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en/Basic Math/magic_square.md

@@ -15,7 +15,7 @@ A magic square puzzle of the `n` order is an organization of `n²` numbers, usua
 As mentioned above, the formula of the magic square sum is n(n² + 1)/2.\
 For a magic square of order 3, we need to substitute n = 3 to know the magic sum so that we can easily form the magic square 3×3.
 
-When `n = 3`, the sum = 3(3*3 + 1) = 3(9 + 1)/2 = (3 × 10)/2 = 15\
+When `n = 3`, the sum = 3(3\*3 + 1)/2 = 3(9 + 1)/2 = (3 × 10)/2 = 15\
 Now, we have to place the numbers in the respective places so that the sum of numbers in each row, column and diagonal is equal to 15.
 
 ## Magic Square Trick for order 3
@@ -35,36 +35,38 @@ The cell above x is taken as y – 1 as given below:
 ![magic-square-1](https://user-images.githubusercontent.com/106215707/192823521-c992c61b-055a-4af8-b697-71fb0ed22566.png)
 ![magic-square-2](https://user-images.githubusercontent.com/106215707/192823583-8a375043-21d7-4a74-b2d8-119a6ca727eb.png)
 
-
 Let us make the complementary magic square of the above square.
 
 `(n² + 1) = 32 + 1 = 9 + 1 = 10`
 
 Now, subtract each number from (n² + 1), i.e. from 10.
 
 - First row numbers:
-  - 10 – 4 = 6 
-  - 10 – 3 = 7 
+
+  - 10 – 4 = 6
+  - 10 – 3 = 7
   - 10 – 8 = 2
 
 - Second row numbers:
-  - 10 – 9 = 1 , 
-  - 10 – 5 = 5 , 
+
+  - 10 – 9 = 1 ,
+  - 10 – 5 = 5 ,
   - 10 – 1 = 9
 
 - Third row numbers:
-  - 10 – 2 = 8 , 
-  - 10 – 7 = 3 , 
+  - 10 – 2 = 8 ,
+  - 10 – 7 = 3 ,
   - 10 – 6 = 4
 
-
 ![magic-square-3](https://user-images.githubusercontent.com/106215707/192823650-21655cfe-0b8f-4bcb-b7d0-76280770c615.png)
 
+# REFERENCE
 
-
-# REFERENCE 
 ## website:-
+
 - [Byjus](https://byjus.com/maths/magic-square/)
 - [geeksforgeeks](https://www.geeksforgeeks.org/magic-square/)
+
 ## Youtube:-
+
 - [video](https://www.bing.com/videos/search?q=magic+square&&view=detail&mid=26BE595B719B8B532E5126BE595B719B8B532E51&&FORM=VRDGAR&ru=%2Fvideos%2Fsearch%3Fq%3Dmagic%2Bsquare%26FORM%3DHDRSC3)

ko/기초 수학/마방진.md

@@ -0,0 +1,72 @@
+# 마방진이란?
+
+마방진이란 모든 행, 열, 주대각선과 일반적으로 다른 대각선의 일부 혹은 모든 대각선 방향으로 수를 모두 더하면 그 합이 같도록 배열된 고유한 정수를 포함하는 정사각형으로 정의한다.
+
+# 마방진 공식
+
+`n`차 마방진은 일반적으로 `n²`개의 고유한 정수 숫자들을 정사각형 안에 정리한 것이다. 모든 행, 열, 대각선의 `n` 개의 숫자를 합하면 같은 상수가 된다. 마방진은 1부터 `n²`까지의 정수를 가진다. 모든 행, 열 및 대각선의 고정 합을 마법 상수 또는 마법합이라고 한다. 이를 M이라는 문자로 표시한다. 전형적인 마방진의 마법 상수는 전적으로 `n`의 값에 따라 결정된다. 따라서 마법합의 값은 다음 공식을 사용하여 계산한다:
+
+- M = `n(n² + 1)/2`
+
+- 이는 다른 차수의 마방진을 만드는 데 사용되는 마방진 공식이다. (`n²` + 1)에서 각 위치의 숫자를 빼면, 또 다른 마방진을 만들 수 있는데, 이를 서로 보완적인 마방진(complementary magic square)이라고 부른다. 그리고 1부터 시작하여 연속된 자연수들로 이루어진 마방진을 정규(normal) 마방진이라고 알려져 있다.
+
+# 마방진을 푸는 방법
+
+위에서 언급한 바와 같이, 마법합의 공식은 n(n² + 1)/2이다.\
+3차 마방진에 경우, n = 3 을 대입하여 마법합의 값을 구한다면 3×3 마방진을 쉽게 형성할 수 있다.
+
+`n = 3`일 경우, 마법합 = 3(3\*3 + 1)/2 = 3(9 + 1)/2 = (3 × 10)/2 = 15이다.\
+이제, 우리는 각 행, 열, 대각선 방향으로 더한 숫자들의 합이 15와 동일하도록 각각의 위치에 숫자를 배치해야 한다.
+
+## 3차 마방진 만들기 요령
+
+`x`를 마방진의 차수라고 하자.
+
+이 경우, `x = 3`이다.
+
+`x`와 `y`의 곱이 마법합의 값인 15가 되는 또 다른 숫자 `y`를 생각해 보자.
+
+그렇다면, `y = 5 {xy = (3)(5) = 15}`
+
+y의 값은 항상 정사각형 정중앙에 있어야 하고, x의 값은 y의 값 왼쪽 셀에 있어야 한다.\
+x 위의 셀은 아래의 이미지처럼 y – 1를 가진다:
+
+![magic-square-formula](https://user-images.githubusercontent.com/106215707/192823452-3eea7074-c8f0-4b30-9e83-ef7fb6641a01.png)
+![magic-square-1](https://user-images.githubusercontent.com/106215707/192823521-c992c61b-055a-4af8-b697-71fb0ed22566.png)
+![magic-square-2](https://user-images.githubusercontent.com/106215707/192823583-8a375043-21d7-4a74-b2d8-119a6ca727eb.png)
+
+위 마방진의 서로 보완적인 마방진(complementary magic square)을 만들자.
+
+`(n² + 1) = 32 + 1 = 9 + 1 = 10`
+
+이제, (n² + 1)의 값인 10에서 각 숫자를 빼라.
+
+- 첫 번째 행의 숫자들:
+
+  - 10 – 4 = 6
+  - 10 – 3 = 7
+  - 10 – 8 = 2
+
+- 두 번째 행의 숫자들:
+
+  - 10 – 9 = 1 ,
+  - 10 – 5 = 5 ,
+  - 10 – 1 = 9
+
+- 세 번째 행의 숫자들:
+  - 10 – 2 = 8 ,
+  - 10 – 7 = 3 ,
+  - 10 – 6 = 4
+
+![magic-square-3](https://user-images.githubusercontent.com/106215707/192823650-21655cfe-0b8f-4bcb-b7d0-76280770c615.png)
+
+# 참조
+
+## 웹사이트
+
+- [Byjus](https://byjus.com/maths/magic-square/)
+- [geeksforgeeks](https://www.geeksforgeeks.org/magic-square/)
+
+## The Algorithms 페이지
+
+- [마방진](https://the-algorithms.com/ko/algorithm/magic-square)

