finish lecture 7

Stability theory/lectures.tex

@@ -85,6 +85,7 @@
 \def\vphi{\overrightarrow{\varphi}}
 \def\vf{\overrightarrow{f}}
 \def\vline{\bigg|}
+\def\tvy{\vec{\tilde{y}}}
 
 \begin{titlepage}
 \begin{center}
@@ -2115,15 +2116,17 @@ \subsection{Задача про брахісторону}
 
 Оскільки $y(0) = 0 \Longrightarrow C_2 = 0$. $C_1$ знаходимо з умови $y(x_1) = y_1$.
 
+\newpage
 
 \section{Лекція 7}
-\subsection{Задча з вільним кінцем}
+\subsection{Задача з вільним кінцем}
 Нехай $a, b \in \mathrm{R}, a < b$ -- задачі числа, $F(x, y, p) \in C^2([a, b] \times \mathrm{R}^2)$ -- задана функція. Розглянемо інтеграл: $$J(y) = \int\limits_{a}^{b}F(x, y(x), y'(x))\mathrm{d}x$$
 На множині функцій: $$ M = \{ y \in C^1[a, b] \ | \ y(a = A)\}, \text{ де } A \in \mathrm{R} \text{ -- задане число} $$
 Функції $y \in M$ -- допустимі функції.
 
 \defo Допустима фунція $\tilde{y}(x) \in M$ забезпечує слабкий локальний min(max) функціоналу $J(y)$ на $M$, якщо $\exists \delta > 0 : \forall y \in M ||y - \tilde{y}||_{C^1[a, b]} < \delta$ справедливо, що $J(y) \geq (\leq) J(\tilde{y})$. Якщо нерівність виконується для $\forall y \in M$, то допустима функція $\tilde{y} \in M$ забезпечує глобальний min(max) функціоналу $J(y)$ на $M$.
 
-\defo Задач пошуку слабкого локального (глобального) екстремуму функціоналу $J(y)$ на $M$ називається задачею з вільним кінцем.
- %\input{lectures_recent}
+\defo Задач пошуку слабкого локального (глобального) екстремуму функціоналу $J(y)$ на $M$ називається \textit{задачею з вільним кінцем}.
+\newpage
+ \input{lectures_recent}
 \end{document}