Biostatisztika és alkalmazásai

• Ferenci Tamás YouTube
• Ferenci Tamás - Bevezetés a biostatisztikába
• Solymosi Norbert - R - Erre könyv - pdf

Számonkérések:

• 1 db beadandó - szorgalmi utolsó napjáig
• 1 db zh - félév felénél kb
• írásbeli vizsga

8:20-kor kezdünk - kivéve első három héten

EA1 - R ismétlés - Statisztika alapfogalmai áttekintés

Statisztika alapfogalmai áttekintés

• valségszámítás -> statisztika -> alkalmazott stat ágak
• bioinformatika: inkább számítástechnikai kérdések, nagy adatbázisokon hatékony algoritmikus megoldások
• biomatematika: inkább nem statisztikai elsősorban analízisbeli modellezési eszközök, diffegyenletek haszálata

milyen alapokra van szükség:

• valségszámítás, linalg
• mat stat
• orvosi ismeretek

stat programcsomagok:

• SAS - gyógyszeripar kedveli
• SPSS - Általános célú stat programcsomag szociológusoknak
• R - kalsszikus akadémiai programcsomag

demonstratív kérdések:

• egy új vérnyomáscsökkentő csökkenti-e a vérnyomást
  • nem okoz epilepszia-kockázatot?
• milyen tényezők hatnak adott rákban a túlélési időre?
• mennyi jelen kurzus hallgatóinak átlagos testtömege?

definíciók:

• véges sokaság - populáció: egzakt halmaz amire a kérdésünk irányul: mennyi jelen kurzus hallgatóinak átlagos testtömege?
  • fiktív végtelen sokaság: nem névszerint felsorolható, de körülírható jellemzőkkel rendlekező halmaz, eloszlásal megadott érték
• megfigelési egység: a populáció elemei
• változó/ismérv: a változó értékének meghatározása egy adott sokasági elemre: megfigyelés <- az összes elem nagyon ritkán megfigyelhető
• mintavételes helyzet: általában nem tudjuk a teljes sokaságot megfigyleni, de a mgefigylehető része a minta
• induktív statisztika: hogyan tudunk következtetni az egész sokaságra? pl: hogyan mondható meg 100 szám átlaga ha csak 99-et ismerek?*
• deskriptív statisztika: a statisztika azon fejezete ami nem törődik a mintavétellel
• proxy változók: *pl: mekkora a szocio-ökonomia értéke valakinek - kereset, társadalmi státusz, stb-?

mérési skálák/adatok jellemzői:

mi az a művelet amit érdemes elvégezni?

• Stevens 1946:

  • minőségi változó:
    • nominális skála: egy ismérv nominális skálán van mérve, ha két megfigyelési egységgel nem ugyanazt az értéket veszik fel. pl: szemszínek: egyik barna, másik kék, akkor nem adható hozzá átlág, stb...
    • ordinális skála: a nominális + értelmezett, hogy melyik nagyobb pl: egy közgáz bsc és egy orvosi MD foknál egyik nagyobb, de semmi köze egymáshoz
  • mennyiségi változó:
    • intervallum skála: a különbségnek is van értelme. pl: Aladár testhőmérséklete 40, Béla 38: egyik nagyobb - másik kisebb; kivonhatóak egymásból; de Aladár hőmérsékletének semmi köze Béláéhoz
    • arányskála: van értelme az osztásnak is. pl: Aladár 50 kg, Béla 80 kg, akkor egyik nagyobb, A és B nek nincs köze egymáshoz, de mondható, hogy B x %-al nagyobb

• Diszkrét változó: a kimenetek száma egy diszkrét halmaz: véges/megszámlálhatóan végtelen, pl szemszín a nominális és ordinális változók diszkrétek

• folytonos változó: kontinuum számosságú, pl: testhő, a mennyiségi változók folytonosak

kivétel: hányszor volt infarktusod?