ko/기초 수학/유클리드 알고리즘.md

@@ -0,0 +1,92 @@
+# 유클리드 알고리즘
+
+## 문제
+
+양의 정수 $a$와 $b$의 최대공약수 $g = gcd(a, b)$를 구하시오. 여기서 $g$는 나머지 없이 $a$와 $b$ 모두 나누는 가장 큰 수로 정의한다.
+
+## 발상
+
+유클리드 알고리즘은 큰 수에서 작은 수를 빼면 두 수의 최대공약수가 변하지 않는다는 단순한 관찰을 기반한다:
+
+$a > b$인 상황에서 $g$는 $a$와 $b$의 최대공약수라고 하자.
+그렇다면 $g$는 $a$와 $b$를 나눌 수 있다. 따라서 $g$는 $a - b$도 나눌 수 있다. (분배법칙)
+
+$g'$를 $b$와 $a - b$의 최대공약수라 하자.
+
+$g' = g$ 귀류법:
+
+$g' < g$ 또는 $g' > g$이라고 가정하자.
+
+$g' < g$일 때, $g'$는 _최대_ 공약수가 될 수 없다.
+$g$도 $a - b$와 $b$의 공약수이기 때문이다.
+
+$g' > g$일 때, $g'$는 $b$와 $a - b$의 약수이다 -
+즉, $g'n = b$와 $g'm = a - b$로 표현할 수 있는 정수 $n, m$이 존재한다.
+따라서 $g'm = a - g'n \iff g'm + g'n = a \iff g'(m + n) = a$이다.
+이는 $g'$도 $a$의 약수이며, $g$가 $a$와 $b$의 최대공약수라는 초기 가정과 $g' > g$는 모순이다.
+
+## 구현
+
+실제 실행에서 속도를 높이기 위해 반복해서 뺄셈하는 대신 나머지 연산이 사용된다:
+$b$는 $a >= b$만큼 $a$에서 여러 번 반복해서 뺄 수 있다.
+이러한 뺄셈 후에는 $b$로 나눌 때 $a$의 나머지만 남게 된다.
+
+간단한 Lua 구현은 다음과 같다:
+
+```lua
+function gcd(a, b)
+	while b ~= 0 do
+		a, b = b, a % b
+	end
+	return a
+end
+```
+
+`%`가 나머지 연산자임을 유의하자;
+각 단계에서 새로운 `a`에 `b`를 할당하고,
+새로운 `b`에는 `a`를 `b`로 나눈 나머지 연산한 값을 할당한다.
+
+## 분석
+
+### 공간 복잡도
+
+공간 복잡도는 약간 일정하다:
+(일정한 크기로 가정된) $a$와 $b$라는 두 개의 숫자만 저장한다.
+
+### 시간 복잡도
+
+while문의 각 반복은 일정한 시간에 실행되며 최소한 $b$를 절반으로 줄인다. 따라서 $O(log_2(n))$는 런타임의 상한값이다.
+
+## 연습
+
+$a = 42$와 $b = 12$의 최대공약수를 구하라:
+
+1. $42 \mod 12 = 6$
+2. $12 \mod 6 = 0$
+
+결과는 $gcd(42, 12) = 6$.
+
+유클리드 알고리즘을 사용하여 $a = 633$와 $b = 142$의 최대공약수를 구하라:
+
+1. $633 \mod 142 = 65$
+2. $142 \mod 65 = 12$
+3. $65 \mod 12 = 5$
+4. $12 \mod 5 = 2$
+5. $5 \mod 2 = 1$
+6. $2 \mod 1 = 0$
+
+결과는 $gcd(633, 142) = 1$: $a$와 $b$는 서로소이다.
+
+## 활용
+
+- 분수 단축하기
+- 최소공배수 구하기
+- 두 수가 서로소인지 효율적으로 확인하기 (예: RSA 암호화 시스템에 필요)
+
+## 참고자료
+
+- [위키피디아 "유클리드 호제법" 항목](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C_%ED%98%B8%EC%A0%9C%EB%B2%95)
+
+## The Algorithms 페이지
+
+- [유클리드 알고리즘](https://the-algorithms.com/ko/algorithm/euclidean-gcd)