led us to focus particularly on a special case: a change in GARCH (series simulated over two periods, each period corresponding to a new GARCH parameter). The backtest showed a remarkable area of low test power in this particular case. We have briefly compared the results with other model (basic HMM, moving average and basic neural nets) by the Diebold-Mariano test.

Grade : 17.4.

Contributors :

• Thomas Aujoux
• Maël Duverger
• Louis Geist
• Justin Ruelland

Reports

The dissertation and the summary are written in French and availabe in the folder "Notes rédigées".

Code organization

The files statapp_main.R and main.Rmd import all other files and use their functions.

The other files are :

• general functions :

  • data_preparation.R
  • condition_stationnarite.R
  • white_noise_laws.R
  • simulation_series.R

• Estimation, prediction and validation :

  • QML_variance.R
  • prevision.R

• comparaison_model.R

• test of the power of the backtest during a "change in GARCH" :

  • puissance_test_chgtGARCH.R
  • study_alpha-beta_constant_sum.R

Les fonctions implémentées

Brèves présentations des différentes fonctions implémentées dans chaque fichier.

• Fichier data_preparation.R :

  • transform_csv : fonction pour transformer le csv de Yahoo finance en dataframe avec les rendements et sans les variables qui ne nous intéresse pas
  • plot_series_temp : réalise les graphiques des prix, rendements et rendements au carré en fonction du temps
  • autocorrelations : graphiques autocorrélations des rendements et rendements au carré
  • transform_csv_with_discount(data,r) : transform_csv mais qui discount les prix au taux quotidient r

• Fichier white_noise_laws.R : On implémente des lois normalisées pour la loi des eta, pour qu'on puisse mettre autre chose que "rnorm(n)". Toutes les fonctions renvoient un vecteur de taille n.

  • runif_normalisee(n) : loi uniforme normalisée
  • rt_8_normalisee(n) : loi de Student à 8 degrés de liberté normalisée
  • normalised_student(n) : loi de Student à 5 degrés de liberté normalisée (le degré ici a vocation à être modifiée si nécessaire)

• Fichier condition_stationnarite.R :

  • condition_stationnarite : à partir de la loi des etas (bruit blanc), renvoie un dataframe de couples (alpha,beta) qui indiquent la condition de stationnarité
  • superposition_3graphiques_condi_statio : à partir de 3 dataframes (comme ceux de condition_stationnarite), renvoie le graphs des trois courbes de la condition de stationnarité

• Fichier simulation_series.R :

  • courbe_prix_arg_rendements : à partir d'un dataframe de rendements, affiche la courbe des prix (avec le prix en t=0 normalisé à 1)
  • simulation_rendements : à partir d'un nombre n de simulations, d'un paramètre theta, d'une loi des éta (par défaut, rnorm) et d'un sigma carré initial (par défaut, $\omega=\frac{1}{1-\alpha-\beta}$), simule n carrés de rendement pour un GARCH(1,1) et renvoie sous forme de liste
  • simulation_rendements_avec_changement_GARCH $(n,\theta_1,\theta_2, cut = 0.5, sigma\_init = \sqrt{\frac{\theta_1[1]}{1-\theta_1[2]-\theta_1[3]}}), etas = rnorm(n))$ : à partir d'un nombre n de simulations, de deux paramatères theta, d'un vecteur de eta de taille n (par défaut, rnorm(n)) et d'un sigma carré initial (par défaut, $\omega=\frac{1}{1-\alpha-\beta}$ avec les valeurs du premier theta), renvoie sous forme de liste la simulation d'un GARCH(1,1) avec changement de paramètre au "cut" (cut $\in [0,1]$)
  • simulation_GARCH22 : à partir d'un nombre n de simulations, d'un THETA ( $=(\omega,\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)$ , d'une loi des éta (par défaut, rnorm), et d'un sigma caré initial (par défaut, $\omega=\frac{1}{1-\alpha_1-\alpha_2-\beta_1-\beta_2}$ ), renvoie une liste d'une série GARCH(2,2) de n termes

