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Programa de Mentoria BSS 2023

Álgebra Linear

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Álgebra Linear - Aula 07

• Marco Civil da Internet - Estamos gravando!
• Hoje, vamos estudar "O Assunto dos assuntos" na matéria de Álgebra Linear.
• A aula de hoje, "Base de um Espaço Vetorial", é uma das principais aulas dessa disciplina, e com certeza, estaria listada entre, senão a mais, os assuntos mais fundamentais.
• Coisas popularizadas, quando cooptadas pelo Mercado, constumam perder qualidade... Por exemplo: uísques, vinhos, etc. que dependem de uma maturação, costumam perder qualidade quando produzidos em larga escala...
• Sair da aula, hoje, sem entender o assunto ocasionará no comprometimento do restante do curso!
• Hoje, também vamos aprender a idéia do conceito de DIMENSÃO (no sentido de Espaço Vetorial).
  • Existem vários conceitos de "dimensão" na matemática.
  • Hoje vamos aprender apenas um deles... ;)
• Dimensão para um espaço, é uma quantidade, um valor associado com um conjunto. Ele fala sobre a maneira COMO eu represento ELEMENTOS desse conjunto.
• Um dos conceitos de "Dimensão" se relaciona com a BASE DESSE CONJUNTO.
• Espaço Vetorial é um conjunto (elementos, vetores):
  • munido de determinadas operações (operação-adição e operação-multiplicação).
  • Op. Adição permite somar dois elementos desse espaço;
  • Op. Multiplicação por Escalar, permite pegar um corpo, um elemento de um conjunto que me fornece itens isolados (escalares) e posso multiplicar por elementos desse conjunto;
  • E ainda assim (Op.Soma e Op.Multiplicação) obter propriedades como FECHAMENTO.
    • Quando SOMO dois vetores do espaço vetorial, ainda continua sendo um vetor do Espaço Vetorial;
    • Quando MULTIPLICO um vetor do espaço vetorial, por um Escalar daquele Corpo correspondente, ainda é um vetor daquele Espaço Vetorial - pertence ao conjunto;  
• Hoje, vamos entender a Dimensão num sentido mais próximo do Físico, Natural, de um conjunto...
• O que eu preciso pra representar um vetor dentro do meu espaço?
• Existem outros conceitos de dimensões nas Matemáticas (Dimensão de Hausdorf-Besikovicht mede a densidade de um conjunto, o espaço que ele ocupa dentro do conjunto onde ele está). Nessa dimensão, podemos ter dimensões de valor 1,5, 3,8, 4,9, dimensões fracionárias.
• No conceito que vamos abordar hoje, não existe isso, vamos trabalhar com DIMENSÕES INTEIRAS (parse INT).
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O que é a Base de um Espaço Vetorial?

• No começo, vamos começar com menos formalidades...
• Vamos começar pelo CONJUNTO ℝ², é um produto de Conj. ℝ por Conj. ℝ,
  • ℝ² = reta Real (todos números reais) em produto de ℝ.x e ℝ.y, sendo um produto de espaços (vetores) pegando cada elemento de um eixo vs. outro eixo).
  • O elemento do ℝ² é um PAR (a,b), onde "a" pertence ao conj. ℝ e também "b" pertence ao conjunto ℝ;
  • ℝ²
  • ℝ * ℝ reta suporte dos números Reais no eixo ℝ.x e reta suporte dos números Reais no eixo ℝ.y
  • (a, b) par de elementos (a,b)
  • a ∈ ℝ ponto "a" é retirado do conjunto ℝ.x
  • b ∈ ℝ ponto "b" é retirado do conjunto ℝ.y
• O ponto do par (a,b) é um ponto do cruzamento do eixo ℝ.x (a) e o cruzamento do eixo ℝ.y (b), no ponto (a,b).
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Um Elemento do ℝ² é um PAR de elementos!

