O método da exaustão foi desenvolvido nos tempos de Eudoxo e Arquimedes. Este post visa mostrar a ideia geral do método. Os gregos antigos tinham uma noção bastante forte de geometria, e por isso, é bastante lúdico entender o raciocínio.
Como calcular a área de um círculo, ou de alguma outra forma complicada? Uma resposta é aproximar por algo mais simples, como um triângulo ou um quadrado.
O maior quadrado possível que cabe dentro de um círculo é o quadrado inscrito.
O menor quadrado possível em que o círculo cabe dentro é o quadrado circunscrito.
Assumindo que o raio é igual a 1, para facilitar, a área do círculo vai estar entre 2 e 3,31 (demonstração nos capítulos seguintes abaixo).
Mas o quadrado é muito diferente do círculo. Não dá para melhorar?
Que tal utilizar um pentágono?
A aproximação melhorou um pouco, entre 2,38 e 3,25 (hoje sabemos que a área é pi*r^2, se o raio é 1, a área é pi = 3.1415…)
Podemos continuar crescendo o número de lados do polígono.
Digamos, 6 lados (hexágono):
10 lados:
15 lados:
Quanto maior o número de lados, o polígono regular é mais parecido com o círculo.
Repetindo o procedimento, até a exaustão (daí o nome), podemos chegar ao valor de pi com a precisão desejada.
Os gregos utilizaram técnica semelhante para calcular área de diversas outras formas, e também o volume de esferas e outros sólidos.
O método acima tem pouca álgebra e muita geometria e é uma espécie de precursor do cálculo integral.
Mexa na versão web em https://asgunzi.github.io/MetodoExaustao/index.html
É possível utilizar o Excel para traçar os polígonos acima, embora seja um pouco mais avançado (utilizando VBA).
O desenho utiliza apenas retas e círculos, o que facilita bastante.
Em essência, para adicionar uma linha, só é necessário saber as coordenadas iniciais (x1,y1) e finais (x2,y2).
ActiveSheet.Shapes.AddLine(x1, y1, x2, y2)
O número de lados N do polígono regular vai dividir o círculo em N, mostrado acima como bolinhas amarelas.
Se uma volta completa é igual a 360 graus (2pi), o ângulo theta entre dois pontos é de 2pi/N.
As coordenadas do ponto i são (rcos(theta_i), rsin(theta_i)), com theta_i = i2pi/N.
O código final envolve vários outros detalhes, porém, a essência está descrita acima.
For i = 1 To nlados
theta = 2 * i * pi / nlados + theta0
x1 = cx0 + raio * Math.Sin(theta)
y1 = cy0 + raio * Math.Cos(theta)
theta = 2 * (i + 1) * pi / nlados + theta0
x2 = cx0 + raio * Math.Sin(theta)
y2 = cy0 + raio * Math.Cos(theta)
plotaLinha "FrmRef", x1, y1, x2, y2, r, g, b
Next i
Para calcular a área, utilizar geometria novamente.
Se o lado do polígono é igual a x, e a altura do triângulo h, temos um triângulo retângulo h – x/2 – r.
Lembrando que o raio do círculo é conhecido.
O ângulo é theta = 360 / N.
Fazendo as contas, a área do polígono inscrito é N/2 * sin(2*pi/N).
A área do polígono circunscrito é 2Ntan(pi/(2*N)).
Há um erro lógico aqui no exercício. Utilizei o conhecimento moderno de trigonometria para calcular a área – e tal conhecimento utiliza explicitamente o pi, que era justamente o que Eudoxo e Arquimedes queriam descobrir. Porém, para efeito de ilustração, imagino que seja suficiente.
Versão web em https://asgunzi.github.io/MetodoExaustao/index.html
Para baixar o arquivo Excel e o código-fonte em Javascript:
https://github.com/asgunzi/MetodoExaustao
Vide também: