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- Marco Civil da Internet - Estamos gravando!
- Hoje, vamos estudar "O Assunto dos assuntos" na matéria de Álgebra Linear.
- A aula de hoje, "Base de um Espaço Vetorial", é uma das principais aulas dessa disciplina, e com certeza, estaria listada entre, senão a mais, os assuntos mais fundamentais.
- Coisas popularizadas, quando cooptadas pelo Mercado, constumam perder qualidade... Por exemplo: uísques, vinhos, etc. que dependem de uma maturação, costumam perder qualidade quando produzidos em larga escala...
- Sair da aula, hoje, sem entender o assunto ocasionará no comprometimento do restante do curso!
- Hoje, também vamos aprender a idéia do conceito de DIMENSÃO (no sentido de Espaço Vetorial).
- Existem vários conceitos de "dimensão" na matemática.
- Hoje vamos aprender apenas um deles... ;)
- Dimensão para um espaço, é uma quantidade, um valor associado com um conjunto. Ele fala sobre a maneira COMO eu represento ELEMENTOS desse conjunto.
- Um dos conceitos de "Dimensão" se relaciona com a BASE DESSE CONJUNTO.
- Espaço Vetorial é um conjunto (elementos, vetores):
- munido de determinadas operações (operação-adição e operação-multiplicação).
- Op. Adição permite somar dois elementos desse espaço;
- Op. Multiplicação por Escalar, permite pegar um corpo, um elemento de um conjunto que me fornece itens isolados (escalares) e posso multiplicar por elementos desse conjunto;
- E ainda assim (Op.Soma e Op.Multiplicação) obter propriedades como FECHAMENTO.
- Quando SOMO dois vetores do espaço vetorial, ainda continua sendo um vetor do Espaço Vetorial;
- Quando MULTIPLICO um vetor do espaço vetorial, por um Escalar daquele Corpo correspondente, ainda é um vetor daquele Espaço Vetorial - pertence ao conjunto;
- Hoje, vamos entender a Dimensão num sentido mais próximo do Físico, Natural, de um conjunto...
- O que eu preciso pra representar um vetor dentro do meu espaço?
- Existem outros conceitos de dimensões nas Matemáticas (Dimensão de Hausdorf-Besikovicht mede a densidade de um conjunto, o espaço que ele ocupa dentro do conjunto onde ele está). Nessa dimensão, podemos ter dimensões de valor 1,5, 3,8, 4,9, dimensões fracionárias.
- No conceito que vamos abordar hoje, não existe isso, vamos trabalhar com DIMENSÕES INTEIRAS (parse INT).
- No começo, vamos começar com menos formalidades...
- Vamos começar pelo CONJUNTO ℝ², é um produto de Conj. ℝ por Conj. ℝ,
- ℝ² = reta Real (todos números reais) em produto de ℝ.x e ℝ.y, sendo um produto de espaços (vetores) pegando cada elemento de um eixo vs. outro eixo).
- O elemento do ℝ² é um PAR (a,b), onde "a" pertence ao conj. ℝ e também "b" pertence ao conjunto ℝ;
ℝ²
ℝ * ℝ
reta suporte dos números Reais no eixo ℝ.x e reta suporte dos números Reais no eixo ℝ.y(a, b)
par de elementos (a,b)a ∈ ℝ
ponto "a" é retirado do conjunto ℝ.xb ∈ ℝ
ponto "b" é retirado do conjunto ℝ.y
- O ponto do par (a,b) é um ponto do cruzamento do eixo ℝ.x (a) e o cruzamento do eixo ℝ.y (b), no ponto (a,b).
- Um elemento do ℝ² é um parzinho (a,b).
- Um elemento do
ℝ²
é um par formado pelos pontos(a, b)
, onde os pontos a e b pertencem ao conjunto ℝa, b ∈ ℝ
. - É como se eu tivesse duas retas reais, e estou tirando um elemento de um, um elemento de outra, e estou situando esse elemento no cruzamento de dois conjuntos.
- Um elemento do
- Vamos observar algo interessante...