• Um elemento do ℝ² é um parzinho (a,b).
  • Um elemento do ℝ² é um par formado pelos pontos (a, b), onde os pontos a e b pertencem ao conjunto ℝ a, b ∈ ℝ .
  • É como se eu tivesse duas retas reais, e estou tirando um elemento de um, um elemento de outra, e estou situando esse elemento no cruzamento de dois conjuntos.
• Vamos observar algo interessante...
• Poderíamos escrever esse elemento assim: a*(1, 0) + b*(0, 1), de acordo com aquelas regras de multiplicação por escalar, e das regras de soma de vetores, podemos escrever assim, pois isso é a mesma coisa que (a, 0) + (0, b), pois o escalar "a" multiplica o par (1, 0) e o escalar "b" multiplica o par (0, 1).
  • a*(1, 0) + b*(0, 1) = (a, 0) + (0, b)
• Galera, tentem entrar na aula no horário correto, pois o Ed fica parando pra autorizar a entrada (#lá-ele), e o caldo entorna pra todes... O gato pode virar, cedo ou tarde, um animal decorativo e empalhado. Piada sobre o nome do gato ser Astro, afinal, "Astro-no-mia"... Se tá ruim pra você ouvindo a aula, imagina pra mim transcrevendo...
• Temos o Vetor.(AB), e vamos tentar escrever esse vetor assim: a*(1, 0) + b*(0, 1)
  • Segundo a regra de multiplicação de escalar por vetor, quando multiplico "a" por (1, 0) tenho (a, 0) - a*(1, 0) = (a, 0)
  • Segundo a regra de multiplicação de escalar por vetor, quando multiplico "b" por (0, 1) tenho (0, b) - b*(0, 1) = (0, b)
  • Segundo a regra da soma de vetores que já fizemos, a gente soma as coordenadas eixo.x a+0 com a soma das coordenadas eixo.y 0+b, que vai resultar no Vetor.(a, b).
  • a*(1, 0) + b(0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b)
  • 

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Relembrando: a*(1,0) + b*(0,1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b)

• Podemos enxergar isso em termos gráficos no plano cartesiano (ℝ²).
• a*(1, 0) + b(0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b)
• Temos aqui o Vetor.1 que é representado pelo par (1,0), no eixo ℝ.x na posição 1, no eixo ℝ.y na posição 0, no ponto (1,0) na representação do plano de ℝ².
  • Falando no eixo ℝ.x, tenho o Vetor.(1,0)
• Temos aqui o Vetor.1 que é representado pelo par (0,1), no eixo ℝ.x na posição 0, no eixo ℝ.y na posição 1, no ponto (0,1) na representação do plano de ℝ².
  • Falando no eixo ℝ.y, tenho o Vetor.(0,1)
• Ambos em vermelho.
• 
•  
• Quando eu falo em um Vetor.(AB), estou falando em escrever esse Vetor.(AB) dessa forma:
• O Vetor.(AB) será escrito como:
  • Primeiro o par a*(1, 0) ou seja, "a" vezes o par (1,0) será "a" vezes 1 que é "a", e "a" vezes 0 que é zero ∴ temos:
    • a*(1,0) = (a, 0)
  • Segundo o par b*(0, 1) ou seja, "b" vezes o par (0,1) será "b" vezes 0 que é 0, e "b" vezes 1 que é "b" ∴ temos:
    • b*(0,1) = (0, b)
• Ambos em azul, Vetor.(a,0) e também o Vetor.(0,b).
  • Notemos que no eixo ℝ.x teremos o ponto (1,0) e também teremos o ponto (a,0) como equivalentes na reta de suporte ℝ.x;
  • Notemos que no eixo ℝ.y teremos o ponto (0,1) e também teremos o ponto (0,b) como equivalentes na reta de suporte ℝ.y;
• Numa terceira cor (roxo), temos o Vetor.AB, no ponto (a,b) da intersecção dos pontos (a,0) no eixo ℝ.x e no ponto (0,b) no eixo ℝ.y;
  • Temos o Vetor.(AB), que é uma SOMA DE VETORES daqueles dois vetores nas suas respectivas retas suportes ℝ.x e ℝ.y que será o famoso ℝ².
    • Temos o Vetor.(a,0) que pode sofrer a SOMA DE VETORES com o Vetor.(0,b)
      • Vamos somar o Vetor.(a,0) com o Vetor.(0,b), vou no destino desse vetor e pego outro vetor que eu transporto para o outro lado.
      • O Vetor.(AB) é a SOMA do Vetor.(a,0) com o paralelo do Vetor.(0,b) transportado pela Regra do Paralelograma.
      • 

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Base do ℝ² = { (1, 0) ; (0,1) }