• időbeli jelleg:

  • keresztmetszeti: egy időpontban mértünk, nincs utánkövetés
  • longitudinális / hosszmetszeti / panel adat: egymás után többször mértük le, az alanyoknak időbeli követése is van; cohort; eset kontrol;

• prevalencia: hányan vannak? - stock jellegű

• incidencia: hány új valami van? - flow jellegű

R ismétlés

Egy running example-t használunk a félév során

• Birth Weight adatbázis (1986): hogyan prediktálható az újszülött születési tömege?
  • keresztmetszeti adatbázis

gyerek születési tömege (g): alacsoy < 2500

gyak 2 - R ismétlés

https://www.w3schools.com/r/

fájl: biostat_gy_2.r

• értékadás: valtozo <- erteke

• utolsó futási eredmény visszkaérése: .last.value

• függvények: fuggveny(argumentum)

• az R egy gyengén típusos nyelv

szam <- 3.3
typeof(szam)
str(szam)

egesz <- 3
typeof(egesz)
egesz <- 3L
typeof(egesz)
str(egesz)

beagyazott <- "És Ferenci mondta: 'talpra haza'"

logikai <- TRUE
str(logikai)

logikai <- F
str(logikai)

szovegvektor <- c("alma", "fa")

típus tesztelése

is.character()
is.numeric()
is.integer()
is.double()

típuskényszerítés

as.character(szam)
as.numeric("2.8")
as.numeric(TRUE)
as.numeric(FALSE)
as.logical(0)
as.logical(1)
as.logical(100)
as.logical(-10)

miafranc <- as.logical(-3.14)

adatszerkezetek

vektor

• homogén
• 1D
• minden eleme ugyanolyan típusú

szamvektor <- c(2,3.5,6,-4)
szamvektor
str(szamvektor)

pl: véletlen szám generálása rnorm(darabszam)

Az R-ben nincs skalár, csak egy elemű vektor.

szam <- 5
c(szam,4)

seq(1, 13, 2)
seq(1, 13, 1)

1:13


szamvektor <- c(elso = 3, masodik =8.3, harmadik = -4)
szamvektor["elso"]

kulcsok lekérése kulcs-érték párokból álló vektorból: names(szamvektor)

##indexelés
szamvektor[3]
szamvektor[c(1,4)]
szamvektor[c(T,T,F,F,T)]
szamvektor[c(T,F)]
szamvektor[-3]

szamvektor[2] <- 10.5
szamvektor
szamvektor[10] <- 20
szamvektor

szamok <- c(1,2,3,4,5)
str(szamok)

valami <- c(NA, NA, NA)
str(valami)

mátrix

### matrixok
szammatrix <- matrix(1:8, nc = 2)
szammatrix
szammatrix <- matrix(1:8, nr = 2)
szammatrix
szammatrix <- matrix(1:8, nc = 2, byrow = TRUE)
szammatrix

dim(szammatrix)
nrow(szammatrix)
ncol(szammatrix)

szammatrix[1,1]

colnames(szammatrix) <- c("egy", "ketto")
rownames(szammatrix) <- c("a", "b", "c", "d")
szammatrix

# több dimenziós mátrix az array

dataframe

• 2D
• heterogén (egy oszlopon belül homogén!
• rectangular

adatkeret <- data.frame(elso = c(1,3.4,-3),
                        masodik = c("a", "b", "c"),
                        harmadik = c(T,T,F))
adatkeret
str(adatkeret)

adatkeret[c(T,F,T), -1]

adatkeret$elso
adatkeret[,"elso"]

adatkeret$elso>0.5
adatkeret[adatkeret$elso>0.5,]

a vesszőt nem szabad elfelejteni az indexeléshez!!

minta adathalmazunk

data(birthwt, package = "MASS")
str(birthwt)
birthwt[str]
colnames(birthwt)

birthwt$bwt    # vektornak adja ki

birthwt[[10]]  #
birthwt["bwt"] # megőrzi a dataframeségét

EA-GY 3

helpet ?parancsnév vagy ?? ha nem ismerjük a parancs nevétkérhetünk

függvényeknél az argumentumok nevei elhagyhatóak, pl rnorm(10,70,15) és rnorm(n=10, mean = 70, sd = 15) ugyanaz; de az ajánlás szerint a jobb olvashatóság kredvéért érdemes megadni a neveket!

ciklusok helyett apply fv család

# lapply(elem_amire_függvényt_hívunk, függvény)
lapply(1:3, rnorm)

feltételes

birthwt$ht <- birthwt$ht == 1

packagek:

install.packages("psych")
psych::describe(birthwt)
library(psych)

bővebben: gy3.r

• beadandót R markdownban kell csinálni

• Alulsímitott a megoldás, ha túl nagy súlyt adunk annak, hogy szép legyen a görbe, azaz az intervallumokat túl nagynak választjuk.

