fix: fix many LaTeX

content/post/2018-2019冬-广二避寒记.md

@@ -286,9 +286,9 @@ yww咕咕了，myh出的题。~~这场题面太赞了！~~据说题意不清被
 
 ~~题意简述~~，题目背景太棒了，所以我要题**面**简述。
 
-在咖啡厅，双叶不说话，只是推给了你一张纸，上面写着一个不定方程： $A_1x_1+A_2x_2+\cdots+A_kx_k\equiv1\mod m$，然而其中的一些 $A_i$ 被咖啡打湿了，需要给被打湿的 $A_i$ 们赋值（$A_i\in[0,m)$），使得不定方程有整数解；同时，双叶也不记得 $m$ 是多少了，所以要求 $m\in[1,n]$ 的方案数之和。$1\le k\le50,1\le n \le10^9$。 
+在咖啡厅，双叶不说话，只是推给了你一张纸，上面写着一个不定方程： $A_1x_1+A_2x_2+\cdots+A_kx_k\equiv1\mod m$，然而其中的一些 $A_i$ 被咖啡打湿了，需要给被打湿的 $A_i$ 们赋值（$A_i\in[0,m)$），使得不定方程有整数解；同时，双叶也不记得 $m$ 是多少了，所以要求 $m\in[1,n]$ 的方案数之和。$1\le k\le50,1\le n \le10^9$。
 
-大约想到怎么做了，然而感觉无法实现（事实是正解要用杜教筛），会写的特别麻烦复杂度还不对，于是就只打了 $k\le5,\,n\le10$ 的暴力和没有数字被打湿的分。然而后面那档挂了，因为求区间内与某个数互质的数个数时没有容斥，最神奇的是拍半个多小时没拍出来...
+大约想到怎么做了，然而感觉无法实现（事实是正解要用杜教筛），会写的特别麻烦复杂度还不对，于是就只打了 $k\le5$, $n\le10$ 的暴力和没有数字被打湿的分。然而后面那档挂了，因为求区间内与某个数互质的数个数时没有容斥，最神奇的是拍半个多小时没拍出来...
 
 ## T2 青春野狼不做姐控偶像的梦
 
@@ -374,7 +374,7 @@ Day 16 ~ Day 17 的这晚貌似是来广二之后睡的最长的一次（$6$ 小
 
 题解给[吉老师视频](https://www.bilibili.com/video/av38542305?t=6000)，太灵性了..
 
-zjt 25（$rank\ 8$），myh 赛后五分钟提交 $15$ 快乐赛。
+zjt 25（$rank$ $8$），myh 赛后五分钟提交 $15$ 快乐赛。
 
 ## T1
 

content/post/2019THUWC-WC冬眠记.md

@@ -51,7 +51,7 @@ T1是道期望，输出格式是最简分数，而且不约分的话数会非常
 
 我的游记好像经常不写题目就瞎bb..还是简单说一下吧。
 
-T1：给两个数列 $a_{1..n},\,b_{1..n}$，多组询问，每次给 $c,\,d,\,e,\,f$ ，需要从 $a_{c..d}$ 和 $b_{e..f}$ 中各取 $d-c+1$ 个数然后两两配对，问配对的两个数相同的对数的期望，以最简分数形式输出。$n$ 和询问数好像大约是 $10^5$ ，因为只打了第一档暴力不记得了...
+T1：给两个数列 $a_{1..n}$, $b_{1..n}$，多组询问，每次给 $c$, $d$, $e$, $f$，需要从 $a_{c..d}$ 和 $b_{e..f}$ 中各取 $d-c+1$ 个数然后两两配对，问配对的两个数相同的对数的期望，以最简分数形式输出。$n$ 和询问数好像大约是 $10^5$ ，因为只打了第一档暴力不记得了...
 