• Essencialmente, estamos fazendo uma multiplicação e depois uma soma de vetores.
• O Vetor.(AB) é a SOMA do Vetor.(a,0) com o paralelo do Vetor.(0,b) transportado pela Regra do Paralelograma.
• A multiplicação de a*(1,0) + b*(0,1) é como se "a" e "b" fossem escalares multiplicando os vetores, no caso o Vetor.(1,0) em ℝ.x no ponto (1,0) com o Vetor.(0,1) em ℝ.y no ponto (0,1).
• Base do ℝ² = { (1, 0) ; (0,1) }
• Isso quer dizer que qualquer vetor de Base do ℝ² pode ser escrito como uma COMBINAÇÃO LINEAR. Combinação Linear é exatamente isso:
  • Combinação Linear, pegamos dois escalares "a" e "b", escolhemos outros dois vetores da base (que é ℝ²) no caso os vetores "(1,0)" e "(0,1)", e escrevemos a resultante como sendo o Vetor.(AB).
  • Escrevemos o Vetor.(AB) (a, b) como sendo um produto de escalares a*(1,0) + b*(0,1), portanto isso é a Combinação Linear.
  • (a, b) = a*(1, 0) + b*(0, 1)
  • Pegamos dois escalares "a" e "b";
  • Pegamos dois vetores "(1,0)" e "(0,1)";
  • Multiplicamos um escalar pelo primeiro vetor a*(1,0);
  • Multiplicamos um escalar pelo segundo vetor b*(0,1);
  • E estou somando ao final.
• *Isso é uma Combinação Linear!
• 

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Pergunta:

• "A Regra do Paralelograma só funciona no ℝ²?"
• NÃO!
  • A Regra do Paralelograma serve para QUALQUER ESPAÇO VETORIAL.

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Ponto (x,y) no Espaço Vetorial vs. Escalar "x' e "y" na reta suporte real

• Então assim, que fique claro a escrita do Vetor.(AB).
• Pego os dois vetores da Base = {(1,0) ; (0,1)}, e eles me permitem escrever qualquer vetor do espaço ℝ².
• Se eu tiver um vetor qualquer "(x, y)" do Espaço ℝ², isso significa que esses caras pertencem à ℝ, então o "x" e o "y" serão escalares que pertencem à ℝ. No caso, "x" e "y" são números reais escalares, e não pontos no espaço. O ponto "(x, y)" é um ponto no espaço. O valor de "x" e de "y" são escalares reais.
  • (x, y) ponto no espaço vetorial
  • x ∈ ℝ valor escalar na reta suporte real
  • y ∈ ℝ valor escalar na reta suporte real
• Na forma de um par "(x,y)" eles formam um Vetor!
• 

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Conceito de "Espaço Vetorial"

• Espaço Vetorial é < >:

  • um Conjunto C;
  • com Duas Operações:
    • operação Adição (não a soma normal); (+)
    • operação Multiplicação (não a multiplicação normal); (x)
  • com um corpo sendo F (conjunto de escalares)

• Espaço Vetorial é < C,(+),(x) >  

• Espaço vetorial é um conjunto com duas operações, Op. Adição e Op. Multiplicação (com bolinhas ao redor), com um corpo "F" (conjunto de escalares) tirados pra garantir a linearidade.

• Linearidade para ser garantida temos duas regras:

  • A soma de dois elementos (a,b)
    • Se "a" e "b" pertencem à C; a, b ∈ C
  • Se "k" é um escalar do Corpo F; k ∈ F
  • Preciso de duas condições pra ser linear:
    • a + b ∈ C e (k * a) ∈ C
    • "a" mais "b" precisa pertencer à C, ou seja, ser fechado pra adição de vetores;
    • "k" vezes "a" precisa também pertencer à C, ou seja, ser fechamento para multiplicação de vetores;

• 

• No caso, o conjunto C é o conjunto do ℝ² C = ℝ² para um Ponto (x,y) temos o Vetor.(x,y) e o F é o conjunto dos números reais F = ℝ enquanto escalar.

• Os escalares são reais (ℝ) e as coordenadas dos vetores em ℝ² também são números reais.

