orientatie-en-volume.tex

\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}

\chapter{Orientaties en Volume}
\label{cha:orientaties-en-volume}

\begin{de}
  Zij $V$ een vectorruimte van dimensie $n$.
  Het $n$-tal vectoren $(e_{1},\dotsc, e_{n})$ noemen we een \term{geordende basis} als de verzameling $\{e_{1}, \dotsc, e_{n} \}$ een basis is voor $V$.
\end{de}

\begin{de}
  Zij $V$ een vectorruimte en $e = (e_{1},\dotsc, e_{n})$ en $f = (f_{1},\dotsc, f_{n})$ twee geordende basissen voor $V$.
  Er bestaan nu dus $a_{ij}$ zodat we $f$ kunnen schrijven in functie van $e$.
  \[ f_{i} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}e_{j} \]
  Dit komt overeen met de volgende matrixvermenigvuldiging.
  \[
  \begin{pmatrix}
    f_{1}\\\vdots \\f_{n}
  \end{pmatrix}
    =
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & \hdots & a_{1n} \\
    \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1} & \hdots & a_{nn}
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    e_{1}\\\vdots \\e_{n}
  \end{pmatrix}
  \]
  We zeggen nu dat $e$ en $f$ dezelfde \term{orientatie} hebben als de determinant van die vierkante matrix groter is dan nul. Als de determinant kleiner is dan nul zeggen we dat $e$ en $f$ een tegengestelde orientatie hebben.
  \[ 
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & \hdots & a_{1n} \\
    \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1} & \hdots & a_{nn}
  \end{vmatrix}
  > 0
  \]
\end{de}

\begin{ei}
  De relatie ``heeft dezelfde orientatie als'' is een equivalentierelatie en deelt de verzameling van geordende basissen op in twee equivalentieklassen.
\end{ei}

\begin{de}
  Zij $p\in \mathbb{A}^{n}$ een punt en zij $T_{p}\mathbb{A}^{n}$ de rakende ruimte in $p$.
  We noemen de volgende verzameling de \term{natuurlijke geordende basis}.
  \[
  (e_{1},\dotsc, e_{n}) =
  (
    (1,0,\dotsc,0),
    (0,1,\dotsc,0),
    \dotsc,
    (0,0,\dotsc,1)
    )
  \]
\end{de}

\begin{de}
  Zij $v = (v_{1},\dotsc,v_{n})$ een geordende basis van de rakende ruimte $T_{p}\mathbb{A}_{n}$ in een punt $p\in \mathbb{A}^{n}$, dan heeft $v$ een \term{positieve orientatie} als $(v_{1},\dotsc,v_{n})$ en $(e_{1},\dotsc, e_{n})$ dezelfde orientatie hebben. In het geval dat $(v_{1},\dotsc,v_{n})$ en $(e_{1},\dotsc, e_{n})$ een tegengestelde orientatie hebben zeggen we dat $v$ een \term{negatieve orientatie} heeft.
\end{de}

\begin{st}
  De orientatie van een geordende basis $v = (v_{1},\dotsc,v_{n})$ van de rakende ruimte $T_{p}\mathbb{A}_{n}$ in een punt $p\in \mathbb{A}^{n}$, is enkel afhankelijk van de vectordelen van $(v_{1},\dotsc,v_{n})$.
  Bovendien heeft $v$ een positieve orientatie als en slechts als de volgende determinant positief is.
  \[ 
  \begin{vmatrix}
    v_{11} & \hdots & v_{1n} \\
    \vdots & \ddots & \vdots \\
    v_{n1} & \hdots & v_{nn}
  \end{vmatrix}
  > 0
  \]
\extra{bewijs}
\end{st}

\begin{de}
  Zij $F$ een affiene transformatie, dan is $F$ \term{ori\"entatiebewarend} als $F$ elke positieve basis op een positieve basis afbeeld, en elke negatieve basis op een negatieve basis.
  $F$ is \term{ori\"entatieomkerend} als ze do ori\"entatie van elke basis omkeert.
\end{de}

\begin{st}
  Een affiene transformatie $F$ is ori\"entatiebewarend als $det(F_{*}) > 0$ en ori\"entatieomkerend als $det(F_{*}) < 0$.

  \begin{proof}
     Zij $v=(v_{1},v_{2},\dotsc,v_{n})$ een geordende basis van $T_{p}\mathbb{A}^{n}$.
     $w = (F_{*}(v_{1}),F_{*}(v_{2}),\dotsc,F_{*}(v_{n}))$ is dan een geordende basis van $T_{F_{*}(p)}\mathbb{A}^{n}$.
     \[ det((F_{*}(v_{1})F_{*}(v_{2})\dotsc F_{*}(v_{n})) = det(A(v_{1} v_{2} \dotsc v_{n})) = det(F_{*})det(v_{1} v_{2} \dotsc v_{n}) \]
  \end{proof}
\end{st}

\begin{st}
  Elke affiene transformatie is ofwel ori\"entatiebewarend, ofwel ori\"entatieomkerend.
\extra{bewijs}
\end{st}

\begin{st}
  Elke translatie is ori\"entatiebewarend.
\extra{bewijs}
\end{st}

\begin{st}
  Elke homothetie met positieve factor is ori\"entatiebewarend.
 \question{wat doet een homothetie met negatieve factor?: orientatieomkerend!}
\extra{bewijs}
\end{st}

\begin{st}
  De samenstelling van twee ori\"entatiebewarende affiene transformaties is ori\"entatiebewarend.
  \extra{bewijs}
\question{wat gebeurt er bij andere samenstellingen? XOR}
\end{st}

\begin{st}
  De inverse van een ori\"entatiebewarende affiene transformatie is ori\"entatiebewarend.
\extra{bewijs}
\end{st}

\begin{st}
  De orientatiebewarende affiene transformaties vormen een deelgroep van de affiene transformaties, uitgerust met de samenstellingsbewerking.
\extra{bewijs}
\end{st}