 T2：一个网格图，有两种连边：
 
@@ -70,7 +70,7 @@ T3：求有多少个不同的长度不超过 $m$ 的 区间取min操作序列 
 
 # Day 2/-6
 
-今天是上午考试..T1是给你一棵树，每个点有 $a_i,\,b_i$，每条边有 $c_i,\,d_i$，$u$ 到 $v$ 的费用为 $\sum\limits_{i\text{ on path }(u,v)}\min(a_u+c_i,b_u+d_i)$，求每个点到其它所有点的费用之和。树大小 $5\times 10^5$，值域 $10^5$。开场先打了个暴力，然后感觉可以枚举每条边把树分成两半，然后就可以计算 $\sum\limits_{c-d<b-a} c$  和 $\sum\limits_{c-d\ge b-a}d$ 来做，然而一开始没想到怎么做。继续去想链的部分分，发现可以主席树，然后花了 $1.5h$ 过 pt。然后发现可以用线段树合并搬到树上，又花了 $1h$ 过掉 pt。在 THUWC 过 pt 还是挺爽的..
+今天是上午考试..T1是给你一棵树，每个点有 $a_i$, $b_i$，每条边有 $c_i$, $d_i$，$u$ 到 $v$ 的费用为 $\sum\limits_{i\text{ on path }(u,v)}\min(a_u+c_i,b_u+d_i)$，求每个点到其它所有点的费用之和。树大小 $5\times 10^5$，值域 $10^5$。开场先打了个暴力，然后感觉可以枚举每条边把树分成两半，然后就可以计算 $\sum\limits_{c-d<b-a} c$  和 $\sum\limits_{c-d\ge b-a}d$ 来做，然而一开始没想到怎么做。继续去想链的部分分，发现可以主席树，然后花了 $1.5h$ 过 pt。然后发现可以用线段树合并搬到树上，又花了 $1h$ 过掉 pt。在 THUWC 过 pt 还是挺爽的..
 
 T2是道通过询问得到树的形态的交互，没仔细看...
 
@@ -230,7 +230,7 @@ D1T2的讲题是带动画的，非常有意思，虽然有一些录像，然而
 
 ![yzj](/post_img/2019THUWC-WC冬眠记/yzj.jpg)
 
-然后窝去看成绩，$T3$ 竟然没挂（$13$），然而 $T2$ 的第二个点莫名挂了..仔细看了半天都是对的，问别人也是对的，群里更有趣了，$O(1)$ 的题目 $O(n)$ 做法有 $0,\,6,\,20$ 分的..然后找到了工作人员，咕了一会儿之后帮我重测过了..然后去申诉，还不知道能不能加回来。讲题没去听..~~听了也是自闭。~~
+然后窝去看成绩，$T3$ 竟然没挂（$13$），然而 $T2$ 的第二个点莫名挂了..仔细看了半天都是对的，问别人也是对的，群里更有趣了，$O(1)$ 的题目 $O(n)$ 做法有 $0$, $6$, $20$ 分的..然后找到了工作人员，咕了一会儿之后帮我重测过了..然后去申诉，还不知道能不能加回来。讲题没去听..~~听了也是自闭。~~
 
 ~~OIer真能搞~~，说搞就搞出来了一个文艺汇演。
 

content/post/Codeforces-Round-564-中文题解.md

@@ -296,19 +296,20 @@ $1\le n\le2\times 10^5$，$1\le m\le3000$。
 
    这样的话就只用计算 $f_1[i][j][k]$ 了。
 
-2. 注意到 $i,\,j,\,k,\,m$ 有一些联系。实际上可以令 $f'_w[i][j]$ 表示 $f_w[m-i-j][SA+i][SB-j]$（这里的 $SA$ 和 $SB$ 都是未操作时的初始值）。
+2. 注意到 $i$, $j$, $k$, $m$ 有一些联系。实际上可以令 $f'_w[i][j]$ 表示 $f_w[m-i-j][SA+i][SB-j]$（这里的 $SA$ 和 $SB$ 都是未操作时的初始值）。
 