- Poderíamos escrever esse elemento assim:
a*(1, 0) + b*(0, 1)
, de acordo com aquelas regras de multiplicação por escalar, e das regras de soma de vetores, podemos escrever assim, pois isso é a mesma coisa que(a, 0) + (0, b)
, pois o escalar "a" multiplica o par (1, 0) e o escalar "b" multiplica o par (0, 1).a*(1, 0) + b*(0, 1)
=(a, 0) + (0, b)
- Galera, tentem entrar na aula no horário correto, pois o Ed fica parando pra autorizar a entrada (#lá-ele), e o caldo entorna pra todes... O gato pode virar, cedo ou tarde, um animal decorativo e empalhado. Piada sobre o nome do gato ser Astro, afinal, "Astro-no-mia"... Se tá ruim pra você ouvindo a aula, imagina pra mim transcrevendo...
- Temos o Vetor.(AB), e vamos tentar escrever esse vetor assim:
a*(1, 0) + b*(0, 1)
- Segundo a regra de multiplicação de escalar por vetor, quando multiplico "a" por (1, 0) tenho (a, 0) -
a*(1, 0) = (a, 0)
- Segundo a regra de multiplicação de escalar por vetor, quando multiplico "b" por (0, 1) tenho (0, b) -
b*(0, 1) = (0, b)
- Segundo a regra da soma de vetores que já fizemos, a gente soma as coordenadas eixo.x a+0 com a soma das coordenadas eixo.y 0+b, que vai resultar no Vetor.(a, b).
a*(1, 0) + b(0, 1)
=(a, 0) + (0, b)
=(a, b)
- Segundo a regra de multiplicação de escalar por vetor, quando multiplico "a" por (1, 0) tenho (a, 0) -
- Podemos enxergar isso em termos gráficos no plano cartesiano (ℝ²).
a*(1, 0) + b(0, 1)
=(a, 0) + (0, b)
=(a, b)
- Temos aqui o Vetor.1 que é representado pelo par (1,0), no eixo ℝ.x na posição 1, no eixo ℝ.y na posição 0, no ponto (1,0) na representação do plano de ℝ².
- Falando no eixo ℝ.x, tenho o Vetor.(1,0)
- Temos aqui o Vetor.1 que é representado pelo par (0,1), no eixo ℝ.x na posição 0, no eixo ℝ.y na posição 1, no ponto (0,1) na representação do plano de ℝ².
- Falando no eixo ℝ.y, tenho o Vetor.(0,1)
- Ambos em vermelho.
- Quando eu falo em um Vetor.(AB), estou falando em escrever esse Vetor.(AB) dessa forma:
- O Vetor.(AB) será escrito como:
- Primeiro o par
a*(1, 0)
ou seja, "a" vezes o par (1,0) será "a" vezes 1 que é "a", e "a" vezes 0 que é zero ∴ temos:a*(1,0)
=(a, 0)
- Segundo o par
b*(0, 1)
ou seja, "b" vezes o par (0,1) será "b" vezes 0 que é 0, e "b" vezes 1 que é "b" ∴ temos:b*(0,1)
=(0, b)
- Primeiro o par
- Ambos em azul, Vetor.(a,0) e também o Vetor.(0,b).
- Notemos que no eixo ℝ.x teremos o ponto (1,0) e também teremos o ponto (a,0) como equivalentes na reta de suporte ℝ.x;
- Notemos que no eixo ℝ.y teremos o ponto (0,1) e também teremos o ponto (0,b) como equivalentes na reta de suporte ℝ.y;
- Numa terceira cor (roxo), temos o Vetor.AB, no ponto (a,b) da intersecção dos pontos (a,0) no eixo ℝ.x e no ponto (0,b) no eixo ℝ.y;
- Temos o Vetor.(AB), que é uma SOMA DE VETORES daqueles dois vetores nas suas respectivas retas suportes ℝ.x e ℝ.y que será o famoso ℝ².
- Temos o Vetor.(a,0) que pode sofrer a SOMA DE VETORES com o Vetor.(0,b)
- Temos o Vetor.(AB), que é uma SOMA DE VETORES daqueles dois vetores nas suas respectivas retas suportes ℝ.x e ℝ.y que será o famoso ℝ².
- Essencialmente, estamos fazendo uma multiplicação e depois uma soma de vetores.