• túlsímított a megoldás, ha normlisok szélessége sávszélesség túl kicsinek van választva és hisztogram szerű "képet" kapunk

A sávszélességet a sűrűségtől tesszük függővé, hogy optimálisabb becslést adjunk a sűrűségfüggvényhez,kde témakörben van több róla. A magfüggvény azt is befolyásolhatja, hogy mit teszünk rá: háromszögeket, téglalapokat (egyenletes eloszlás), matematikai optimalizációs megoldások.

Ahol lehet próbáljunk magfüggvényes becslőt használni, mert jobb mint a hisztogram.

bővebben a magfüggvényes becslésről: https://gyires.inf.unideb.hu/KMITT/a04/ch09s03.html

kétváltozós elemzés

centrális tendencia - középérték

• átlag
• mértani átlag <- komplikáltabban még nem láttam az átlagot elmagyarázva a logaritmusok átlagának exponenciáltja a mértani átlag a logaritmikusan lehet gyorsan szorozni
• trimmelt átlag / nyesett átlag mean(birthwt2$bwt, trim = 0.05) A trim optimális értéke attól is függ, hogy mennyi adatunk van az adathalmazban. A trim az egyik oldalra értlemezhető érték, tehát a maximumot két oldalról nézve 0,5 és nem 1! A trim adatvesztés!!
• medián: nagyság szerint sorbarendezett elem közül a középső (páros sok elemnél is értlemzhető, különböző szabályokkal) => az elemek fele kisebb nála, az elemek másik fele meg nagyobb. Az egyenlő esete definíció kérédse, bővebben ?quantile A medián robosztus az outlaierekre. A medián az összes többi értéket figyelmen kívűl hagyja, tehát olyan mint egy trim.

Ha a változónál nincs értelme az összegnek akkor az átlagnak sincs!

Ha x_i -> \infinitry akkor az átlag is tart a végtelenbe!

adatgeneráló folyamat: az a mechanizmus ami kiköpi az értékeket. Pl a mérés.

• lognormális eloszlás: az az eloszlás aminek az eloszlása normális
• *p*edelő pont: az elemek ped része kisebb nála, és pad része nagyobb. kvantilis: quantile(bwt, 0.6) kvartilis: quantile(bwt) azaz a negyedek tizedek: quantile(bwt, seq(0.1, 0.9,0.1))

boxplot

A doboz része q1-q3 ig tart, a központi vonal a medián. Az alsó kilógás az outlaier nélküli minimum, a felső az outlaier nélküli maximum.

A kvartilisek közti terjedelem az iqr.

Az outlierek a kiugró értékek.

bővebben: biostat_gy_5.R

EA - GY4

ápr 5 zh!!

a kétváltozós vizsgálat lehetővé teszi a változók közötti kapcsolattermetést is

kontingencia tábla (ez a gyakorisági sor 2D verziója)

table(birthwt$race, birthwt$ui)

#                0  1
#  kaukazusi    83 13
#  afroamerikai 23  3
#  egyeb        55 12

bővebben: https://hu.wikipedia.org/wiki/Kontingenciat%C3%A1bl%C3%A1zat

ahol a gyakorisági sor a sorösszegekből áll össze ezt az alábbi módon is megkaphatjuk:

margin.table(table(birthwt$race, birthwt$ui), 1)

Tehát, a két változós vizsgálatban minden benne van ami az egy dimenziósban is!

• relatív gyakoriság: minden számot leosztunk valamennyivel prop.table(table(birthwt$race, birthwt$ui))
• feltételes eloszlás: mikor a táblázat minden elemét elosztjuk a sorösszeggel.

  # mennyi a gyakoriság adott betegségnek rasszok mentén
  prop.table(table(birthwt$race, birthwt$ui), 1) # 1 - sorok
                                                 # 2 - oszlopok

A tényleges kontingencia tábla mennyire van messze attól amit a változók között kapcsolat mond?