• Se você me der um Vetor.qualquer tipo Vetor.(AB):

  • esse "a" é um elemento de ℝ como escalar, e posso escolher multiplicar pelo Vetor.(1,0);
  • esse "b" é um elemento de ℝ como escalar, e posso escolher multiplicar pelo Vetor.(0,1);
  • Esstou pegando escalares de ℝ do Corpo (F), e multiplicando por Vetores de Base = { (1,0) ; (0,1) } que é a Base do Espaço Vetorial (ℝ²);
    • Podemos pensar no Ponto (a,b):
    • Esse cara, sendo a ∈ ℝ um escalar "a" do conjunto real, vezes um Vetor da base ℝ.x (1,0) do conjunto ℝ;
    • Esse cara, sendo b ∈ ℝ um escalar "b" do conjunto real, vezes um Vetor da base ℝ.y (0,1) do conjunto ℝ;

• Me parece natural um "a" ser escrito como a * 1 = a e também a * 0 = 0 logo temos (a, 0) = a * (1,0)

• Me parece natural um "b" ser escrito como b * 0 = 0 e também b * 1 = b logo temos (0, b) = b * (0,1)

• (a, b) = a*(1,0) + b*(0,1)

• 

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Pensando em termos numéricos...

• Vamos pensar em duas retas:
  • uma com um Vetor.(9,0) como valor 9 no eixo.x, e não possui altura sendo o valor 0 no eixo.y, na reta real;
  • outra com um Vetor.(0,9) como valor 9 no eixo.y, e não possui largura sendo o valor 0 no eixo.x, na reta real;
•  
  • vamos pensar em duas retas, uma é um Vetor.(9,0) sendo a coordenada de x = 9, e a coordenada de altura y = 0, ambas na reta real, na cor azul;
    • aqui também está o ponto 1, que é também um Vetor.(1,0) sendo a coordenada de x = 1, e a coordenada de altura y = 0, ambas na reta real, na cor azul;
      • posso pensar no Vetor.(9,0) como sendo a multiplicação de 9 (escalar) vezes o Vetor.(1,0), ou seja: 9 * (1,0) = 9*(1.x) soma 9*(0.y) = (9, 0)  
  • vamos pensar em outra reta, sendp um Vetor.(0,5) sendo a coordenada de x = 0, e a coordenada de altura y = 5, ambas na reta real, na cor azul;
    • aqui também está o ponto 1, que é também um Vetor.(0,1) sendo a coordenada de x = 0, e a coordenada de altura y = 1, ambas na reta real, na cor azul;
      • posso pensar no Vetor.(0,5) como sendo a multiplicação de 5 (escalar) vezes o Vetor.(0,1), ou seja: 5 * (0,1) = 5*(0.x) soma 5*(1.y) = (0, 5)  
• O vetor resultante no Ponto (9,5) pode ser representado pela soma do Vetor.(0,5) com o Vetor.(9,0), cujos valores foram multiplicados os vetores (1,0) pelo escalar 9 e, multiplicados os vetores (0,1) pelo escalar 5.
• (9,5) = (9,0) + (0,5) = 9*(1,0) + 5*(0,1)
• (a,b) = (a,0) + (0,b) = a*(1,0) + b*(0,1)
• Base do Espaço Vetorial é Base = {(1,0) ; (0,1)} Canônica (conveniente pra trabalhar)
• Sendo a, b ∈ ℝ pertencendo aos reais, e também F ∈ ℝ como corpo dos escalares reais, aplicadas as condições de linearidade (Op. Adição e Op. Multiplicação), temos um Espaço Vetorial C = ℝ² com fechamento e manutenção da condição de linearidade.
• Podemos olhar de cara e enxergar o vetor que queremos!
• BASE CANÔNICA = (1,0) e (0,1)

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Base Canônica (ℝ²) = {(1,0);(0,1)}

• Por exemplo, tomemos o Vetor.(10,3) como sendo um Ponto no Espaço Vetorial de ℝ²:
• (10, 3) = (10,0) + (0,3) = 10 * (1,0) + 3 * (0,1)
• (9, 5) = (9,0) + (0,5) = 9 * (1,0) + 5 * (0,1)
• (a, b) = (a,0) + (0,b) = a * (1,0) + b * (0,1)
• Base Canônica é uma base convencionada, é aceita como convenção.
• 

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E se a base fosse "fracionada"?

