[CREATE] TowerOfHanoi #125

algorithm/TowerOfHanoi.md

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+# **하노이의 탑**
+
+## 작성자
+[![tdm1223](https://avatars1.githubusercontent.com/u/21440957?s=100&v=4)](https://github.com/tdm1223)
+[![rlatjdwo555](https://avatars0.githubusercontent.com/u/28692938?s=100&v=4)](https://github.com/rlatjdwo555)
+[![Stupid07](https://avatars1.githubusercontent.com/u/35564566?s=100&v=4)](https://github.com/Stupid07)
+
+## 하노이의 탑 ?
+- 세 개의 기둥에서 규칙을 지키면서 원판을 옮기는 **재귀 알고리즘**의 대표적인 문제이다.
+
+### 규칙
+1. 한 번에 하나의 원판만 옮길 수 있다.
+2. 큰 원판이 작은 원판 위에 있어서는 안 된다.
+
+## 이동 횟수
+
+### 원판 1개
+0. `[1] [] []`
+1. `[] [] [1]`
+- 1을 옮긴다.
+
+### 원판 2개
+0. `[1,2] [] []`
+1. `[2] [1] []`
+2. `[] [1] [2]`
+3. `[] [] [1,2]`
+- 1을 빈칸에 옮기고 2를 옮긴후 다시 1을 올린다
+
+### 원판 3개
+0. `[1,2,3] [] []`
+1. `[2,3] [] [1]`
+2. `[3] [2] [1]`
+3. `[3] [1,2] []`
+4. `[] [1,2] [3]`
+5. `[1] [2] [3]`
+6. `[1] [] [2,3]`
+7. `[] [] [1,2,3]`
+- 2를 빈칸에 옮기고 3을 옮긴후 다시 2를 올린다
+- 2를 옮길때마다 원판 2개에서의 행동이 필요하다
+
+### 원판 N개
+- A<sub>1</sub> = 1
+- A<sub>2</sub> = 2 * A<sub>1</sub> + 1
+- A<sub>3</sub> = 2 * A<sub>2</sub> + 1`
+...
+- A<sub>N</sub> = 2*A<sub>N-1</sub>+1 번
+
+### 시간복잡도
+1. A<sub>N</sub> = 2<sup>N-1</sup> + 2<sup>N-2</sup> ... + 2 + 1 `[1]`
+2. 위 식에서 좌우에 2를 곱한다.
+3. 2A<sub>N</sub> = 2<sup>N</sup> + 2<sup>N-1</sup> ... + 2 `[2]`
+4. `[2]`에서 `[1]`을 뺀다.
+5. A<sub>N</sub> = 2<sup>N</sup>-1
+
+- N개의 원판을 이동할때 필요한 시간 복잡도
+- O(2<sup>N</sup>-1)
+
+## 소스코드
+### Java
+```java
+void hanoi(int n, int from, int by, int to){
+    if (n == 1){        
+        System.out.printf("Move from %d to %d\n", from, to);
+        return;
+    }
+
+    hanoi(n - 1, from, to, by);
+    System.out.printf("Move from %d to %d\n", from, to);
+    hanoi(n - 1, by, from, to);
+}
+```
+
+### C++
+```cpp
+void hanoi(int n, int from, int by, int to)
+{
+    if (n == 1)
+    {
+        cout << "Move from " << from << "to " << to << endl;
+    }
+    else
+    {
+        hanoi(n - 1, from, to, by);
+        cout << "Move from "<< from << "to "<< to << endl;
+        hanoi(n - 1, by, from, to);
+    }
+}
+```
+
+### Python
+```python
+def hanoi(n, from_pos, to_pos, aux_pos):
+    if n == 1:
+        print(from_pos, "->", to_pos)
+        return
+    hanoi(n - 1, from_pos, aux_pos, to_pos)
+    print(from_pos, "->", to_pos)
+    hanoi(n - 1, aux_pos, to_pos, from_pos)
+```