Update GeoSchemata15.tex

Fehler in Aussage und Beweis behoben. Betreffend Irreduziblität.

GeoSchemata15.tex

@@ -271,16 +271,19 @@ \section{Affine Schemata} %PARAGRAPH 1
 \item Sind $\p, \q \ideal R$ Primideale mit $\p \subseteq \q$, so ist $\q \in \overline{ \{\p\} }$.
 \item Ist $R$ nullteilerfrei, so ist $\overline{\{ ( 0 ) \}} = \spec R$.
 \item Ein Punkt $x \in X$ eines topologischen Raums mit $\overline{\{ x \}} = X$ heißt \textit{generischer Punkt}.
-\item Eine Teilmenge $Y\subseteq \spec R$ enthält einen generischen Punkt genau dann, wenn $Y$ irreduzibel ist.
+\item Eine abgeschlossene Teilmenge $Y\subseteq \spec R$ enthält einen generischen Punkt genau dann, wenn $Y$ irreduzibel ist.
 \item Die maximalen irreduziblen Teilmengen von $\spec R$ sind die minimalen Primideale in $R$.
 \end{compactenum}
 \begin{pr}
 \begin{compactenum}
 \item Ist $I \ideal R$ mit $\p \in V(I)$, so gilt $I \subseteq \p \subseteq \q$, also auch $\q \in V(I)$. Damit ist 
 $$\q \in \bigcap_{I \subseteq \p} V(I) = \bigcap_{A \supseteq V(\{\p\})=\p} A =\overline{ \{ \p \} }.$$
 \item Folgt direkt aus (i) und $( 0 ) \in \spec R$.
-\item[(iv)] Sei zunächst $V$ irreduzibel. Ohne Einschränkung gelte $V=V(I)$ für ein Ideal $I \ideal R$. Nach Voraussetzung ist dann $I= \p$ für ein $\p \in \spec R$. Damit ist $\p$ ein generischer Punkt.\\
-Sei nun $\spec R=:V=V(I_1) \cup V(I_2)$ mit $V(I_1) \neq V \neq V(I_2)$. Wäre $\p$ ein generischer Punkt, so wäre ohne Einschränkung $\p \in V(I_1)$, also $V(I_1) \supseteq \overline{ \{ \p \} } = \spec R = V$, ein Widerspruch zur Reduzibilität von $V$.
+\item[(iv)] Sei zunächst $Y$ abgeschlossen und irreduzibel. Ohne Einschränkung gelte $Y=V(I)$ für ein Ideal $I \ideal R$. Nach Voraussetzung ist dann $I= \p$ für ein $\p \in \spec R$. Damit ist $\p$ ein generischer Punkt.\\
+Sei nun $Y\subseteq \spec R$ abgeschlossen und $Y=V(I_1) \cup V(I_2)$. 
+Sei nun $\p\in\spec R$ generischer Punkt von $Y$ und es gelte ohne Einschränkung $\p \in V(I_1)$. 
+Dann gilt $Y=\overline{ \{ \p \} }\subseteq V(I_1)$ also $V(I_1) = Y$.
+Also ist $Y$ irreduzibel.
 
 \end{compactenum}
 \end{pr}