- O Vetor.(AB) é a SOMA do Vetor.(a,0) com o paralelo do Vetor.(0,b) transportado pela Regra do Paralelograma.
- A multiplicação de
a*(1,0) + b*(0,1)
é como se "a" e "b" fossem escalares multiplicando os vetores, no caso o Vetor.(1,0) em ℝ.x no ponto (1,0) com o Vetor.(0,1) em ℝ.y no ponto (0,1). - Base do
ℝ² = { (1, 0) ; (0,1) }
- Isso quer dizer que qualquer vetor de Base do ℝ² pode ser escrito como uma COMBINAÇÃO LINEAR. Combinação Linear é exatamente isso:
- Combinação Linear, pegamos dois escalares "a" e "b", escolhemos outros dois vetores da base (que é ℝ²) no caso os vetores "(1,0)" e "(0,1)", e escrevemos a resultante como sendo o Vetor.(AB).
- Escrevemos o Vetor.(AB)
(a, b)
como sendo um produto de escalaresa*(1,0) + b*(0,1)
, portanto isso é a Combinação Linear. (a, b) = a*(1, 0) + b*(0, 1)
- Pegamos dois escalares "a" e "b";
- Pegamos dois vetores "(1,0)" e "(0,1)";
- Multiplicamos um escalar pelo primeiro vetor a*(1,0);
- Multiplicamos um escalar pelo segundo vetor b*(0,1);
- E estou somando ao final.
- *Isso é uma Combinação Linear!
- "A Regra do Paralelograma só funciona no ℝ²?"
- NÃO!
- A Regra do Paralelograma serve para QUALQUER ESPAÇO VETORIAL.
- Então assim, que fique claro a escrita do Vetor.(AB).
- Pego os dois vetores da Base = {(1,0) ; (0,1)}, e eles me permitem escrever qualquer vetor do espaço ℝ².
- Se eu tiver um vetor qualquer "(x, y)" do Espaço ℝ², isso significa que esses caras pertencem à ℝ, então o "x" e o "y" serão escalares que pertencem à ℝ. No caso, "x" e "y" são números reais escalares, e não pontos no espaço. O ponto "(x, y)" é um ponto no espaço. O valor de "x" e de "y" são escalares reais.
(x, y)
ponto no espaço vetorialx ∈ ℝ
valor escalar na reta suporte realy ∈ ℝ
valor escalar na reta suporte real
- Na forma de um par "(x,y)" eles formam um Vetor!
-
Espaço Vetorial é
< >
:- um Conjunto
C
; - com Duas Operações:
- operação Adição (não a soma normal);
(+)
- operação Multiplicação (não a multiplicação normal);
(x)
- operação Adição (não a soma normal);
- com um corpo sendo F (conjunto de escalares)
- um Conjunto
-
Espaço Vetorial é
< C,(+),(x) >
-
Espaço vetorial é um conjunto com duas operações, Op. Adição e Op. Multiplicação (com bolinhas ao redor), com um corpo "F" (conjunto de escalares) tirados pra garantir a linearidade.
-
Linearidade para ser garantida temos duas regras:
- A soma de dois elementos (a,b)
- Se "a" e "b" pertencem à C;
a, b ∈ C
- Se "a" e "b" pertencem à C;
- Se "k" é um escalar do Corpo F;
k ∈ F
- Preciso de duas condições pra ser linear:
a + b ∈ C
e(k * a) ∈ C
- "a" mais "b" precisa pertencer à C, ou seja, ser fechado pra adição de vetores;
- "k" vezes "a" precisa também pertencer à C, ou seja, ser fechamento para multiplicação de vetores;
- A soma de dois elementos (a,b)
-
No caso, o conjunto C é o conjunto do ℝ²
C = ℝ²
para um Ponto (x,y) temos o Vetor.(x,y) e o F é o conjunto dos números reaisF = ℝ
enquanto escalar. -
Os escalares são reais (ℝ) e as coordenadas dos vetores em ℝ² também são números reais.