 令 $g'_1[i][j]$ 表示 $g_w[m-i-j][SA+i][SB-j]$，计算方式类似。
 
 **总结**
 
-$f'_1[i][j]=1\ (i+j=m)$
-
-$f'_1[i][j]=\frac{SA+i+1}{SA+SB+i-j}f'_1[i+1][j]+\frac{SB-j}{SA+SB+i-j}f'_1[i][j+1]\ (i+j<m)$
-
-$g'_1[i][j]=1\ (i+j=m)$
-
-$g'_1[i][j]=\frac{SA+i}{SA+SB+i-j}g'_1[i+1][j]+\frac{SB-j-1}{SA+SB+i-j}g'_1[i][j+1]\ (i+j<m)$
+$$
+\begin{aligned}
+f'_1[i][j]&=1&(i+j=m)\\\\
+f'_1[i][j]&=\frac{SA+i+1}{SA+SB+i-j}f'_1[i+1][j]+\frac{SB-j}{SA+SB+i-j}f'_1[i][j+1]&(i+j<m)\\\\
+g'_1[i][j]&=1&(i+j=m)\\\\
+g'_1[i][j]&=\frac{SA+i}{SA+SB+i-j}g'_1[i+1][j]+\frac{SB-j-1}{SA+SB+i-j}g'_1[i][j+1]&(i+j<m)
+\end{aligned}
+$$
 
 “被喜欢的”位置答案是 $w_if'_1[0][0]$，“不被喜欢的”位置答案是 $w_ig'_1[0][0]$。
 

content/post/LOJ6519-魔力环（Burnside引理，容斥原理）.md

@@ -50,7 +50,7 @@ $$
 
 由于是在环上不好处理，枚举两侧的黑珠子个数，就可以转化为序列上的问题。
 
-而序列上的问题，就相当于求方程 $x_1+x_2+\cdots+x_{y+1}=x\ (0\le x_i\le k)$ 的解的个数。
+而序列上的问题，就相当于求方程 $x_1+x_2+\cdots+x_{y+1}=x\\ (0\le x_i\le k)$ 的解的个数。
 
 考虑容斥，枚举至少有 $i$ 个变量的值大于 $k$（实际上是枚举大小为 $i$ 的子集都大于 $k$），解的个数为 $\binom{x+y-i(k+1)}y$。
 

content/post/NOIp2018提高组游记.md

@@ -352,4 +352,4 @@ D2T3做法挺有趣的..倍增题做少了，估计做多了就比较套路了..
 
 # Day25
 
-咕咕咕咕咕，$\mathrm{CN}\ 329$。
+咕咕咕咕咕，$\mathrm{CN}$ $329$。

content/post/Surreal-Numbers-阅读笔记.md

@@ -79,7 +79,7 @@ $$x\le y\land y\le z\Rightarrow x\le z$$
 
 $\because x\not\le z$
 
-$\therefore \exists\ x_L\ge z\lor\exists\ z_R\le x$
+$\therefore \exists\\ x_L\ge z\lor\exists\\ z_R\le x$
 
 当 $x_L\ge z$ 时
 

content/post/UER-8-游记-——-通信题：打雪仗.md

@@ -12,7 +12,7 @@ aliases = ["/post/UER-8-游记-——-通信题：打雪仗", "/UER-8-游记-—
 
 大意：Alice 有一个长度为 $2n$ 的 $01$ 串 $s_{1..2n}$，Bob 有 $n$ 个下标 $p_{1..n}$，Alice 和 Bob 只能用 $01$ 通信，需要在每人各 $m$ 个 bit 内使 Bob 输出 $s_{p_1..p_n}$ .
 
-$n=1000,\ m=1350$
+$n=1000$, $m=1350$。
 
 <!-- more -->
 
@@ -64,9 +64,9 @@ Bob 给 Alice 的：首先 Bob 要告诉 Alice $l$ 和 $r$ , 用二进制表示
 
 Alice 给 Bob 的：首先 Alice 要回答 Bob 在 $[l,r]$ 内的询问，需要 “ $[l,r]$ 内下标个数” 个 bit；其次，Alice 要告诉 Bob 除了 $[l,r]$ 其它区域的所有值，需要 $n-(r-l+1)$ 个 bit 。
 
-那么，我们需要最小化：$\max(r-l+23,\ [l,r]\text{ 内下标个数}+n-r+l-1)$ 。
+那么，我们需要最小化：$\max(r-l+23,[l,r]\text{ 内下标个数}+n-r+l-1)$ 。
 
-用 $[l,l+len)$ 来表示会简洁一些，所以下文都使用这种方式，即需要最小化：$\max(len+22,\ [l,l+len)\text{ 内下标个数}+n-len)$ 。
+用 $[l,l+len)$ 来表示会简洁一些，所以下文都使用这种方式，即需要最小化：$\max(len+22,[l,l+len)\text{ 内下标个数}+n-len)$ 。
 
