Módulo II (b). Primitiva, Integral indefinida definida y aplicaciones de cálculo integral.
- Comisión Ecología: Dr. Leandro Giordano / Prof. Silvana Ávila
- Hacer uso de las herramientas de cálculo de una variable para la formulación de modelos matemáticos en la estimación de variables biofísicas, mediante las técnicas de derivación e integración (i.e. cálculo de tasas/valores extremos y de valores acumulados/valor medio, estimación de áreas y volúmenes), incorporando las nociones de diferencial de una variable y una función, por un lado, y de integración definida, por otro.
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Problemas de Extremos (máximos/mínimos, locales/globales, puntos de inflexión)
- Ejemplos: Estimar rendimientos o puntos de localización óptimos. Estimar el pico y el tiempo al pico de distintas señales (e.g. concentración de un contaminante, caudal líquido en una sección fluvial). Estimar puntos de inflexión (función curvatura).
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Estimación del área bajo una curva
$f(x)$ y del valor medio de$f(x)$ , en el intervalo$[x_1,x_2]$ . Estimación de volúmenes a partir de aplicación de la técnica de integración en objetos bidimensionales o tridimensionales, sobre la base de un eje$z$ y haciendo uso de las curvas Ancho-Elevación$W(z)$ ó Área-Elevación$A(z)$ .- Ejemplos: Estimar el stock o reservas acumuladas o su valor medio en un intervalo de tiempo, a partir del conocimiento de sus tasas de variación. Extraer Curvas Área-Volumen a partir de Información Topográfica. Resampleo de señales a distinta resolución temporal.
Dada una función
En pocas palabras: "la primitiva de
Estableciéndose que la derivada de
A continuación, se introduce el concepto de integral indefinida de
Esto es, si reordenamos los términos de la ecuación precedente podrá notarse que:
De acuerdo a la definición de la primitiva de
Puesto que
Puede observarse que la integración se realiza sobre el producto
$f(x)dx$ . En otras palabras, sobre el producto de una función y el diferencial de la variable independiente (que bien puede ser función de otrra variable!). Esto guarda un significado fuertemente geométrico. Así, luego podrá deducirse intuitivamente la integral definida si se parte de la definición de la integral como el área bajo la curva$f(x)$ . En efecto, se verá que este cómputo puede realizarse mediante una aproximación numérica conocida como suma de Riemann (ver aquí): en un intervalo$[x_1,x_n]$ , compuesto por$n$ sub-intervalos de longitud igual a$\Delta x$ , mediante$\sum_{k=2}^{n} f(x_k) \Delta x$ .
Como ya se ha visto, la integración del diferencial de una función o de una variable, tiene por resultado la misma función o variable, más una constante
Si bien esta afirmación parece trivial, será de suma utilidad, por ejemplo, para demostrar la base teórica de la técnica de integración por partes.
Asimismo, la integral de
Por otro lado, sea
A la vez, la integración es distributiva con la suma (y resta) de funciones, así sean
Asimismo, si el integrando está compuesto por el producto de una función
Demostración de la integración por partes a aprtir de las propiedades de diferenciación e integración:
Si se parte del producto de 2 funciones
$f(x)$ y$g(x)$ , a partir de la diferenciación podrá notarse que (regla del producto):
Luego, si se integran ambos miembros podrá verse que (propiedad distributiva e integral de un diferencial):
Finalmente, reordenando los términos (realziando las operaciones algebraicas necesarias), se obtiene:
$$\int f(x)d \left ( g(x) \right)=f(x)g(x)-\int g(x)d \left ( f(x) \right)$$
Por otro lado, si partimos de una integral conocida:
y realizamos el cambio de la variable
Así, para poder aplicar esta técnica se debe identificar un integrando compuesto por la función
$u(x)$ y su diferencial$d(u(x))$ (Podrán encontrar ejemplos de cómputo aquí)
Las integrales que se deducen a continaución se han generalizado para una variable
-
Integral de un escalar
$k$
Lo cual puede deducirse de manera intuitiva a partir del concepto de primitiva, puesto que la derivada de una recta es un valor constante (la pendiente es constante).
- Integral de polinómicas
Ejemplo 1. Calcular
$\int f(x)dx$ con$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ .Luego, si el polinomio es
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ , de acuerdo a la definición precedente y la propiedad de multiplicación por un escalar y la propiedad distributiva para la suma/resta, aplicando las definiciones precedentes se obtiene:
Asimismo, cabe preguntarse ¿Esta generalización aplica para el caso
$\int x^{-1} dx$ ? ¿Por qué?
- Integral de
$u^{-1}$
En aplicaciones ecológicas será bastante común 'toparse' con este tipo de integración.
- Integral de la función exponencial
'Para qué, total... si da lo mesmo'. Esto es parcial, puesto que sabemos que puede darse el caso más general
$u=u(x)$ . Luego, en dicho caso, habrá que realziar el cambio de variable correspondiente.