-
Se você me der um Vetor.qualquer tipo Vetor.(AB):
- esse "a" é um elemento de ℝ como escalar, e posso escolher multiplicar pelo Vetor.(1,0);
- esse "b" é um elemento de ℝ como escalar, e posso escolher multiplicar pelo Vetor.(0,1);
- Esstou pegando escalares de ℝ do Corpo (F), e multiplicando por Vetores de Base = { (1,0) ; (0,1) } que é a Base do Espaço Vetorial (ℝ²);
- Podemos pensar no Ponto (a,b):
- Esse cara, sendo
a ∈ ℝ
um escalar "a" do conjunto real, vezes um Vetor da base ℝ.x (1,0) do conjunto ℝ; - Esse cara, sendo
b ∈ ℝ
um escalar "b" do conjunto real, vezes um Vetor da base ℝ.y (0,1) do conjunto ℝ;
-
Me parece natural um "a" ser escrito como
a * 1 = a
e tambéma * 0 = 0
logo temos(a, 0) = a * (1,0)
-
Me parece natural um "b" ser escrito como
b * 0 = 0
e tambémb * 1 = b
logo temos(0, b) = b * (0,1)
-
(a, b)
=a*(1,0) + b*(0,1)
- Vamos pensar em duas retas:
- uma com um Vetor.(9,0) como valor 9 no eixo.x, e não possui altura sendo o valor 0 no eixo.y, na reta real;
- outra com um Vetor.(0,9) como valor 9 no eixo.y, e não possui largura sendo o valor 0 no eixo.x, na reta real;
- vamos pensar em duas retas, uma é um Vetor.(9,0) sendo a coordenada de x = 9, e a coordenada de altura y = 0, ambas na reta real, na cor azul;
- aqui também está o ponto 1, que é também um Vetor.(1,0) sendo a coordenada de x = 1, e a coordenada de altura y = 0, ambas na reta real, na cor azul;
- posso pensar no Vetor.(9,0) como sendo a multiplicação de 9 (escalar) vezes o Vetor.(1,0), ou seja:
9 * (1,0) = 9*(1.x) soma 9*(0.y) = (9, 0)
- posso pensar no Vetor.(9,0) como sendo a multiplicação de 9 (escalar) vezes o Vetor.(1,0), ou seja:
- aqui também está o ponto 1, que é também um Vetor.(1,0) sendo a coordenada de x = 1, e a coordenada de altura y = 0, ambas na reta real, na cor azul;
- vamos pensar em outra reta, sendp um Vetor.(0,5) sendo a coordenada de x = 0, e a coordenada de altura y = 5, ambas na reta real, na cor azul;
- aqui também está o ponto 1, que é também um Vetor.(0,1) sendo a coordenada de x = 0, e a coordenada de altura y = 1, ambas na reta real, na cor azul;
- posso pensar no Vetor.(0,5) como sendo a multiplicação de 5 (escalar) vezes o Vetor.(0,1), ou seja:
5 * (0,1) = 5*(0.x) soma 5*(1.y) = (0, 5)
- posso pensar no Vetor.(0,5) como sendo a multiplicação de 5 (escalar) vezes o Vetor.(0,1), ou seja:
- aqui também está o ponto 1, que é também um Vetor.(0,1) sendo a coordenada de x = 0, e a coordenada de altura y = 1, ambas na reta real, na cor azul;
- vamos pensar em duas retas, uma é um Vetor.(9,0) sendo a coordenada de x = 9, e a coordenada de altura y = 0, ambas na reta real, na cor azul;
- O vetor resultante no Ponto (9,5) pode ser representado pela soma do Vetor.(0,5) com o Vetor.(9,0), cujos valores foram multiplicados os vetores (1,0) pelo escalar 9 e, multiplicados os vetores (0,1) pelo escalar 5.
(9,5)
=(9,0) + (0,5)
=9*(1,0) + 5*(0,1)
(a,b)
=(a,0) + (0,b)
=a*(1,0) + b*(0,1)
- Base do Espaço Vetorial é
Base = {(1,0) ; (0,1)}
Canônica (conveniente pra trabalhar) - Sendo
a, b ∈ ℝ
pertencendo aos reais, e tambémF ∈ ℝ
como corpo dos escalares reais, aplicadas as condições de linearidade (Op. Adição e Op. Multiplicação), temos um Espaço VetorialC = ℝ²
com fechamento e manutenção da condição de linearidade. - Podemos olhar de cara e enxergar o vetor que queremos!