 预处理前缀和即可快速算出 $[l,l+len)$ 内的下标个数，$O(n^2)$ 枚举区间取最小值即可。
 

content/post/cdq分治学习笔记.md

@@ -226,7 +226,7 @@ void solve(int l,int r)
 
 # [【模板】三维偏序（陌上花开）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3810)
 
-有两种做法，一种是cdq分治套树状数组，需要注意的有两点，一是清空树状数组可以用时间戳，二是 $a,\,b,\,c$ 都相等的元素要合并。
+有两种做法，一种是cdq分治套树状数组，需要注意的有两点，一是清空树状数组可以用时间戳，二是 $a$, $b$, $c$ 都相等的元素要合并。
 
 {{% admonition note "参考代码" true %}}
 
@@ -471,7 +471,7 @@ void solve2(int l,int r)
 
 所以，我们可以写出一份 cdq 分治求 $k$ 维偏序对的代码：
 
-题意简述：第一行 $n,\,k$，后 $n$ 行每行 $k$ 个数 $a_{i,1..k}$，对每个 $i$ 求 $\forall d\in[1,k],\,a_{i,d}<a_{j,d}$ 的 $j$ 个数。
+题意简述：第一行 $n$, $k$，后 $n$ 行每行 $k$ 个数 $a_{i,1..k}$，对每个 $i$ 求 $\forall d\in[1,k],a_{i,d}<a_{j,d}$ 的 $j$ 个数。
 
 当然，$n$ 要足够大，否则会被暴力艹。只不过理论上来说，如果维数是常数，复杂度就比暴力更优...
 

content/post/后缀数组学习笔记.md

@@ -86,7 +86,7 @@ aliases = ["/post/后缀数组学习笔记", "/后缀数组学习笔记"]
 
 先对每个长度为 $1$ 的子串（即每个字符）进行排序。
 
-假设我们已经知道了长度为 $w$ 的子串的排名 $rk_w[1..n]$（即，$rk_w[i]$ 表示 $s[i..\min(i+w-1,n)]$ 在 $\\{s[x..\min(x+w-1,n)]\ |\ x\in\mathbb{N}\bigcap[1,n]\\}$ 中的排名），那么，以 $rk_w[i]$ 为第一关键字， $rk_w[i+w]$ 为第二关键字（若 $i+w>n$ 则令 $rk_w[i+w]$ 为 $-INF$）进行排序，就可以求出 $rk_{2w}[1..n]$。
+假设我们已经知道了长度为 $w$ 的子串的排名 $rk_w[1..n]$（即，$rk_w[i]$ 表示 $s[i..\min(i+w-1,n)]$ 在 $\\{s[x..\min(x+w-1,n)]|x\in\mathbb{N}\bigcap[1,n]\\}$ 中的排名），那么，以 $rk_w[i]$ 为第一关键字， $rk_w[i+w]$ 为第二关键字（若 $i+w>n$ 则令 $rk_w[i+w]$ 为 $-INF$）进行排序，就可以求出 $rk_{2w}[1..n]$。
 
 倍增排序示意图：$^{[2]}$
 
@@ -350,7 +350,7 @@ int main()
 
 ## lcp（最长公共前缀）
 
-两个字符串 $S$ 和 $T$ 的 $lcp$ 就是最大的 $x$ 使得 $S_i=T_i\ (\forall\ 1\le i\le x)$ 。
+两个字符串 $S$ 和 $T$ 的 $lcp$ 就是最大的 $x$ 使得 $S_i=T_i$ ($\forall 1\le i\le x$) 。
 
 下文中以 $lcp(i,j)$ 表示后缀 $i$ 和后缀 $j$ 的最长公共前缀（的长度）。
 

content/post/浅谈邻项交换排序的应用以及需要注意的问题.md

@@ -284,9 +284,9 @@ int main()
 
    equivalent to c, then a is equivalent to c.
 