• Tomemos como exemplo a Base = {(1.5, 0) ; (0, 3.2)}
• { (1.5, 0) ; (0, 3.2) }
• Vamos usar o mesmo Vetor.(10,5) pra representar essa base, qual número devemos colocar "em evidência" pra poder representar esse vetor?
• 
• (10, 5) = __*(1.5, 0) + __*(0, 3.2)
• Para o primeiro vetor a = 10, precisamos achar alguém que vezes 1,5 seja 10, então:
  • 1.5 * x = 10 = (15/10) * x = 10 = x = 100/15 = (5*20) / (3*5) = 20/3 = ≅ 6,666...
  • 
• Para o segundo vetor b = 5, precisamos achar alguém que vezes 3,2 seja 5, então:
  • 3,2 * y = 5 = (32/10) * y = 5 = y = 50/32 = (2*25) / (2*16) = 25/16 = 1,5625
  • 
• FORA DA BASE CANÔNICA A PORCA TORCE O RABO! 🐷 🌀 🍑
• Funciona, só vai ser uma merda de usar.

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Base Não-Homogênea, como o amigo disse: "números quebrados"

• Característica engraçada nessa base não é homogênea.
• A medida dos dos lados não é igual quando usamos essa base sugerida {(1.5, 0);(0, 3.2)}
• Um vetor igual do tipo (5,5) é homogêneo na base canônica:
  • (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a * (1,0) + b * (0,1)
  • (5, 5) = (5, 0) + (0, 5) = 5 * (1,0) + 5 * (0,1)
• Vetores com coordenadas iguais terá multiplicadores iguais também.
  • (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a * (1,0) + b * (0,1)
  • (1.5, 3.2) = (1.5, 0) + (0, 3.2) = 1.5 * (1,0) + 5 * (0,1)
  • (5, 5) = a * (1.5, 0) + b * (0, 3.2)
• Então temos que 1,5 * a = 5 e também que 3,2 * b = 5
  • Portanto teremos que 1,5 * a = 5 ∴ (15/10)*a = 5 ∴ a = 50/15 ∴ a = (5*10) / (5*30) ∴ a = 10/3 ∴ a ≅ 3,333...
  • Também teremos que 3,2 * b = 5 ∴ (32/10)*b = 5 ∴ b = 50/32 ∴ b = (2*25) / (2*16) ∴ b = 25/16 ∴ b = 1,5625
• Logo, numa escala de proporção 1:1 ou 5,5, teríamos um vetor "normal" homogêneo.
• Logo, numa escala de proporção 3,333 : 1,5625, teríamos um vetor "torto" heterogêneo.
• Nesse Espaço Vetorial Base = {(1.5, 0) ; (0, 3.2)}) medir no Eixo.X é diferente de medir no Eixo.y.
• Porque o 'fator de multiplicação' no eixo x é maior que o 'fator de multiplicação' no eixo y são diferentes, logo as proporções são "achatadas", "alongadas".
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Base Homogênea (1:1) ou {(1,0);(0,1)}

• Nossa Base Canônica é Homogênea (mesmo valor e pêso para os dois eixos).
• Base Canônica:
  • Vetor de tamanho 1, ou seja o Módulo do Vetor (1,0) é 1, comprimento é 1;
    • |Vetor.(1,0)| = 1 é o mesmo que |(1,0)| = 1
  • Vetor de tamanho 1, ou seja o Módulo do Vetor.(0,1) é 1, comprimento é 1;
    • |Vetor.(0,1)| = 1 é o mesmo que |(0,1)| = 1
  • Não possui achatamento, proporções homogêneas.
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• Mais tarde poderemos "MUDAR DE BASE".
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"Mudar de Base" no futuro serão as "Transformações Lineares"

• No futuro, vamos aprender como "Mudar de Base" e então teremos uma operação (próximo assunto "Transformações Lineares"), que vai nos permitir mudar um vetor de base.
• A figura "qualquer" ao mudar de base vai "achatar", "rodar", "lá pra ponta".
• Pra piorar, essa Base {(1.5, 0) ; (0, 3.2)} ainda possui o centro na origem {(_, 0);(0, _)}, pois a coordenada do primeiro vetor é zero e a coordenada do segundo vetor também é zero.
• Podemos usar transformações lineares pra enxergar, virar, comprimir, etc., a imagem.
• A Base do sistema (Espaço Vetorial) que utilizamos vai determinar a maneira como as coisas são visualizadas no exemplo.
• A base poderia também ser alterada, e ainda pior, pensada em outras dimensões, com Eixo.(x,y) ou Eixo.(x,y,z) ou Eixo.(j,k,l,m) ...
• Pausa pro Café e pro "Chá"!
  • The 4th Dimensions Shorts by Tibees [En]
    • https://www.youtube.com/watch?v=NwenCsCTwlc&list=PLATpsZGmpkg8PYPS8HEPehR0l9tZYwrCi
  • Explorando outras dimensões - Alex Rosenthal and George Zaidan [En; Pt-Br subs]
    • https://www.youtube.com/watch?v=C6kn6nXMWF0