- BASE CANÔNICA = (1,0) e (0,1)
- Por exemplo, tomemos o Vetor.(10,3) como sendo um Ponto no Espaço Vetorial de ℝ²:
(10, 3)
=(10,0) + (0,3)
=10 * (1,0) + 3 * (0,1)
(9, 5)
=(9,0) + (0,5)
=9 * (1,0) + 5 * (0,1)
(a, b)
=(a,0) + (0,b)
=a * (1,0) + b * (0,1)
- Base Canônica é uma base convencionada, é aceita como convenção.
- Tomemos como exemplo a Base = {(1.5, 0) ; (0, 3.2)}
{ (1.5, 0) ; (0, 3.2) }
- Vamos usar o mesmo Vetor.(10,5) pra representar essa base, qual número devemos colocar "em evidência" pra poder representar esse vetor?
(10, 5)
=__*(1.5, 0) + __*(0, 3.2)
- Para o primeiro vetor a = 10, precisamos achar alguém que vezes 1,5 seja 10, então:
- Para o segundo vetor b = 5, precisamos achar alguém que vezes 3,2 seja 5, então:
- FORA DA BASE CANÔNICA A PORCA TORCE O RABO! 🐷 🌀 🍑
- Funciona, só vai ser uma merda de usar.
- Característica engraçada nessa base não é homogênea.
- A medida dos dos lados não é igual quando usamos essa base sugerida {(1.5, 0);(0, 3.2)}
- Um vetor igual do tipo (5,5) é homogêneo na base canônica:
(a, b)
=(a, 0) + (0, b)
=a * (1,0) + b * (0,1)
(5, 5)
=(5, 0) + (0, 5)
=5 * (1,0) + 5 * (0,1)
- Vetores com coordenadas iguais terá multiplicadores iguais também.
(a, b)
=(a, 0) + (0, b)
=a * (1,0) + b * (0,1)
(1.5, 3.2)
=(1.5, 0) + (0, 3.2)
=1.5 * (1,0) + 5 * (0,1)
(5, 5)
=a * (1.5, 0) + b * (0, 3.2)
- Então temos que
1,5 * a = 5
e também que3,2 * b = 5
- Portanto teremos que
1,5 * a = 5
∴(15/10)*a = 5
∴a = 50/15
∴a = (5*10) / (5*30)
∴a = 10/3
∴a ≅ 3,333...
- Também teremos que
3,2 * b = 5
∴(32/10)*b = 5
∴b = 50/32
∴b = (2*25) / (2*16)
∴b = 25/16
∴b = 1,5625
- Portanto teremos que
- Logo, numa escala de proporção 1:1 ou 5,5, teríamos um vetor "normal" homogêneo.
- Logo, numa escala de proporção 3,333 : 1,5625, teríamos um vetor "torto" heterogêneo.
- Nesse Espaço Vetorial
Base = {(1.5, 0) ; (0, 3.2)})
medir no Eixo.X é diferente de medir no Eixo.y. - Porque o 'fator de multiplicação' no eixo x é maior que o 'fator de multiplicação' no eixo y são diferentes, logo as proporções são "achatadas", "alongadas".
- Nossa Base Canônica é Homogênea (mesmo valor e pêso para os dois eixos).
- Base Canônica:
- Mais tarde poderemos "MUDAR DE BASE".
- No futuro, vamos aprender como "Mudar de Base" e então teremos uma operação (próximo assunto "Transformações Lineares"), que vai nos permitir mudar um vetor de base.
- A figura "qualquer" ao mudar de base vai "achatar", "rodar", "lá pra ponta".
- Pra piorar, essa Base {(1.5, 0) ; (0, 3.2)} ainda possui o centro na origem
{(_, 0);(0, _)}
, pois a coordenada do primeiro vetor é zero e a coordenada do segundo vetor também é zero. - Podemos usar transformações lineares pra enxergar, virar, comprimir, etc., a imagem.
- A Base do sistema (Espaço Vetorial) que utilizamos vai determinar a maneira como as coisas são visualizadas no exemplo.
- A base poderia também ser alterada, e ainda pior, pensada em outras dimensões, com Eixo.(x,y) ou Eixo.(x,y,z) ou Eixo.(j,k,l,m) ...
