feat(math/number-theory/sqrt-decomposition.md): 新增向上取整的数论分块相关内容

docs/math/code/sqrt-decomposition/sqrt-decomposition_1.cpp

@@ -0,0 +1,25 @@
+#include <iostream>
+
+long long H(int n) {
+  long long res = 0;  // 储存结果
+  int l = 1, r;       // 块左端点与右端点
+  while (l <= n) {
+    r = n / (n / l);  // 计算当前块的右端点
+    // 累加这一块的贡献到结果中。乘上 1LL 防止溢出
+    res += 1LL * (r - l + 1) * (n / l);
+    l = r + 1;  // 左端点移到下一块
+  }
+  return res;
+}
+
+int main() {
+  std::ios::sync_with_stdio(false);
+  std::cin.tie(nullptr);
+  int t, n;
+  std::cin >> t;
+  while (t--) {
+    std::cin >> n;
+    std::cout << H(n) << '\n';
+  }
+  return 0;
+}

docs/math/code/sqrt-decomposition/sqrt-decomposition_2.cpp

@@ -0,0 +1,29 @@
+#include <algorithm>
+#include <iostream>
+
+constexpr int N = 100009;
+int n, a[N], maxn;
+long long ans[N];
+
+int main() {
+  std::ios::sync_with_stdio(false);
+  std::cin.tie(nullptr);
+  std::cin >> n;
+  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+    std::cin >> a[i];
+    maxn = std::max(maxn, a[i]);
+  }
+  for (int i = 0; i < n; ++i)
+    for (int l = 1, r;; l = r + 1) {
+      r = std::min(l < a[i] ? (a[i] - 1) / ((a[i] - 1) / l) : N,
+                   l < a[i + 1] ? (a[i + 1] - 1) / ((a[i + 1] - 1) / l)
+                                : N);  // 二维数论分块
+      if (r == N) break;
+      int x = (a[i + 1] - 1) / l - std::max(a[i] - 1, 0) / l;
+      if (x > 0) ans[l] += x, ans[r + 1] -= x;  // 累加贡献
+    }
+  ++ans[0];  // ⌈a/l⌉=(a-1)/l+1的式子当a=0时不成立，需要修正
+  for (int i = 1; i <= maxn; ++i)
+    std::cout << (ans[i] += ans[i - 1]) << " \n"[i == maxn];
+  return 0;
+}

docs/math/examples/sqrt-decomposition/sqrt-decomposition_1.ans

@@ -0,0 +1,2 @@
+10
+27

docs/math/examples/sqrt-decomposition/sqrt-decomposition_1.in

@@ -0,0 +1,3 @@
+2
+5
+10

docs/math/examples/sqrt-decomposition/sqrt-decomposition_2.ans

@@ -0,0 +1 @@
+10 6 4 3 2 2 1 

docs/math/examples/sqrt-decomposition/sqrt-decomposition_2.in

@@ -0,0 +1,2 @@
+3
+5 2 7

docs/math/number-theory/sqrt-decomposition.md

@@ -62,7 +62,7 @@ $$
 \left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac nj\right\rfloor
 $$
 
-成立的最大的满足 $i\leq j\leq n$ 的 $j$ 的值为 $\left\lfloor\dfrac n{\lfloor\frac ni\rfloor}\right\rfloor$。即值 $\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor$ 所在的块的右端点为 $\left\lfloor\dfrac n{\lfloor\frac ni\rfloor}\right\rfloor$。
+成立且满足 $i\leq j\leq n$ 的 $j$ 值最大为 $\left\lfloor\dfrac n{\lfloor\frac ni\rfloor}\right\rfloor$，即值 $\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor$ 所在块的右端点为 $\left\lfloor\dfrac n{\lfloor\frac ni\rfloor}\right\rfloor$。
 
 ??? note "证明"
     令 $k=\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor$，可以知道 $k\leq\dfrac ni$。
@@ -109,17 +109,7 @@ $$
 
 ??? note "参考实现"
     ```cpp
-    long long H(int n) {
-      long long res = 0;  // 储存结果
-      int l = 1, r;       // 块左端点与右端点
-      while (l <= n) {
-        r = n / (n / l);  // 计算当前块的右端点
-        res += (r - l + 1) * 1LL *
-               (n / l);  // 累加这一块的贡献到结果中。乘上 1LL 防止溢出
-        l = r + 1;  // 左端点移到下一块
-      }
-      return res;
-    }
+    --8<-- "docs/math/code/sqrt-decomposition/sqrt-decomposition_1.cpp"
     ```
 
 ???+ note "N 维数论分块"
@@ -129,6 +119,41 @@ $$
 
     一般我们用的较多的是二维形式，此时可将代码中 `r = n / (n / i)` 替换成 `r = min(n / (n / i), m / (m / i))`。
 
+## 向上取整的数论分块
+
+向上取整与前文所述的向下取整十分类似，但略有区别：
+
+对于常数 $n$，使得式子
+
+$$
+\left\lceil\dfrac ni\right\rceil=\left\lceil\dfrac nj\right\rceil
+$$
+
+成立且满足 $i\leq j\leq n$ 的 $j$ 值最大为 $\left\lfloor\dfrac{n-1}{\lfloor\frac{n-1}i\rfloor}\right\rfloor$，即值 $\left\lceil\dfrac ni\right\rceil$ 所在块的右端点为 $\left\lfloor\dfrac{n-1}{\lfloor\frac{n-1}i\rfloor}\right\rfloor$。
+
+???+ warning "注意"
+    当 $i=n$ 时，上式会出现分母为 $0$ 的错误，需要特殊处理。
+
+??? note "证明"
+    $\left\lceil\dfrac ni\right\rceil=\left\lfloor\dfrac{n-1}i\right\rfloor+1$，可以发现 $n$ 的上取整分块与 $n-1$ 的下取整分块是一样的。
+
+???+ note " 例题：[CF1954E Chain Reaction](https://codeforces.com/contest/1954/problem/E)"
+    题意：有一排 $n$ 个怪兽，每个怪兽初始血量为 $a_i$，一次攻击会使一段连续的存活的怪兽血量减 $k$，血量不大于 $0$ 视作死亡，对于所有 $k$ 求出击杀所有怪兽所需攻击次数，$n,a_i\leq 10^5$。
+
+    ??? note "思路"
+        下面是一种使用二维数论分块的解法：
+
+        使用[积木大赛](https://www.luogu.com.cn/problem/P1969)的技巧，令 $a_0=0$，对于某个 $k$，答案就是 $\sum\limits_{i=1}^n\max\left(0,\left\lceil\dfrac{a_i}{k}\right\rceil-\left\lceil\dfrac{a_{i-1}}{k}\right\rceil\right)$。
+
+        对于相邻的两个怪兽，使用二维数论分块，分段求出它们对一段 $k$ 的答案的贡献，然后差分累加即可。
+
+        复杂度 $O(\sum\sqrt{a_i})$。也存在其他解法。
+
+    ??? note "实现"
+        ```cpp
+        --8<-- "docs/math/code/sqrt-decomposition/sqrt-decomposition_2.cpp"
+        ```
+
 ## 习题
 
 1.  [CQOI2007 余数求和](https://www.luogu.com.cn/problem/P2261)（需要一点转化和特判）