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Dúvida sobre Projeções de Mapas (planificados vs. esféricos)

• Tudo que vemos como um plano achatado, pode ser interpretado como um conjunto de vetores.
• Infelizmente, toda projeção cartográfica é uma TENTATIVIA de ACHATAMENTO da esfera terreste para um plano. Logo, haverá distorções...
• A Projeção é como se fosse um Mergulho.  
• Projeção de Mercator (um dos primeiros mapas planificados da Terra);
• Projeção de Foco Único (um ponto superior que emite um raio de luz e projeta a imagem num plano de fundo);
  • Algumas vezes, essa linha vai "furar" algumas coisas, passando duas vezes pela crosta do globo... É como se fosse um feixe de luz, distorcido pela projeção, mas a mesma linha passando mais de uma vez pelo globo - notando a questão de "distorções" (conceito requer melhor elaboração - sou de humanas!)
  • 
• Pergunta sobre Geometria Euclidiana vs. Geometria Analítica:
  • ???
  • CALMA JOVEM! Ed tá tentando simplificar a vida, não vamos complicar ainda não, a Álgebra Linear pode trabalhar com vetores de qualquer ordem (eixos x, y, z).

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Um ponto no ℝ³

• Um ponto no ℝ³ seria um TERNO.
  • Um ponto no ℝ² era uma DUPLA (duas coordenadas).
• Um ponto no ℝ³ será x, y, z, com uma representação de coordenadas em 3 eixos.
• Minha representação do ℝ³ terá um Eixo.x, Eixo.y, Eixo.z (altura).
  • ℝ³ com pontos (x, y, z) ∈ ℝ
• Um ponto aleatório sendo (a, b, c) terá uma coordenada de "a", "b" e "c".
• Será uma CONJUNÇÃO DE PONTOS (largura, profundidade, altura).
• Álgebra Linear também trabalha com isso!
• Base Canônica ℝ³ será ℝ³ = { (1, 0, 0) ; (0, 1, 0); (0, 0, 1) }
• Base Canônica é amplamente utilizada por ser praticamente "espontânea", podemos escrever como um vetor facilmente.
• 

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Base Canônica e Conceito de Representação

• Todas as BASES definem um ESPAÇO, sejam elas canônicas ou não. - Prof. Ed
• A Base Canônica é apenas a "mais simples" pra gente poder representar as coisas.
• 
• Necessidade de entendermos o CONCEITO DE REPRESENTAÇÃO!
• Vamos imaginar um sistema cartesiano, com um Ponto.(a,b).
  • Temos uma reta que liga o Ponto.(a,b) ao centro-origem que terá o Módulo do Vetor.(A,B) representado por |(a,b)|.
    • Esse |Módulo.(a,b)| é basicamente o "comprimento" do vetor. Vamos chamar de "r", de modo que r = |(a,b)|.
  • Esse ângulo da reta que liga a Origem ao Ponto.(A,B) será o ângulo theta (θ). Ângulo Theta θ
    • R = Módulo do Vetor.(a,b) = |(a,b)| = Hipotenusa
    • O ponto "a" é representado no Eixo.x = a = Cateto Adjacente θ
    • O ponto "b" é representado no Eixo.y = b = Cateto Oposto θ
• Sabendo que, de acordo com as Relações de Trigonometria, podemos relacionar a Hipotenusa (H), o Cateto Adjacente (CA), o Cateto Oposto (CO) assim:
  • Cosseno de Theta = Cos.θ = Cateto Adjacente / Hipotenusa
  • Seno de Theta = Sen.θ = Cateto Oposto / Hipotenusa
  • 

 

• Do ponto.(a,b), temos uma projeção de "a" no Eixo.x., que pode ser representado por a = r * Cos.θ
• Do ponto.(a,b), temos uma projeção de "b" no Eixo.y, que pode ser representado por b = r * Sen.θ
  • Podemos tentar pensar assim:
  • Hipotenusa = r
  • Cateto Adjacente = a ou talvez, Eixo.x de "a" = (a, 0)
  • Cateto Oposto = b ou talvez, Eixo.y de "b" = (0, b)
  • 