- Integral de funciones trigonométricas
Finalmente, de acuerdo a las definiciones adoptadas para la diferenciación, bien puede mostrarse que:
A la vez, nótese que siempre se puede verificar la integración, puesto que su diferenciación debe dar por resultado al integrando. Esto es: si
$F(x)+C$ es el resultado de$\int {f(x)dx}$ , luego debe satisfacerse$d(F(x))=f(x)dx$ (de acuerdo al concepto de primitiva).
Ejemplo 2. Un simple cambio de variable. Calcular:
$$\int e^{ax+b} dx$$ Para esto, primeramente se identifica que la integración responde a la forma
$\int e^{u(x)} du$ . Luego, se procede al cambio de variable:$$u(x)=ax+b$$ A continuación, se debe computar$du$ , para su reemplazo en el integrando, así: $$\begin{align*} du&=d(ax+b) \ du&=adx \ \dfrac{du}{a}&=dx \end{align*}$$ Así reemplazando$ax+b$ por$u(x)$ y$dx$ por$du/a$ en la expresión original, se obtiene (aplicando la propiedad de multiplicación por un escalar y la definición de integral de función exponencial):
Finalmente, reemplazando por la expresión original
$u(x)=ax+b$ , se puede verificar que:
Partamos de considerar una curva
Fig.1 - Aproximación al cómputo del área bajo la curva de acuerdo a la suma de Riemann. Relación entre la suma de Riemann y la integral definida.
Bien puede apreciarse que:
En donde
En la animación puede observarse ademaś que si
Asimismo, ya se pudo ver que
En donde el miembro derecho
Como las constantes se eliminan (puesto que es la misma constante
Reemplazando en las igualdades precedentes queda claro que el área bajo la curva
En donde:
El valor medio de una función
En donde
En primer lugar, de acuerdo a lo visto en la introducción al cómputo de diferenciales, puede notarse que si se integra
$f(x)$ se obtiene una función$F(x)+C$ para la cual$f(x)$ representa la tasa de cambio local o instantánea de$F(X)+C$ en$x$ . Esto era, la pendiente de la recta tangente al punto con coordenada horizontal$x$ y vertical$F(X)+C$ , en un sistema de representación rectangular. Luego, el valor medio$\overline f(x_1,x_n)$ representará la tasa de cambio media de$f(x)$ en el intervalo$[x_1,x_n]$ , o lo que es lo mismo: la pendiente de la recta secante que une los puntos (x_1,F(x_1)+C) y (x_n,F(x_n)+C), en dicho sistema de representación.
Una aplicación importante de esta definición es que si se conoce el valor medio, es directo el cómputo de la integral definida de
$f(x)$ en$[x_1,x_n]$ , ya que reordenando los términos podrá notarse que:
Esto lleva a que en muchos procedimientos numéricos se aproxime un valor medio mediante el cómputo de la media aritmética:
Para luego aproximar el valor del cómputo del área bajo la curva (o el valor acumulado de
En Cs. Ambientales es bastante común realizar mediciones directas o indirectas de las tasas de crecimiento instanáneas o locales en los atributos de algún proceso físico o biofísico (e.g. caudal líquido en el ciclo hidrológico, variación de biomasa durente el ciclo fenológico, tasas de supervivencia y reproducción en la dinámica de poblaciones). Asimismo, en muchas ocasiones se desea estimar el valor acumulado del atributo durante un intervalo finito en el tiempo o en el espacio.
Supóngase que se conoce la tasa de variación de biomasa
y desea estimarse el valor acumulado o la variación total de biomasa entre dos instantes
luego, integrando ambos miembros:
puede obtenerse finalmente la expresión:
En donde
Desarrollemos estas ideas teóricas con un simple ejemplo práctico.
Consideremos que la tasa de crecimiento de la población total de una especie animal
en donde
En primer lugar, debemos hallar el modelo general de
Se puede notar que:
Luego, se sabe que:
Integrando ambos términos:
de manera tal que, aplicando la propiedad distributiva y las definición de integral indefinida de un polinomio de grado
En donde
Como se verá más adelante, esto constituye una solución general a nuestro primer interrogante, puesto que
$C \in \mathbb{R}$ es en principio un valor real cualquiera. Asimismo, se verá que si se conoce el valor$M(t)$ para un instante$t=t_0$ (denominado condición inicial) es posible determinar el valor particular de$C$ , igualando las expresiones y reemplazando$t$ por$t_0$ en la función explícita. Así por ejemplo si$t_0=0$ y$M(0)=10$ , en este caso$C=10$ . Así$M(t)=\frac{1.218}{3}t^3-\frac{44.72}{2}t^2+709.1t+10$ será una solución particular, si$M(0)=10$ .
Luego, si se desea computar la variación de población entre dos intantes cualquiera
de forma tal que, para este cómputo, carece de interés la determinación de
Luego, si se sabe que
Por último, como el resultado está expresado en miles, se podrá afirmar que durante los años 2005 y 2012, se produjo un crecimiento positivo de 5.584.138 individuos.
En conclusión, para todo problema en el cual se conozca una tasa de variación instantánea o local
$\frac{dM}{dt}=f(t)$ y se desea conocer la variación$M(t_2)-M(t_1)$ , esta puede computarse mediante$\int_{t_1}^{t_2}f(t)dt$ .
