O Conjunto de Mandelbrot
É um fractal definido por um conjunto de pontos c no plano complexo, onde cada número deve ser iterado a fim de “testá-lo” se ele tende ao infinito, onde z começa em 0.
f(z) = z² + c
E se for um número real invés de complexo? Vamos colocar na fórmula! agora ela será: f(z) = z² + r, onde z continua começando com 0, e o resultado da fórmula é colocado nela novamente, vamos começar com o número 1.
f(0) = 0² + 1 ➔ f(1) = 1² + 1 ➔ f(2) = 2² + 1➔ f(5)..
Colocando o número 1, depois de algumas iterações, já é possível ver que ela tende ao infinito, crescendo exponencialmente. Números maiores que 1 parecem que vão seguir essa tendência, então por que não testamos números entre 0 e 1? 0.5!
f(0) = 0² + 0.5 ➔ f(0.5) = 0.5² + 0.5 ➔ f(0.75) = 0.75² + 0.5➔ f(1.0625) = 1.0625² + 0.5 ➔ f(1.6289) = 1.6289² + 0.5 ➔ f(3.1533)…
Demorou mais um pouco, mas mesmo assim estourou, vamos tentar com um número negativo, -1!
f(0) = 0² - 1 ➔ f(-1) = -1² +- 1 ➔ f(0) = 0² - 1➔ f(-1).
Temos um loop!, ótimo é o primeiro número que encontramos que não tende ao infinito, podemos dizer então que considerando os números reais, números maiores que 2 ou menos que -2 já não vão ser aqueles que nós procuramos, eles já tendem ao infinito por terem a base 2, então podemos declarar um regra que encontramos, que esse número tem que ser: -2 > x < 2. Esses números como -1 que ficam em loop são muito mais comuns no conjunto dos números complexos, por isso que nós o usamos (iria ficar muito sem graça só usando os números reais).
Portanto a figura que você vê do conjunto de Mandelbrot nada mais é que um conjunto de todos os pontos testados por aquela função, podemos dizer que os pontos pretos são os que mais demoram ou chegam ao limite máximo de iterações e os pontos brancos que estouram muito rápido, e um gradiente é formado entre branco e preto daqueles que “quase” chegaram no limite. (Que limite?, claramente você não pode ficar iterando cada ponto infinitamente =( , aumentando o limite de iterações você consegue ir cada vez mais fundo! experimente começar iterando 80x!
Videos Explicando com paixão (em inglês):
www.youtube.com/watch?v=NGMRB4O922I&ab_channel=Numberphile
www.youtube.com/watch?v=FFftmWSzgmk&t=4s&ab_channel=Numberphile
www.youtube.com/watch?v=MwjsO6aniig&t=796s&ab_channel=D%21NG