- Pausa pro Café e pro "Chá"!
- The 4th Dimensions Shorts by Tibees [En]
- Explorando outras dimensões - Alex Rosenthal and George Zaidan [En; Pt-Br subs]
- Tudo que vemos como um plano achatado, pode ser interpretado como um conjunto de vetores.
- Infelizmente, toda projeção cartográfica é uma TENTATIVIA de ACHATAMENTO da esfera terreste para um plano. Logo, haverá distorções...
- A Projeção é como se fosse um Mergulho.
- Projeção de Mercator (um dos primeiros mapas planificados da Terra);
- Projeção de Foco Único (um ponto superior que emite um raio de luz e projeta a imagem num plano de fundo);
- Algumas vezes, essa linha vai "furar" algumas coisas, passando duas vezes pela crosta do globo... É como se fosse um feixe de luz, distorcido pela projeção, mas a mesma linha passando mais de uma vez pelo globo - notando a questão de "distorções" (conceito requer melhor elaboração - sou de humanas!)
- Pergunta sobre Geometria Euclidiana vs. Geometria Analítica:
- ???
- CALMA JOVEM! Ed tá tentando simplificar a vida, não vamos complicar ainda não, a Álgebra Linear pode trabalhar com vetores de qualquer ordem (eixos x, y, z).
- Um ponto no ℝ³ seria um TERNO.
- Um ponto no ℝ² era uma DUPLA (duas coordenadas).
- Um ponto no ℝ³ será x, y, z, com uma representação de coordenadas em 3 eixos.
- Minha representação do ℝ³ terá um Eixo.x, Eixo.y, Eixo.z (altura).
ℝ³
com pontos(x, y, z) ∈ ℝ
- Um ponto aleatório sendo (a, b, c) terá uma coordenada de "a", "b" e "c".
- Será uma CONJUNÇÃO DE PONTOS (largura, profundidade, altura).
- Álgebra Linear também trabalha com isso!
- Base Canônica ℝ³ será
ℝ³ = { (1, 0, 0) ; (0, 1, 0); (0, 0, 1) }
- Base Canônica é amplamente utilizada por ser praticamente "espontânea", podemos escrever como um vetor facilmente.
- Todas as BASES definem um ESPAÇO, sejam elas canônicas ou não. - Prof. Ed
- A Base Canônica é apenas a "mais simples" pra gente poder representar as coisas.
- Necessidade de entendermos o CONCEITO DE REPRESENTAÇÃO!
- Vamos imaginar um sistema cartesiano, com um Ponto.(a,b).
- Temos uma reta que liga o Ponto.(a,b) ao centro-origem que terá o Módulo do Vetor.(A,B) representado por
|(a,b)|
.- Esse |Módulo.(a,b)| é basicamente o "comprimento" do vetor. Vamos chamar de "r", de modo que
r = |(a,b)|
.
- Esse |Módulo.(a,b)| é basicamente o "comprimento" do vetor. Vamos chamar de "r", de modo que
- Esse ângulo da reta que liga a Origem ao Ponto.(A,B) será o ângulo theta (θ).
Ângulo Theta θ
- R = Módulo do Vetor.(a,b) = |(a,b)| = Hipotenusa
- O ponto "a" é representado no
Eixo.x = a
= Cateto Adjacente θ - O ponto "b" é representado no
Eixo.y = b
= Cateto Oposto θ
- Temos uma reta que liga o Ponto.(a,b) ao centro-origem que terá o Módulo do Vetor.(A,B) representado por
- Sabendo que, de acordo com as Relações de Trigonometria, podemos relacionar a Hipotenusa (H), o Cateto Adjacente (CA), o Cateto Oposto (CO) assim:
- Do ponto.(a,b), temos uma projeção de "a" no Eixo.x., que pode ser representado por
a = r * Cos.θ
- Do ponto.(a,b), temos uma projeção de "b" no Eixo.y, que pode ser representado por
b = r * Sen.θ
- Isso aqui se chama "Representação por Coordenadas Polares":
(a, b) = (r\*cos.θ, r\*sen.θ)
- A DUPLA de pontos (a, b) pode ser representada toda pelo tamanho do
vetor.(a,b) = r
. - Tudo isso pra provar que, em Matemáticas, podemos representar a mesma coisa (realidade) na matemática de VÁRIAS FORMAS DIFERENTES.