• ha nincs összefüggés és függetlenek lennének akkor a gyakorisági sort vesszük alapul

• ha függetlenek lennének akkor annak a relatív gyakorisága annak a aavalsége, hogy valaki afroamerikai és beteg, azt úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk anank a valségét, hogy afroamerikai annak a valségével, hogy beteg.

  # függetlenség esetén várt adatok amiket összevetünk a ténylegessel
  tabe <- outer(prop.table(table(birthwt$race)),
         prop.table(table(birthwt$ui)))
  tabe
  sum(tabe)
  tabo <- tabe*nrow(birthwt)
  
  #tényleges adatokkal összevetve minnél messzebb van annál jelentősebb a kapcsolat

• az összefüggést az adja meg milyen messze van valami azaz, ehhez adott egy távolság metrika Ez a khí négyzet stat

  chisq.test(birthwt$race, birthwt$ui)

• összefüggést látunk egy két dimenziós khí négyzet táblázatban pl: mi a kapcsolat a szocio-ökonómiai státusz és a végzettség között

  • az origó a bal felső sarokban van
  • a kapcsolat iránya
    • pozitív kapcsolat a mellékátlón alakul ki
    • negatív kapcsolat az ami a főátlón alakul ki
  • a kapcsoalt erősségét az összefüggés mértéke adja meg

mosaic plot

akkor nincs kapcsolat ha az elválasztó vízszintes vonal folytatólagos

plot(birthwt$lwt, birthwt$bwt)

Az k szerinti átlag: xa y szerinti átlag: ya ezért (xi-xa)(yi-ya) szorzat értéke megadja, hogy a pont pozitív vagy negatív kapcsolatot ad meg. Ebből adódoan ha ezeket összeadjuk és leosztjuk n-1-el akkor az egész adathalmazra kapunk egy értéket. Ez a kovariancia. cov(birthwt$lwt, birthwt$bwt)

• ebből leolvassuk az előjelet: a kapcsolat irányát
• nagy a szórás: nagy a szám => a covariencia mindig +/- két szórás között van => cov(x,y)/sx*sy ez mindig +1 és -1 között van, ez a korreláció
  • szintén értelmezett az előjel
  • van értlemezhető nagyság fogalom [-1;1] skálán, de ezt az értéket abszolút értékben vehetjük
  • megadja mennyire illeszkednek a rájuk legjobban illeszkedő egyenesre. -> lineáris korrelációs eggyüttható => +1 ha nagyon illeszkedik rá.

bővebben: biostatgy4.R

minnél szorosabban illeszkednek az egyenesre annál közelebb van a korrelációs eggyüttható az egyhez, minnél nagyobb a szórás annál inkább van közel a 0-hoz. Mivel egy egyeneshez való távolságot nézzük ezért mondhatjuk, hogy lineáris kapcsolatot mér két változó között. Konkrétan determinisztikus kapcsolatot is 0-nak láthatunk, ha a görbe nem egy egyenes! => érdemes nagy információ sűrítő metrikák használata előtt az adatokat megvizsgálni. De van olyan (spearman féle ró és tau) ami több féle görbére méri az erősségét. Pl: egy parabolára ha illeszkedik, akkor a lineáris korrelációja 0, és nem 1, de a spearman féle rója magas lesz.

pl:

R markdown

• https://pandoc.org/

Knit-re kattintva fordít!!

legördülőben kiválasztjuk, hogy mire

Induktív statisztika

https://tamas-ferenci.github.io/FerenciTamas_BevezetesABiostatisztikaba/induktiv.html

ZH készülés

1. Ismertesse egy kategoriális változó vizsgálatára szolgáló grafikus módszereket!

Használhatunk kör és oszlopdiagrammot. Az oszlopdiagram jobb az emberi szem számára. Ha oszlopdiagramm akkor lehet Hisztogram is,illetve az alapján magfüggvényes becslés. A sűrűségfüggvényt becsülhetjük téglalapos, háromszöegs és Gauss magfüggvényel valamint Parzen Rosenblatt módszerrel is. Hasonlóan jó módszer lehet a boxplot is, amivel egyszerre láthatjuk a szórást a mediánt, a minimumot és a maximumot is.

2. Ismertesse egy folytonos változó vizsgálatára szolgáló analitikus módszerek közül a középértékre (centrális tendencia) vonatkozó mutatószámokat!