\section{Volume}
\label{sec:volume}

\begin{de}
  Zij $p\in \mathbb{A}^{n}$ een punt en $v= (v_{1},\dotsc,v_{n})$ een geordende basis van $T_{p}\mathbb{A}^{n}$.
  Het \term{volume} $Vol(v)$ van $v$ definieren we als de volgende determinant.
  \[
  Vol(v) = 
  \begin{vmatrix}
    v_{1} & \cdots & v_{n}\\
  \end{vmatrix}
  \]
\end{de}

\begin{de}
  Zij $p\in \mathbb{A}^{n}$ een punt en $v= (v_{1},\dotsc,v_{n})$ een geordende basis van $T_{p}\mathbb{A}^{n}$.
  We definieren het \term{parallellepipedum} $P(v)$ bepaald door $v$ als de volgende verzameling punten:
  \[ P(v) = \left\{\left. p + \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}v_{i} \ \right|\ 0 \le \lambda_{i} \le 1 \right\} \]
\end{de}

\begin{de}
  Een tweedimensionaal parallellepipedum heet een \term{parallellogram}.
\end{de}

\begin{de}
  Het \term{volume van een parallellepipedum} $P(v)$ bepaald door een geordende basis $v$ van een rakende ruimte $T_{p}\mathbb{A}^{n}$ in een punt $p\in\mathbb{A}^{n}$ is de absolute waarde van het volume van de basis.
  \[ Vol\left(P(v)\right) = |Vol(v)|\]
\end{de}

\begin{st}
  Zij $F$ een affiene transformatie van $\mathbb{A}^{n}$ en $p\in\mathbb{A}^{n}$ een punt.
  Zij $v= (v_{1},\dotsc,v_{n})$ een geordende basis van $T_{p}\mathbb{A}^{n}$.
  $F_{*}(v) = (F_{*}(v_{1}),\dotsc,F_{*}(v_{n}))$ is een geordende basis van $T_{F(p)}\mathbb{A}^{n}$.
  Bovendien geldt het volgende over het volume van $F_{*}(v)$.
  \[ Vol\left( F_{*}(v) \right) = \left(det(F_{*}) \right)Vol(v) \]

  \begin{proof}
    \[
    \begin{array}{rll}
      Vol\left( F_{*}(v) \right) &= Vol\left((F_{*}(v_{1}),\dotsc,F_{*}(v_{n})\right) &\\
                                &= \begin{vmatrix}F_{*}(v_{1}) & \cdots & F_{*}(v_{n})\end{vmatrix} &\\
                                &= det(F_{*}) \begin{vmatrix}v_{1} & \cdots & v_{n}\end{vmatrix} &= det(F_{*})Vol(v)
    \end{array}
    \]
  \end{proof}
\end{st}

\begin{gev}
  Zij $P_{1}$ en $P_{2}$ twee willekeurige parallellepipeda in $\mathbb{A}^{n}$ en $F$ een affiene transformatie van $\mathbb{A}^{n}$.
  \[ \frac{Vol(P_{1})}{Vol(P_{2})} = \frac{Vol(F(P_{1}))}{Vol(F(P_{2}))} \]

  \begin{proof}
    Merk allereerst op dat $F(P(v))$ gelijk is aan $P(F_{*}(v))$. \waarom
    Noem $v_{1}$ en $v_{2}$ de vectoren zodat $P(v_{1}) = P_{1}$ en $P(v_{2}) = P_{2}$ gelden.
    \[
    \frac{Vol(F(P_{1}))}{Vol(F(P_{2}))}
    = \frac{Vol(F(P(v_{1})))}{Vol(F(P(v_{2})))}
    = \frac{Vol(F_{*}(v_{1}))}{Vol(F_{*}(v_{2}))}
    = \frac{det(F_{*})Vol(v_{1})}{det(F_{*})Vol(v_{2})}
    = \frac{Vol(P(v_{1}))}{Vol(P(v_{2}))}
    = \frac{Vol(P_{1})}{Vol(P_{2})}
    \]
  \end{proof}
\end{gev}

\begin{gev}
  Zij $F$ een affiene transformatie van $\mathbb{A}^{n}$ zodat $det(F_{*}) = 1$ geldt.
  Zij bovendien $p\in\mathbb{A}^{n}$ een punt en $v= (v_{1},\dotsc,v_{n})$ een geordende basis van $T_{p}\mathbb{A}^{n}$.
  \[ Vol(v) = Vol(F_{*}(v)) \]
\end{gev}

\begin{de}
  Lineaire transformaties met determinant $1$ noemen we \term{speciale lineaire transformaties}.
  \[ SL(n,\mathbb{R}) = \{ A \in GL(n,\mathbb{R}) \ |\ det(A) = 1 \} \]
\end{de}

\begin{de}
  De affiene transformaties waarvan het lineair deel determinant $1$ heeft noemen we \term{equiaffiene transformaties}.
  \[ SA(n,\mathbb{R}) \subseteq A(n,\mathbb{R}) \]
\end{de}

\begin{st}
  De equiaffiene transformaties $SA(n,\mathbb{R})$ van een affiene ruimte $\mathbb{A}^{n}$ vormen een deelgroep van $A(n,\mathbb{R})$, uitgerust met de samenstellingsbewerking.
\extra{bewijs}
\end{st}



\end{document}