• Fichier QML_Variance.R:

  • simu_eps: fonction pour simuler une suite de rendements (notés $\epsilon$ dans les notes et eps dans le code) à partir de la formule du modèle Garch. La longueur de la suite, les paramètres du Garch et les valeurs initiales sont laissés en paramètre.
  • simu_sigma2: fonction pour simuler la volalité (notes: $\sigma^{2}$, code: sigma2) à partir des rendements au carré ( $\epsilon^{2}$, eps2) observés et d'un paramètre $\theta$. En pratique, on aura seulement les rendements au carré et on évaluera par QML un $\hat{\theta}$ pour ensuite simuler des $\hat{\sigma^{2}}$.
  • QML: fonction pour estimer par QML les paramètres $\hat{\theta}$ du modèle à partir d'observations de $\epsilon^{2}$.
  • var_asymp: fonction pour estimer la matrice de variance asymptotique de la suite $\sqrt{n}(\hat{\theta}-\theta_{0})$, $\theta_{0}$ étant le vrai paramètre.

• Fichier prevision.R:

  • func_backtest: d'abord cette fonction divise les données en deux parties en fonction d'un paramètre cut. Le modèle est estimé sur la première partie et un intervalle de confiance est construit pour chaque donnée de la second partie. La fonction renvoie les bornes des intervalles de confiance. De plus théoriquement, $\alpha$% des valeurs doivent être hors des intervalles de confiance, ceci est testé avec un test du khi2, la p-valeur du test est aussi renvoyée. $\alpha$ et les quantiles de la loi choisie pour modéliser $\eta$ sont laissés en paramètre.

• Fichier puissance_test_chgtGARCH.R :

  • puissance_test_chgtGARCH : simule (peut prendre facilement 20min quand n_path =25 pex, ou n=2000) une "carte bleue" (=représentation des zones de rejet de test dans le cadre d'une simulation GARCH(1,1) avec changement de GARCH à un "cut") en fonction de :
    • cut_chgt = 0.4 : part du temps simulé sous GARCH(1,1) theta_1
    • n_path = 10 : nombres de trajectoires simulées pour chaque couple $(\alpha,\beta)$
    • n = 1000: nombres de jours de simulation
    • Remarque : on utilise les quantiles théoriques de la loi normale (donc +-1.96) pour faire le test
    • backtest : spécifie la fonction de backtest qu'on utilise (du fichier prevision.R)

• Fichier study_alpha-beta_constant_sum.R :

  • sigma2_hat_alpha_beta_constant : le but de cette fonction est d'afficher quelques éléments autour d'une simulation pour un changement de GARCH avec $\alpha+\beta$ constant. En particulier, ça affiche :
    • quelques statistiques sur les trajectoires
    • courbe des prix des cas avec et sans changement de GARCH
    • graphe des simga2 réels sur la période $0.8 n$ à $n$ (contient aussi un changement GARCH hors de la droite $\alpha+\beta$ constant)
    • graphe des $\sigma^2$ et des $\hat{\sigma}^2 estimés sur la période $0.8 n$ à $n$
  • test_puissance_changment_horizon_long : pour montrer que y'a effectivement plus de rejets même sur la droite $\alpha+\beta$ constant lorsque la période est plus grande
  • moyennes_sigma2_in_test(alpha_chgt = 0.9) : renvoie un tableau des moyennes des sigma carré dans du test set pour un changement de GACH ou sans changement, pour différentes valeurs de $n=10^3$ à $n=10^{6}$.
    • a permis de constater qu'il n'y a de "vitesse" de convergence pour le cas $\alpha = 0.9$ : en fait les $\sigma^2$ n'admettent dans ce cas pas de moment d'ordre 2 et donc le TCL ne s'applique pas