 

• Isso aqui se chama "Representação por Coordenadas Polares":
• (a, b) = (r\*cos.θ, r\*sen.θ)
• A DUPLA de pontos (a, b) pode ser representada toda pelo tamanho do vetor.(a,b) = r.
• Tudo isso pra provar que, em Matemáticas, podemos representar a mesma coisa (realidade) na matemática de VÁRIAS FORMAS DIFERENTES.
• Mas tem uma coisa que vai ser FODA:
  • Se eu quiser usar coordenadas polares, preciso de um "r" e um ângulo theta "θ".
  • Temos um PAR ( r, θ ) mas preciso saber o tamanho do vetor e um ângulo pra poder trabalhar com ele.
  • Eu preciso OBRIGATÓRIAMENTE de 2 valores, pois esse ponto está num PLANO!

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Dimensão ℝ² - PLANO vs. 3D

• É aí quem vem o CONCEITO DE DIMENSÃO.
• Um ponto no plano, num espaço de dimensão-2, sempre vai precisar de 2 valores pra representar ele, pode ser (x, y), pode ser (a, b), pode ser (r, θ), qualquer coisa... Mas sempre vai precisar de dois valores, pois o plano possui dimensão 2.
• Sempre precisamos de DUAS GRANDEZAS pra falar um UM PONTO (a, b) no plano (Cartesiano, ℝ², etc.)
• Na mesma forma, num Espaço ℝ³, vamos usar sempre 3 GRANDEZAS.
• Existem outros sistemas (extensão da "coordenada polar") pra representar um ponto no ℝ³.  
• Um ponto qualquer no ℝ³ vamos pegar "a" que pode ser visto assim:
  • Agora vamos ter uma altura no Eixo.z
  • Teremos uma projeção no ponto (x,y) vai ter uma coordenada (a,b,c).
  • Preciso de três grandezas e poderia representar como (r, θ, α) o tamanho do Vetor.(ab) sendo "r", o ângulo theta "θ", e o ângulo alfa "α" pro novo "eixo" de referência que foi adicionado ao "plano", agora tendo "profundidade".
  • Poderíamos até representar esse ponto (a,b,c) com as coordenadas:

  - (a, b, c)
  - (r, θ, α)
  - a = r * Sen.θ
  - b = r * Cos.θ
  - c = r * Sen.α
  

• No fundo, vou precisar SEMPRE de 3 elementos pois temos um sistema de 3 Dimensões*.
• Não sei quais são, posso até mudar de representação, escolher outros ângulos, mas no fundo sempre vou precisar de 3 elementos.
• Não posso representar com dois elementos esse ponto (a,b,c).
• Imagine o canto da sua sala...
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O conceito de Dimensão (2D)

• Pra achar um PAR de um Ponto.(a,b) num Plano (Espaço ℝ²), preciso de DUAS GRANDEZAS sempre!
  • Pode ser Coordenada Eixo.X de valor "a" e Coordenada de Eixo.Y de valor "b";
    • (a, b) = {(a, 0);(0, b)}
  • Pode ser Módulo do Vetor.(a,b), que vamos chamar de "r", que é a hipotenusa o o "comprimento" do vetor r = |(a,b)| , também em razão do ângulo theta "θ" e das implicações das Relações Trigonométricas, então posso plotar o Vetor.(a,b) sabendo:
  • r = |(a,b)| e também a inclinação Ângulo θ, temos o PAR (r, θ)
    • a = r * Cos.θ, sendo que no eixo.X temos que o ponto "a" (a, 0) é igual à razão entre o (CA/H), Cateto Adjacente/Hipotenusa, que é o Cosseno de θ.
    • b = r * Sen.θ, sendo que no eixo.Y temos a sombra do ponto "b" (0, b) é igual à razão entre o (CO/H), Cateto Oposto/Hipotenusa, que é o Seno de θ.
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• Ou seja, para um Plano Dimensional (2D), precisamos SEMPRE ao menos de DUAS GRANDEZAS indexadas (salvaguardadas regras e propriedades).
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O Conceito de Dimensão (3D)