-   This means that for operator $<$: If $!(a<b) \&\& !(b<a)$ is true and $!(b<c) \&\& !(c<b)$ is true
+   This means that for operator $<$: If $!(a<b) \\&\\& !(b<a)$ is true and $!(b<c) \\&\\& !(c<b)$ is true
 
-   then $!(a<c) \&\& !(c<a)$ is true.
+   then $!(a<c) \\&\\& !(c<a)$ is true.
 
    This means that for a predicate op(): If op(a,b), op(b,a), op(b,c), and op(c,b) all yield
 
@@ -300,9 +300,9 @@ int main()
 
 将上式拆解成逻辑式，即证：
 
-$\forall \begin{cases}\,(a_i<a_j\lor b_j<a_j)\land(a_i<b_i\lor b_j<b_i) \\\\\,(a_j<a_k\lor b_k<a_k)\land(a_j<b_j\lor b_k<b_j)\end{cases}$，有 $(a_i<a_k\lor b_k<a_k)\land(a_i<b_i\lor b_k<b_i)$。
+$\forall \begin{cases}(a_i<a_j\lor b_j<a_j)\land(a_i<b_i\lor b_j<b_i) \\\\(a_j<a_k\lor b_k<a_k)\land(a_j<b_j\lor b_k<b_j)\end{cases}$，有 $(a_i<a_k\lor b_k<a_k)\land(a_i<b_i\lor b_k<b_i)$。
 
-假设原命题不成立，即 $\exists\begin{cases}\,(a_i<a_j\lor b_j<a_j)\land(a_i<b_i\lor b_j<b_i)&(1) \\\\\,(a_j<a_k\lor b_k<a_k)\land(a_j<b_j\lor b_k<b_j)&(2) \\\\\,(a_i\ge a_k\land b_k\ge a_k)\lor(a_i\ge b_i\land b_k\ge b_i)&(3)\end{cases}$
+假设原命题不成立，即 $\exists\begin{cases}(a_i<a_j\lor b_j<a_j)\land(a_i<b_i\lor b_j<b_i)&(1) \\\\(a_j<a_k\lor b_k<a_k)\land(a_j<b_j\lor b_k<b_j)&(2) \\\\(a_i\ge a_k\land b_k\ge a_k)\lor(a_i\ge b_i\land b_k\ge b_i)&(3)\end{cases}$
 
 分别讨论 $(3)$ 式成立的两种情况：
 

content/post/莫队、带修莫队、树上莫队详解.md

@@ -500,15 +500,16 @@ int main()
 
 第二步证明如下：
 
-$\quad\,T(cu,cv)\ xor\ T(tu,tv)$
-
-$=[S(cu,root)\ xor\ S(cv,root)]\ xor\ [S(tu,root)\ xor\ S(tv,root)]$ （lca及以上相消）
-
-$=[S(cu,root)\ xor\ S(tu,root)]\ xor\ [S(cv,root)\ xor\ S(tv,root)]$ （交换律、结合律）
-
-$=T(cu,tu)\ xor\ T(cv,tv)$
-
-之所以要把 $T(cu,cv)\ xor\ T(tu,tv)$ 转化成 $T(cu,tu)\ xor\ T(cv,tv)$，是因为这样的话就能通过对询问排序来保证复杂度。排序方式就是以 $u$ 所在块编号为第一关键字，$v​$ 的编号为第二关键字排序。如果是带修莫队，就还要以时间为第三关键字。
+$$
+\begin{aligned}
+&T(cu, cv)\operatorname{xor}T(tu, tv)\\\\
+=&(S(cu, root)\operatorname{xor}S(cv, root))\operatorname{xor}(S(tu, root)\operatorname{xor}S(tv, root))\\\\
+=&(S(cu, root)\operatorname{xor}S(tu, root))\operatorname{xor}(S(cv, root)\operatorname{xor}S(tv, root))\\\\
+=&T(cu, tu)\operatorname{xor}T(cv, tv)
+\end{aligned}
+$$
+
+之所以要把 $T(cu,cv)\operatorname{xor}T(tu,tv)$ 转化成 $T(cu,tu)\operatorname{xor}T(cv,tv)$，是因为这样的话就能通过对询问排序来保证复杂度。排序方式就是以 $u$ 所在块编号为第一关键字，$v​$ 的编号为第二关键字排序。如果是带修莫队，就还要以时间为第三关键字。
 
 ## 关于单点修改