- Mas tem uma coisa que vai ser FODA:
- Se eu quiser usar coordenadas polares, preciso de um "r" e um ângulo theta "θ".
- Temos um PAR
( r, θ )
mas preciso saber o tamanho do vetor e um ângulo pra poder trabalhar com ele. - Eu preciso OBRIGATÓRIAMENTE de 2 valores, pois esse ponto está num PLANO!
- É aí quem vem o CONCEITO DE DIMENSÃO.
- Um ponto no plano, num espaço de dimensão-2, sempre vai precisar de 2 valores pra representar ele, pode ser (x, y), pode ser (a, b), pode ser (r, θ), qualquer coisa... Mas sempre vai precisar de dois valores, pois o plano possui dimensão 2.
- Sempre precisamos de DUAS GRANDEZAS pra falar um UM PONTO
(a, b)
no plano (Cartesiano, ℝ², etc.) - Na mesma forma, num Espaço ℝ³, vamos usar sempre 3 GRANDEZAS.
- Existem outros sistemas (extensão da "coordenada polar") pra representar um ponto no ℝ³.
- Um ponto qualquer no ℝ³ vamos pegar "a" que pode ser visto assim:
- Agora vamos ter uma altura no Eixo.z
- Teremos uma projeção no ponto (x,y) vai ter uma coordenada (a,b,c).
- Preciso de três grandezas e poderia representar como
(r, θ, α)
o tamanho do Vetor.(ab) sendo "r", o ângulo theta "θ", e o ângulo alfa "α" pro novo "eixo" de referência que foi adicionado ao "plano", agora tendo "profundidade". - Poderíamos até representar esse ponto (a,b,c) com as coordenadas:
- (a, b, c) - (r, θ, α) - a = r * Sen.θ - b = r * Cos.θ - c = r * Sen.α
- No fundo, vou precisar SEMPRE de 3 elementos pois temos um sistema de 3 Dimensões*.
- Não sei quais são, posso até mudar de representação, escolher outros ângulos, mas no fundo sempre vou precisar de 3 elementos.
- Não posso representar com dois elementos esse ponto (a,b,c).
- Imagine o canto da sua sala...
- Pra achar um PAR de um Ponto.(a,b) num Plano (Espaço ℝ²), preciso de DUAS GRANDEZAS sempre!
- Pode ser Coordenada Eixo.X de valor "a" e Coordenada de Eixo.Y de valor "b";
(a, b) = {(a, 0);(0, b)}
- Pode ser Módulo do Vetor.(a,b), que vamos chamar de "r", que é a hipotenusa o o "comprimento" do vetor
r = |(a,b)|
, também em razão do ângulo theta "θ" e das implicações das Relações Trigonométricas, então posso plotar o Vetor.(a,b) sabendo: r = |(a,b)|
e também a inclinaçãoÂngulo θ
, temos o PAR(r, θ)
a = r * Cos.θ
, sendo que no eixo.X temos que o ponto "a" (a, 0) é igual à razão entre o (CA/H), Cateto Adjacente/Hipotenusa, que é o Cosseno de θ.b = r * Sen.θ
, sendo que no eixo.Y temos a sombra do ponto "b" (0, b) é igual à razão entre o (CO/H), Cateto Oposto/Hipotenusa, que é o Seno de θ.
- Pode ser Coordenada Eixo.X de valor "a" e Coordenada de Eixo.Y de valor "b";
- Ou seja, para um Plano Dimensional (2D), precisamos SEMPRE ao menos de DUAS GRANDEZAS indexadas (salvaguardadas regras e propriedades).
- Pra achar um TERNO de um Ponto.(a,b,c) num ESPAÇO com VOLUME (Espaço ℝ³), preciso de TRÊS GRANDEZAS sempre!