• medián: mikor sorbarendezzük az elemeket és kivesszük a középső elemet, így tőle jobbra és tőle balra ugyanannyi elem található. Az így kapott elemet pedig tekinthetjük egy átlagnak a nagysága alapján.
• trimmelt átlag: levágjuk a bizonyos, előre meghatározott szempont szempont szerint túlságosan "kilógó" elemet. Ekkor mindkét irányból ugyanannyit vágunk le!
• mértani átlag: a logaritmusok átlagának exponenciáltja

Mit nevezzünk robusztusságnak? Mondjon példát robusztus és nem robusztus mutatóra a szóródást mérő mutatószámok közül!

robosztus pl a medián ami figyelmen kívűl hagjya az outliereket, így azokra nézve robosztus. Általánosságban elmondahtó, hogy robosztussgának ezt nevezhetjük, ha minnél több tulajdonságot, paramétert figyelmen kívűl hagyva is helyesen működik az adot eljárás. Nem robosztus például épp ezért az átlag avagy a szmtani közép az outlierekre, mivel bele kalkulálja azokat is a végső értékbe.

Mit mér a szokásos korrelációs együttható? Hasonlítsa egymáshoz a kovarianciát és a korrelációt a gyakorlat szempontjából!

A covareiencia egy pont távolságát adja meg khí nétgyzettel, két változó szorzatának várható érétkével. Ha ezeket összeadjuk és leosztjuk n-1el akkor a szórások között kapjuk meg az érétket. Ha ezt transzformáljuk [-1,1] intervallumra akkor az a korreláció.

induktív statisztika

törődünk a mintavétellel

hogyan tudok a minta kis részhalmazából a teljes egészre következtetni?

sokaság átlaga ha érdekel minket.

Csak becsléseket tudunk mondani, amivel nagy hiba és bizonytalanság van a végeredményben.

• Θ a minta sokasága. A sokaságot leírja a szórás és az átlag.

A sokaság eloszlása normális, ekkor a normális eloszlás.

A sűrűségfüggvény becsléssel, hisztogrammal egy nempraméteres sűrűségbecslő.

X ~ *N*(μ, ρ 0) normális eloszlást küövető sokaság. minta nagyságot minidg nel jelöljük: X1, X2, ..., Xn (független azonos eloszlású)

θ^ = f(X1, X2, ..., Xn) becslőfüggvény

Ha egy konkrét mintánk van akkor nem tudjuk megvizsgálni azokat a tulajdonságait, amivel azt nézzük, hogy mennyire van közel a valósághoz. Ha viszont valváltozókkal vesszem (újra és újra veszem az értéket és kiszámolom rá az átlagot) ez a mintavételi eloszlsás. Ennek a szórása nem nulla.

Ez mintáról-mintára változik!

Ha egy becslőfüggvény várható értéke (eloszlás) megegyezik a mintavétel várható étékével akkor torzítatlannak tekintjük. Ha különbség van akkor a különbség értéke adja meg a torzítás mértékét (BIAS).

Két torzítatlen becslő közül az a hatásosabb amelyiknek kisebb a mitavételi szórásnégyzete.

Egy becslő standard hibája a mintavételi szórás eloszlása sd(simDes)

-minden torzítatlan becslőre megy

bővebben: gyak6.r

biostat gy 7 - pontbecslés

induktív következtető statisztika - ismétlés

a sokaság minden elemét nem tudjuk megfigyelni technikai okokból ezért a mintából hogyan tudunk következtetni a teljes egészre.

bármit is csinálunk akkor se fogunk tudni biztosat mondani a sokaságról, de elég pontosat nem tudunk mondani soha, és amit mondunk minidg függ amintától

hiába adott rögzített változó a sokaság mértéke és hiába is rögzített a mintavétel mégis mintáról mintára változni fog, hogy mit adhatunk be

a becslő függvény tulajdonságaitól szintén függ az eredményünk

• a nagyobb szórás kisebb hatásosságot eredményez

ha torzítatlan egy becslő akkkor az véges mintás, minden véges mintára működik

• a minta változtatásával reménykedhetünk abban, hogy minden szélsőértékhez ellentétes sézlsőérték is tartozik majd.
• a mintavételi szórás eloszlása a standard hiba
• a kérdés hogyan függ a stanrd hiba a nagyságtól

$$\lambda_{1}, \lambda_{2},..., \lambda_{n} - \mathit{N}(\mu , \sigma^{2})$$

$$[\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_{i}$$

$$D^{2}(\bar{x}) = D^{2}(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_{i}) = \frac{1}{n^2} D^2 \sum_{i=1}^{n}X_{i} = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n}D^2X_{i} = \frac{\sigma_0^2}{n} \blacksquare$$