Supóngase que un proceso dinámico, por ejemplo la variación de la concentración de un contaminante en un sitio, pueda ser modelado mediante la ecuación:
En donde
Ahora bien, suponga que se desea computar el valor medio de
- En primer lugar se caculará la integral indefinida
$\int f(t)dt$ - Luego, se computará la integral definida de
$\int_{t_1}^{t_2}f(t)dt$ , esto es para el intervalo$t \in [t_1,t_2]$ - Finalmente se realizará el cociente de esta última integral al respecto de la amplitud
$\Delta t=t_2-t_1$ , obteniéndose el valor medio.
Consecuentemente, primero se procede al cálculo de la integral indefinida (puesto que
Por lo que debe calcularse:
La cual puede obtenerse aplicando la técnica de integración por partes:
considerando los cambios
$du$ se obtiene diferenciando$u$ y$v$ último se obtiene por integración de$dv$ . Asimismo, en un nivel práctico se omite la constante así puesto que si incluimos$C$ , debiera realizarse tanto en$u$ como en$v$ , y eventualmente se anulan al operar algebraicamente.
Reemplazando e igualando en la expresión a integar:
Como
reagrupando, se obtiene la solución general:
A continuación, se computa la integral definida en el intervalo
Para poder computar exactamente la función requerida originalmente, se multiplican ambos miembros por
Finalmente se divide por la longitud del intervalo
Y, luego, dados cualesquiera
En síntesis, si se siguen estos 3 pasos dada una función explícita
$f(t)$ , se obtiene la expresión para el cómputo del valor medio
2.1 La aplicación 'indirecta' para el cómputo de áreas y volúmenes de figuras geométricas regulares o irregulares.
Ya se ha visto la fuerza de la definición de la suma de Riemann a fin de introducir la definición y la interpretación geométrica de la integral definida. Este concepto puede utilizarse para el cómputo de secciones transversales de figuras geométricas o su volumen, utilizando el cálculo de una variable, cuando intuitivamente podríamos pensar que necesitaríamos de herramientas de cálculo de varias varibales (para maś detalle ver aquí).
En pocas palabras, si se sabe como varía el ancho de una figura
Y más enfáticamente que:
Fig.2 - Aproximación al cómputo del área de una sección transversal mediante suma de Riemann. Puede notarse que definidos rectángulos de base W(z) y elevación dz, siendo el ancho W(z) una función matemática de la elevación Z. La integral definida de W(z) entre dos valores de z es justamente el valor del área de la sección transversal definida en ese intervalo dz.
En consecuencia, definida la función
Para ejemplificar esto, tomemos el ejemplo concreto de la Fig. 2. Partamos de computar el área de acuerdo a principios básicos de la geometría euclidiana, a fin de observar primeramente como la aplicación de ambos métodos conduce al mismo resultado (lo cual tendrá beneficios en casos más complejos!)
-
Se sabe que el área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos divido por 2. Por lo tanto, el área dos triángulos rectángulos será igual al producto de ambos catetos (en efecto, es un rectángulo!).
-
Se conoce la elevación
$Z$ y el ángulo de inclinación$\phi$ de la sección triangular (datos). -
Utilizando la definición de tangente, podemos establecer que:
Puesto que cada lado adyacente tiene una dimensión
$W(Z)/2$ y el opuesto es la elevación Z.
- Reordenando obtenemos la longitud de cada cateto adyacente:
- El área del triángulo de elevación
$Z$ es igual a la suma del área de los dos triángulos rectángulos:
- Finalmente, reemplazando:
Pues bien, ahora procedamos con el desarrollo de la integral definida entre
Siguiendo nuestra primer definición establecemos que:
La función
Luego, reordenando:
Operando:
Cuya solución general es:
o lo que es lo mismo:
Finalmente, si quisiéramos evaluar el valor del área entre
En suma, si se dispone o se puede obtener una expresión
$W(z)$ , la integral definida$\int_{z_1}^{z_2} W(z)dz$ permite computar el valor de la sección transversal de la figura geométrica para el intervalo definido entre$z_1$ y$z_2$
2.1 La aplicación 'indirecta' para el cómputo de áreas y volúmenes de figuras geométricas regulares o irregulares.
Esta idea también puede utilizarse para el cálculo de volúmenes
Fig.3 - Boceto de carta topográfica que muestra la relación entre la cota o elevación del terreno, eje de integración z, y el área del espejo de agua correspondiente.
En general el procedimiento es el siguiente:
-
A partir de información topográfica y generalmente mediante algún método de ajuste emṕírico o estadístico (e.g. método de mínimos cuadrados, ver Álgebra Lineal de Kolman), se extrae la función cota-área, la expresión explícita de
$A(z)$ -
Luego se computa
$\int A(z)dz=V(z)$ -
Finalmente, conocidos los límites de integración
$z_1$ y$z_2$ , se computa el volumen definido entre ambos límites, aplicando$\int_{z_1}^{z_2}A(z)dz$ .
Por ejemplo, supóngase que a partir de un relevamiento y para un embalse se pudo mostrar que la relación cota-área es:
Computando la integral indefinida, se obtiene:
Así, si