euler-charakteristik.txt

=== Euler-Charakteristik von Schemata

* http://math.stackexchange.com/questions/58489/euler-characteristic-in-zariski-vs-classical-topology
  Setzt mehrere Formeln in Verbindung.

* http://mathoverflow.net/questions/35156/how-do-you-define-the-euler-characteristic-of-a-scheme
  Kann étale Topologie oder algebraische de-Rham-Theorie verwenden.

* chi(X, O_X) scheint ein guter Begriff zu sein:
  Für Kurven vom Geschlecht g gilt chi(X, O_X) = 1 - g.


=== Rechenregeln

* chi(X) = chi(B) chi(F), falls X --> B ein Faserbündel mit Faser F ist.
  Beweis durch die Leray-Serre-Spektralsequenz; also sollte es keine
  Fasermonodromie in Homologie geben.

  Siehe: Seite 4 von http://faculty.tcu.edu/gfriedman/papers/specseq.pdf.

* Sei F eine Garbe von k-Vektorräumen, deren Träger eine endliche Menge
  abgeschlossener Punkte ist. Dann gilt:

      chi(X, F) = sum_z dim F_z.

  Denn F zerlegt sich als direkte Summe über Wolkenkratzergarben mit Wert F_z,
  und Garben auf dem Punkt haben keine höhere Kohomologie.

  Allgemein funktioniert das für Garben von A-Moduln, wenn man die
  Euler-Charakteristik über Längen statt Dimensionen definiert.


=== Lefschetzscher Fixpunktsatz

http://homepages.math.uic.edu/~heitsch/HeitschBC.pdf


=== Toruswirkung

More generally, if a circle S1 acts on a manifold or the 1-dimensional torus
C∗ acts on a complex algebraic variety then the Euler characteristic of the
"whole" = the Euler characteristic of the fixed point set. This is a very
powerful tool in topology. 

Kommentar bei http://mathoverflow.net/a/24179.

* http://chromotopy.org/torus-actions-maximal-tori-2


=== Höhere Euler-Charakteristik durch nilpotente Elemente

Sei Z ein abgeschlossenes Unterschema von X mit Idealgarbe J.

Sei p ein Punkt aus X. Sei J --> O_p eine surjektive O_X-lineare Abbildung.
Sei K der Kern dieser Abbildung.

Dann ist V(K) ein Unterschema, das J umfasst und außerdem p (denn K_p != (1)).
Falls p schon in Z lag, ist V(K) eine Art nilpotente Aufdickung von Z.

Die Euler-Charakteristik von V(K) ist Eins höher als die von Z:

    chi(V(K))
        = chi(O_X) - chi(K)
        = chi(O_X) - (chi(J) - chi(O_p))
        = chi(O_X) - chi(J) + 1
        = chi(Z) + 1.

Beispiel: Sei X = Spec k[x,y] und J = (x). Sei p = Ursprung = (x,y).
Sei die surjektive Abbildung (x) --> k, gx |-> g(0,0) * 7. Dann ist
K = (x^2, xy) = (x) * (x,y).


=== Euler-Charakteristik als Verallgemeinerung des Zählens

http://www.maths.ed.ac.uk/~tl/docs/Schanuel_Length_of_potato.pdf

und natürlich John Baez.


=== -1/z^2

Dass die Euler-Charakteristik der Sphäre 2 ist, hat was damit zu tun, dass die
Ableitung von 1/z -1/z^2 ist. http://mathoverflow.net/a/58348/31233