• Pra achar um TERNO de um Ponto.(a,b,c) num ESPAÇO com VOLUME (Espaço ℝ³), preciso de TRÊS GRANDEZAS sempre!
  • Pode ser Coordenada Eixo.X de valor "a" e Coordenada de Eixo.Y de valor "b";
    • (a, b) = {(a, 0);(0, b)}
  • Pode ser Módulo do Vetor.(a,b), que vamos chamar de "r", que é a hipotenusa o o "comprimento" do vetor r = |(a,b)| , também em razão do ângulo theta "θ" e das implicações das Relações Trigonométricas, então posso plotar o Vetor.(a,b) sabendo:
  • r = |(a,b)| e também a inclinação Ângulo θ
    • a = r * Cos.θ, sendo que no eixo.X temos que o ponto "a" (a, 0) é igual à razão entre o (CA/H), Cateto Adjacente/Hipotenusa, que é o Cosseno de θ.
    • b = r * Sen.θ, sendo que no eixo.Y temos a sombra do ponto "b" (0, b) é igual à razão entre o (CO/H), Cateto Oposto/Hipotenusa, que é o Seno de θ.
  • ADICIONALMENTE, precisamos também de uma TERCEIRA GRANDEZA, que podem ser:
    • O valor da altura "h" do novo Eixo.Z (que poderíamos chamar de "altura"), em relação ao plano que sustentamos nossa experiência;
      • (a, b, c) = {a*(1,0,0) ; b*(0,1,0) ; c*(0,0,1)} = {(a,0,0);(0,b,0);(0,0,c)}
    • Ou o valor da inclinação do novo ângulo alfa α, em relação ao plano que sustentamos nossa experiência;
      • r = |(a,b)| e também a inclinação Ângulo θ e a nova inclinação Ângulo α, temos então o TERNO (r, θ, α)
    • a = r * Cos.θ, sendo que no eixo.X temos que o ponto "a" (a, 0) é igual à razão entre o (CA/H), Cateto Adjacente/Hipotenusa, que é o Cosseno de θ.
    • b = r * Sen.θ, sendo que no eixo.Y temos a sombra do ponto "b" (0, b) é igual à razão entre o (CO/H), Cateto Oposto/Hipotenusa, que é o Seno de θ.
    • c = r * Sen.α, sendo que no eixo.Z temos a sombra da projeção do ângulo α até o valor da altura "c" (0, 0, c), Cateto Oposto/Hipotenusa, que é o Seno de α.
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• Ou seja, para um Plano Dimensional (2D), precisamos SEMPRE ao menos de DUAS GRANDEZAS indexadas (salvaguardadas regras e propriedades).

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Conceito de Dimensionalidade

• Para um Plano, precisamos de Duas Grandezas (a,b) ou (r, θ) dados {(1,0);(0,1)}.
• Para um Volume, precisamos de Três Grandezas (a,b,c) ou (r, θ, α) dados {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}.
• Álgebra Linear não trabalha apenas em 2D (no plano). Na verdade, ela trabalhar com ESPAÇO GENÉRICOS DE VETORES.
• Tem muita coisa que não pensamos que são vetores, mas são.
• As regras principais são as mesmas.
• Dependendo das dimensões do espaço, posso pensar em COMO REPRESENTAR EM TERMOS DE VETORES.
• 2D ok, 3D ok, 4D?
  • vtnc, não consigo visualizar um espaço 4D (haha), embora posso tentar REPRESENTAR:
    • Ponto no ℝ^4
    • Ponto.(a,b,c,d)
    • Eixo.X, Eixo.Y, Eixo.Z, Eixo.4D
    • Base Canônica = { (1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (0,0,0,1) }
    • { (a,0,0,0); (0,b,0,0); (0,0,c,0); (0,0,0,d) }
• SEMPRE!
• 
• Comentário sobre a "dimensão do tempo"...

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Dimensão "Tempo"

• Só percebemos o tempo em um único sentido (não conseguimos voltar no Passado, até agora...)
• Singularidade Nua
• Aposta entre Roger Penrose vs. Stephen Hawking
• Treta antiga de físico bolado!
• Filmes:
  • A Chegada (2016)
  • Interestelar (2014)
• Joaquim Elias de Freitas (UFRN) bebendo goró argumentou a favor de não dar, senão teríamos feito um ciclo positivo do futuro-presente...
• Etcetera...

FIM!