$\bar{X}$ mintavételi alak eloszlása = $\mathit{N}(\mu,\sigma^{2})$ Ez a nagymintás tulajdonság. Ha egy becslő függvény torzított de a torzítás mértéke 0-ba tart akkor a függvény aszimptotikusan torzítatlan.

A konzisztencia szerint ha végtelemben vagyunk akkor megszűnik az induktív statisztika problémája

csak akkor mondom konzisztensnek, ha a határértéke 0

nem is segít a mediánon ha növeljük a mintanagyságot centrális határ eloszlás tétel asziptotikus határ eloszlás ha lognormális a háttér akkor véges mintán nem jó eredményt ad

Cramer-Rao tétel

mi az elvi minimuma egy adott szituációban egy becslő mintavételi szórásának

James Stein-becslő

Van olyan szituáció ahol létezik hatásos becslő, de annak a varianciája is magasabb mint a Cramer-Rao alsó korlátot.

A Cramer-Raoban a Fisher információ az ami a jellemzőt adja.

A mintaátlag felveszi a Cramer-Rao alsó korlátot. Nem létezik olyan becslő ami torzítatlan és kisebb a varianciája mint a mintaátlagnak.

ha a mintából kiszámoljuk ami a sokaság lesz az még torzítatlan se lesz

véges mintán torzított de aszimptotikusan torzítatlan becslő a minta variancia

a minta variancia várható értéke mindig az n/(n-1)szerese lesz a korrigált mintavariancia: $frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$

Az a cél, hogy megmondjuk, hogy mik azok a valódi értékek amire igaz az, hogy ha az lenne a valóság akkor az kénylmesen beszóródhatna abba amit akpunk is:

$mathit{\bar{X}} = \mu (\mu , \frac{\sigma_0^{2}}{n})$

$$\bar{X}-\mu = \mu(0, \frac{\sigma_0^{2}}{n}) = \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}} = \mu(0,1)$$

$$\mathbb{P}(-z<\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}}<z) = \phi (z) - \phi(-z) = \phi(z) - [1-\phi(z)] = 2\phi(z)-1 = 1-\alpha \Rightarrow z=\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) => \mathbb{P}(-z_{1-\frac{\alpha}{2}} < \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}} <z_{1-\frac{\alpha}{2}}) = 1-\alpha$$

$$\mathbb{P}(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} < \bar{X}-\mu <z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} ) = 1-\alpha $$

$$\mathbb{P}(\mu-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} < \bar{X} <\mu + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} ) = 1-\alpha$$

$$\mu \pm t_{\mu - 1,96}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}}$$

$$CI = \bar{X} \pm Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}}$$

ez a konfidencia intervallum. pl:a 95%os konfidencia intervallum az ha nagyon sok mintát vennék akkor az esetek 95%-ban tartalmazná a valódi értéket.

hipotézis vizsgálat

pl: egy adott pénzérme cinkelt-e? - feldobjuk 20-szor és mindig fej, cinkelt-e?

binomiéális eloszlást a binom függvények adják R-ben

a binomiális eloszlás garantálja, hogy kb 5% valséggel tévedhetünk mikor azt adhatjuk meg, hogy szabályos-e a pénzérme.

biostat megfeleltetés:

• pénzérme szabályos - hatástalan a gyógyszer

nullhipotézis: a feltételezésem az adott eseményről:

elfogadom a nullhipotézist hatástalannak minősítem a gyógyszert

• elsőfajú hiba: hatástalan gyógyszerre mondom azt, hogy hatásos
• másodfajú hiba: mikor hatásosnak mondom, hogy

az egyetlen módszer ami mindkettőn javít az, hogy növeljük a a mintát

egy vizsgálat ereje a hatásossága, ha 80% az ereje akkor 80% valséggel hat, de nem mondtuk mennyire.