- Pode ser Coordenada Eixo.X de valor "a" e Coordenada de Eixo.Y de valor "b";
(a, b) = {(a, 0);(0, b)}
- Pode ser Módulo do Vetor.(a,b), que vamos chamar de "r", que é a hipotenusa o o "comprimento" do vetor
r = |(a,b)|
, também em razão do ângulo theta "θ" e das implicações das Relações Trigonométricas, então posso plotar o Vetor.(a,b) sabendo: r = |(a,b)|
e também a inclinaçãoÂngulo θ
a = r * Cos.θ
, sendo que no eixo.X temos que o ponto "a" (a, 0) é igual à razão entre o (CA/H), Cateto Adjacente/Hipotenusa, que é o Cosseno de θ.b = r * Sen.θ
, sendo que no eixo.Y temos a sombra do ponto "b" (0, b) é igual à razão entre o (CO/H), Cateto Oposto/Hipotenusa, que é o Seno de θ.
- ADICIONALMENTE, precisamos também de uma TERCEIRA GRANDEZA, que podem ser:
- O valor da altura "h" do novo Eixo.Z (que poderíamos chamar de "altura"), em relação ao plano que sustentamos nossa experiência;
(a, b, c) = {a*(1,0,0) ; b*(0,1,0) ; c*(0,0,1)} = {(a,0,0);(0,b,0);(0,0,c)}
- Ou o valor da inclinação do novo ângulo alfa α, em relação ao plano que sustentamos nossa experiência;
r = |(a,b)|
e também a inclinaçãoÂngulo θ
e a nova inclinaçãoÂngulo α
, temos então o TERNO(r, θ, α)
a = r * Cos.θ
, sendo que no eixo.X temos que o ponto "a" (a, 0) é igual à razão entre o (CA/H), Cateto Adjacente/Hipotenusa, que é o Cosseno de θ.b = r * Sen.θ
, sendo que no eixo.Y temos a sombra do ponto "b" (0, b) é igual à razão entre o (CO/H), Cateto Oposto/Hipotenusa, que é o Seno de θ.c = r * Sen.α
, sendo que no eixo.Z temos a sombra da projeção do ângulo α até o valor da altura "c" (0, 0, c), Cateto Oposto/Hipotenusa, que é o Seno de α.
- O valor da altura "h" do novo Eixo.Z (que poderíamos chamar de "altura"), em relação ao plano que sustentamos nossa experiência;
- Pode ser Coordenada Eixo.X de valor "a" e Coordenada de Eixo.Y de valor "b";
- Ou seja, para um Plano Dimensional (2D), precisamos SEMPRE ao menos de DUAS GRANDEZAS indexadas (salvaguardadas regras e propriedades).
- Para um Plano, precisamos de Duas Grandezas
(a,b)
ou(r, θ)
dados {(1,0);(0,1)}. - Para um Volume, precisamos de Três Grandezas
(a,b,c)
ou(r, θ, α)
dados {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}. - Álgebra Linear não trabalha apenas em 2D (no plano). Na verdade, ela trabalhar com ESPAÇO GENÉRICOS DE VETORES.
- Tem muita coisa que não pensamos que são vetores, mas são.
- As regras principais são as mesmas.
- Dependendo das dimensões do espaço, posso pensar em COMO REPRESENTAR EM TERMOS DE VETORES.
- 2D ok, 3D ok, 4D?
- vtnc, não consigo visualizar um espaço 4D (haha), embora posso tentar REPRESENTAR:
- Ponto no ℝ^4
- Ponto.(a,b,c,d)
- Eixo.X, Eixo.Y, Eixo.Z, Eixo.4D
- Base Canônica = { (1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (0,0,0,1) }
- { (a,0,0,0); (0,b,0,0); (0,0,c,0); (0,0,0,d) }
- vtnc, não consigo visualizar um espaço 4D (haha), embora posso tentar REPRESENTAR:
- SEMPRE!
- Comentário sobre a "dimensão do tempo"...
- Só percebemos o tempo em um único sentido (não conseguimos voltar no Passado, até agora...)
- Singularidade Nua
- Aposta entre Roger Penrose vs. Stephen Hawking
- Treta antiga de físico bolado!
- Filmes:
- A Chegada (2016)
- Interestelar (2014)
- Joaquim Elias de Freitas (UFRN) bebendo goró argumentou a favor de não dar, senão teríamos feito um ciclo positivo do futuro-presente...
- Etcetera...
FIM!